Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 2901–2950

Vektorgrafiken*
Aufgabennummer: B_347
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Eine Vektorgrafik besteht im Gegensatz zur Pixelgrafik nicht aus einzelnen Bildpunkten (Pixeln),
sondern wird durch geometrische Primitive (Linie, Kreis, Polygone, Splines …) definiert.
a) Rechtecke können in einer Vektorgrafik durch Angabe der Eckpunkte als geschlossene
Streckenzüge definiert werden.
Es gibt zwei Rechtecke ABCD mit:
• A = (50|–100) und B = (250|–250) sind zwei benachbarte Eckpunkte.
• Die Seite BC ist halb so lang wie die Seite AB .
– Berechnen Sie die Koordinaten des Punkts C für eines dieser Rechtecke.
b) Ein Vorteil von Vektorgrafiken ist, dass geometrische Transformationen sehr einfach und
ohne Qualitätsverlust durchgeführt werden können.
Das in der nachstehenden Grafik dargestellte Rechteck E
1
F
1
G
1
H
1
entstand aus dem Recht
eck EFGH durch Drehung um den Eckpunkt E = (100|–150) gegen den Uhrzeigersinn.
H
1
G 1
G F
H E = E 1
F
1
α
x
y
0
–100
–150
–200
–250
–50
–300
0 250 200 150 100 50 300
– Zeigen Sie rechnerisch unter Verwendung der Punkte E = (100|–150), H = (250|–150)
und H
1
= (230| –75), dass der Drehwinkel gerundet 30° beträgt.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) – Zeigen Sie, dass der Vektor
→
n =
( )
– a
y
a
x
ein Normalvektor des Vektors
→
a =
( )
a
x
a
y
ist.
d) Splines sind stückweise zusammengesetzte Funktionen, deren Graphen knickfrei inein
ander übergehen. Knickfrei bedeutet, dass die Funktionen an den Stellen, an denen sie
zusammenstoßen, den gleichen Funktionswert und die gleiche Steigung haben.
Ein kubischer Spline, der aus 2 Funktionen 3. Grades zusammengesetzt ist, ist für das
Intervall [0; 2] folgendermaßen definiert:
s
0
( x ) = –
2
3
∙ x
3
+
5
3
∙ x für 0 ≤ x ≤ 1
s
1
( x ) =
4
3
∙ ( x – 1)
3
– 2 ∙ ( x – 1)
2
–
1
3
∙ ( x – 1) + 1 für 1 ≤ x ≤ 2
– Zeigen Sie, dass der Übergang von s
0
auf s
1
knickfrei erfolgt.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Vektorgrafiken 2

Höhenwachstum von Fichten*
Aufgabennummer: B_350
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Der Zusammenhang zwischen dem Alter und der durch schnittlichen Höhe von Fichten kann
näherungsweise mithilfe einer Funktion h beschrieben werden:
h ( t ) = a ∙ ℯ
– b
t
t ... Alter in Jahren
h ( t ) ... durchschnittliche Höhe im Alter t in Metern (m)
a > 0 ... Parameter in m
b > 0 ... Parameter in Jahren
a) – Begründen Sie mathematisch, warum ℯ
– b
t
für t = 0 nicht definiert ist.
– Begründen Sie mathematisch, warum die durchschnittliche Höhe in diesem Modell a
nicht überschreiten kann.
Für einen 80-jährigen Fichtenbestand beträgt die durchschnittliche Höhe der Fichten
19,24 m. Der Parameter a ist gleich 28 m.
– Berechnen Sie den Parameter b .
– Berechnen Sie anhand dieses Modells, um wie viel Prozent die durchschnittliche Höhe
in den nächsten 20 Jahren zunehmen wird.
b) Für einen Fichtenbestand gilt: a = 60 m, b = 50 Jahre.
– Zeichnen Sie den Graphen der Funktion h im Intervall [10; 70].
– Berechnen Sie die momentane Änderungsrate der durchschnittlichen Höhe für 40-jährige
Fichten.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der momentanen Änderungsrate der
durchschnittlichen Höhe eines Fichtenbestandes h ′ ( t ) dargestellt.
h ′ ( t ) in Metern/Jahr
Alter in Jahren
0 10 20 30 40 50 60 70
0,2
0
0,4
0,6
0,8
1
– Interpretieren Sie die Bedeutung des Inhalts der schraffierten Fläche im gegebenen
Sachzusammenhang.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Höhenwachstum von Fichten 2

Größe von Mädchen*
Aufgabennummer: B_353
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
In der nachstehenden Tabelle ist angegeben, wie groß Mädchen eines bestimmten Alters
durch schnittlich sind.
Alter
(in Jahren)
durchschnittliche Körpergröße
(in Zentimetern)
0 51,5
1 74,0
2 85,4
3 95,4
4 102,8
5 109,5
6 115,3
a) – Stellen Sie die durchschnittliche Körpergröße in Abhängigkeit vom Alter in einem Koordi-
natensystem dar. Verwenden Sie dazu die Angaben aus der obigen Tabelle.
b) – Bestimmen Sie den absoluten Größenzuwachs im 3. Lebensjahr anhand der gegebenen
Daten.
– Beschreiben Sie, was mit der folgenden Rechnung im gegebenen Sachzusammenhang
ermittelt wird:
102,8 – 95,4
95,4
* ehemalige Klausuraufgabe
c) In der nachstehenden Tabelle sehen Sie, wie schwer Mädchen eines bestimmten Alters
durch schnittlich sind.
Alter
(in Jahren)
durchschnittliche Masse
(in Kilogramm)
1 9,3
2 12,2
3 14,5
4 16,6
5 19,0
6 21,0
Aufgrund der gegebenen Daten kann man vermuten, dass die Abhängigkeit der durch-
schnittlichen Masse von der durchschnittlichen Körpergröße annähernd durch eine lineare
Funktion beschrieben werden kann. Die Werte für die durchschnittliche Körpergröße
entnehmen Sie der im Einleitungstext gegebenen Tabelle.
– Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten für den linearen Zusammenhang zwischen
durchschnittlicher Körpergröße und durchschnittlicher Masse.
– Interpretieren Sie diesen Korrelationskoeffizienten.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Größe von Mädchen 2

Brieftauben*
Aufgabennummer: B_355
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Brieftauben werden bei Wettkämpfen an einen Ort gebracht, von dem sie selbstständig wieder
zurück nach Hause fliegen. Bei der vorliegenden Aufgabe wird angenommen, dass Brieftauben
stets den kürzesten Weg nach Hause suchen.
Die nachstehende Grafik zeigt einige Städte in Oberösterreich, in denen es Taubenzüchter/in -
nen gibt, in einem Koordinatensystem. Dabei entspricht eine Längeneinheit im Koordinaten -
system einer Entfernung von 10 Kilometern.
y
x
13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9 0 14
0
8
7
6
5
4
3
2
1
9
–2
–3
–4
–5
–6
–7
–1
20 km
Braunau
Ried i. I.
Schärding
Freistadt
Linz
Steyr
a) Eine Taube wird in Freistadt losgelassen und fliegt auf direktem Weg nach Steyr.
– Ermitteln Sie die Koordinaten desjenigen Vektors (Pfeil von Anfangspunkt zu Endpunkt
des Fluges), der die Flugstrecke der Taube beschreibt.
b) Eine Brieftaube fliegt von Ried i. I. in ihre Heimatstadt. Dieser Flug wird durch den Vektor
→
v =
( )
8
3
beschrieben.
– Lesen Sie die Heimatstadt dieser Brieftaube ab.
– Berechnen Sie den Betrag des Vektors
→
v .
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Eine Taube startet in Linz. Sie fliegt eine Strecke von 67,08 km Länge in Richtung des
Vektors
( )
–1
–2
.
– Ermitteln Sie die Koordinaten desjenigen Vektors, den die Taube von Linz bis zu ihrem
Ziel entlangfliegt. Geben Sie die Koordinaten dabei in den Längeneinheiten des obigen
Koordinatensystems an.
d) Die Berechnung des Skalarprodukts zweier Vektoren im ℝ
2
ergibt:
( )
3
–1
·
( )
2
a
= 0
– Ermitteln Sie a .
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Brieftauben 2

Bruchbiegeprüfung
Aufgabennummer: B_027
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Bei einer Bruchbiegeprüfung wird die Festigkeit von Materialproben bestimmt. Unter Erhöhung
des Betrags der Kraft
→
F in Newton (N) wird die verursachte Verformung x in Millimetern (mm)
ermittelt. Das Kraft-Verformungs-Diagramm beschreibt den Zusammenhang von Kraft und
Verformung.
Der Verlauf einer Bruchbiegeprüfung an einer Holzprobe ist im nachstehenden Kraft-Verfor-
mungs-Diagramm dargestellt.
F in N
F
2
F
1 proportionaler Bereich
18000
16000
14000
12000
10000
8000
6000
4000
2000
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Verformung x in mm
F
2
( x ) = –
625
4
∙ x
2
+ 3 750 ∙ x – 10 000 mit 8 ≤ x ≤ 15,1
a) – Berechnen Sie die maximale Kraft im dargestellten Bruchbiegeversuch mithilfe der Diffe-
renzialrechnung.
b) Nach einer Verformung von 15,1 mm kam es zum Bruch.
– Ermitteln Sie die Gleichung der Funktion F
1
.
– Berechnen Sie die Arbeit W ( W =
∫
F ( x ) d x ), die bis zum Bruch verrichtet wurde.
c) Die Kraftbelastung der Bruchbiegeprüfung wird im proportionalen Bereich [0; b ] auf
F
1
( x ) = k ∙ x + F
0
geändert.
– Interpretieren Sie die Bedeutung des Parameters F
0
im gegebenen Sachzusammen-
hang.
– Zeigen Sie, dass sich die Brucharbeit ( W =
∫
F ( x ) d x ) im proportionalen Bereich in die-
sem Fall um F
0
∙ b erhöht.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Bruchbiegeprüfung 2

Verkehrszeichen
Aufgabennummer: B_261
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
a) Der Durchmesser des Verkehrszeichens Einfahrt verboten
beträgt 600 mm. Der weiße Balken ist 547 mm lang und
139 mm breit.
– Berechnen Sie, welchen prozentuellen Anteil der Gesamt-
fläche des Kreises der Balken einnimmt.
– Ordnen Sie anhand des Dreiecks in Abbildung 1
A bis D richtig zu. [2 zu 4]
tan( α )
A
v
u
B
w
v
sin( α )
C
v
w
D
u
v
Aus optischen Gründen soll der Balken so verlängert werden, dass die Ecken den Kreis-
rand berühren.
– Berechnen Sie die Länge des Balkens bei gleichbleibender Balkenbreite.
b) Das Verkehrszeichen Starke Steigung (siehe Abbildung 2) hat
die Form eines gleichseitigen Dreiecks.
– Zeigen Sie, dass die Steigung im dargestellten schwarzen
Dreieck mehr als 50 % beträgt, obwohl der Anstieg genau
bis zur Hälfte der Seitenkante reicht.
u
w
Abbildung 1
v
Abbildung 2
10 %
c) Bei dem Verkehrszeichen Achtung Querrinne oder Aufwölbung wird die obere Begrenzung
der schwarzen Fläche mit der Funktion g modelliert:
g ( x ) = cos( x + π) + 2,8
x , g ( x ) ... Koordinaten
– Skizzieren Sie in Abbildung 3 ein zum Funktionsgraphen g passendes Koordinatensys-
tem mit entsprechender Skalierung.
Abbildung 3
g
– Erstellen Sie eine Formel für die Berechnung des Flächeninhalts der schwarzen Fläche in
der Abbildung 3.
A = ________________________________
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Verkehrszeichen 2

Solarzelle / B_262 / Übungsaufgabe S. 1/5
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
Solarzelle
Eine Solarzelle wandelt kurzwellige Strahlungsenergie, wie zum Beispiel Sonnenlicht, direkt in
elektrische Energie um.
a) In der nachstehenden Grafik ist die Leistungskurve einer Solarzelle dargestellt:
0 48 46 44 42 40 38 36 34 32 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 50
0
140
120
100
60
40
80
20
Leistung in Watt
Spannung in Volt
A
B
g
f
Der Verlauf der Leistungskurve wird im Intervall [0; 20] durch eine lineare Funktion g und im
Intervall [20; 40] durch eine Polynomfunktion f vom Grad 4 beschrieben. Im Punkt A gehen
die beiden Funktionsgraphen knickfrei ineinander über (das bedeutet, dass die Funktionen an
dieser Stelle den gleichen Funktionswert und die gleiche Steigung haben). Im Punkt B hat die
Funktion f einen Hochpunkt. Die maximale Leistung der Solarzelle beträgt 130 Watt.
f ( x ) = a ∙ x
4
+ b ∙ x
3
+ c ∙ x
2
+ d ∙ x + e
x ... Spannung in Volt mit 20 ≤ x ≤ 40
f ( x ) ... Leistung bei der Spannung x in Watt
1) Stellen Sie ein Gleichungssystem auf, mit dem die Koeffizienten a , b , c , d und e
berechnet werden können.
Solarzelle / B_262 / Übungsaufgabe S. 2/5
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
b) Wenn keine elektrische Energie erzeugt wird, entladen sich die eingebauten Kondensatoren.
Der zeitabhängige Spannungsverlauf kann dabei durch eine Exponentialfunktion beschrieben
werden.
Es gilt:
u ( t ) = u
0
∙ ℯ
– k ∙ t
t ... Zeit in ms
u ( t ) ... Spannung zur Zeit t in Volt
Die Spannung wurde zu zwei unterschiedlichen Zeitpunkten gemessen. Für t = 0 ms beträgt
die Spannung 10 Volt und für t = 20 ms beträgt die Spannung 5 Volt.
1) Stellen Sie eine Gleichung derjenigen Funktion u auf, die die Entladung des Kondensators
beschreibt.
Dieser Entladevorgang kann auch durch eine Differenzialgleichung beschrieben werden.
2) Kreuzen Sie diejenige Differenzialgleichung an, die diesen Entladevorgang richtig
beschreibt. [1 aus 5]
t ... Zeit in ms
u ( t ) ... Spannung zur Zeit t in Volt
k > 0 … Proportionalitätsfaktor
d u
d t
= k ∙ u
d u
d t
= – k
d u
d t
= – k ∙ u
d u
d t
= k ∙ t
d u
d t
= – k ∙ t
Solarzelle / B_262 / Übungsaufgabe S. 3/5
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
c) Der Energieertrag von Photovoltaikanlagen eines bestimmten Typs ist annähernd normalver-
teilt mit einer Standardabweichung von σ = 6 Kilowattstunden (kWh).
Für 10 zufällig ausgewählte Anlagen dieses Typs wurden folgende Energieerträge in kWh
gemessen:
195 198 210 204 196 202 210 199 192 201
1) Berechnen Sie den Stichprobenmittelwert
–
x der Messwerte.
2) Ermitteln Sie das zweiseitige 95-%-Konfidenzintervall für den Erwartungswert μ des
Energieertrags.
3) Beschreiben Sie, wie sich die Breite des Konfidenzintervalls ändert, wenn die Irrtumswahr-
scheinlichkeit α kleiner wird.
d) Ein anderer Hersteller produziert Solarzellen, deren Arbeitsspannung annähernd normalverteilt
ist mit dem Erwartungswert μ = 0,65 Volt und der Standardabweichung σ = 0,15 Volt.
1) Berechnen Sie, wie viel Prozent dieser Solarzellen mit einer Spannung von mehr als
0,8 Volt arbeiten.

Pac-Man
Aufgabennummer: B_292
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Pac-Man ist ein Videospiel, das 1980 veröffentlicht wurde. Die Spielfigur Pac-Man muss Punkte
in einem Labyrinth fressen, während sie von Gespenstern verfolgt wird.
Abbildung 1: Pac-Man Abbildung 2: Gespenst
a) In Abbildung 1 ist Pac-Man dargestellt. Der Kreisabschnitt in der oberen Hälfte des Ko -
ordinatensystems kann mit dem Funktionsgraphen der Funktion f mit f ( x ) = √ 1 – x
2
im
Intervall –1 ≤ x ≤ x
P
dargestellt werden.
– Veranschaulichen Sie in der Abbildung 1 den cos( α ).
– Kennzeichnen Sie in der Abbildung 1 diejenige Fläche, die mit dem nachstehenden
bestimmten Integral berechnet wird.
F =
∫
x P
0
( √ 1 – x
2
–
y
P
x
P
∙ x ) d x
– Berechnen Sie den Flächeninhalt von Pac-Man mit Radius 1 cm und α =
π
5
rad.
b) In Abbildung 2 wird ein Gespenst durch 4 Funktionen im Intervall [ 0; 6π] dargestellt. Der
Punkt A hat die Koordinaten (0,5 | 16). Der Kopf wird durch einen Halbkreis dargestellt.
Die Seitenlinien entsprechen 2 Geraden.
– Stellen Sie eine mögliche Winkelfunktion f für die dargestellte Wellenlinie auf.
– Berechnen Sie die Länge der äußeren Umrisslinie der dargestellten Figur. Verwenden
Sie zur Berechnung der Länge der Wellenlinie die nachstehende Formel für die
Bogenlänge.
b
f
=
∫
x 2
x 1
1 + ( f ′ ( x ))
2
d x
x in cm
f ( x ) in cm
1
2
P = ( x P | y P )
M A
f ( x ) in cm
x in cm
2
0
0 π 2π 3π 4π 5π 6π
4
6
8
24
22
20
18
16
14
12
10
c) Erwischt Pac-Man eine „Kraftpille“, so kann er für eine gewisse Zeit lang selbst Ge -
spenster fangen und damit Bonuspunkte sammeln. In Abbildung 3 ist eine mögliche
Spiel situation dargestellt. Ein Spieler versucht, mit Pac-Man eine der Kraftpillen zu er -
reichen, und wird von 3 Gespenstern verfolgt.
Kraftpille Kraftpille
Abbildung 3
Der Spieler entscheidet sich mit angegebener Wahrscheinlichkeit für eine der beiden
dar gestellten Richtungen (links/rechts) und versucht, die jeweilige Kraftpille zu er -
reichen. In der nachstehenden Tabelle sind die möglichen Ereignisse und deren Wahr -
scheinlichkeiten angegeben.
Wahl der Richtung
ein Gespenst
erwischt Pac-Man
Pac-Man erreicht
eine Kraftpille
links 25 % 65 % 35 %
rechts 75 % 45 % 55 %
– Stellen Sie die möglichen Ausgänge des Spielverlaufs und die zugehörigen Wahr-
scheinlichkeiten durch ein Baumdiagramm dar.
– Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Pac-Man eine der Kraftpillen erreicht.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Pac-Man 2

Programmieren
Aufgabennummer: B_031
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Um bestimmte grafische Objekte zu animieren, muss ein Programmierer über verschiedene
mathematische Hintergründe Bescheid wissen.
a) Um das Auf-und-ab-Fliegen zweier Hexen am Bildschirm darzustellen, werden Wellen -
linien benötigt.
– Ordnen Sie den beiden Flugkurven jeweils den passenden Funktionsterm aus A bis D
zu. [2 zu 4]
A
1
2
∙ sin( x + 2)
B
1
2
∙ sin( x – 2)
C 4 ∙ sin( x + 2)
D 4 ∙ sin( x – 2)
y
x in rad
0 1 2 10 9 8 7 6 5 4 3 13 12 11 14
0
–1
–3
–2
–4
1
3
2
4
y
x in rad
0 1 2 10 9 8 7 6 5 4 3 11
0
–0,5
–1
0,5
1
– Erklären Sie den Einfluss des Parameters c in der allgemeinen Sinusfunktion
y ( x ) = a ∙ sin( x + b ) + c .
b) Ein Ball wird animiert. Die nachstehende Abbildung zeigt den Geschwindigkeit-Zeit-Verlauf
des rollenden Balles.
Geschwindigkeit in m/s
Zeit t in s
0 t
4
t
3
t
2
t
1
v
– Skizzieren Sie das dazugehörige Beschleunigung-Zeit-Diagramm.
– Erklären Sie die physikalische Bedeutung derjenigen Fläche, die der Graph der Funkti-
on v mit der Zeitachse einschließt.
c) Eine Figur in einem Spiel wirft einen Ball in einen Basketballkorb. Dabei wird der Ball als
punktförmig angenommen. Der Ball soll im Punkt A = (3|5) starten. Die Mitte des Korbes
befi ndet sich im Punkt B = (12|7). Die Flugbahn kann näherungsweise durch eine Poly-
nomfunktion 2. Grades beschrieben werden.
– Begründen Sie, warum durch die 2 gegebenen Punkte die Flugbahn nicht eindeutig
bestimmt ist.
Der Abschusswinkel beträgt 46°.
– Bestimmen Sie eine Funktionsgleichung
der Flugbahn.
A
B
Programmieren 2
d) Der nachstehend abgebildete Geist wird durch den Funktionsgraphen f mit
f ( x ) = cos( x ) + 1 und g mit g ( x ) = –0,25 ∙ x
2
+ 3,5 ∙ x + 2 begrenzt. Zwei Kreise mit einem
Radius von jeweils 0,5 cm bilden die Augen. Die Funktionsgraphen f und g schneiden sich
an den Stellen x
1
= 0 und x
2
= 14,3.
y
x in rad
f
g
0 6π 5π 4π 3π 2π π 7π
12
10
8
6
4
2
0
14
– Berechnen Sie den Flächeninhalt des abgebildeten Geistes.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Programmieren 3

Statuen und Skulpturen (1)*
Aufgabennummer: B_378
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
a) Das Maria-Theresien-Denkmal in Wien wird vermessen. Es werden die Höhenwinkel
α = 45,38° und β = 38,19° gemessen. Weiters ist die in der nachstehenden Abbildung
eingetragene Länge bekannt.
3,40 m
x
α
β
Abbildung nicht maßstabgetreu!
– Berechnen Sie die in der obigen Abbildung mit x bezeichnete Länge.
b) Eine Fotografin möchte eine auf einem Sockel stehende Skulptur unter dem größtmögli-
chen Sehwinkel fotografieren. Folgende Abbildung gibt zu jeder horizontalen Entfernung x
zur Skulptur im Intervall [1; 14] den Sehwinkel φ an:
0 2 4 6 8 10 12 14
horizontale
Entfernung x in m 0
0,2
0,4
0,6
0,8
Sehwinkel α in rad φ
– Kennzeichnen Sie in der obigen Abbildung die horizontale Entfernung mit dem größt-
möglichen Sehwinkel.
– Dokumentieren Sie in Worten, wie man vorgehen muss, um diese horizontale Entfer-
nung mithilfe der Differenzialrechnung zu berechnen, wenn eine Gleichung der Funktion
mit dem dargestellten Graphen bekannt ist.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Das Abschlusselement einer Säule soll aus Marmor hergestellt werden. Dieses kann durch
Rotation des Graphen der Funktion f um die x -Achse beschrieben werden:
f ( x ) = 4 –
x
2
– sin( x ) mit 0 ≤ x ≤ 5
x , f ( x ) … Koordinaten in Dezimetern (dm)
− Zeichnen Sie den Funktionsgraphen von f .
− Kennzeichnen Sie in Ihrer Darstellung den kleinsten und den größten Radius dieses
Abschlusselements.
Die Dichte des verwendeten Marmors beträgt 2,7 kg/dm
3
.
− Berechnen Sie die Masse des Abschlusselements.
Statuen und Skulpturen (1) 2

Skispringen (2)*
Aufgabennummer: B_380
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Für die Analyse eines Bewegungsablaufs beim Skispringen wurden 4 Sensoren an der
Ausrüstung eines Skispringers befestigt.
1. Sensor: Schuh
2. Sensor: Knie
3. Sensor: Hüfte
4. Sensor: Helm
In der nachstehenden Abbildung sind die Positionen der Sensoren für eine Position im
Bewegungsablauf des Skispringers in einem Koordinatensystem dargestellt (Angaben in
Metern).
β
ω
α
Schuhsensor
Kniesensor
Hüftsensor
Helmsensor
0,49
0,46
0,84
x in m
y in m
1,20 0,80
– Berechnen Sie den Winkel ω .
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Der Anlauf der Mühlenkopfschanze in Willingen (Deutschland) ist in der nachstehenden
Abbildung vereinfacht als Graph einer Funktion f dargestellt.
B
A
α
M
r
r
x in m
y in m
f
A und B sind Punkte eines Kreises mit Mittelpunkt M und Radius r = 105,6 m.
Die geradlinige Strecke AB hat eine Länge von 43,4 m.
– Berechnen Sie den Winkel α .
– Bestimmen Sie, um wie viel Prozent die Strecke AB kürzer als der Kreisbogen von A
nach B ist.
c) Der Zusammenhang zwischen der Absprunggeschwindigkeit und der Sprungweite soll
untersucht werden. Es wird vermutet, dass die Sprungweite linear von der Absprungge-
schwindigkeit abhängt.
Es stehen folgende Messdaten zur Verfügung:
Absprunggeschwindigkeit
in km/h
88,0 89,9 90,2 91,2 91,5 91,9 92,5
Sprungweite in m 110,0 112,5 113,7 115,8 116,6 118,7 120,0
– Bestimmen Sie für diese Datenpaare eine Gleichung der linearen Regressionsfunktion.
– Interpretieren Sie den Wert der Steigung dieser Regressionsfunktion im gegebenen
Sachzusammenhang.
Skispringen (2) 2

Waschmittel (2)*
Aufgabennummer: B_381
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Die Firma Blitzweiß produziert ein neues Waschmittel.
a) Die Abhängigkeit der Verkaufszahlen vom Werbeaufwand x kann für einen Monat modell-
haft durch die Funktion V beschrieben werden:
V ( x ) = a – b · ℯ
– λ · x
a , b , λ sind positive Parameter der Funktion mit a > b .
– Ermitteln Sie unter Verwendung der Parameter von V die Verkaufszahl, wenn kein Wer-
beaufwand betrieben wird.
– Begründen Sie mathematisch, warum für x → ∞ die Funktion V asymptotisch gegen a
strebt.
Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen der Funktion V für einen bestimmten
Wert λ
1
.
Verkaufszahl
Werbeaufwand
a
– Zeichnen Sie den Funktionsverlauf für einen Wert λ
2
mit λ
2
> λ
1
in die obige Abbildung
ein. (Die Parameter a und b bleiben unverändert.)
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Die Kostenfunktion K für die Produktion eines Tages kann folgendermaßen beschrieben
werden:
K ( x ) = a · x
3
+ b · x
2
+ c · x + d
x … Anzahl der produzierten Mengeneinheiten (ME)
K ( x ) … Produktionskosten für x ME in Geldeinheiten (GE)
Folgende Informationen sind verfügbar:
Die Fixkosten betragen € 500.
x in ME 20 30 50
K ( x ) in GE 604 672 920
– Stellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Parameter a , b , c und d in Matri-
zenform auf.
– Berechnen Sie die Parameter a , b , c und d .
c) In der nachstehenden Abbildung sind die Funktionsgraphen der linearen Kostenfunktion K
und der quadratischen Erlösfunktion E eines Produkts dargestellt.
K ( x ), E ( x ) in GE
x in ME
K
E
120 100 80 60 40 20 0 140
300
250
200
150
100
50
0
350
– Stellen Sie eine Funktionsgleichung dieser Kostenfunktion K auf.
– Kennzeichnen Sie den Gewinnbereich in der obigen Abbildung.
− Erklären Sie mathematisch, warum die zugehörige Gewinnfunktion eine quadratische
Funktion sein muss.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Waschmittel (2) 2