Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 2751–2800

Körpergröße von Kindergartenkindern
Aufgabennummer: B_235
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich S
Bei den Vorsorgeuntersuchungen von Kindern wird auch die Körpergröße überprüft, um bei Auffällig-
keiten rechtzeitig Therapiemaßnahmen setzen zu können.
a) Die nebenstehende Glockenkurve nach Gauß
schematisiert die Größenverteilung von 4-jährigen
Kindern.
Die 3 % am oberen und am unteren Ende weisen
auf die auffällig großen bzw. die auffällig kleinen
Kinder hin.
– Interpretieren Sie die Kurve in Bezug auf die
Verteilung der Körpergröße von 4-jährigen
Kindern und den Erwartungswert μ .
– Berechnen Sie die Standardabweichung σ .
b) Als Ergebnis der Messung der Körpergröße von 5-jährigen Kindern wurde folgender Boxplot
erstellt:
– Interpretieren Sie das Diagramm im Hinblick auf die Bedeutung der 5 Kennzahlen
Minimum, Maximum, Median, 1. und 3. Quartil.
c) Die gemessenen Körpergrößen der 4-jährigen Buben haben folgende Kennzahlen geliefert:
Minimum (Min): 96 cm
Maximum (Max): 112 cm
Median (Med): 103 cm
1. Quartil ( Q 1): 100,5 cm
3. Quartil ( Q 3): 108 cm
– Erstellen Sie mit diesen Kennzahlen einen Boxplot.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit
passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.

Puzzle
Aufgabennummer: B_034
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
a) Eine Puzzle-Spielmatte für Kleinkinder besteht aus 47 Einzelteilen in vier verschiedenen
Farben. Die nachstehende Tabelle zeigt die Anzahl der Teile mit den jeweiligen Farben.
Farbe Gelb Blau Rot Grün
Anzahl 11 9 12 15
– Stellen Sie die prozentuellen Häufigkeiten der Farben in einem Kreisdiagramm dar.
Ein Kind zieht zufällig und ohne Zurücklegen 2 Puzzleteile aus einer Kiste.
– Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass diese beiden Puzzleteile dieselbe Farbe
haben.
– Interpretieren Sie, welche Wahrscheinlichkeit mit der nachstehenden Formel
berechnet wird.
P ( X ) = 1 –
9
47
∙
8
46
∙
7
45
b) Bei einem Puzzleteil wird die Ziffer 1 wie abgebildet dargestellt.
a = 13 cm
b = 6 cm
c = 21 cm
d = 5 cm
e = 3 cm
f = 4 cm
r = 5,5 cm
d
x
r
r
M
α
e
f
c
a
b
– Berechnen Sie den Winkel α .
– Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Ziffer 1 vom Puzzleteil.
c) In einem Betrieb werden Puzzlematten hergestellt.
Mit zunehmendem Verkaufspreis werden weniger Mengeneinheiten verkauft.
Aufgrund von Marktbeobachtungen ergibt sich folgende Preisfunktion der Nachfrage:
p ( x ) = –
3
100
x + 110
x ... monatlich nachgefragte Mengeneinheiten (ME)
p ( x ) ... Preis in Geldeinheiten pro Mengeneinheit (GE/ME) bei der Nachfrage von x ME
– Bestimmen Sie die monatlich nachgefragten Mengeneinheiten bei einem Preis von
25,50 GE/ME.
d) Die Herstellungskosten für eine Mengeneinheit Puzzlematten können mit € 1,50 veran-
schlagt werden. Dazu kommen monatliche Fixkosten von € 4.000.
− Ordnen Sie die gegebenen Funktionen zu. [2 zu 4]
Gesamtkostenfunktion K ( x ) = ...
Stückkostenfunktion K
—
( x )
A 1,5 +
4 000
x
B
1,5
x
+ 4 000
C 1,5 + 4 000 ∙ x
D 1,50 ∙ x + 4 000
− Erklären Sie den Unterschied zwischen Stückkostenfunktion und Grenzkostenfunktion
im Sachzusammenhang.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Puzzle 2

* ehemalige Klausuraufgabe
Thermistor*
Aufgabennummer: B_050
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Aufgabe 8
Thermistor
Ein Thermistor oder Heißleiter ist ein Halbleiter, dessen elektrischer Widerstand mit zuneh-
mender Temperatur T abnimmt. Die Funktion R beschreibt diesen Zusammenhang:
R ( T ) = a ∙ ℯ
b
T
T ... Temperatur in Kelvin (K)
R ( T ) ... elektrischer Widerstand bei der Temperatur T in Ohm (Ω)
a ... Konstante in Ω ( a > 0)
b ... Konstante in K ( b > 0)
a) – Begründen Sie mathematisch, warum die Funktion R monoton fallend ist.
– Zeichnen Sie den Graphen der Funktion R im Bereich 300 K ≤ T ≤ 550 K für a = 0,1 Ω und
b = 2 500 K im nachstehenden Koordinatensystem.
b) Verwenden Sie a = 0,1 Ω und b = 2 500 K.
– Linearisieren Sie die Funktion R an der Stelle T
0
= 373,15 K, d. h., bestimmen Sie die Glei-
chung der Tangente an den Graphen von R im Punkt ( T
0
| R ( T
0
)).
– Ermitteln Sie den Betrag des relativen Fehlers, wenn man an der Stelle T = 390 K den
Wider stand mit der linearisierten Funktion anstatt mit der Funktion R berechnet.
8
c) Für einen bestimmten Heißleiter wurden folgende Werte gemessen:
T in K R in Ω
293 510
313 290
333 178
353 120
373 80
Zur weiteren Auswertung wird eine Polynomfunktion 3. Grades als Ausgleichsfunktion ver-
wendet.
– Ermitteln Sie diese Ausgleichsfunktion.
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der zu ermittelnden Ausgleichsfunktion P be-
reits eingezeichnet.
– Erklären Sie ausgehend von der obigen Abbildung, warum die 1. Ableitung dieser Polynom-
funktion 3. Grades keine reellen Nullstellen hat.
öffentliches Dokument
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit passenden Maßeinheiten anzu-
geben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Thermistor 2

Skylab (1)
Aufgabennummer: B_063
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
In der US-amerikanischen Weltraumstation Skylab wurde in den 1970er-Jahren eine Reihe von
naturwissenschaftlichen Experimenten durchgeführt.
Im Weltraum ist ein Objekt schwerelos, seine Masse bleibt aber unverändert. Die Masse kann
im Weltraumlabor mithilfe einer frei aufgehängten Feder bestimmt werden. Hängt man ein Ob-
jekt an die Feder, so hängt die Schwingungsfrequenz des Federpendels von der Masse ab.
T =
1
f
T = 2π ∙
m
k
T … Schwingungsdauer in Sekunden (s)
f … Frequenz in Hertz (Sekunden
–1
(s
–1
))
m … Pendelmasse in Kilogramm (kg)
k … Federkonstante in Newton pro Meter (N/m)
a) – Stellen Sie die Abhängigkeit der Masse m von der Frequenz f im Intervall [0,4; 3,4] jeweils
für die Federkonstanten k
1
= 600 N/m und k
2
= 300 N/m in einem Koordinatensystem
dar.
– Beschreiben Sie die Eigenschaften der Potenzfunktionen.
– Interpretieren Sie den Einfluss der Federkonstanten k auf die Schwingungsfrequenz f
unter der Voraussetzung, dass m konstant bleibt.
b) In der Weltraumstation Skylab wurde unter anderem auch die Masse eines Astronauten
bestimmt.
Die Frequenz der Feder mit angehängter Masse m
1
, aber ohne Astronaut betrug f
1
. Die
Frequenz der Feder, an die zusätzlich zur Masse m
1
der Astronaut gehängt wurde, be-
trug f
2
.
– Dokumentieren Sie in Worten, wie man mithilfe der oben angegebenen physikalischen
Zusammenhänge ausgehend von den gemessenen Frequenzen f
1
und f
2
eine Formel für
die Masse des Astronauten ermitteln kann.
c) In einem Experiment zur Teilchenphysik wurde die Neutronenflussdichte ϕ in der Welt-
raumstation mithilfe von mehreren Neutronendetektoren gemessen.
Man kann davon ausgehen, dass die Neutronenflussdichte in der Raumstation normalver-
teilt ist mit den Parametern μ = 52 cm
–2
s
–1
und σ = 3 cm
–2
s
–1
.
(Die Neutronenflussdichte ϕ ist die Anzahl der pro Zeiteinheit t durch eine Flächeneinheit
hindurchtretenden Neutronen. Ihre übliche Maßeinheit ist Neutronen pro Quadratzentime-
ter und Sekunde (cm
–2
s
–1
).)
50 μ 55
in cm
–2
s
–1
Φ
– Interpretieren Sie die in der obigen Gauß’schen Glockenkurve schraffierte Fläche, indem
Sie das zugehörige Ereignis in Worten beschreiben.
– Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Skylab (1) 2

Schadstoffausbreitung*
Aufgabennummer: B_048
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Aufgabe 6
Schadstoffausbreitung
Eine Messstation registriert täglich zu einem bestimmten Zeitpunkt die Konzentration der von
einer Fabrik emittierten Schadstoffe (in mg/m
3
). Es wird angenommen, dass diese Schadstoff-
konzentrationen annähernd normalverteilt sind.
a) Es werden Messungen an 10 Tagen vorgenommen:
Schadstoffkonzentration
in mg/m
3
152 166 149 153 172 147 157 164 157 168
–
–
Berechnen Sie den Stichprobenmittelwert x
–
.
Ermitteln Sie das 95-%-Konfidenzintervall für den Erwartungswert μ der Schadstoff-
konzentration wenn bekannt ist, dass die Standardabweichung σ = 8,5 mg/m³ beträgt.
b) Die Verteilung der Schadstoffkonzentration kann sowohl mithilfe der Dichtefunktion als auch
mithilfe der Verteilungsfunktion der Normalverteilung beschrieben werden. In der nachstehen-
den Abbildung 1 ist der Graph der Dichtefunktion dargestellt.
Abbildung 1
0 2 1 0 3 1 0 4 1 0 5 1 0 6 1 0 7 1 0 8 1 0 9 1 0 0 2 0 1 2 220
Schadstoffkonzentration in mg/m 3
Abbildung 2
0 2 1 0 3 1 0 4 1 0 5 1 0 6 1 0 7 1 0 8 1 0 9 1 0 0 2 0 1 2 220
Schadstoffkonzentration in mg/m 3
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
1
– Zeichnen Sie den Graphen der zugehörigen Verteilungsfunktion in Abbildung 2 ein.
– Veranschaulichen Sie die in Abbildung 1 schraffiert dargestellte Wahrscheinlichkeit in Abbil-
dung 2.
– Erklären Sie den mathematischen Zusammenhang zwischen diesen beiden Funktionen.
Aufgabe 6
Schadstoffausbreitung
Eine Messstation registriert täglich zu einem bestimmten Zeitpunkt die Konzentration der von
einer Fabrik emittierten Schadstoffe (in mg/m
3
). Es wird angenommen, dass diese Schadstoff-
konzentrationen annähernd normalverteilt sind.
a) Es werden Messungen an 10 Tagen vorgenommen:
Schadstoffkonzentration
in mg/m
3
152 166 149 153 172 147 157 164 157 168
– Berechnen Sie den Stichprobenmittelwert x
–
.
– Ermitteln Sie das 95-%-Konfidenzintervall für den Erwartungswert μ der Schadstoff-
konzentration w enn bekannt ist, dass die Standardabweichung σ = 8,5 mg/m³ beträgt.
b) Die Verteilung der Schadstoffkonzentration kann sowohl mithilfe der Dichtefunktion als auch
mithilfe der Verteilungsfunktion der Normalverteilung beschrieben werden. In der nachstehen-
den Abbildung 1 ist der Graph der Dichtefunktion dargestellt.
Abbildung 1
0 2 1 0 3 1 0 4 1 0 5 1 0 6 1 0 7 1 0 8 1 0 9 1 0 0 2 0 1 2 220
Schadstoffkonzentration in mg/m 3
Abbildung 2
0 2 1 0 3 1 0 4 1 0 5 1 0 6 1 0 7 1 0 8 1 0 9 1 0 0 2 0 1 2 220
Schadstoffkonzentration in mg/m 3
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
1
– Zeichnen Sie den Graphen der zugehörigen Verteilungsfunktion in Abbildung 2 ein.
– Veranschaulichen Sie die in Abbildung 1 schraffiert dargestellte Wahrscheinlichkeit in Abbil-
dung 2.
– Erklären Sie den mathematischen Zusammenhang zwischen diesen beiden Funktionen.
3
Aufgabe 6
Schadstoffausbreitung
Eine Messstation registriert täglich zu einem bestimmten Zeitpunkt die Konzentration der von
einer Fabrik emittierten Schadstoffe (in mg/m
3
). Es wird angenommen, dass diese Schadstoff-
konzentrationen annähernd normalverteilt sind.
a) Es werden Messungen an 10 Tagen vorgenommen:
Schadstoffkonzentration
in mg/m
3
152 166 149 153 172 147 157 164 157 168
– Berechnen Sie den Stichprobenmittelwert x
–
.
– Ermitteln Sie das 95-%-Konfidenzintervall für den Erwartungswert μ der Schadstoff-
konzentration w enn bekannt ist, dass die Standardabweichung σ = 8,5 mg/m³ beträgt.
b) Die Verteilung der Schadstoffkonzentration kann sowohl mithilfe der Dichtefunktion als auch
mithilfe der Verteilungsfunktion der Normalverteilung beschrieben werden. In der nachstehen-
den Abbildung 1 ist der Graph der Dichtefunktion dargestellt.
Abbildung 1
0 2 1 0 3 1 0 4 1 0 5 1 0 6 1 0 7 1 0 8 1 0 9 1 0 0 2 0 1 2 220
Schadstoffkonzentration in mg/m 3
Abbildung 2
0 2 1 0 3 1 0 4 1 0 5 1 0 6 1 0 7 1 0 8 1 0 9 1 0 0 2 0 1 2 220
Schadstoffkonzentration in mg/m 3
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
1
– Zeichnen Sie den Graphen der zugehörigen Verteilungsfunktion in Abbildung 2 ein.
– Veranschaulichen Sie die in Abbildung 1 schraffiert dargestellte Wahrscheinlichkeit in Abbil-
dung 2.
– Erklären Sie den mathematischen Zusammenhang zwischen diesen beiden Funktionen.
* ehemalige Klausuraufgabe (adaptiert)
4
c) Die Fabriksleitung geht vom Erwartungswert μ = 160 mg/m
3
und von der Standardabwei-
chung σ = 10 mg/m
3
aus.
– Ermitteln Sie den symmetrisch um μ gelegenen Bereich, in den erwartungsgemäß 99 % aller
Messwerte fallen (99-%-Zufallsstreubereich).
– Geben Sie an, wie sich die Breite dieses Zufallsstreuber
99 % nur noch 95 % aller Messwerte in diesen Bereich fallen sollen.
eichs verändert, wenn anstelle von
öffentliches Dokument
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit passenden Maßeinheiten anzu-
geben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Schadstoffausbreitung 2

Straßenverkehr in Tirol (2)*
Aufgabennummer: B_277
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Aufgabe 7 (Teil B)
Straßenverkehr in Tirol
Das Verkehrsaufkommen wird seit vielen Jahren statistisch erfasst.
a) Die nachstehende Grafik zeigt die Entwicklung des KFZ-Verkehrs von 1985 bis 2012 in Tirol.
200
180
160
140
120
100
1985 1990 1995 2000 2005 2010 2012
129,3
149,4
170,2
186,8
194,5
195,4
KFZ-Verkehr in %
Jahr
– Interpretieren Sie die Bedeutung der in der Grafik markierten Zahl 129,3 in diesem Sachzu-
sammenhang.
– Interpretieren Sie die Bedeutung des folgenden Rechenausdrucks in diesem Sachzusam-
menhang:
√
170,2
129,3
– Erstellen Sie basierend auf den Daten der Grafik eine quadratische Regressionsfunktion.
Wählen Sie dabei für das Jahr 1985 den Zeitpunkt t = 0.
– Ermitteln Sie mithilfe dieser Regressionsfunktion eine Prognose für den KFZ-Verkehr im Jahr
2013.
b) Die Anzahl der durchschnittlichen täglichen KFZ-Fahrten auf der Brennerautobahn kann für
den Zeitraum 2000 bis 2007 durch die lineare Regressionsfunktion f beschrieben werden:
f ( t ) = 617 t + 28 017
t ... Zeit in Jahren mit t = 0 im Jahr 2000
f ( t ) ... Anzahl der durchschnittlichen täglichen KFZ-Fahrten zur Zeit t
– Interpretieren Sie die Bedeutung des Koeffizienten 617 in diesem Sachzusammenhang.
10
– 1 ≈ 0,0279
11
Aufgabe 7 (Teil B)
Straßenverkehr in Tirol
Das Verkehrsaufkommen wird seit vielen Jahren statistisch erfasst.
a) Die nachstehende Grafik zeigt die Entwicklung des KFZ-Verkehrs von 1985 bis 2012 in Tirol.
200
180
160
140
120
100
1985 1990 1995 2000 2005 2010 2012
129,3
149,4
170,2
186,8
194,5
195,4
KFZ-Verkehr in %
Jahr
– Interpretieren Sie die Bedeutung der in der Grafik markierten Zahl 129,3 in diesem Sachzu-
sammenhang.
– Interpretieren Sie die Bedeutung des folgenden Rechenausdrucks in diesem Sachzusam-
menhang:
√
170,2
129,3
– Erstellen Sie basierend auf den Daten der Grafik eine quadratische Regressionsfunktion.
Wählen Sie dabei für das Jahr 1985 den Zeitpunkt t = 0.
– Ermitteln Sie mithilfe dieser Regressionsfunktion eine Prognose für den KFZ-Verkehr im Jahr
2013.
b) Die Anzahl der durchschnittlichen täglichen KFZ-Fahrten auf der Brennerautobahn kann für
den Zeitraum 2000 bis 2007 durch die lineare Regressionsfunktion f beschrieben werden:
f ( t ) = 617 t + 28 017
t ... Zeit in Jahren mit t = 0 im Jahr 2000
f ( t ) ... Anzahl der durchschnittlichen täglichen KFZ-Fahrten zur Zeit t
– Interpretieren Sie die Bedeutung des Koeffizienten 617 in diesem Sachzusammenhang.
10
– 1 ≈ 0,0279
* ehemalige Klausuraufgabe (adaptiert)
12
c) Auf einer österreichischen Transitroute wurden im Jahr 2003 insgesamt 1 700 000 Fahrten ge-
zählt. Im Jahr 2011 waren es bereits 2 006 000 Fahrten.
– Stellen Sie diejenige Funktionsgleichung auf, die die Entwicklung der Anzahl der Fahrten auf
dieser Route mit einer Exponentialfunktion der Form y ( t ) = a b
t
beschreibt.
t ... Zeit in Jahren mit t = 0 im Jahr 2003
y ( t ) ... Zahl der jährlichen Fahrten zur Zeit t
– Erklären Sie den Unterschied zwischen exponentiellem und linearem Wachstum.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit passenden Maßeinheiten anzu-
geben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Straßenverkehr in Tirol (2) 2

Rohrleitungen (2)*
Aufgabennummer: B_083
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Aufgabe 8
Rohrleitungen
a) Rohre sollen, wie in der nachstehenden Skizze vereinfacht dargestellt, zwischen den Punkten
A , B und C im Raum verlegt werden.
A B
C
Zur Berechnung eines Winkels wird die folgende Formel verwendet: cos( ϕ ) =
→
AB
→
BC
|
→
AB
→
BC |
l e k n i W n e t e n h c e r e b l e m r o F r e s e i d t i m n e d e z z i k S n e g i b o r e d n i e i S n e n h c i e Z – ϕ mit dem
Eckpunkt B als Scheitel ein.
s k c e i e r D s e d s t l a h n i n e h c ä l F s e d g n u n h c e r e B r u z l e m r o F e n i e e i S n e l l e t s r E – ABC mithilfe der
Vektoren
→
AB und
→
AC .
b) Ein Verbindungsstück für 2 Rohre soll untersucht werden.
Das Verbindungsstück ist rotationssymmetrisch bezüglich der x -Achse. Die obere Begren-
zungskurve der Schnittfläche, die in der nachstehenden Grafik schraffiert dargestellt ist, wird
durch die Funktionsgleichung y = 2 +
x
2
2
–
x
4
4
beschrieben, wobei x und y Längen in Dezi-
metern beschreiben. Der innere Durchmesser des Verbindungsstückes ist d = 2 dm.
y
b
x d
– Berechnen Sie die Breite b des Verbindungsstückes.
e f l i h t i m s e k c ü t s s g n u d n i b r e V s e d s n e m u l o V s e d g n u n h c e r e B r u z l e m r o F e n i e e i S n e l l e t s r E –
der Integralrechnung.
Das Verbindungsstück ist aus einem Material mit der Dichte ρ = 900 kg/m
3
gefertigt.
– Berechnen Sie die Masse des Verbindungsstückes.
7
Aufgabe 8
Rohrleitungen
a) Rohre sollen, wie in der nachstehenden Skizze vereinfacht dargestellt, zwischen den Punkten
A , B und C im Raum verlegt werden.
A B
C
Zur Berechnung eines Winkels wird die folgende Formel verwendet: cos( ϕ ) =
→
AB
→
BC
|
→
AB
→
BC |
l e k n i W n e t e n h c e r e b l e m r o F r e s e i d t i m n e d e z z i k S n e g i b o r e d n i e i S n e n h c i e Z – ϕ mit dem
Eckpunkt B als Scheitel ein.
s k c e i e r D s e d s t l a h n i n e h c ä l F s e d g n u n h c e r e B r u z l e m r o F e n i e e i S n e l l e t s r E – ABC mithilfe der
Vektoren
→
AB und
→
AC .
b) Ein Verbindungsstück für 2 Rohre soll untersucht werden.
Das Verbindungsstück ist rotationssymmetrisch bezüglich der x -Achse. Die obere Begren-
zungskurve der Schnittfläche, die in der nachstehenden Grafik schraffiert dargestellt ist, wird
durch die Funktionsgleichung y = 2 +
x
2
2
–
x
4
4
beschrieben, wobei x und y Längen in Dezi-
metern beschreiben. Der innere Durchmesser des Verbindungsstückes ist d = 2 dm.
y
b
x d
– Berechnen Sie die Breite b des Verbindungsstückes.
e f l i h t i m s e k c ü t s s g n u d n i b r e V s e d s n e m u l o V s e d g n u n h c e r e B r u z l e m r o F e n i e e i S n e l l e t s r E –
der Integralrechnung.
Das Verbindungsstück ist aus einem Material mit der Dichte ρ = 900 kg/m
3
gefertigt.
– Berechnen Sie die Masse des Verbindungsstückes.
7
Aufgabe 8
Rohrleitungen
a) Rohre sollen, wie in der nachstehenden Skizze vereinfacht dargestellt, zwischen den Punkten
A , B und C im Raum verlegt werden.
A B
C
Zur Berechnung eines Winkels wird die folgende Formel verwendet: cos( ϕ ) =
→
AB
→
BC
|
→
AB
→
BC |
l e k n i W n e t e n h c e r e b l e m r o F r e s e i d t i m n e d e z z i k S n e g i b o r e d n i e i S n e n h c i e Z – ϕ mit dem
Eckpunkt B als Scheitel ein.
s k c e i e r D s e d s t l a h n i n e h c ä l F s e d g n u n h c e r e B r u z l e m r o F e n i e e i S n e l l e t s r E – ABC mithilfe der
Vektoren
→
AB und
→
AC .
b) Ein Verbindungsstück für 2 Rohre soll untersucht werden.
Das Verbindungsstück ist rotationssymmetrisch bezüglich der x -Achse. Die obere Begren-
zungskurve der Schnittfläche, die in der nachstehenden Grafik schraffiert dargestellt ist, wird
durch die Funktionsgleichung y = 2 +
x
2
2
–
x
4
4
beschrieben, wobei x und y Längen in Dezi-
metern beschreiben. Der innere Durchmesser des Verbindungsstückes ist d = 2 dm.
y
b
x d
– Berechnen Sie die Breite b des Verbindungsstückes.
e f l i h t i m s e k c ü t s s g n u d n i b r e V s e d s n e m u l o V s e d g n u n h c e r e B r u z l e m r o F e n i e e i S n e l l e t s r E –
der Integralrechnung.
Das Verbindungsstück ist aus einem Material mit der Dichte ρ = 900 kg/m
3
gefertigt.
– Berechnen Sie die Masse des Verbindungsstückes.
7
Aufgabe 8
Rohrleitungen
a) Rohre sollen, wie in der nachstehenden Skizze vereinfacht dargestellt, zwischen den Punkten
A , B und C im Raum verlegt werden.
A B
C
Zur Berechnung eines Winkels wird die folgende Formel verwendet: cos( ϕ ) =
→
AB
→
BC
|
→
AB
→
BC |
l e k n i W n e t e n h c e r e b l e m r o F r e s e i d t i m n e d e z z i k S n e g i b o r e d n i e i S n e n h c i e Z – ϕ mit dem
Eckpunkt B als Scheitel ein.
s k c e i e r D s e d s t l a h n i n e h c ä l F s e d g n u n h c e r e B r u z l e m r o F e n i e e i S n e l l e t s r E – ABC mithilfe der
Vektoren
→
AB und
→
AC .
b) Ein Verbindungsstück für 2 Rohre soll untersucht werden.
Das Verbindungsstück ist rotationssymmetrisch bezüglich der x -Achse. Die obere Begren-
zungskurve der Schnittfläche, die in der nachstehenden Grafik schraffiert dargestellt ist, wird
durch die Funktionsgleichung y = 2 +
x
2
2
–
x
4
4
beschrieben, wobei x und y Längen in Dezi-
metern beschreiben. Der innere Durchmesser des Verbindungsstückes ist d = 2 dm.
y
b
x d
– Berechnen Sie die Breite b des Verbindungsstückes.
e f l i h t i m s e k c ü t s s g n u d n i b r e V s e d s n e m u l o V s e d g n u n h c e r e B r u z l e m r o F e n i e e i S n e l l e t s r E –
der Integralrechnung.
Das Verbindungsstück ist aus einem Material mit der Dichte ρ = 900 kg/m
3
gefertigt.
– Berechnen Sie die Masse des Verbindungsstückes.
öffentliches Dokument
* ehemalige Klausuraufgabe
8
c) In einem Rohr nimmt der Druck durch die Reibung ab. Er wird also mit zunehmender Entfer-
nung vom Rohranfang geringer.
Entsprechend dem Gesetz von Hagen-Poiseuille kann der Druck in einem Rohr in Abhängig-
keit von der Rohrlänge x durch eine lineare Funktion p beschrieben werden.
– Zeigen Sie, dass der Druckverlust ∆ p proportional zur Rohrlänge ist; d. h., für alle x ist
∆ p ( x ) = p (0) – p ( x ) = c x mit c konstant.
Der Druck in einem Rohr wird an 2 Stellen gemessen. Die Ergebnisse sind in der nachstehen-
den Tabelle angegeben.
Rohrlänge in m Druck in bar
5 3,998
33 3,901
– Bestimmen Sie mithilfe der linearen Interpolation den Druck bei einer Rohrlänge von 14 m.
– Beschreiben Sie, welche Bedeutung die Steigung der linearen Funktion p in diesem Sachzu-
sammenhang hat.
öffentliches Dokument
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit passenden Maßeinheiten anzu-
geben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Rohrleitungen (2) 2

Olympische Sommerspiele 2008 in Peking*
Aufgabennummer: B_508
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Bei den Olympischen Sommerspielen 2008 in Peking siegte Usain Bolt im Finale des
100-Meter-Laufes der Männer. Die Silbermedaille ging an Richard Thompson.
Die jeweilige Geschwindigkeit der beiden Läufer bei diesem Lauf kann durch die nachste-
henden Funktionen modellhaft beschrieben werden.
v
B
( t ) = 12,151 · (1 – ℯ
–0,684 · t
)
v
T
( t ) = 12,15 · (1 – ℯ
–0,601 · t
)
t ... Zeit ab dem Start in s
v
B
( t ) ... Geschwindigkeit von Usain Bolt zur Zeit t in m/s
v
T
( t ) ... Geschwindigkeit von Richard Thompson zur Zeit t in m/s
1) Berechnen Sie die Beschleunigung von Usain Bolt 1 s nach dem Start.
2) Beschreiben Sie, was mit dem nachstehenden Ausdruck im gegebenen Sachzusam-
menhang berechnet wird.
1
8 – 5
·
∫
8
5
v
B
( t ) d t
Usain Bolt überquerte die Ziellinie 9,69 s nach dem Start.
3) Ermitteln Sie, wie weit Richard Thompson von der Ziellinie entfernt war, als Usain Bolt
diese überquerte.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Bei den Olympischen Sommerspielen 2008 in Peking siegte Tomasz Majewski im
Kugelstoß-Finale der Männer. Die Flugbahn der Kugel kann modellhaft durch den Graphen
der Funktion h mit h ( x ) = a · x
2
+ b · x + c beschrieben werden.
x , h ( x ) ... Koordinaten der Flugbahn in m
An der Stelle x = 0 kann die Geschwindigkeit der Kugel durch den Geschwindigkeits-
vektor v
M
beschrieben werden (siehe nachstehende Abbildung).
h ( x ) in m
x in m
h
α
Tangente
v
M
O
1) Tragen Sie die fehlenden Ausdrücke in die dafür vorgesehenen Kästchen ein. Verwen-
den Sie dabei den Winkel α .
v
M
= | v
M
| ∙
( )
2) Weisen Sie nach, dass gilt: tan( α ) = b
Olympische Sommerspiele 2008 in Peking 2
c) Bei den Olympischen Sommerspielen 2008 in Peking siegte Tirunesh Dibaba im Finale des
10 000-Meter-Laufes der Frauen. In der nachstehenden Tabelle sind einige Distanzen und
die zugehörigen Zwischenzeiten für die erste Hälfte des Laufes angegeben.
Distanz in m 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000
Zeit in s 180,5 360,2 543,8 726,6 910,0
Datenquelle: https://sportsscientists.com/2008/08/beijng-2008-10000-m-women/ [15.12.2020].
Die Zeit soll in Abhängigkeit von der Distanz durch eine lineare Regressionsfunktion be-
schrieben werden.
1) Ermitteln Sie mithilfe der Regressionsrechnung eine Gleichung dieser linearen Funktion.
Tirunesh Dibaba benötigte für diesen 10 000-Meter-Lauf insgesamt 29 min 54,66 s.
2) Berechnen Sie den Betrag des relativen Fehlers, wenn zur Berechnung der Laufzeit von
Tirunesh Dibaba die ermittelte Regressionsfunktion verwendet wird.
Olympische Sommerspiele 2008 in Peking 3

Der Venturi-Effekt
Aufgabennummer: B_111
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Der Venturi-Effekt besagt, dass sich die Strömungsgeschwindigkeit eines Fluids (Flüssigkeit
oder Gas) in einem Rohr indirekt proportional zum Flächeninhalt des Querschnitts verhält, wenn
die Durchflussmenge konstant bleibt.
Die abgebildete Grafik zeigt den Längsschnitt einer rotationssymmetrischen Wasserdüse mit der
Länge L .
L
x
y
v 1
v
2
0
0
a) – Stellen Sie eine Gleichung auf, die die Strömungsgeschwindigkeiten v
1
, v
2
mit den zuge-
hörigen Querschnittsflächen A
1
, A
2
in korrekte Beziehung bringt.
b) Bei einer speziellen Düse ist der Innenradius r
0
am linken Rand der Düse 5 mm. Die Aus-
trittsöffnung (rechts) hat einen Innenradius von r
L
= 0,5 mm. Die Länge der Düse L ist
25 mm. Die in der nachstehenden Grafik gekennzeichnete Begrenzungslinie lässt sich
durch die Funktion f beschreiben: f ( x ) = √ a – b ∙ x , 0 mm ≤ x ≤ 25 mm.
r
0
f
r
L
x
y
0
0
– Berechnen Sie die Parameter a und b der Funktion f .
– Berechnen Sie das Innenvolumen der Wasserdüse.
c) Die Düse wird an einen Wasserschlauch angeschlossen und senkrecht nach oben gehal-
ten. Die Geschwindigkeit eines Wassertropfens abhängig von der Zeit t nach dem Austritt
aus der Düse wird durch die Funktion v beschrieben.
v ( t ) = h ′ ( t ) = v
0
– g ∙ t
t … Zeit in s
g … Erdbeschleunigung in m/s²
v
0
… Austrittsgeschwindigkeit in m/s
v ( t ) … Geschwindigkeit eines Wassertropfens zur Zeit t in m/s
Es soll die maximale Höhe h eines Wassertropfens über der Austrittsöffnung des Garten-
schlauchs berechnet werden.
– Stellen Sie eine Formel zur Berechnung der maximalen Höhe h abhängig von der Aus-
trittsgeschwindigkeit v
0
mit h (0) = 0 auf.
Der Venturi-Effekt 2
Der Venturi-Effekt 3
d) Der Verlauf der Strömungsgeschwindigkeit eines Wasserpartikels entlang der Länge L der
oben skizzierten Wasserdüse soll dargestellt werden.
– Kreuzen Sie die Grafik an, die den Verlauf der Strömungsgeschwindigkeit korrekt dar-
stellt. [1 aus 5]
Strömungsgeschwindigkeit
L
0
0
x
Strömungsgeschwindigkeit
L
x
0
0
Strömungsgeschwindigkeit
L
0
0
x
Strömungsgeschwindigkeit
L
0
0
x
Strömungsgeschwindigkeit
L
0
0
x
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.

Verbinder
Aufgabennummer: B_274
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Symmetrische Verbinder in Doppelkeilform dienen zum sicheren und schnellen Verbinden
zweier Holzteile.
a) – Zeigen Sie, wie man die Formel V = h ∙ l ∙ ( b – e )
für die Berechnung des Volumens des Verbinders
erhält.
– Berechnen Sie die Länge der Kante s
für die Höhe h = 7 mm und den
Winkel α = 140°.
h
s
e
l
b
b) In der nebenstehenden Abbildung sind die Quer-
schnittsfläche des Verbinders und auftretende Kräfte
dargestellt.
– Stellen Sie eine Formel zur Berechnung des Betrags
der Kraft
→
F
s
anhand des Kräfteparallelogramms in
der nebenstehenden Abbildung in Abhängigkeit vom
Winkel α und vom Betrag der Kraft
→
F auf.
F
s
= ________________________
– Argumentieren Sie anhand dieser Formel, wie sich
eine Verkleinerung des Winkel α auf F
s
auswirkt.
c) Die Breiten der Verbinder eines bestimmten Herstellers sind normalverteilt mit dem Erwar-
tungswert μ = 5,5 mm und der Standardabweichung σ = 0,5 mm. Einer umfangreichen
Lieferung solcher Verbinder werden Zufallsstichproben vom Umfang n = 20 entnommen
und es werden die Stichprobenwerte ermittelt.
– Berechnen Sie den zum Erwartungswert symmetrischen Zufallsstreubereich, in dem
erwartungsgemäß 95 % aller Stichprobenmittelwerte liegen.
B
F
s
A
F
s
F
d) In der nachstehenden Abbildung sind der Graph der Dichtefunktion g einer normalverteil-
ten Grundgesamtheit und der Graph der Dichtefunktion g–
X
der zugehörigen Verteilung der
Stichprobenmittelwerte von Stichproben mit n = 20 dargestellt.
– Kreuzen Sie diejenige Grafik an, in der die beiden Funktionsgraphen zueinander pas-
send dargestellt sind. [1 aus 5]
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Verbinder 2
g
x
g X
g
x
g X
g
x
g X
g
x
g X
g
x
g
X

Armageddon
Aufgabennummer: B_295
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Zur Programmierung eines Weltraum-Computerspiels werden einige geometrische Überlegun-
gen benötigt.
Die nachstehende Abbildung zeigt die Flugbahn s zweier Patrouillenschiffe S
1
und S
2
um eine
Raumstation R . Die Flugbahn eines feindlichen Raumschiffs wird durch den Graphen der
Funktion f beschrieben. (In der Abbildung sind die Nullstelle N
1
sowie die Extrempunkte E
1
und
E
2
des Funktionsgraphen von f eingezeichnet.)
–4 –2 –3 –1 0 6 5 4 3 2 1 7
–2
–1
0
1
2
3
α
y
x
E
1
E
2
S
2
S
1
R
s
f
N
1
a) – Erklären Sie, warum die Flugbahn s kein Graph einer Funktion ist.
Die Funktion f ist eine Polynomfunktion vierten Grades mit f ( x ) = ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e.
– Stellen Sie ein Gleichungssystem auf, mit dem die Koeffizienten dieser Funktion f ermit-
telt werden können.
b) Für die Funktion f gilt:
f ( x ) = –
3
196
x
4
+
9
98
x
3
–
3
196
x
2
–
18
49
x +
135
49
Während des Spielverlaufs schießt das feindliche Raumschiff am Wendepunkt der Funktion f
in der Nähe von E
2
einen Laserstrahl tangential in Richtung S
2
.
– Ermitteln Sie die Funktionsgleichung der Tangente, die den Laserstrahl beschreibt.
– Überprüfen Sie rechnerisch, ob das Raumschiff S
2
vom Laserstrahl getroffen wird.
c) Zu einem bestimmten Zeitpunkt hat die Raumstation die Koordinaten R = (1,5 | 0) und das
erste Patrouillenschiff die Koordinaten S
1
= (0,5 | y > 0).
– Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung der fehlenden y -Koordinate des Patrouillen-
schiffs, wenn der Abstand vom Patrouillenschiff S
1
zur Raumstation R genau d Einheiten
beträgt.
y = ____________________________
– Ermitteln Sie den Winkel α , den die beiden Vektoren RS
1
= ( )
–1
–1,5
und RS
2
= ( )
–2,5
1
einschließen.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
Armageddon 2

Roboter (1)
Aufgabennummer: B_108
Technologieeinsatz: möglich S erforderlich £
Die nachstehende Grafik stellt in einem Weg-Zeit-Diagramm die Bewegung eines Industrieroboters in
einer Produktionshalle dar.
a) – Beschreiben Sie den Unterschied der Bewegungen des Industrieroboters in Bezug auf die
Geschwindigkeit in den Intervallen [0 s; 2 s] und [6 s; 7 s].
– Bestimmen Sie die Intervalle, in denen die Beschleunigung des Industrieroboters gleich null ist.
b) – Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate im Intervall [0 s; 15 s].
– Erklären Sie, welche Größe der Bewegung durch diese mittlere Änderungsrate beschrieben wird.
c) Ein Roboter legt mit konstanter Geschwindigkeit von 1,2 m/s eine Strecke von 6 m zurück. An-
schließend steigert er seine Geschwindigkeit mit einer Beschleunigung von:
a ( t ) = 1,4 · t
t … Zeit in Sekunden
a ( t ) … Beschleunigung in Abhängigkeit von der Zeit t in m/s
– Stellen Sie die Funktionsgleichung der Geschwindigkeit-Zeit-Funktion für den durch die Glei-
chung angegebenen Beschleunigungsvorgang auf.
– Stellen Sie die Funktionsgleichung der zugehörigen Weg-Zeit-Funktion für den beschriebenen
Beschleunigungsvorgang auf.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit passenden Maß-
einheiten anzugeben.

Flächeninhalt eines Parallelogramms*
Aufgabennummer: B_259
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Aufgabe 9
Flächeninhalt eines Parallelogramms
Ein Grundstück hat die Gestalt eines Parallelogramms ABCD . Zur Berechnung des Flächen-
inhalts dieses Grundstücks stehen folgende Formeln zur Verfügung:
(1) A = a ∙ h
a
(2) A = a ∙ b ∙ sin( α )
Entnehmen Sie die Bezeichnungen der nachstehenden, nicht maßstabgetreuen Skizze.
a) − Erklären Sie, warum diese beiden Formeln gleichwertig sind.
b) Für das Grundstück werden folgende Maße angegeben: b = 52,7 m, α = 53°, A = 4 133 m
2
.
− Berechnen Sie die Länge der Seite a .
− Berechnen Sie die Länge der Diagonale BD .
c) Die Länge der Seite a wird verdreifacht und die Länge der zugehörigen Höhe h
a
halbiert.
− Ermitteln Sie die Änderung des Flächeninhalts in Prozent.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit passenden Maßeinheiten anzu-
geben.
* ehemalige Klausuraufgabe