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Flugrouten / B_051 / Übungsaufgabe S. 1/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
Flugrouten
Zwei Flugzeuge fliegen mit konstanter Geschwindigkeit auf geradlinigem Kurs.
Das erste Flugzeug befindet sich zum Zeitpunkt t
0
= 0 s im Ursprung des gewählten Koordinaten-
systems, zum Zeitpunkt t
1
= 3 s ist es in P = (7 | –4 | 8).
Das zweite Flugzeug befindet sich zum Zeitpunkt t
0
= 0 s in Q = (1 | 21 | –12) und zum
Zeitpunkt t
1
= 3 s in R = (4 | 12 | –3).
Für alle Koordinatenangaben gilt: 1 Einheit entspricht 10 m.
a) 1) Stellen Sie die beiden Geradengleichungen auf, die die jeweiligen Positionen der Flugzeuge
in Abhängigkeit von der Zeit t beschreiben.
2) Zeigen Sie, dass sich die beiden Flugzeuge nicht auf Kollisionskurs befinden. (Zu zeigen
ist, dass die beiden Kurse einander nicht zum gleichen Zeitpunkt schneiden.)
b) 1) Berechnen Sie die Geschwindigkeit des ersten Flugzeugs in km/h.
2) Erklären Sie, was man über die Modellierung der Geschwindigkeit und der Richtung eines
Flugzeugs sagen kann, wenn der Geschwindigkeitsvektor v des Flugzeugs mit einer
reellen Zahl k ≠ 0, | k | < 1 multipliziert wird.
c) Die Funktion f beschreibt den Abstand zweier anderer Flugzeuge voneinander in Abhängigkeit
von der Zeit t .
f ( t ) =

(1 + t )
2
+ (21 – 3 ∙ t )
2
+ (–12 + 3 ∙ t )
2
t … Zeit nach Beginn der Betrachtung in s
f ( t ) … Abstand der beiden Flugzeuge zum Zeitpunkt t
1) Stellen Sie die Funktion f in einem geeigneten Koordinatensystem grafisch dar.
Beträgt der Abstand der beiden Flugzeuge weniger als 50 m, spricht man von einer Kollision.
2) Überprüfen Sie anhand der von Ihnen erstellten Grafik, ob die beiden Flugzeuge kollidieren.

Geocaching
Aufgabennummer: B_244
Technologieeinsatz: möglich  erforderlich 
Geocaching ist eine Suche nach einem „Schatz“ (= Cache) mithilfe von GPS (Global Positioning
System).
a) Im Jahr 2000 wurde in den USA der erste Cache versteckt. Bis zum Jahr 2012 lässt
sich die Anzahl der Caches weltweit näherungsweise durch die folgende Funktion n
modellieren:
n ( t ) = 3,329
t
t … Zeit in Jahren nach 2000
n ( t ) … Anzahl der Geocaches nach t Jahren
– Bestimmen Sie die jährliche prozentuelle Zunahme im Zeitraum von 2000 bis 2012.
– Berechnen Sie, wie viele Caches im Jahr 2010 versteckt waren.
Die Landfläche der Erde beträgt etwa 1,489 · 10
8
Quadratkilometer (km²).
– Berechnen Sie, in welchem Jahr im Durchschnitt auf jedem Quadratmeter der Erd-
oberfläche ein Cache versteckt wäre, wenn die Entwicklung ungebremst weiterginge.
b) Entlang eines Rundwanderweges sind 4 Caches versteckt. Der Rundwanderweg ist
annähernd durch die Koordinaten der Cacheverstecke (Einheit 1 km) dargestellt:
Ausgangspunkt = Endpunkt A = (–4|3)
Cacheverstecke B = (–3|0), C = (1|–2), D = (4|1), E = (2|4)
– Zeichnen Sie den Wanderweg in ein Koordinatensystem ein.
– Stellen Sie den Vektor AB �����⃗ vom Ausgangspunkt zum 1. Cache auf.
– Dokumentieren Sie, wie man die Länge des Vektors AB
�����⃗
berechnet.
c) Ein Cache wird in Klagenfurt auf der geografischen Breite
von φ ≈ 46° versteckt. Der Erdradius R beträgt ca. 6 371 km.
– Erstellen Sie eine Formel für die Berechnung des Radius r
desjenigen Breitenkreises, auf dem der Cache liegt.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit pas-
senden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.

Grönlandwale
Aufgabennummer: B_195
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich S
Grönlandwale sind eine vom Aussterben bedrohte Tierart. Noch existierende Populationen ste-
hen unter strengstem Schutz. Das Wachstum der Populationen wird genau beobachtet.
Aus langjährigen Beobachtungen der größten heute lebenden Population kann für deren zu-
künftiges Wachstum unter gleichbleibenden Umweltbedingungen die folgende Funktion ange-
geben werden:
N ( t ) =
16 000
1 +
11
9
∙ ℯ
– 0,0363 ∙ t
t … Zeit in Jahren (a) mit t = 0 im Jahr 2007
N ( t ) … Anzahl der Wale in Stück nach t Jahren
a) – Lesen Sie ab, welcher der folgenden Funktionsgraphen zur angegebenen Funktion
passt.
– Begründen Sie Ihre Auswahl.
b) – Stellen Sie die Wachstumsgeschwindigkeit der Walpopulation in Abhängigkeit von
der Zeit t grafisch dar.
– Berechnen Sie, zu welcher Zeit die Walpopulation am stärksten zunimmt.
Grönlandwale 2
c) Trotz Naturschutz gesteht die Internationale Walfangkommission IWC den Inuit (Volks-
gruppe in Grönland) Fangquoten für den Eigenbedarf für bestimmte Grönlandwalbe-
stände zu. So wurde von 2008 bis 2012 der Fang einer genau bestimmten Anzahl an
Tieren für die oben beschriebene Walpopulation erlaubt. In der nachstehenden Grafik
ist die voraussichtliche Entwicklung der Walpopulation ohne und mit jährlichem
Abfischen dargestellt.
– Argumentieren Sie mathematisch, warum sich der Abstand der beiden Exponential-
funktionen mit jedem Jahr vergrößert.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
7 100
7 200
7 300
7 400
7 500
7 600
7 700
7 800
7 900
8 000
0 1 2 3 4 5
N ohne Walfang
N mit Walfang
t in a
N in Stück

Kinderspielplatz (1)
Aufgabennummer: B_247
Technologieeinsatz: möglich  erforderlich 
Ein quadratischer Kinderspielplatz soll neu angelegt werden. In der Mitte des Kinderspielplatzes
ist eine große Sonnenuhr, ein Brunnen ist bereits vorhanden. Wie in der nachstehenden Abbil-
dung zu sehen ist, soll ein Weg vom Eingang 1 zum Brunnen führen, weiter zur Sonnenuhr und
von dort zum Eingang 2.
a) Der Weg kann durch eine Polynomfunktion f dritten Grades modelliert werden.
f ( x ) = a · x
3
+ b · x
2
+ c · x + d
x ... Entfernung von der Sonnenuhr in östlicher Richtung in Metern (m)
f ( x ) ... Entfernung von der Sonnenuhr in nördlicher Richtung in m
– Stellen Sie dasjenige lineare Gleichungssystem auf, mit dem man die Koeffizienten
a , b , c und d der Polynomfunktion berechnen kann. (Entnehmen Sie die notwendigen
Informationen der Abbildung.)
– Lösen Sie das Gleichungssystem.
– Zeigen Sie, dass der Wendepunkt der Polynomfunktion f genau an der Stelle der
Sonnenuhr liegt.
Kinderspielplatz (1) 2
b) Die Funktion A mit A ( d ) =
d
2
2
beschreibt den funktionalen Zusammenhang zwischen
dem Flächeninhalt des quadratischen Spielplatzes und dessen Diagonale.
Ein Mitarbeiter behauptet: „Wenn wir den Flächeninhalt des Spielplatzes verdoppeln
wollen, müssen wir die Diagonale verdoppeln.“
– Überprüfen Sie, ob die Behauptung des Mitarbeiters richtig ist.
c) Ein Kind läuft außerhalb des Weges geradlinig vom Eingang 1 zur Sonnenuhr und dann
zum Brunnen.
– Stellen Sie denjenigen Vektor auf, der den geradlinigen Weg vom Eingang 1 zur
Sonnenuhr beschreibt.
– Berechnen Sie die Entfernung, die das Kind läuft.
d) Um den Kindern im Sommer einen Schatten bieten zu können, wird ein dreieckiges
Sonnendach angebracht. Für die Produktion des Sonnendachs rechnet man mit 10 %
Verschnitt. 1 m² des verwendeten Stoffes kostet € 11,95.
– Berechnen Sie den Flächeninhalt des Sonnendaches.
– Berechnen Sie die Kosten des Stoffes für das Sonnendach.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.

Reisekosten
Aufgabennummer: B_193
Technologieeinsatz: möglich  erforderlich 
Die Tarife bei Fahrten mit dem Zug hängen normalerweise von der zurückgelegten Fahrtstrecke
ab. Die in dieser Aufgabe verwendeten Bezeichnungen sind:
x … Fahrtstrecke in Kilometern (km)
T ( x ) … Tarif in Euro (€) für die Fahrtstrecke x
a) In der nachstehenden Tabelle sind die 2012 gültigen Tarife für eine Fahrt mit der ÖBB
(2. Klasse ohne Vorteilsticket) ausgehend vom Bahnhof Wien West zum angegebenen
Endbahnhof angeführt.
Bahnhof Fahrtstrecke x in km Tarif in €
St. Pölten 60 11,00
Linz 190 31,20
Salzburg 317 47,50
Innsbruck 572 58,30
Landeck 647 58,70
Bregenz 770 64,30
– Bestimmen Sie mittels Regressionsrechnung eine Polynomfunktion 3. Grades, die
die Abhängigkeit des Tarifs von der zu fahrenden Fahrtstrecke beschreibt.
– Stellen Sie die Funktion gemeinsam mit den angegebenen Werten in einem
Diagramm dar und achten Sie dabei auf eine sinnvolle Skalierung der Achsen.
b) Im Kurzstreckenbereich kann die Abhängigkeit des Tarifs von der zurückgelegten
Fahrtstrecke mithilfe folgender Funktion beschrieben werden:
T ( x ) = 0,19 x
– Interpretieren Sie die Bedeutung der Zahl 0,19 im gegebenen Sachzusammenhang.
c) Die folgende Funktion T gibt den Tarif in Abhängigkeit von der Fahrtstrecke x entlang
einer anderen Bahnstrecke an:
T ( x ) = 2 ∙ 10
– 7
x
3
– 3 ∙ 10
– 4
x
2
+ 0,2305 x – 0,8711
x … Fahrtstrecke in km
T ( x ) … Tarif in € für die Fahrtstrecke x
– Ermitteln Sie mithilfe der Differenzialrechnung diejenige Fahrtstrecke, für die der
Preiszuwachs am geringsten ist.
– Berechnen Sie den Preiszuwachs für diese Fahrtstrecke.
Reisekosten 2
d) Eine Firma schickt 3 Angestellte auf Dienst-
reise. Als Kostenersatz müssen den Ange-
stellten entweder € 0,42 pro gefahrenem
Kilometer für ein gemeinsames Auto oder
jeweils der Bahntarif 2. Klasse ohne Vor-
teilsticket rückerstattet werden. In der ne-
benstehenen Grafik sind die Bahnkosten
für 3 Personen und das für den PKW zu er-
stattende Kilometergeld dargestellt.
– Geben Sie an, wann die Firma Kilometergeld und wann sie Bahnkostenersatz leisten
sollte, um ihre Kosten gering zu halten.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
T ( x ) in €

Rettungshubschrauber
Aufgabennummer: B_246
Technologieeinsatz: möglich S erforderlich £
Der Einsatz von Hubschraubern ermöglicht schnelle und sichere Krankentransporte.
Im nachstehenden Koordinatensystem sind Krankenhäuser eingezeichnet, die über einen Hub-
schrauberlandeplatz verfügen. Bei der Darstellung entspricht eine Einheit im Koordinaten-
system einer Strecke von 12 km.
a) – Lesen Sie aus der obigen Abbildung die Koordinaten des Krankenhauses Krems ab.
– Stellen Sie denjenigen Vektor auf, der den geradlinigen Flug eines Hubschraubers
vom Krankenhaus Krems zum AKH Wien beschreibt.
b) Ein Hubschrauber startet beim Krankenhaus Wiener Neustadt. Der Flug wird durch die
folgenden Vektoren beschrieben:
Zuerst
–3,5
– 2
, dann
– 5
1
und schließlich
– 1
4
.
– Zeichnen Sie den Hubschrauberflug in der obigen Abbildung ein.
Rettungshubschrauber 2
c) Der Vektor
– 3
4
beschreibt den Hubschrauberflug vom Krankenhaus St. Pölten zum
Krankenhaus Zwettl.
– Berechnen Sie die Länge dieses Hubschrauberflugs in Kilometern.
d) Ein Hubschrauber fliegt vom Krankenhaus Melk Richtung Krankenhaus Krems.
– Zeichnen Sie den entsprechenden Einheitsvektor dieser Richtung ausgehend vom
Krankenhaus Melk in die obige Abbildung ein.
– Dokumentieren Sie, wie man diesen Einheitsvektor berechnen kann.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.

a
h
Saftpackung
Aufgabennummer: B_232
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich S
Eine Saftpackung hat eine quadratische Grundfläche
mit der Seitenlänge a und der Füllhöhe h (Abb. 1). Sie
enthält 1 Liter Saft.
Abb. 1
Abb. 2
Die Packung wird aus einem beschichteten Karton in Rechteckform gefertigt (Abb. 2), dessen Fläche
sich mit der folgenden Formel berechnen lässt:
A = 6 a ² +
3 a
20
+
4
a
+
1
10 a
2
A … Flächeninhalt in dm ²
a … Länge der Seitenkante in dm
a) – Zeigen Sie die Richtigkeit der angegebenen Formel für A . Verwenden Sie dazu die Angaben
aus Abb. 2 und die Formel V = a ² · h für das Volumen V der eingefüllten Flüssigkeit bei einer
Füllmenge von V = 1 Liter.
b) Die Abb. 3 zeigt die Abhängigkeit der
für die 1-Liter-Packung benötigten Kar-
tonfläche A von der Seitenkante a .
– Interpretieren Sie den Verlauf der
Funktion in einer sinnvollen Definiti-
onsmenge.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit pas-
senden Maßeinheiten anzugeben.

Flughafen*
Aufgabennummer: B_506
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Auf einem bestimmten Flughafen werden Gepäckstücke mit unterschiedlichen Zielorten
aufgegeben. Jedes Gepäckstück hat mit der gleichen Wahrscheinlichkeit p den Zielort
Salzburg.
Es werden 2 Gepäckstücke unabhängig voneinander zufällig ausgewählt und im Hinblick
auf deren jeweiligen Zielort überprüft.
1) Tragen Sie im nachstehenden Baumdiagramm die fehlenden Wahrscheinlichkeiten in
die dafür vorgesehenen Kästchen ein.
Zielort Salzburg anderer Zielort
Zielort Salzburg anderer Zielort Zielort Salzburg anderer Zielort
1. Gepäckstück:
2. Gepäckstück:
Die Wahrscheinlichkeit, dass von 2 zufällig ausgewählten Gepäckstücken mindestens 1
nicht den Zielort Salzburg hat, beträgt 97,75 %.
2) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit p .
3) Ordnen Sie den beiden Ereignissen jeweils die zutreffende Wahrscheinlichkeit aus
A bis D zu.
Von 5 zufällig ausgewählten
Gepäckstücken hat keines den
Zielort Salzburg.
Von 5 zufällig ausgewählten
Gepäckstücken haben alle den
Zielort Salzburg.
A (1 – p )
5
B p
5
C 1 – p
5
D 1 – (1 – p )
5
* ehemalige Klausuraufgabe (adaptiert)
b) Der Kerosinverbrauch eines bestimmten Flugzeugs auf einer bestimmten Strecke
kann als annähernd normalverteilt angenommen werden. Der Erwartungswert beträgt
μ = 845 L/100 km und die Standardabweichung beträgt σ = 25 L/100 km.
1) Ermitteln Sie dasjenige um μ symmetrische Intervall, in dem der Kerosinverbrauch mit
einer Wahrscheinlichkeit von 90 % liegt.
Nach Reparaturarbeiten soll der Erwartungswert des Kerosinverbrauchs mithilfe eines
Konfidenzintervalls neu geschätzt werden. Dabei wird angenommen, dass die Stan
dardabweichung weiterhin σ = 25 L/100 km beträgt.
Nach den Reparaturarbeiten wurde der Kerosinverbrauch in L/100 km von einer Zufallsstich
probe von 10 Flügen auf dieser Strecke gemessen:
844 840 864 820 788 858 832 817 839 796
2) Ermitteln Sie das zweiseitige 99 % Konfidenzintervall für den Erwartungswert des Kero
sinverbrauchs nach den Reparaturarbeiten.
Flughafen 2
c) In der nachstehenden Abbildung ist modellhaft ein Koffer auf einem Gepäckförderband
dar gestellt. Der Koffer bewegt sich mit der Geschwindigkeit v =
(
1,2
0,5
)
m/s vom Punkt A
zum Punkt B .
A
B
C
y
x
1) Berechnen Sie | v | in m/min.
Anschließend bewegt sich der Koffer mit der Geschwindigkeit w =
(
–1
y
w
)
m/s vom Punkt B
zum Punkt C . Die beiden Vektoren v und w stehen normal aufeinander.
2) Ermitteln Sie y
w
.
Flughafen 3

Tagestemperatur
Aufgabennummer: B_252
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich S
a) Die nachstehend angeführten 3 Messwerte wurden an einem Vormittag aufgezeichnet
und sollen mithilfe einer abschnittsweise definierten linearen Funktion T in Abhängigkeit
von der Zeit t beschrieben werden.
t in h T in °C
6 8
9 10
12 16
t ... Zeit nach Mitternacht in Stunden (h)
T ( t ) ... Temperatur nach t Stunden in Grad Celsius (°C)
Es wird angenommen, dass in den Intervallen [6; 9] und [9; 12] die Temperatur jeweils
linear zunimmt.
– Stellen Sie den Temperaturverlauf im Intervall [6; 12] grafisch dar.
– Stellen Sie die Funktion T abhängig von der Zeit t im Intervall [6; 12] auf.
– Berechnen Sie mithilfe dieser Funktion T die Temperatur um 11:30 Uhr.
b) An einem Tag im Oktober hat man einen Temperaturverlauf gemessen, der durch eine
Polynomfunktion 3. Grades mit f ( t ) = a · t
3
+ b · t
2
+ c · t + d angenähert werden
kann.
t ... Zeit nach Mitternacht in Stunden
f ( t ) ... Temperatur zum Zeitpunkt t in °C
t 2 5 8 11 14 17 20 23
f ( t ) 5,4 4,3 8,3 12,2 15,3 14 9,1 7,2
– Erstellen Sie mithilfe der Regressionsrechnung eine zu den angegebenen Werten
passende Polynomfunktion 3. Grades. (Runden Sie dabei die Koeffizienten auf 4 Nach-
kommastellen.)
– Berechnen Sie den Differenzenquotient dieser Polynomfunktion für das Intervall [6; 12].
– Beschreiben Sie, was dieser Differenzenquotient für das Intervall im Sachzusammen-
hang aussagt.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.

Halterungen für Glasfassaden / B_024 / Übungsaufgabe S. 1/2
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
Halterungen für Glasfassaden
Ein Betrieb erzeugt Halterungen für Glasfassaden. Die monatlichen Produktionskosten für die
Herstellung der Halterungen bis zu einer Grenze von x = 5 000 Stück können durch folgende
Funktion K beschrieben werden:
K ( x ) = 0,00001 · x
3
– 0,025 · x
2
+ 24 · x + 3 500
x ... Produktionsmenge in Stück mit 0 ≤ x ≤ 5 000
K ( x ) ... Kosten bei der Produktionsmenge x in €
a) 1) Stellen Sie eine Gleichung der Stückkostenfunktion K auf.
2) Ermitteln Sie den lokalen Extremwert der Stückkostenfunktion K .
3) Zeigen Sie mithilfe der Differenzialrechnung, dass es sich bei diesem Extremwert um ein
lokales Minimum handelt.
b) Die Halterungen werden zu einem Preis von € 20 pro Stück verkauft.
1) Stellen Sie eine Gleichung der Gewinnfunktion G auf.
2) Ermitteln Sie den Gewinnbereich.
c) Ein Kunde bezieht die Halterungen in sehr großer Stückzahl.
Erfahrungsgemäß ist eine Halterung mit einer Wahrscheinlichkeit von 2 % fehlerhaft.
Der Kunde überprüft eine Zufallsstichprobe von 50 Halterungen.
1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 1 der Halterungen in dieser
Zufallsstichprobe fehlerhaft ist.
d) Die Masse der Halterungen ist annähernd normalverteilt. In der nachstehenden Abbildung ist
der Graph der zugehörigen Dichtefunktion dargestellt.
1) Lesen Sie aus der obigen Abbildung den Erwartungswert μ und die Standardabweichung
σ ab.
265 270 275 280 285 290 295 300 305 310 315 320 325 330 335
Masse in g

Sektkellerei
Aufgabennummer: B_132
Technologieeinsatz: möglich  erforderlich 
Eine Sektkellerei erzeugt und vertreibt Sekt unterschiedlicher Marken.
x … Anzahl der produzierten oder verkauften Flaschen pro Tag
K ( x ) … Gesamtkosten bei x Flaschen pro Tag in Euro (€)
a) Man ermittelt die gesamt anfallenden Produktionskosten in Abhängigkeit von den pro
Tag abgefüllten Flaschen der Marke Dom .
x 0 100 200 300 400 500 600
K ( x ) 10 000 12 800 14 800 16 000 18 000 19 000 21 600
– Bestimmen Sie für diese Gesamtkosten mithilfe von Regression eine passende
Polynomfunktion 3. Grades.
– Zeichnen Sie die gegebenen Punkte und den Graphen der Regressionslinie.
– Dokumentieren Sie, wie man mithilfe der Differenzialrechnung die Kostenkehre
berechnen kann.
b) Die Kellerei verkauft täglich die Tagesproduktion der Sektmarke Gold zu € 40 pro Fla-
sche. Die Kostenfunktion für diese Marke lautet:
K ( x ) = 7 · 10
–5
· x ³ – 0,07 · x ² + 30 · x + 12 000
– Berechnen Sie, wie viele Flaschen mindestens und wie viele höchstens pro Tag
verkauft werden sollen, damit die Kellerei einen Gewinn macht.
Sektkellerei 2
c) Interpretieren Sie in der nachstehenden Grafik die Tangente an die Kostenfunktion K als
lineare Erlösfunktion E .
– Lesen Sie den Anstieg der Tangente und die Koordinaten des Berührpunktes T ab.
– Interpretieren Sie die Aussage der Koordinaten von T und des abgelesenen
Tangentenanstiegs im Sachzusammenhang.
– Argumentieren Sie, welche Informationen diese Grafik über den möglichen Gewinn
enthält.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.

Schlosspark*
Aufgabennummer: B_507
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) In einem Schlosspark wird ein dreieckiges Blumenbeet
angelegt (siehe nebenstehende Abbildung – Maße in m).
s
10
10
70°
70°
1) Ergänzen Sie den nachstehenden Ausdruck durch Eintragen der richtigen Werte in die
dafür vorgesehenen Kästchen.
s =

+ – 2 · 10
2
· cos( )
Das Blumenbeet soll mit einem Vlies gegen Unkraut abgedeckt werden. Das Abdecken
des Blumenbeets kostet pro Quadratmeter € 1,42.
2) Berechnen Sie die Kosten für das Abdecken des Blumenbeets.
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Ein rechteckiges Blumenbeet mit den Seitenlängen b und h ist in einen Bereich für Rosen
und einen Bereich für Tulpen unterteilt. Die Begrenzungslinie zwischen diesen Bereichen
kann modellhaft durch den Graphen der Funktion f beschrieben werden (siehe nachste-
hende Abbildung).
O
x in m
f ( x ) in m
f
a b
h
A
Rosen
Tulpen
1) Stellen Sie mithilfe der obigen Abbildung eine Formel zur Berechnung des Inhalts A der
grau markierten Fläche auf.
A =
f ist eine Polynomfunktion 3. Grades mit f ( x ) = a ∙ x
3
+ b ∙ x
2
+ c ∙ x + d .
Folgende Punkte liegen auf dem Graphen von f : (3 | 0,8), (5 | 2,7), (7 | 3,7), (9 | 2,3).
2) Berechnen Sie mithilfe dieser Punkte die Koeffizienten a , b , c und d .
Schlosspark 2
c) Im Schlosspark gibt es ein Labyrinth aus Hecken. Der Weg durch das Labyrinth wird durch
Aneinanderreihen der Vektoren a , b , c , ... , h (in alphabetischer Reihenfolge) beschrieben.
Dabei beginnt jeder Vektor an der Spitze des vorherigen Vektors.
Es gilt: e =
(
0
3
)
, f =
(
–2
0
)
, g =
(
1
2
)
, h =
(
4
0
)
(Maße in m)
In der nachstehenden Abbildung ist die quadratische Grundfläche des Labyrinths darge-
stellt. Der Startpunkt A des Weges durch das Labyrinth, die ersten vier Vektoren und der
Punkt P sind bereits eingezeichnet.
13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 14
y in m
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
11
12
x in m A
a
b
c
d
P
1) Tragen Sie die fehlenden Zahlen in die dafür vorgesehenen Kästchen ein.
b =
( )
2) Ermitteln Sie die Länge des Weges durch das Labyrinth vom Startpunkt A zum
Punkt P .
3) Vervollständigen Sie ausgehend vom Punkt P den Weg durch das Labyrinth durch Ein-
zeichnen der Vektoren e , f , g und h .
Schlosspark 3
4) Kreuzen Sie die auf die gegebenen Vektoren nicht zutreffende Aussage an. [1 aus 5]
Die Vektoren a und c sind Gegenvektoren.
Die Vektoren f und g haben den gleichen Betrag.
Die Vektoren f und h sind parallel.
Die Vektoren d und e haben den gleichen Betrag.
Die Vektoren d und e stehen normal aufeinander.
d) Im Schlosspark wird Schilf gepflanzt. In den ersten Wochen nach der Pflanzung wird die
Höhe einer bestimmten Pflanze notiert.
Zeit t nach der Pflanzung in Wochen 1 2 3 4 5 6
Höhe der Pflanze zur Zeit t in cm 30 34 39 44 48 52
Die Höhe dieser Pflanze soll in Abhängigkeit von der Zeit t durch die lineare Funktion h be-
schrieben werden.
t ... Zeit nach der Pflanzung in Wochen
h ( t ) ... Höhe der Pflanze zur Zeit t in cm
1) Ermitteln Sie mithilfe der Regressionsrechnung eine Gleichung der linearen Funktion h .
2) Berechnen Sie gemäß diesem Modell die Höhe der Pflanze 20 Wochen nach der
Pflanzung.
Schlosspark 4

Kraftstoffverbrauch
Aufgabennummer: B_176
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich S
Der Kraftstoffverbrauch eines Kraftfahrzeugs ist unter anderem abhängig von der gefahrenen
Geschwindigkeit.
v … Geschwindigkeit in Kilometern pro Stunde (km/h)
K ( v ) … Kraftstoffverbrauch bei einer konstanten Geschwindigkeit v in Litern pro 100 Kilometer
(L /100 km)
a) Die nachstehende Tabelle zeigt den bei einer Testfahrt festgestellten Kraftstoffverbrauch
eines LKWs bei verschiedenen Geschwindigkeiten.
v in km/h 30 50 60
K ( v ) in L /100 km 10 9,4 11,8
Der Kraftstoffverbrauch bei dieser Testfahrt kann in einem Bereich von 30 km/h bis
70 km/h annähernd durch eine quadratische Funktion der Form K ( v ) = a · v
2
+ b · v + c
beschrieben werden.
– Stellen Sie ein Gleichungssystem für die Berechnung der Koeffizienten a , b und c auf.
– Ermitteln Sie die Funktionsgleichung K ( v ).
b) Der Kraftstoffverbrauch eines Kleinlastwagens lässt sich im Intervall [30 km/h; 70 km/h]
näherungsweise durch folgende Funktion K beschreiben:
K ( v ) = 0,005 · v
2
– 0,4 · v + 14,3
– Berechnen Sie diejenige Geschwindigkeit, bei der der Kraftstoffverbrauch minimal ist.
Kraftstoffverbrauch 2
c) Die nachstehende Grafik zeigt den Kraftstoffverbrauch eines Kleintransporters in Ab-
hängigkeit von der Geschwindigkeit beim Fahren mit gleichbleibendem Gang.
– Veranschaulichen Sie in der Grafik die momentane Änderungsrate des Kraftstoffver-
brauchs bei einer Geschwindigkeit von 60 km/h.
– Lesen Sie die momentane Änderungsrate des Kraftstoffverbrauchs bei 60 km/h ab.
d) Bei einem Test eines PKWs ergaben sich für den 4. Gang folgende Verbrauchswerte:
v in km/h 80 90 100 110 120
K ( v ) in L /100 km 5,1 5,65 6,25 6,9 7,6
Zur Beschreibung des Kraftstoffverbrauchs kann man ab 80 km/h ein Modell verwen-
den, bei dem der Verbrauch mit zunehmender Geschwindigkeit konstant steigt.
– Argumentieren Sie, welcher Funktionstyp diesem Modell gerecht wird.
– Ermitteln Sie die Gleichung der zugehörigen Funktion mittels Regression.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.