Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 2801–2850

E-Reader*
Aufgabennummer: B_224
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Aufgabe 7
E-Reader
Ein Unternehmen bringt einen neuen E-Reader auf den Markt. Die nachstehende Tabelle be-
schreibt die Entwicklung der Anzahl der insgesamt (von Anfang an) verkauften E-Reader in
einer bestimmten Region.
Zeit in
Wochen
Anzahl der insgesamt (von Anfang an)
verkauften E-Reader
1 179
2 364
3 674
4 981
5 1 310
6 1 700
7 2 055
8 2 280
9 2 470
10 2 500
11 2 540
12 2 545
a) Betrachtet man nur die 5 Zahlenpaare im Zeitintervall [3; 7], so zeigt sich ein annähernd linea-
rer Verlauf.
– Ermitteln Sie die Regressionsgerade für das Zeitintervall [3; 7].
– Interpretieren Sie die Steigung dieser Regressionsgeraden im Sachzusammenhang.
b) Betrachtet man nur die ersten 3 Zahlenpaare, so zeigt sich ein annähernd exponentieller Ver-
lauf. Dieser kann durch
V
1
( t
t
oder durch
V
2
( t ℯ
t
dargestellt werden.
t ... Zeit in Wochen
V
1
( t ), V
2
( t ) ... Anzahl der bis zur Zeit t insgesamt verkauften E-Reader
– Erklären Sie, warum beide Funktionen V
1
und V
2
annähernd denselben Wachstumsverlauf
beschreiben.
– Berechnen Sie die Verdoppelungszeit in diesem exponentiellen Wachstumsmodell.
Aufgabe 7
E-Reader
Ein Unternehmen bringt einen neuen E-Reader auf den Markt. Die nachstehende Tabelle be-
schreibt die Entwicklung der Anzahl der insgesamt (von Anfang an) verkauften E-Reader in
einer bestimmten Region.
Zeit in
Wochen
Anzahl der insgesamt (von Anfang an)
verkauften E-Reader
1 179
2 364
3 674
4 981
5 1 310
6 1 700
7 2 055
8 2 280
9 2 470
10 2 500
11 2 540
12 2 545
a) Betrachtet man nur die 5 Zahlenpaare im Zeitintervall [3; 7], so zeigt sich ein annähernd linea-
rer Verlauf.
– Ermitteln Sie die Regressionsgerade für das Zeitintervall [3; 7].
– Interpretieren Sie die Steigung dieser Regressionsgeraden im Sachzusammenhang.
b) Betrachtet man nur die ersten 3 Zahlenpaare, so zeigt sich ein annähernd exponentieller Ver-
lauf. Dieser kann durch
V
1
( t
t
oder durch
V
2
( t ℯ
t
dargestellt werden.
t ... Zeit in Wochen
V
1
( t ), V
2
( t ) ... Anzahl der bis zur Zeit t insgesamt verkauften E-Reader
– Erklären Sie, warum beide Funktionen V
1
und V
2
annähernd denselben Wachstumsverlauf
beschreiben.
– Berechnen Sie die Verdoppelungszeit in diesem exponentiellen Wachstumsmodell.
Aufgabe 7
E-Reader
Ein Unternehmen bringt einen neuen E-Reader auf den Markt. Die nachstehende Tabelle be-
schreibt die Entwicklung der Anzahl der insgesamt (von Anfang an) verkauften E-Reader in
einer bestimmten Region.
Zeit in
Wochen
Anzahl der insgesamt (von Anfang an)
verkauften E-Reader
1 179
2 364
3 674
4 981
5 1 310
6 1 700
7 2 055
8 2 280
9 2 470
10 2 500
11 2 540
12 2 545
a) Betrachtet man nur die 5 Zahlenpaare im Zeitintervall [3; 7], so zeigt sich ein annähernd linea-
rer Verlauf.
– Ermitteln Sie die Regressionsgerade für das Zeitintervall [3; 7].
– Interpretieren Sie die Steigung dieser Regressionsgeraden im Sachzusammenhang.
b) Betrachtet man nur die ersten 3 Zahlenpaare, so zeigt sich ein annähernd exponentieller Ver-
lauf. Dieser kann durch
V
1
( t
t
oder durch
V
2
( t ℯ
t
dargestellt werden.
t ... Zeit in Wochen
V
1
( t ), V
2
( t ) ... Anzahl der bis zur Zeit t insgesamt verkauften E-Reader
– Erklären Sie, warum beide Funktionen V
1
und V
2
annähernd denselben Wachstumsverlauf
beschreiben.
– Berechnen Sie die Verdoppelungszeit in diesem exponentiellen Wachstumsmodell.
Aufgabe 7
E-Reader
Ein Unternehmen bringt einen neuen E-Reader auf den Markt. Die nachstehende Tabelle be-
schreibt die Entwicklung der Anzahl der insgesamt (von Anfang an) verkauften E-Reader in
einer bestimmten Region.
Zeit in
Wochen
Anzahl der insgesamt (von Anfang an)
verkauften E-Reader
1 179
2 364
3 674
4 981
5 1 310
6 1 700
7 2 055
8 2 280
9 2 470
10 2 500
11 2 540
12 2 545
a) Betrachtet man nur die 5 Zahlenpaare im Zeitintervall [3; 7], so zeigt sich ein annähernd linea-
rer Verlauf.
– Ermitteln Sie die Regressionsgerade für das Zeitintervall [3; 7].
– Interpretieren Sie die Steigung dieser Regressionsgeraden im Sachzusammenhang.
b) Betrachtet man nur die ersten 3 Zahlenpaare, so zeigt sich ein annähernd exponentieller Ver-
lauf. Dieser kann durch
V
1
( t
t
oder durch
V
2
( t ℯ
t
dargestellt werden.
t ... Zeit in Wochen
V
1
( t ), V
2
( t ) ... Anzahl der bis zur Zeit t insgesamt verkauften E-Reader
– Erklären Sie, warum beide Funktionen V
1
und V
2
annähernd denselben Wachstumsverlauf
beschreiben.
– Berechnen Sie die Verdoppelungszeit in diesem exponentiellen Wachstumsmodell.
4
Aufgabe 7
E-Reader
Ein Unternehmen bringt einen neuen E-Reader auf den Markt. Die nachstehende Tabelle be-
schreibt die Entwicklung der Anzahl der insgesamt (von Anfang an) verkauften E-Reader in
einer bestimmten Region.
Zeit in
Wochen
Anzahl der insgesamt (von Anfang an)
verkauften E-Reader
1 179
2 364
3 674
4 981
5 1 310
6 1 700
7 2 055
8 2 280
9 2 470
10 2 500
11 2 540
12 2 545
a) Betrachtet man nur die 5 Zahlenpaare im Zeitintervall [3; 7], so zeigt sich ein annähernd linea-
rer Verlauf.
– Ermitteln Sie die Regressionsgerade für das Zeitintervall [3; 7].
– Interpretieren Sie die Steigung dieser Regressionsgeraden im Sachzusammenhang.
b) Betrachtet man nur die ersten 3 Zahlenpaare, so zeigt sich ein annähernd exponentieller Ver-
lauf. Dieser kann durch
V
1
( t
t
oder durch
V
2
( t ℯ
t
dargestellt werden.
t ... Zeit in Wochen
V
1
( t ), V
2
( t ) ... Anzahl der bis zur Zeit t insgesamt verkauften E-Reader
– Erklären Sie, warum beide Funktionen V
1
und V
2
annähernd denselben Wachstumsverlauf
beschreiben.
– Berechnen Sie die Verdoppelungszeit in diesem exponentiellen Wachstumsmodell.
4
Aufgabe 7
E-Reader
Ein Unternehmen bringt einen neuen E-Reader auf den Markt. Die nachstehende Tabelle be-
schreibt die Entwicklung der Anzahl der insgesamt (von Anfang an) verkauften E-Reader in
einer bestimmten Region.
Zeit in
Wochen
Anzahl der insgesamt (von Anfang an)
verkauften E-Reader
1 179
2 364
3 674
4 981
5 1 310
6 1 700
7 2 055
8 2 280
9 2 470
10 2 500
11 2 540
12 2 545
a) Betrachtet man nur die 5 Zahlenpaare im Zeitintervall [3; 7], so zeigt sich ein annähernd linea-
rer Verlauf.
– Ermitteln Sie die Regressionsgerade für das Zeitintervall [3; 7].
– Interpretieren Sie die Steigung dieser Regressionsgeraden im Sachzusammenhang.
b) Betrachtet man nur die ersten 3 Zahlenpaare, so zeigt sich ein annähernd exponentieller Ver-
lauf. Dieser kann durch
V
1
( t
t
oder durch
V
2
( t ℯ
t
dargestellt werden.
t ... Zeit in Wochen
V
1
( t ), V
2
( t ) ... Anzahl der bis zur Zeit t insgesamt verkauften E-Reader
– Erklären Sie, warum beide Funktionen V
1
und V
2
annähernd denselben Wachstumsverlauf
beschreiben.
– Berechnen Sie die Verdoppelungszeit in diesem exponentiellen Wachstumsmodell.
* ehemalige Klausuraufgabe
5
c) Betrachtet man alle 12 Zahlenpaare, so lässt sich die Entwicklung der Anzahl der insgesamt
verkauften E-Reader näherungsweise durch eine logistische Funktion V beschreiben:
V ( t ) =
2608
1 + 20,28 · ℯ
–0,6151· t
t ... Zeit in Wochen
V(t ) ... Anzahl der bis zur Zeit t insgesamt verkauften E-Reader
– Begründen Sie anhand der gegebenen Funktion, warum die Funktionswerte sich mit wach-
sendem t dem maximalen Wert 2 608 annähern.
– Berechnen Sie, um wie viel der logistische Funktionswert V (8) vom gegebenen Tabellenwert
bei 8 Wochen abweicht.
In der nachstehenden Grafik sind die logistische Funktion V sowie deren Ableitungsfunktion V ′
grafisch dargestellt.
– Interpretieren Sie die Bedeutung der Koordinaten des Hochpunktes H der Ableitungs-
funktion V ′ im Sachzusammenhang.
öffentliches Dokument
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit passenden Maßeinheiten anzu-
geben.
E-Reader 2

Kransteuerung*
Aufgabennummer: B_039
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Aufgabe 7
Kransteuerung
Beim Transport von Lasten mittels Kränen ist die richtige Steuerung des Abbremsvorgangs
wichtig.
a) Der Geschwindigkeitsverlauf beim Transport einer Last während eines Beobachtungszeit-
raums von 6 Sekunden ist im unten stehenden Diagramm dargestellt. Zuerst bewegt sich die
Last mit konstanter Geschwindigkeit. Der Bremsvorgang beginnt nach 2 Sekunden. Die Be-
schleunigung zu diesem Zeitpunkt ist noch 0 m/s
2
. Nach 6 Sekunden ist die Geschwindigkeit
gleich 0 m/s und die Beschleunigung gleich 0 m/s
2
.
Der Geschwindigkeitsverlauf soll im Intervall [2; 6] durch eine Polynomfunktion 3. Grades be-
schrieben werden.
– Stellen Sie die zur Ermittlung der Polynomfunktion notwendigen Gleichungen auf.
– Berechnen Sie die Koeffizienten dieser Polynomfunktion.
b) Der Geschwindigkeitsverlauf während eines Bremsvorganges eines Krans kann näherungs-
weise durch eine Funktion v beschrieben werden:
v ( t t
3
t
2
+ 5
t ... Zeit ab Beginn des Bremsvorganges in Sekunden (s) mit 0 ≤ t ≤ 5
v ( t ) ... Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t in Metern pro Sekunde (m/s)
– Ermitteln Sie die Geschwindigkeit des Krans bei Beginn des Bremsvorganges.
– Dokumentieren Sie, wie man den Bremsweg in Metern berechnen kann.
Beim Bremsen tritt eine negative Beschleunigung auf. Den Betrag dieser negativen Beschleu-
nigung bezeichnet man als Bremsverzögerung .
– Berechnen Sie die maximale Bremsverzögerung.
* ehemalige Klausuraufgabe
5
– Stellen Sie die zur Ermittlung der Polynomfunktion notwendigen Gleichungen auf.
– Berechnen Sie die Koeffizienten dieser Polynomfunktion.
b) Der Geschwindigkeitsverlauf während eines Bremsvorganges eines Krans kann näherungs-
weise durch eine Funktion v beschrieben werden:
v ( t t
3
t
2
+ 5
t ... Zeit ab Beginn des Bremsvorganges in Sekunden (s) mit 0 ≤ t ≤ 5
v ( t ) ... Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t in Metern pro Sekunde (m/s)
– Ermitteln Sie die Geschwindigkeit des Krans bei Beginn des Bremsvorganges.
– Dokumentieren Sie, wie man den Bremsweg in Metern berechnen kann.
Beim Bremsen tritt eine negative Beschleunigung auf. Den Betrag dieser negativen Beschleu-
nigung bezeichnet man als Bremsverzögerung .
– Berechnen Sie die maximale Bremsverzögerung.
öffentliches Dokument
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit passenden Maßeinheiten anzu-
geben.
Kransteuerung 2

* ehemalige Klausuraufgabe
Bakterienkultur*
Aufgabennummer: B_049
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Aufgabe 7
Bakterienkultur
a) Eine Bakterienkultur mit 50 Bakterien wird zu einem Zeitpunkt t
nuten werden bereits 750 Bakterien gezählt. Die Funktion N beschreibt das Wachstum der
= 0 angelegt. Nach 100 Mi-
Bakterienkultur: N ( t ) ist die Anzahl der Bakterien nach t Minuten. Die 1. Ableitung der Funkti-
N ist proportional zu N . Die entsprechende Proportionalitätskonstante bezeichnet man als
Wachstumsrate .
− Stellen Sie die zugehörige Differenzialgleichung für N auf.
− Lösen Sie die Differenzialgleichung mithilfe der Methode Trennen der Variablen .
− Berechnen Sie, wie viele Bakterien nach 3 Stunden vorhanden sind.
− Geben Sie an, wie sich das Wachstumsverhalten ändert, wenn die Bakterienkultur eine
größere Wachstumsrate hat.
b) Die Beobachtung einer Bakterienkultur ergab folgende Daten:
Zeit nach Beginn der
Beobachtung in Minuten
15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
Anzahl der Bakterien 110 120 156 185 190 245 274 340 360 430
− Ermitteln Sie die Gleichung der exponentiellen Ausgleichsfunktion, die die Bakterienanzahl
in Abhängigkeit von der Zeit nach Beginn der Beobachtung näherungsweise beschreibt.
− Berechnen Sie mithilfe der Ausgleichsfunktion, wie viele Minuten nach Beginn der Beobach-
tung 1 000 Bakterien zu erwarten sind.
6
c) Die Funktion B beschreibt näherungsweise, wie viele Bakterien sich zu jedem Zeitpunkt in
einer Petrischale befinden. Der zugehörige Funktionsgraph ist im nachstehenden Diagramm
dargestellt.
t ... Zeit nach Beginn der Beobachtung in Minuten
B ( t ) ... Anzahl der Bakterien zur Zeit t
– Lesen Sie aus dem Diagramm ab, wie viele Minuten nach Beginn der Beobachtung das
Wachstum der Bakterienkultur am größten ist.
Die entsprechende Differenzialgleichung zur Beschreibung dieses Bakterienwachstums lautet:
d B
d t
= 8,35 · 10
–5
· B 000 – B ) mit B > 0
– Argumentieren Sie anhand der Differenzialgleichung, für welche Werte von B die Bakterien-
anzahl zunimmt.
öffentliches Dokument
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit passenden Maßeinheiten anzu-
geben.
Bakterienkultur 2

Hochwasser im Almtal
Aufgabennummer: B_109
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich S
Während des Hochwassers im Mai–Juni 2013 wurden an der Messstelle Penningersteg des
Almflusses folgende Wasserstände grafisch festgehalten:
a) – Lesen Sie aus der Grafik die Wasserstände vom 02.06.2013 um 18:00 Uhr und vom
03.06.2013 um 0:00 Uhr ab.
– Berechnen Sie mithilfe der beiden abgelesenen Werte, zu welchem Zeitpunkt voraus-
sichtlich mit einer Entwarnung (Wasserstand = 245 cm) gerechnet werden kann,
wenn der Wasserstand gleichmäßig sinkt.
Hochwasser im Almtal 2
b) Bei einem Wasserstand des Almflusses von 225 cm beträgt der Durchfluss 130 m ³ /s.
Wenn sich der Wasserstand um 1 cm erhöht, so erhöht sich der Durchfluss ungefähr
um 2 m ³ /s.
– Stellen Sie eine Polynomfunktion 3. Grades auf, die näherungsweise den Durchfluss
in Abhängigkeit von der Zeit für den 02.06.2013 angibt. Verwenden Sie dazu die aus
der Grafik abgelesenen Daten vom 02.06.2013 für die Zeitpunkte 1:00 Uhr, 8:00 Uhr,
16:00 Uhr und 24:00 Uhr.
– Dokumentieren Sie in Worten, wie man mithilfe der ermittelten Polynomfunktion das
Gesamtvolumen des durch den Penningersteg transportierten Wassers in m
3
an
diesem Tag berechnen kann.
c) Der Almfluss hat ein Einzugsgebiet von 436,8 km
2
. Es wird angenommen, dass etwa
70 % des gesamten Niederschlags durch den Almfluss abtransportiert werden. Neh-
men Sie an, dass im gesamten Einzugsgebiet eine Niederschlagsmenge von x mm fällt.
– Stellen Sie eine Formel auf, die abhängig von der Niederschlagsmenge x in mm die
Gesamtmenge des abtransportierten Wassers V in m
3
für dieses Gebiet angibt.
d) Die Tageshöchstwerte der Messstelle wurden über ein Jahr hinweg aufgezeichnet und
statistisch ausgewertet.
– Kreuzen Sie die richtige Aussage an. [1 aus 5]
Innerhalb des Interquartilsabstands um den Median in einem Boxplot befin-
den sich 75 % aller aufgezeichneten Daten.
☐
Am Interquartilsabstand des Boxplots lässt sich die Standardabweichung
der Daten vom Median ablesen.
☐
Eine Zusammenfassung der Daten durch die Kennzahlen Median und Standard-
abweichung liefert Informationen über das Auftreten extremer Wasserstände.
☐
Die Darstellung der Daten durch einen Boxplot liefert Informationen über den
Median der Wasserstände im beobachteten Zeitraum.
☐
Die Darstellung der Daten durch einen Boxplot liefert Informationen über das
Auftreten der Häufigkeit eines Messwerts.
☐
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.

Donauüberquerung
Aufgabennummer: B_229
Technologieeinsatz: möglich  erforderlich 
Eine Motorfähre verkehrt zwischen den sich an der Donau genau gegenüberliegenden Anlegestellen
in Dürnstein und in Rossatz. An dieser Stelle ist die Donau etwa 200 Meter breit und hat eine
gleichmäßige Strömungsgeschwindigkeit v s von rund 1,6 Metern pro Sekunde (m/s).
(Reibungseinflüsse sollen vernachlässigt werden.)
a) Die Vektorgrafiken Abb. 1 und Abb. 2 stellen ein Boot dar, das einen Fluss überquert.
– Interpretieren Sie, welche Aussagen die Grafiken vermitteln.
v S ���⃗ … Strömungsgeschwindigkeit
v
B
����⃗ … Geschwindigkeit des Boots
b) Die Motorfähre auf der Donau bewegt sich mit gleichförmiger Geschwindigkeit. Es gilt:
s = v · t
s … Weg in Metern (m)
v … Geschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s)
t … Zeit in Sekunden (s)
– Berechnen Sie, in welchem Winkel der Steuermann gegen die Strömung steuern muss,
wenn das Boot eine Geschwindigkeit v B relativ zum Wasser von durchschnittlich 3 m/s
hat und es von Rossatz aus genau in Dürnstein landen soll.
– Ermitteln Sie auch die Dauer der Überfahrt in Minuten.
c) Ein geübter Schwimmer, der beim Schwimmen in ruhendem Gewässer eine Geschwindigkeit
von 1,2 m/s erreicht, möchte auf der Bootsroute von Rossatz nach Dürnstein die Donau
überqueren.
– Argumentieren Sie mithilfe von Vektordiagrammen, ob der Schwimmer eine Chance hat,
die Anlegestelle in Dürnstein auf kürzestem Weg zu erreichen.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit passenden Maß-
einheiten anzugeben.

Marketingausgaben*
Aufgabennummer: B_304
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Die Marketingabteilung einer Handelskette möchte wissen, ob ihre Werbemaßnahmen wirken.
Die Buchhaltung liefert Informationen über die monatlichen Umsätze. Die Umsätze von 10 auf
einanderfolgenden Monaten mit den entsprechenden Marketingausgaben liefern folgende
Daten (Beträge in 1.000 Euro):
Monat 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Marketingausgaben 24 16 20 26 14 16 20 12 18 22
Umsatz 200 184 220 230 180 164 185 150 182 210
a) – Ermitteln Sie den Korrelationskoeffizienten zwischen Marketingausgaben und Umsatz.
– Interpretieren Sie diesen Korrelationskoeffizienten.
b) – Ermitteln Sie die Gleichung derjenigen Regressionsgeraden, die den Umsatz in Abhän
gigkeit von den Marketingausgaben beschreibt.
– Interpretieren Sie den Wert der Steigung der Regressionsgeraden im Hinblick auf den
Umsatz und die Marketingausgaben.
c) In der nachstehenden Grafik sind die Datenpunkte und die dazugehörige Regressionsge
rade dargestellt.
300
250
200
150
100
50
0
0 5 10 15 20 25 30 35
Umsatz in 1000 Euro
Marketingausgaben in 1 000 Euro
Marketingausgaben
– Lesen Sie aus der Grafik denjenigen Umsatz ab, den die Handelskette bei Marketing
aus gaben von € 10.000 erwarten kann.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit passenden Maß-
einheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
* ehemalige Klausuraufgabe

Terrassenüberdachung
Aufgabennummer: B_021
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Für die Überdachung einer Terrasse werden Wellblechplatten angebracht. Das Querschnitts
profil des Wellblechs kann näherungsweise durch den Graphen der Funktion g beschrieben
werden:
g ( x ) = 27,5 ∙ sin
(
π
89
∙ x
)
mit 0 ≤ x ≤ 979
x , g ( x ) … Koordinaten in Millimetern (mm)
a) – Stellen Sie die Funktion g grafisch dar.
Eine montierte Wellblechplatte hat eine Breite
von 979 mm, eine Länge von 1,2 m und eine
Dicke von 1 mm (siehe nebenstehende
nicht maßstabgetreue Abbildung).
Der Stahl hat eine Dichte von ρ ρ = 7,85 g/cm
3
.
1,2 m
979 mm
– Berechnen Sie die Masse der Wellblechplatte in Kilogramm (kg).
b) An den Stellen der maximalen Steigung des Querschnitts des Wellblechs sollen Schnee
sicherungen angebracht werden. Dazu werden die 1. Ableitung g ′ und die 2. Ablei
tung g ″ berechnet.
Die Berechnung der 2. Ableitung der Funktion g enthält genau einen Fehler.
(1) g ′ ( x ) =
π ∙ 27,5
89
∙ cos
(
π
89
∙ x
)
(2) g ″ ( x ) =
π ∙ 27,5
89
∙
(
–sin
(
π
89
∙ x
))
– Beschreiben Sie anhand der Ableitungsregeln, welcher Fehler bei der Berechnung der
2. Ableitung begangen wurde.
– Zeigen Sie, dass die Funktion g an der Stelle x = 534 mm eine maximale Steigung hat.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.

Datenübertragung
Aufgabennummer: B_266
Technologieeinsatz: möglich ☐ erforderlich ☒
Als Datenübertragungsrate wird die digitale Datenmenge, die innerhalb einer Zeiteinheit über-
tragen wird, bezeichnet.
a) Das Shannon-Hartley-Gesetz beschreibt die theoretische Obergrenze C der Datenüber-
tragungsrate in Abhängigkeit von der Bandbreite B und dem Verhältnis von Signalleistung
zu konstanter Rauschleistung
S
N
.
C = B ∙ log
2 (
1 +
S
N
)
C … maximale Datenübertragungsrate in Bit pro Sekunde (Bit/s)
S
N
… Verhältnis von Signalleistung und konstanter Rauschleistung (dimensionslos)
B … Bandbreite in Hertz (Hz)
– Beschreiben Sie, wie sich C ändert, wenn das Argument 1 +
S
N
verdoppelt wird.
Anstelle von
S
N
wird oft die logarithmierte Größe SNR in Dezibel (dB) (Signal-zu-Rausch-
Ver hältnis) verwendet.
SNR = 10 ∙ log
10 (
S
N
)
– Ermitteln Sie, wie viele kBit/s bei einer Bandbreite B von 1 000 Hz und einem Sig-
nal-zu-Rausch-Verhältnis von 40 dB maximal übertragen werden können.
b) Der Download einer 500 MByte großen Datei wird durchgeführt.
– Berechnen Sie, wie lange dieser Download (in Stunden, Minuten und Sekunden) mit
einer Datenübertragungsrate von 3 MBit/s dauert (1 Byte = 8 Bit).
– Berechnen Sie, um welchen Faktor sich die Downloadzeit erhöht, wenn die Datenüber-
tragungsgrate um 10 % sinkt.
c) Die Downloadgeschwindigkeit (in MBit/s) in Abhängigkeit von der Zeit (in s) kann im Zeit -
intervall [0; 60] näherungsweise durch eine Funktion d
L
beschrieben werden.
– Beschreiben Sie, was mit dem Ausdruck
1
60
∙
∫
60
0
d
L
( t ) d t im gegebenen Sachzusam-
menhang berechnet wird.
d) Die monatlichen Downloadmengen der Kunden eines Internetanbieters sind annähernd
normalverteilt. Der Graph der zugehörigen Dichtefunktion ist in der nachstehenden Abbil-
dung dargestellt.
8 11,5 11 10,5 10 9,5 9 8,5 12
Downloadmenge in GByte
0,9545
– Interpretieren Sie die in der obigen Abbildung farblich gekennzeichnete Fläche im gege-
benen Sachzusammenhang.
– Lesen Sie die Parameter μ und σ aus der obigen Abbildung ab.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Datenübertragung 2

Oberflächenspannung von Wasser
Aufgabennummer: B_268
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Die Oberfläche von Wasser verhält sich ähnlich einer gespannten, elastischen Folie. Diese
Oberflächenspannung von Wasser ist abhängig von dessen Temperatur und kann näherungs-
weise durch die folgende Funktion σ beschrieben werden:
σ ( T ) = 59,2 + 53,8 ∙ ln
( )
644 – T
273,15
mit 273,15 ≤ T ≤ 370
T … Wassertemperatur in Kelvin (K)
σ ( T ) … Oberflächenspannung bei der Wassertemperatur T in Mikronewton pro Meter (μN/m)
273,15 Kelvin entsprechen 0 °C.
Eine Temperaturveränderung um 1 Kelvin entspricht einer Veränderung um 1 °C.
a) – Berechnen Sie die Oberflächenspannung von Wasser bei 25 °C.
– Erklären Sie mithilfe der Funktionsgleichung, warum die Oberflächenspannung mit stei-
gender Wassertemperatur abnimmt.
– Berechnen Sie die Funktionswerte der 1. Ableitung von σ für T = 274 K und für
T = 350 K.
– Vergleichen Sie die Ergebnisse der berechneten Werte im gegebenen Sachzusammen-
hang.
b) Ausgehend von σ ( T ) = 59,2 + 53,8 ∙ ln
( )
644 – T
273,15
wurden Umformungen durchgeführt.
– Kreuzen Sie diejenige Umformung an, die korrekt ist. [1 aus 5]
ℯ
σ ( T )
= ℯ
59,2
+ 53,8 ∙ ( )
644 – T
273,15
σ ( T ) – 59,2 = 53,8 ∙
ln(644 – T )
ln(273,15)
273,15 ∙ ℯ
σ ( T ) – 59,2
53,8
= 644 – T
σ ( T )
53,8
= 59,2 + ln(644 – T ) – ln(273,15)
σ ( T ) – 59,2 + ln(273,15) = 53,8 ∙ ln(644 – T )
c) Es soll eine Funktion σ
1
ermittelt werden, deren Funktionswerte mit jenen der Funktion σ
übereinstimmen, wobei die Wassertemperatur in der Funktion σ
1
jedoch in der Einheit °C
verwendet werden soll.
T
C
… Wassertemperatur in °C
σ
1
( T
C
) … Oberflächenspannung bei der Wassertemperatur T
C
in μN/m
– Stellen Sie eine Funktionsgleichung von T
C
auf.
d) Die Oberflächenspannung in Abhängigkeit von der Temperatur kann vereinfacht auch
durch eine lineare Funktion beschrieben werden.
Temperatur in K 275 285 295 305 315 325 335 345 355
Oberflächenspannung in μN/m 75,38 73,90 72,38 70,82 69,21 67,55 65,83 64,06 62,23
– Ermitteln Sie für diese Daten eine lineare Ausgleichsfunktion.
– Interpretieren Sie die Steigung dieser Ausgleichsfunktion im gegebenen Sachzusam-
menhang.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Oberflächenspannung von Wasser 2

Stromversorgung einer Baustelle*
Aufgabennummer: B_308
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Eine Stromleitung zur Versorgung einer Baustelle soll, wie in der nachstehenden Skizze dar
gestellt, durch die 3 Punkte A , B und C führen. Die zwischen den einzelnen Masten liegenden
Teile der Stromleitung können näherungsweise durch Graphen von Polynomfunktionen
2. Grades durch die Punkte A und B bzw. B und C beschrieben werden. Alle Längen sind in
Metern angegeben.
f ( x ), h ( x ) in m
x in m
B
C
A
Mast
Seil
25 20 15 10 5 0
10
30°
f
h
a) Der erste Teil der Leitung verläuft zwischen den Punkten A = (–1|5) und B = (15|12).
Eine Gleichung der Tangente im Punkt A an den Graphen der Polynomfunktion f lautet:
y = 4,913 – 0,0875 ∙ x
– Stellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten dieser Polynomfunk
tion 2. Grades auf.
– Berechnen Sie diese Koeffizienten.
b) Zwischen den Punkten B und C kann die Stromleitung durch den Graphen der folgenden
Funktion h beschrieben werden:
h ( x ) =
3
50
∙ x
2
–
14
5
∙ x +
81
2
mit 15 ≤ x ≤ 25
Die Stromleitung soll in diesem Bereich in einer Höhe von mindestens 7 m verlaufen.
– Überprüfen Sie nachweislich, ob diese Bedingung erfüllt ist.
– Berechnen Sie die Länge desjenigen Seils, das vom Punkt C zum Boden gespannt ist.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Wie in der nachstehenden nicht maßstabgetreuen Skizze dargestellt, ist im Punkt C ein
Seil unter einem Winkel von 30° zum Mast gespannt.
Auf der anderen Seite wirkt durch die Stromleitung auf den Befestigungspunkt C eine
Kraft F von 1 000 Newton unter einem Winkel von 11,3° zur Waagrechten. Diese Kraft
kann in zwei Kräfte aufgeteilt werden, eine in Seilrichtung und eine in Mastrichtung.
C
Mast
Seil
30°
h
F
→ 11,3°
– Berechnen Sie den Betrag derjenigen Kraft, die in Seilrichtung wirkt.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Stromversorgung einer Baustelle 2

Länge eines Werkstücks
Aufgabennummer: B_309
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
In einer Fertigungsanlage werden Werkstücke erzeugt, deren Längen erfahrungsgemäß
normalverteilt sind.
a) Die Länge eines Werkstücks ist normalverteilt mit μ = 72,3 mm und σ = 0,5 mm.
Im Rahmen der Qualitätssicherung werden Stichproben vom Umfang n = 7 entnommen.
Für jede Stichprobe wird der Mittelwert der Längen bestimmt.
– Geben Sie die Parameter der Verteilung der Stichprobenmittelwerte
–
X an.
– Berechnen Sie den zum Erwartungswert symmetrischen Zufallsstreubereich, in dem
erwartungsgemäß 95 % aller Stichprobenmittelwerte liegen.
– Beschreiben Sie, wie sich der Stichprobenumfang ändern muss, damit sich die Breite
dieses 95-%-Zufallsstreubereichs halbiert.
– Begründen Sie, warum das Maximum der Dichtefunktion der Stichprobenmittelwerte
–
X
für n = 7 größer ist als jenes für n = 5.
b) Die Länge eines Werkstücks ist normalverteilt mit μ = 72,3 mm.
Werkstücke, die zu lang oder zu kurz sind, sind Ausschuss und werden aussortiert.
Abweichungen von bis zu ± 0,9 mm vom Erwartungswert werden toleriert.
– Berechnen Sie für eine Standardabweichung von σ = 0,5 mm die Wahrscheinlichkeit,
dass ein zufällig ausgewähltes Werkstück aussortiert wird.
– Berechnen Sie, wie groß die Standardabweichung sein müsste, damit der Ausschuss -
anteil 2 % beträgt.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) In der unten stehenden Abbildung ist der Graph der Dichtefunktion g einer normalverteil-
ten Zufallsvariablen X dargestellt.
– Begründen Sie mithilfe der Dichtefunktion, warum für die zugehörige Verteilungsfunkti-
on G gilt: G ( μ ) = 0,5.
– Veranschaulichen Sie die Wahrscheinlichkeit 1 – G (51) in der unten stehenden Abbil-
dung.
– Lesen Sie aus dem Graphen der Dichtefunktion die Standardabweichung σ ab.
X
52,4 52 51,6 51,2 50,8 50,4 50 49,6 49,2 48,8 48,4 48 47,6 52,8
g
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Länge eines Werkstücks 2

Volumen eines Baumes*
Aufgabennummer: B_310
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Die Ermittlung des Volumens eines Baumstamms kann auf verschiedene Weisen erfolgen.
a) Näherungsweise kann das Volumen eines stehenden Baums folgendermaßen ermittelt
werden:
„Man misst den Brusthöhendurchmesser in cm (= Durchmesser des Baums in 1,3 m
Höhe), multipliziert diese Zahl mit sich selbst und teilt das Ergebnis durch 1 000. Die Maß-
zahl des Ergebnisses ist die Maßzahl des Volumens eines Baums in m³.“
– Übertragen Sie diesen Zusammenhang in eine Formel. Benutzen Sie dazu die Bezeich-
nungen BHD (Brusthöhendurchmesser) und V (Volumen).
– Stellen Sie das Volumen V eines Baums in Abhängigkeit von seinem Brusthöhendurch-
messer BHD im Intervall [0; 100] im unten stehenden Diagramm dar. Verwenden Sie
eine geeignete Skalierung der senkrechten Achse.
V in m
3
BHD in cm
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Die erweiterte Formel von Denzin bietet eine Möglichkeit, das Volumen eines Baums nähe-
rungsweise zu berechnen. Als Formel angeschrieben lautet sie (für eine bestimmte Bau-
mart):
V =
BHD
2
1 000
·
3 ∙ h + 25
100
BHD ... Durchmesser in 1,3 Metern Höhe („Brusthöhendurchmesser“) in Zentimetern (cm)
h ... Höhe des Baums in Metern (m)
V ... Volumen des Baums in Kubikmetern (m
3
)
Ein 30 m hoher Baum hat einen Brusthöhendurchmesser von 50 cm. Für diesen Baum
soll das Volumen mit der erweiterten Formel von Denzin ermittelt werden. Das tatsächliche
Volumen dieses Baums beträgt 3,05 m
3
.
– Ermitteln Sie den Betrag des relativen Fehlers, wenn man das Volumen mit der erweiter-
ten Formel von Denzin berechnet.
c) Zur Berechnung seines Volumens kann ein Baumstamm näherungsweise als Kegel an-
gesehen werden. Man geht in diesem Modell davon aus, dass das Verhältnis von Höhe
zu Durchmesser stets gleich bleibt. Das Modell für einen bestimmten Baumstamm ist ein
Drehkegel mit einem Durchmesser von 22 cm und einer Höhe von 18 m. In einem be-
stimmten Jahr vergrößert sich der Durchmesser um 2 mm.
– Berechnen Sie mithilfe dieses Modells das Höhenwachstum des Baums in diesem Jahr.
– Zeigen Sie, dass eine Verdoppelung des Kegeldurchmessers zu einer Verachtfachung
des Volumens führt.
d) Die Form eines gefällten Baumstamms kann näherungsweise durch Rotation des Graphen
einer Funktion f um die x -Achse beschrieben werden (siehe nachstehende Abbildung).
f
x in Metern
f ( x ) in Metern
0 2 –2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34
0
0,5
–0,5
1
– Erstellen Sie eine Formel, mit der das Volumen V des Baumstamms berechnet werden
kann.
V =
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Volumen eines Baumes 2

Riesenräder*
Aufgabennummer: B_311
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Dreht sich ein Riesenrad mit konstanter Geschwindigkeit, so gilt für die Höhe h ( t ), in der sich
eine Gondel zum Zeitpunkt t über dem Boden befindet:
h ( t ) = A ∙ sin( ω ∙ t + φ ) + c
a) Das London Eye, eines der größten Riesenräder, dreht sich so langsam, dass es für das
Ein- und Aussteigen der Fahrgäste nicht anhalten muss.
Der Graph der Funktion h ist in folgender Abbildung dargestellt:
t in min
h
h ( t ) in m
0 45 40 35 30 25 20 15 10 5 50
0
120
100
80
60
40
20
140
135
14
– Lesen Sie den Durchmesser des Riesenrades ab.
– Ermitteln Sie den Parameter ω .
– Ermitteln Sie den Parameter c .
b) Dreht sich das Wiener Riesenrad ohne Zwischenstopps, so gilt für die Höhe h ( t ), in der
sich eine Gondel zum Zeitpunkt t über dem Boden befindet:
h ( t ) = 30,48 · sin(0,02464 · t ) + 34,27
t ... Zeit seit Beginn der Beobachtung in Sekunden (s)
h ( t ) ... Höhe, in der sich diese Gondel zum Zeitpunkt t befindet, in Metern (m)
– Ermitteln Sie denjenigen Zeitpunkt, zu dem diese Gondel erstmals eine Höhe von 60 m
erreicht.
– Bestimmen Sie die Zeitdauer, während derer sich die Gondel im Laufe einer Umdrehung
in einer Höhe von mindestens 60 m befindet.
* ehemalige Klausuraufgabe
c) Ein Riesenrad mit 12 gleichmäßig verteilten Gondeln dreht sich mit konstanter Geschwin-
digkeit gegen den Uhr zeigersinn. Die Höhe h ( t ), in der sich eine Gondel zum Zeitpunkt t
über dem Boden befindet, ist:
h ( t ) = 15 ∙ sin (
π
60
∙ t + φ ) + 20
t ... Zeit seit Beginn der Beobachtung in s
h ( t ) ... Höhe, in der sich eine Gondel zum Zeitpunkt t befindet, in m
G
– Berechnen Sie, mit welcher Geschwindigkeit (in km/h) sich eine Gondel entlang der
Kreisbahn bewegt.
Die Gondel G befindet sich zur Zeit t = 0 s an der in der oben stehenden Skizze darge-
stellten Position.
– Dokumentieren Sie in Worten, wie Sie den Parameter φ für die Funktion h der Gondel G
er mitteln können.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Riesenräder 2

Wassergefäße*
Aufgabennummer: B_313
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
a) Zur Beschreibung der Form eines Wassergefäßes kann eine Funktion f mit
f ( x ) = a · ( x – b )
4
+ c verwendet werden.
Man kennt von dieser Funktion folgende Eigenschaften:
Der Funktionsgraph ist symmetrisch bezüglich der y -Achse und enthält die Punkte (25|60)
und (0|0).
– Begründen Sie, warum c = 0 ist.
– Begründen Sie, warum b = 0 ist.
– Berechnen Sie den Koeffizienten a .
b) Die Form eines Wassergefäßes kann durch Rotation des Graphen der Funktion mit folgen-
der Gleichung um die y -Achse beschrieben werden:
y = 0,0001421 · x
4
mit x ≥ 0
x , y ... Längen in cm
Der obere Rand des Gefäßes hat einen Radius von 30 cm.
Das Gefäß wird bis zum oberen Rand gefüllt.
– Berechnen Sie das Volumen in Litern.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
* ehemalige Klausuraufgabe

Aufgaben mit Herz
Aufgabennummer: B_026
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Eine Druckschablone in Form eines Herzens soll gezeichnet werden (siehe Abbildung 1).
Im linken oberen Bereich für
0 dm ≤ x ≤ 1 dm wird die Umrisslinie
durch eine quadratische Funktion f
definiert, wobei sich der Scheitel der Para-
bel bei x = 1 befindet. Im rechten
oberen Bereich für 1 dm ≤ x ≤ 1,5 dm
ist die Herzlinie durch einen Halbkreis
mit dem Mittelpunkt M und dem
Radius r = 0,5 dm definiert. Der untere Teil
der Umrisslinie entsteht durch Spiegelung
des oberen Teils an der x -Achse.
a) Die quadratische Funktion f hat die Form f ( x ) = a ∙ ( x – x
s
)
2
+ y
s
, wobei x
s
und y
s
die Koor-
dinaten des Scheitels sind.
– Berechnen Sie den Parameter a .
Die Koordinaten eines jeden Punktes ( x | y ), der auf dem Kreis mit dem Mittelpunkt
M = (1|0,5) und dem Radius r = 0,5 liegt, erfüllen die Gleichung ( y – 0,5)
2
+ ( x – 1)
2
= 0,25.
– Ermitteln Sie anhand dieser Gleichung die y -Koordinaten für x = 1,4.
b) Eine andere Herzkurve erhält man, wenn man im Bereich 0 dm ≤ x ≤ 1 dm die obige
Funktion f durch die kubische Funktion g mit g ( x ) = –2 ∙ x
3
+ 3 ∙ x
2
ersetzt.
– Zeichnen Sie den Graphen der Funktion g in die obige Darstellung hinzu.
– Stellen Sie eine Formel zur Berechnung des gesamten Flächeninhalts A dieser neuen
Herzfläche auf.
A =
– Berechnen Sie diesen Flächeninhalt.
x in dm
0,2
–0,2
–0,4
–0,6
–0,8
–1
0,4
0,6
0,8
1 y in dm
f ( x )
M
0
1,6 1,4 1,2 0,8 0,6 0,4 0,2 0 1
Abbildung 1
c) Eine Herzhälfte des in Abbildung 3 dargestellten Druckmusters erhält man durch die bei-
den Funktionen h
1
und h
2
(vgl. Abbildung 2):
h
1
( x ) = √ x + √ 1 – x
2
und h
2
( x ) = √ x – √ 1 – x
2
– Argumentieren Sie anhand der Funktionsgleichungen, dass der Definitionsbereich D für
beide Funktionen D = [0; 1] ist.
– Bestimmen Sie die Nullstelle von h
2
im Definitionsbereich.
d) Durch schrittweise Halbierung der Flächeninhalte entsteht das in Abbildung 3 dargestellte
Druckmuster.
– Berechnen Sie die schwarze Fläche dieses Musters, wenn die Gesamtfläche des größ-
ten Herzens den Flächeninhalt π dm² hat.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Aufgaben mit Herz 2
x in dm
1 0,8 0,6 0,4 0,2
0,2
–0,2
–0,4
–0,6
–0,8
–1
0,4
0,6
0,8
1,2
1,4
1
y in dm
h
2
( x )
h
1
( x )
0
0
Abbildung 2 Abbildung 3