Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 2851–2900

LED-Lampen (2)*
Aufgabennummer: B_315
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Traditionelle Glühlampen wurden wegen ihrer geringen Energieeffizienz in der EU schrittweise
verboten. Als Alternative zu den Glühlampen bieten Hersteller LED-Lampen an.
a) LED-Lampen sind derzeit wesentlich teurer als Glühlampen, zeichnen sich aber durch
eine höhere Lebensdauer und durch eine höhere Energieeffizienz aus.
Für eine Lampe, die 1 000 Stunden pro Jahr in Betrieb ist, kann als Leuchtmittel eine
Glühlampe oder eine LED-Lampe verwendet werden. Um die dabei anfallenden Kosten zu
vergleichen, werden die folgenden Daten benötigt:
Glühlampe LED-Lampe
Preis pro Stück € 0,75 € 15,00
Lebensdauer 1 Jahr 25 Jahre
Energiekosten pro Jahr € 5 € 0,60
– Vervollständigen Sie die nachstehende Tabelle für diesen Kostenvergleich.
Verwendungsdauer
in Jahren
insgesamt angefallene Kosten bei der Verwendung …
von Glühlampen einer LED-Lampe
1
2
3
4
5
– Lesen Sie aus dieser Tabelle ab, nach wie vielen ganzen Jahren die insgesamt angefal-
lenen Kosten bei der Verwendung einer LED-Lampe erstmals geringer sind als bei der
Verwendung von Glühlampen.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Die Helligkeit einer LED-Lampe kann mithilfe des Lichtstroms beschrieben werden.
In der nachstehenden Tabelle ist für LED-Lampen mit verschiedenem Lichtstrom der
jeweilige Preis angegeben.
Lichtstrom in Lumen 136 300 400 600 800
Preis in Euro / Stück 6,00 9,90 9,99 16,50 23,40
– Ermitteln Sie die Gleichung der zugehörigen linearen Regressionsfunktion. (Der Preis soll
in Abhängigkeit vom Lichtstrom beschrieben werden.)
− Interpretieren Sie den Wert der Steigung dieser linearen Regressionsfunktion im gege-
benen Sachzusammenhang.
− Berechnen Sie mithilfe dieser Regressionsfunktion denjenigen Preis, der für eine LED-
Lampe mit einem Lichtstrom von 500 Lumen zu erwarten ist.
c) Laut einem Ratgeber für LED-Lampen kann der Lichtstrom von 12-Watt-LED-Lampen als
annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert μ angenommen werden. Dabei liegen
95 % der Lichtstromwerte in dem um μ symmetrischen Intervall von 780 Lumen bis 1 140
Lumen.
– Berechnen Sie den Erwartungswert μ des Lichtstroms für 12-Watt-LED-Lampen.
− Berechnen Sie die Standardabweichung σ des Lichtstroms für 12-Watt-LED-Lampen.
− Skizzieren Sie den Graphen der zugehörigen Verteilungsfunktion in der nachstehenden
Abbildung.
0
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
Wahrscheinlichkeit
Lichtstrom in Lumen
1 400 1 200 1 000 800 600
– Veranschaulichen Sie in der obigen Abbildung die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig
ausgewählte 12-Watt-LED-Lampe einen Lichtstrom von bis zu 900 Lumen hat.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
LED-Lampen (2) 2

Segeln*
Aufgabennummer: B_321
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Die Entfernungen werden beim Segeln in nautischen Meilen (NM) angegeben. Die davon ab
geleitete Geschwindigkeitseinheit nautische Meilen pro Stunde wird Knoten genannt.
a) Ein Segelboot fährt, nachdem es vom Punkt P gestartet ist und den Punkt A passiert hat,
zum Punkt B . Von dort fährt es zum Punkt P zurück (siehe nachstehende nicht maßstab
getreue Skizze).
Die folgenden Abmessungen sind bekannt: α = 63°,
–
PA = 3,3 NM und
–
AB = 2,7 NM.
P
A
B
β
α
– Berechnen Sie die Entfernung BP .
– Berechnen Sie die Dauer dieser Umrundung, wenn das Segelboot mit einer mittleren
Geschwindigkeit von 6,8 Knoten fährt.
– Stellen Sie eine Formel zur Berechnung der Entfernung BP auf, wenn anstatt der Ent
fernung
–
AB der Winkel β bekannt wäre.
BP =
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Ein Segelboot startet im Punkt R und fährt geradlinig zum Punkt C . Dort findet eine Kurs
änderung statt, um den Punkt D zu erreichen.
y in NM
x in NM
R
C
0 0,5 –0,5 1 1,5 2 2,5
–0,5
–1
0
1
0,5
1,5
c
– Lesen Sie die Koordinaten des Vektors
→
c ab.
– Zeichnen Sie den Punkt D ein, der ausgehend vom Punkt C mit dem Vektor
→
d =
( )
–1
–0,5
angefahren wird.
– Berechnen Sie das Skalarprodukt
→
c ∙
→
d .
– Interpretieren Sie dieses Skalarprodukt geometrisch.
c) Die Vortriebskraft F
V
beim Segeln lässt sich mit folgender Formel annähernd berechnen:
F
V
=
A · ρ · v
W
²
4
F
V
... Vortriebskraft in Newton (N)
A ... Segelfläche in m²
v
W
... Windgeschwindigkeit am Segel in m/s
ρ ... Dichte der Luft ( ρ = 1,225 kg/m³)
– Berechnen Sie, wie groß die Segelfläche sein muss, damit bei einer Windgeschwindig
keit von 5 m/s eine Vortriebskraft von 153 N erreicht wird.
– Geben Sie an, wie sich die Vortriebskraft verändert, wenn sich die Windgeschwindigkeit
verdoppelt und die anderen Parameter konstant bleiben.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Segeln 2

Schwangerschaft*
Aufgabennummer: B_322
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Nach der Ausbildung der inneren Organe verwendet man für das ungeborene Kind den Begriff
Fötus .
a) Bei Ultraschalluntersuchungen wird die Scheitel-Steiß-Länge (SSL) von Föten bestimmt. In
der nachstehenden Tabelle sind die durchschnittlichen Längen in Zentimetern (cm) in der
jeweiligen Schwangerschaftswoche angegeben:
Schwanger-
schaftswoche
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
SSL in cm 4,1 5,4 7,4 8,7 10,1 11,9 13,3 14,1 14,8 16,2
– Ermitteln Sie die Gleichung der zugehörigen Regressionsgeraden. (Die Länge soll in
Abhängigkeit von der Schwangerschaftswoche beschrieben werden.)
– Interpretieren Sie den Wert der Steigung der Regressionsgeraden im gegebenen Sach-
zusammenhang.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Die zunehmende Masse eines Fötus kann näherungsweise durch die Funktion m be-
schrieben werden:
m ( t ) =
4 900
1 + 681 · ℯ
–0,185· t
mit 15 ≤ t ≤ 40
t … Zeit seit Beginn der Schwangerschaft in Wochen
m ( t ) … Masse des Fötus zur Zeit t in Gramm (g)
Der Graph dieser Funktion ist in der nachstehenden Abbildung dargestellt:
Masse in Gramm
m
Zeit in Wochen
45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 50
0
4 000
3 000
2 000
1 000
5 000
– Berechnen Sie die Masse des Fötus zum Zeitpunkt t = 25.
– Bestimmen Sie denjenigen Zeitpunkt, zu dem die Massezunahme des Fötus am größten
ist.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Schwangerschaft 2

Minigolf*
Aufgabennummer: B_323
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Ein Minigolfball soll von der horizontalen Abschlagfläche auf eine höhergelegene horizon-
tale Plattform gerollt werden. Der Verlauf der Bahn im Querschnitt kann näherungsweise
durch den Graphen einer Polynomfunktion f mit f ( x ) = a · x
3
+ b · x
2
+ c · x + d beschrie-
ben werden. Die Bahn soll in den Punkten A und B knickfrei auf die jeweilige Ebene führen
(siehe nachstehende Abbildung). Knickfrei bedeutet, dass die Funktionen an diesen Stel-
len den gleichen Funktionswert und die gleiche Steigung haben.
A
f
B
f ( x ) in m
x in m
2,5 2 1,5 1 0,5 0 3
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
1,4
– Geben Sie an, welche Steigung die Funktion f in den Punkten A und B haben muss.
– Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten der Funktion f .
– Berechnen Sie die Koeffizienten der Funktion f .
* ehemalige Klausuraufgabe
b) In der nachstehenden Abbildung ist das Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm eines Balles auf
einer Minigolfbahn dargestellt. Während der ersten Sekunde hat der Ball eine konstante
Geschwindigkeit. Danach kann die abnehmende Geschwindigkeit näherungsweise durch
die Funktion v beschrieben werden:
v ( t ) =
1
245
∙ (16 ∙ t ³ – 132 ∙ t ² + 216 ∙ t + 243) mit 1 ≤ t ≤ 4,5
t … Zeit in Sekunden (s)
v ( t ) … Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t in Metern pro Sekunde (m/s)
4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 5
Zeit in s
Geschwindigkeit in m/s
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
1,4
– Erklären Sie, was die momentane Änderungsrate der Funktion v zu einem bestimmten
Zeitpunkt t
0
in diesem Sachzusammenhang angibt.
– Berechnen Sie den zurückgelegten Weg des Balles in den ersten 4,5 Sekunden.
Minigolf 2
c) Die Masse von Minigolfbällen eines bestimmten Typs ist normalverteilt mit dem Erwar-
tungswert μ = 41 g und der Standardabweichung σ = 0,1 g. Wenn ein Minigolfball mehr
als 41,25 g wiegt, wird er aussortiert.
– Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Minigolfball aus-
sortiert wird.
– Zeichnen Sie den Graphen der Dichtefunktion dieser Normalverteilung in der nach -
stehenden Abbildung ein. Berücksichtigen Sie dabei den Erwartungswert und die
Standardabweichung.
Masse in g
41,5 41,4 41,3 41,2 41,1 41 40,9 40,8 40,7 40,6 40,5 41,6
– Beschreiben Sie, wie sich eine kleinere Standardabweichung auf den Graphen der
Dichte funktion auswirken würde.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Minigolf 3

Sport
Aufgabennummer: B_275
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
In vielen sportlichen Disziplinen erreichen Athletinnen und Athleten neue Bestmarken und sind
dabei oft extremen Belastungen ausgesetzt.
a) In der nachstehenden Tabelle ist die Entwicklung der Marathon-Weltrekordzeit dargestellt.
Jahr 2002 2003 2007 2008 2011 2013 2014
Marathon-
Weltrekordzeit
in h:min:s
2:05:38 2:04:55 2:04:26 2:03:59 2:03:38 2:03:23 2:02:57
– Ermitteln Sie mit diesem Datensatz die Gleichung derjenigen Regressionsfunktion, die
die Marathon-Weltrekordzeit in Abhängigkeit von der Zeit t in Jahren annähert. Wählen
Sie t = 0 für das Jahr 2002.
– Ermitteln Sie anhand dieses Modells, in welchem Jahr voraussichtlich die Zwei-Stun-
den-Marke erreicht werden wird.
b) Ein Skifahrer ist in der Kurvenfahrt der Zentrifugalkraft und der Gewichtskraft ausgesetzt.
Die Formeln für den Betrag der beiden Kräfte lauten:
F
Z
=
m ∙ v
2
r
und F
G
= m ∙ g
F G R = F
Z
+ F
G
F
Z
m … Masse des Skifahrers in kg
v … Betrag der Geschwindigkeit
des Skifahrers in m/s
r … Betrag des Kurvenradius
des Skifahrers in m
g … Erdbeschleunigung ( g = 9,81 m/s
2
)
F
Z
... Betrag der Zentrifugalkraft
in Newton (N)
F
G
... Betrag der Gewichtskraft in Newton (N)
– Erklären Sie anhand der Formel für F
Z
, wie sich F
Z
ändert, wenn der Skifahrer die Kurve
mit halbem Radius bei gleichbleibender Geschwindigkeit durchfährt.
– Kreuzen Sie die zutreffende Aussage an. [1 aus 5]
Je größer r ist, desto größer ist F
Z
.
Fährt ein Skifahrer mit 25 % größerer Masse m und mit einem um 25 % gerin-
geren Kurvenradius, dann nimmt F
Z
um den Faktor 1,4 zu.
Eine Zunahme von v wirkt sich exponentiell auf F
Z
aus.
Bei einem Skifahrer mit halber Masse m nimmt F
Z
um den Faktor √ 2 zu.
Bei doppeltem v und doppeltem r wird F
Z
doppelt so groß.
In einer bestimmten Kurve gilt:
F
Z
F
G
=
3
1
.
– Stellen Sie für den Betrag der resultierenden Kraft R eine Formel in Abhängigkeit von m
auf.
R = _________________________
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Sport 2

Grußkarte*
Aufgabennummer: B_338
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Eine Druckerei soll Grußkarten nach folgendem Entwurf herstellen:
^
zugeklappt aufgeklappt
* ehemalige Klausuraufgabe
a) Die Form der Grußkarte kann folgendermaßen in einem Koordinatensystem dargestellt
werden:
C
B
f
y in cm
x in cm
D
A
0 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 –2 22
0
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
22
–2
Der gewellte Teil der Begrenzungslinie der Karte kann durch den Graphen einer Polynom
funktion f mit f ( x ) = a · x
4
+ b · x
3
+ c · x
2
+ d · x + e beschrieben werden und verläuft
durch folgende Punkte:
A = (0 | 13)
B = (2 | 16)
C = (4,36 | 15,1)
D = (9,42 | 20,35)
Im Punkt D hat der Graph von f eine waagrechte Tangente.
– Stellen Sie ein Gleichungssystem auf, mit dem die Koeffizienten dieser Polynom funktion
berechnet werden können.
– Berechnen Sie die Koeffizienten dieser Polynomfunktion.
Grußkarte 2
b) Der Flächeninhalt der Grußkarte beträgt 346,85 cm².
Zur näherungsweisen Berechnung ist es möglich, ein Trapez und ein Rechteck zu verwen
den (siehe nachstehende Grafik).
y in cm
x in cm
D
A
0 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 –2 22
0
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
22
–2
Die Koordinaten der Punkte sind: A = (0 | 13)
D = (9,42 | 20,35)
Die untere Kante der Karte liegt auf der x Achse und ist insgesamt 18,84 cm lang.
– Berechnen Sie mithilfe der oben beschriebenen Näherung den Flächeninhalt der Gruß
karte.
– Berechnen Sie den Betrag des relativen Fehlers bei der näherungsweisen Berechnung
des Flächeninhalts.
Grußkarte 3
c) Für die monatliche Produktion der Grußkarten können die Kostenfunktion K und die Erlös
funktion E folgendermaßen dargestellt werden:
E ( x ), K ( x ) in GE
x in ME
E
K
0 2200 2000 1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 2400
3000
2000
1000
0
4000
– Lesen Sie aus der obigen Grafik den Gewinnbereich ab.
– Erklären Sie, woran man in der Grafik erkennen kann, dass der Gewinn bei einer Pro
duktion von 1 200 ME größer als bei einer Produktion von 600 ME ist.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Grußkarte 4

LKW-Test*
Aufgabennummer: B_339
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
a) Im nachstehenden Diagramm ist der Geschwindigkeitsverlauf einer LKW-Testfahrt verein-
facht dargestellt.
v ( t ) in m/s
t in s
17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
18
– Interpretieren Sie den Verlauf des Graphen im Zeit intervall ]7; 10[ im gegebenen Sachzu-
sammenhang.
– Bestimmen Sie den in den ersten 10 Sekunden zurückgelegten Weg.
– Erstellen Sie für das obige Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm das zugehörige Beschleuni-
gung-Zeit-Diagramm.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Bei einem Test eines LKW wird dieser auf einer waagrechten Teststrecke zuerst beschleu-
nigt und unmittelbar danach abgebremst. Dabei ergibt sich das nachstehende Weg-Zeit-
Diagramm.
s ( t ) in m
t in s
14 12 10 8 6 4 2 0
100
80
60
40
20
0
s
– Begründen Sie, warum die Wendestelle denjenigen Zeitpunkt angibt, zu dem der
Bremsvorgang beginnt.
Die dargestellte Kurve ist näherungsweise der Graph der Funktion s mit:
s ( t ) = 42 ∙ sin
(
1
4
∙ t – 1,5
)
+ 42,2 mit 0 ≤ t ≤ 12
t ... Zeit in Sekunden (s)
s ( t ) ... bis zum Zeitpunkt t zurückgelegter Weg in Metern (m)
– Berechnen Sie, zu welchem Zeitpunkt der Bremsvorgang beginnt.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
LKW-Test 2

Abbau von Arzneimitteln*
Aufgabennummer: B_340
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Bei der Einnahme von Arzneimitteln gelangen Wirkstoffe über den Verdauungstrakt in den Blut
kreislauf, wo diese dann abgebaut werden.
a) Nach Einnahme einer Tablette kann die Wirkstoffmenge im Blut näherungsweise durch die
Funktion m beschrieben werden:
m ( t ) = 20 · (1 – ℯ
−0,05 · t
) – 0,125 · t mit t ≥ 0
t … Zeit nach der Einnahme in Minuten (min)
m ( t ) … Wirkstoffmenge im Blut zur Zeit t in Milligramm (mg)
– Ermitteln Sie, zu welchem Zeitpunkt der Wirkstoff vollständig abgebaut ist.
– Berechnen Sie, zu welchem Zeitpunkt die momentane Änderungsrate der Wirkstoff
menge im Blut 0,5 mg/min beträgt.
– Argumentieren Sie mithilfe der Differenzialrechnung, dass die Funktion m negativ ge
krümmt ist.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Zur näherungsweisen Beschreibung des Abbaus eines Arzneimittels können lineare oder
exponentielle Modelle verwendet werden.
Zu Beginn ( t = 0 min) sind 200 mg des Wirkstoffs im Blut, nach 120 Minuten ist nur noch
ein Achtel dieser Menge vorhanden.
– Veranschaulichen Sie den Verlauf des linearen Modells im nachstehenden Diagramm.
W ( t ) in mg
t in min
100 80 60 40 20 0 120
220
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
240
– Ermitteln Sie die Halbwertszeit desjenigen exponentiellen Modells, das diesen Abbau
beschreibt, in Minuten.
– Veranschaulichen Sie den Verlauf des exponentiellen Modells unter Verwendung der
ermittelten Halbwertszeit im obigen Diagramm.
– Erklären Sie, für welches der beiden Modelle zu jedem Zeitpunkt gilt:
d W
d t
= –
35
24
.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Abbau von Arzneimitteln 2

Fertigbetonelement mit dreieckiger Grundfläche*
Aufgabennummer: B_341
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Die Grundfläche eines Fertigbetonelements hat die Form eines Dreiecks mit den Seiten a ,
b und c , von dem die folgenden Informationen bekannt sind:
• Der Umfang beträgt 150 cm.
• Die Seite c ist doppelt so lang wie die Seite a .
• Die Seite b ist um 10 cm länger als die Seite a .
– Erstellen Sie ein Gleichungssystem mit den Unbekannten a , b und c , um die Seitenlän-
gen des angegebenen Dreiecks zu bestimmen.
– Berechnen Sie die Seitenlängen des Dreiecks.
– Berechnen Sie den größten Winkel in diesem Dreieck.
b) Bei einer Produktion von Fertigbetonelementen ist die Kostenfunktion näherungsweise
eine Polynomfunktion 3. Grades.
Das Produkt wird zu einem fixen Preis pro Mengeneinheit verkauft.
– Erklären Sie, warum die Stelle des maximalen Gewinns unabhängig von den Fixkosten
ist.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) In der nachstehenden Abbildung ist der Funktionsgraph einer Kostenfunktion K darge-
stellt. Das Produkt wird zu einem fixen Preis pro Mengeneinheit (ME) verkauft.
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 10
6
5
4
3
2
1
0
7
K ( x ), E ( x ) in GE
x in ME
K
– Zeichnen Sie in der obigen Abbildung den Graphen derjenigen Erlösfunktion ein, für die
die untere Grenze des Gewinnbereichs bei 3,5 ME liegt.
– Geben Sie an, zu welchem Preis pro ME das Produkt in diesem Fall verkauft werden
muss.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Fertigbetonelement mit dreieckiger Grundfläche 2

Förderbänder*
Aufgabennummer: B_342
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
In der automatisierten Fertigung werden Werkstücke auf Förderbändern bewegt.
a) Die Bewegung eines Werkstücks wird für t ≥ 0 näherungsweise durch die Funktion s be-
schrieben:
s ( t ) = 0,4 ∙ ℯ
–4 ∙ t
– 0,1 ∙ ℯ
– t
+ 0,5
t ... Zeit in Sekunden (s)
s ( t ) ... Entfernung zu einem Bezugspunkt zur Zeit t in Metern (m)
– Beschreiben Sie die Bedeutung von s ′ (0) im gegebenen Sachzusammenhang.
– Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Werkstücks zu demjenigen Zeitpunkt, zu dem
die Beschleunigung null ist.
b) Die Beschleunigung eines Werkstücks wird für t ≥ 0 näherungsweise durch die Funktion a
beschrieben.
Der Graph der Funktion a ist in der nachstehenden Abbildung dargestellt.
a ( t ) in m/s
2
t in s
a
4 3 2 1 0 5
1,5
1
0,5
0
2
– Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung des Inhalts A der markierten Fläche.
A =
– Interpretieren Sie die Bedeutung dieses Flächeninhalts im gegebenen Sachzusammen-
hang.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Die Geschwindigkeit eines Werkstücks wird für t ≥ 0 näherungsweise durch die Funktion v
beschrieben:
v ( t ) = 1,3 ∙ sin(20 ∙ t )
t ... Zeit in Sekunden
v ( t ) ... Geschwindigkeit zur Zeit t in m/s
Für die 1. Ableitung von v gilt:
v ′ ( t ) = 26 ∙ cos(20 ∙ t )
– Beschreiben Sie anhand der Ableitungsregeln, wodurch der Faktor 26 der Ableitungs-
funktion v ′ zustande kommt.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Förderbänder 2

Atemvolumen*
Aufgabennummer: B_343
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Das Atemvolumen in der Lunge einer Person in Abhängigkeit von der Zeit kann nähe-
rungsweise durch eine Funktion V beschrieben werden:
V ( t ) = 3 + A ∙ sin( ω ∙ t + φ ) mit A > 0, ω > 0, –π < φ ≤ π
t ... Zeit in Sekunden (s)
V ( t ) ... Atemvolumen zur Zeit t in Litern (L)
Zu Beginn des Einatemvorgangs ist das Atemvolumen minimal und beträgt 2,75 L. Nach
2 s wird das maximale Volumen erreicht.
– Bestimmen Sie A , ω und φ .
b) Das Atemvolumen einer anderen Person in Abhängigkeit von der Zeit kann näherungswei-
se durch eine Funktion V , deren Ableitung bekannt ist, beschrieben werden:
V ′ ( t ) = 0,4 ∙ sin(1,6 ∙ t )
t ... Zeit in Sekunden (s)
V ′ ( t ) ... momentane Änderungsrate des Atemvolumens zur Zeit t in Litern pro Sekunde (L/s)
Zur Zeit t = 0 beträgt das Atemvolumen 2,4 L.
– Ermitteln Sie die Funktion V .
c) In der nachstehenden Tabelle ist die jeweilige momentane Änderungsrate des Atemvolu-
mens V ′ ( t ) in Litern pro Sekunde zu bestimmten Zeitpunkten t einer Atmungsphase einer
Person angegeben.
t in s 0,0 0,5 1,5 2,5 3,0
V ′ ( t ) in L/s 0,00 0,33 0,49 0,29 0,00
– Stellen Sie die Messpunkte in einem Koordinatensystem dar.
– Ermitteln Sie für diese Atmungsphase eine quadratische Ausgleichsfunktion.
– Begründen Sie, warum es sich bei diesem Vorgang um eine Einatmungsphase handelt.
* ehemalige Klausuraufgabe

Roboter (2)*
Aufgabennummer: B_345
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
a) Roboterbewegungen werden mithilfe der Vektorrechnung modelliert.
Folgende Anweisung zur Verschiebung eines Punktes ist vorgegeben:
„Der Punkt A wird um einen Vektor
→
s mit den Komponenten s
x
> 0 und s
y
< 0 in den
Punkt B verschoben.“
– Veranschaulichen Sie diese Anweisung, indem Sie einen möglichen Vektor
→
s und den
entsprechenden Punkt B im nachstehenden Koordinatensystem einzeichnen.
x
y
A
b) – Zeigen Sie, dass der Vektor
→
n =
( )
– a
y
a
x
ein Normalvektor des Vektors
→
a =
( )
a
x
a
y
ist.
c) Die Spitze eines Roboterarms bewegt sich geradlinig vom Punkt C = (1| –2| 3) zum
Punkt D = (5|–3|2). Dort ändert sich die Bewegungsrichtung geringfügig und die Spitze
bewegt sich geradlinig zum Punkt E = (10|–4|0).
– Berechnen Sie den Winkel, um den die Bewegungsrichtung geändert wurde.
* ehemalige Klausuraufgabe
d) Für Schweißroboter werden Schweißelektroden benötigt.
Ein Unternehmen liefert Elektroden, deren Längen annähernd normalverteilt mit
μ = 300 mm und σ = 5 mm sind.
Man entnimmt einer umfangreichen Lieferung eine Zufallsstichprobe von 20 Schweißelekt-
roden.
– Ermitteln Sie den zum Erwartungswert symmetrischen Zufallsstreubereich, in dem der
Stichprobenmittelwert mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % liegt.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Roboter (2) 2

LED-Lampen (5)*
Aufgabennummer: B_346
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Traditionelle Glühlampen wurden wegen ihrer geringen Energieeffizienz in der EU schrittweise
verboten. Als Alternative zu den Glühlampen bieten Hersteller LED-Lampen an.
a) Die Helligkeit einer LED-Lampe kann mithilfe des Lichtstroms beschrieben werden.
In der nachstehenden Tabelle ist für LED-Lampen verschiedener Leistung der jeweilige
Lichtstrom angegeben.
Leistung in Watt 3 4 5 6 9,5 11 17
Lichtstrom in Lumen 130 250 280 350 600 800 1 000
Der Lichtstrom soll in Abhängigkeit von der Leistung beschrieben werden.
– Ermitteln Sie die Gleichung der zugehörigen linearen Regressionsfunktion.
– Berechnen Sie mithilfe dieser Regressionsfunktion, welcher Lichtstrom für eine 15-Watt-
LED-Lampe zu erwarten ist.
b) Laut einem Ratgeber für LED-Lampen kann der Lichtstrom von 12-Watt-LED-Lampen als
annähernd normalverteilt mit σ σ = 75 Lumen angenommen werden.
Für 8 zufällig ausgewählte Lampen wurde jeweils der Lichtstrom (in Lumen) gemessen.
1 053 900 984 873 838 1 045 960 955
– Ermitteln Sie den 95-%-Vertrauensbereich für den Erwartungswert μ μ des Lichtstroms.
− Zeigen Sie anhand der entsprechenden Formel, warum für eine normalverteilte Grund-
gesamtheit mit bekanntem σ σ gilt: Wird der Stichprobenumfang vervierfacht, so halbiert
sich die Breite des (1 – α α )-Vertrauensbereichs für den Erwartungswert μ μ .
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
* ehemalige Klausuraufgabe (adaptiert)