Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 2651–2700

Fotografie
Aufgabennummer: B_047
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich S
1924 wurden erstmals Kleinbildkameras in Serie gefertigt. Die Automatisierung der bis dahin
überwiegend mechanisch funktionierenden Fotoapparate startete in den 1960er-Jahren.
a) Die Batterien in einem Blitzgerät liefern eine Spannung von 6 Volt. Die zur Auslösung
des Blitzes erforderliche höhere Spannung wird durch das sukzessive Aufladen von
Kondensatoren erzielt.
Für die Spannung u 1( t ) gilt:
u 1( t ) = 5,3 V · (1 – ℯ
– λ · t
) mit 0 s ≤ t ≤ 0,3 s
t ... Zeit nach Beginn des Aufladevorgangs in Sekunden (s)
u 1( t ) ... Spannung in Volt (V), abhängig von der Aufladezeit t
λ ... Konstante in s
–1
Nach 0,3 Sekunden ist der Kondensator auf eine Spannung von 5,25 V aufgeladen.
– Zeigen Sie, dass gilt: λ = 15,545 s
–1
.
Der zweite Ladevorgang startet nach 0,3 Sekunden bei einer Anfangsladung von 5,25 V.
Der Graph von u 2 wurde durch eine entsprechende Verschiebung von u 1 ermittelt.
– Stellen Sie die Funktionsgleichung für u 2 in Abhängigkeit von t auf.
u ( t ) in Volt
u 1
u 2
t in Sekunden
Fotografie 2
b) Unter der Schärfentiefe T versteht man die Entfernung von g nah bis g fern, wobei Motive
zwischen g nah und g fern scharf abgebildet werden. Wird die Kamera auf ein Motiv in der
Entfernung g scharf eingestellt, so gelten für Kleinbildkameras folgende Formeln:
g nah =
f
2
∙ g
f 2 + k ∙ 0,03 ∙ ( g – f )
und g fern =
f
2
∙ g
f 2 – k ∙ 0,03 ∙ ( g – f )
g nah ... in mm
g fern ... in mm
f ... Brennweite des Objektivs in mm, f > 0
g ... Entfernung des fokussierten Motivs in mm, g > f
k ... Blendenzahl, k > 0
Die Formel für g fern gilt nur für g fern > 0, andernfalls gilt: g fern = ∞ .
– Ermitteln Sie die Bedingung, die g erfüllen muss, damit g fern > 0.
– Begründen Sie anhand der angegebenen Formeln, warum die Schärfentiefe
T = g fern – g nah größer wird, wenn die Blendenzahl k größer wird.
– Stellen Sie den Verlauf von g nah für f = 80 mm und k = 5,6 abhängig von g grafisch dar.
– Schätzen Sie den maximalen Wert von g nah mithilfe der Grafik oder der gegebenen
Formel ab.
c) Die Helligkeitsverteilung eines Bildes kann in einem Histogramm dargestellt werden.
Ein einfärbig graues Bild wird theoretisch durch eine einzige Spektrallinie dargestellt.
Durch die elektronische Verstärkung der Kamera kommt es jedoch zum sogenannten
Rauschen und die Helligkeitswerte sind annähernd normalverteilt.
– Berechnen Sie, wie viel Prozent der Helligkeitswerte im Intervall [90; 102] liegen, wenn
die Normalverteilung folgende Parameter hat: μ = 96, σ = 3.
Helligkeitsstufen
90 102
Fotografie 3
d) Da das menschliche Auge grün-sensibel ist, haben Sensoren von Digitalkameras mehr
grün-sensible Rezeptoren und der Rauscheffekt ist bei der Farbe grün geringer.
– Interpretieren Sie die neben-
stehende Grafik: Beschreiben Sie,
was die Werte „3 %“ und „1 %“
bedeuten.
(Die Beschreibung kann entweder
über mathematische Ausdrücke
oder in Worten erfolgen.)
Anhand der in der Grafik darge-
stellten Werte kann bei bekanntem
Sigma der Erwartungswert μ be-
rechnet werden.
– Erstellen Sie die dazu benötigte Gleichung mit σ = 0,72.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
101 1 % 3 % 98
Helligkeits-
stufen

Usain Bolt
Aufgabennummer: B_007
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich S
a) Bei den Olympischen Sommerspielen 2012 in London sprintete Usain Bolt im
100-Meter-Finallauf mit einer Zeit von 9,63 Sekunden (s) durch das Ziel.
Die bei diesem Lauf gemessenen Geschwindigkeiten in Kilometern pro Stunde (km/h)
sind in folgender Tabelle festgehalten:
Geschwindigkeit
in km/h
23,54 34,22 39,07 41,27 42,27 42,72 42,93 43,02 43,064
Zeit in s 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Die Laufgeschwindigkeit kann annähernd durch die Funktion v beschrieben werden:
v ( t ) = 43,1 · (1 – ℯ
b·t
)
t ... Laufzeit in s
v ( t ) ... Geschwindigkeit in km/h zum Zeitpunkt t
– Stellen Sie die Daten der Tabelle in einem kartesischen Koordinatensystem dar.
– Ermitteln Sie unter Zuhilfenahme eines beliebigen Messwertes der Tabelle den
Parameter b der Funktion v (auf 2 Dezimalstellen gerundet).
b) Die Geschwindigkeit, mit der Usain Bolt 2009 den Weltrekord über 200 m lief, lässt sich
annähernd durch folgende Funktion v beschreiben:
v ( t ) =
101
9
· (1 – ℯ
–0,73 ·t
)
t ... Laufzeit in s
v ( t ) ... Geschwindigkeit in m/s zum Zeitpunkt t
– Stellen Sie die Funktion des Weges s in Abhängigkeit von der Zeit t auf.
– Berechnen Sie, in welcher Zeit Usain Bolt die ersten 100 m zurücklegte (auf 2 Dezi-
malstellen gerundet).
Usain Bolt 2
c) Die Laufgeschwindigkeit während der ersten 2 Sekunden des Weltrekordlaufs über
200 m ist in der nachstehenden Grafik dargestellt.
– Lesen Sie die Steigung der eingezeichneten Sekante ab.
– Interpretieren Sie diese Steigung physikalisch.
d) Zwei Läufer treten gegeneinander an.
Der vom ersten Läufer zurückgelegte Weg s 1 in Metern (m) kann durch die
Funktion s 1( t ) = 15 · ℯ
–0,72· t
+ 11 · t – 15 beschrieben werden.
Der vom zweiten Läufer zurückgelegte Weg s 2 in Metern (m) kann durch die
Funktion s 2( t ) = 16 · ℯ
–0,72· t
+ 11 · t – 16 beschrieben werden.
Mit der folgenden Gleichung wird diejenige Zeit t berechnet, nach der der Abstand
zwischen den beiden Läufern 95 cm beträgt.
(1) 15 · ℯ
– 0,72· t
+ 11 · t – 15 = 16 · ℯ
– 0,72· t
+ 11 · t – 16 + 0,95
(2) 0,05 = 16 · ℯ
– 0,72· t
– 15 · ℯ
– 0,72· t
(3) 0,05 = ℯ
– 0,72· t
· (16 – 15)
(4) ln(0,05) = 0,72 – t + ln(1)
(5) ln(0,05) – 0,72 = – t
(6) t ≈ 3,7 s
In der Rechnung befindet sich ein Umformungsfehler.
– Bestimmen Sie diejenige Zeile, in der der Umformungsfehler passiert ist.
– Stellen Sie die Rechnung richtig.
– Erklären Sie, worin der Umformungsfehler besteht.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit passenden Maß-
einheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.

Der Tee ist zu heiß!
Aufgabennummer: B_009
Technologieeinsatz: möglich S erforderlich £
Susanne und Samuel trinken zum Frühstück aus zwei unterschiedlich geformten Tassen Tee.
Die Temperatur des Tees in beiden Tassen beträgt um 6:00 Uhr 90 Grad Celsius (°C). Die Um-
gebungstemperatur beträgt 24 °C.
a) Die Abkühlung des Tees in der Tasse von Susanne kann näherungsweise durch eine
exponentielle Abklingfunktion beschrieben werden. Die Temperatur des Tees nimmt
nach 27 Minuten (min) um 50 % ab.
– Skizzieren Sie den Temperaturverlauf während der ersten 30 min in ein Koordinaten-
system.
– Lesen Sie aus der Grafik ab, welche Temperatur der Tee von Susanne um 6:15 Uhr
erreicht hat.
b) Susanne ist der Ansicht: „Der Tee ist zu heiß!“ Ihre Mutter gießt um 6:10 Uhr kalten
Apfelsaft in den Tee, aufgrund dessen die Temperatur um 11 °C fällt.
– Erklären Sie, warum die folgende Grafik diesen Temperaturverlauf nicht korrekt be-
schreibt.
Der Tee ist zu heiß! 2
c) Der Tee von Samuel kühlt in seiner Tasse in 15 min von 90 °C auf 50,5 °C ab. Dieser
Abkühlungsvorgang lässt sich durch folgende Funktion beschreiben:
ϑ ( t ) = ( ϑ A – ϑ U) · ℯ
– k·t
+ ϑ U
t … Zeit nach Beobachtungsbeginn in min
ϑ A … Anfangstemperatur in °C
ϑ U … Umgebungstemperatur in °C
k … Zeitkonstante des Abkühlungskörpers (Tasse) in min
–1
ϑ ( t ) … Temperatur des Tees in °C t min nach Beobachtungsbeginn
– Berechnen Sie k.
– Erstellen Sie diejenige Funktionsgleichung, die die Temperatur des Tees in Abhängig-
keit von der Zeit beschreibt.
– Erklären Sie die Bedeutung des Differenzialquotienten
d ϑ ( t )
d t
in Bezug auf die Abkühlung.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.

Fernsehturm
Aufgabennummer: B_250
Technologieeinsatz: möglich S erforderlich £
Ein Turm steht senkrecht auf einem horizontalen Platz.
a) Auf diesem Turm befindet sich eine senkrechte Antenne, deren Höhe gemessen wer-
den soll. Von einem Messgerät, das sich auf dem horizontalen Platz s Meter (m) vom
Turm entfernt befindet, erscheint die Antenne unter einem Sehwinkel α . Der Fußpunkt
der Antenne erscheint unter einem Höhenwinkel β .
– Zeichnen Sie die angegebenen Größen in die obige Skizze ein.
– Stellen Sie eine Formel zur Berechnung der Antennenhöhe, abhängig von den Größen
s , α und β , auf.
b) Der Platz, auf dem der Turm steht, hat die Form eines Trapezes. Die nachstehende
Grafik zeigt den Platz im Maßstab 1 : 600 und die Seitenlängen sind in cm gezeichnet.
– Bestimmen Sie mithilfe der Darstellung die Länge der Seite a in Metern (m).
– Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung der Länge der Diagonale f bei gegebener
Seitenlänge d und a und den Winkeln α 1 und α 2.
D C
A B
b
c
a
f e
d
Fernsehturm 2
– Kreuzen Sie die zutreffende Aussage an. [1 aus 5]
sin( δ 1 )
e
=
sin( γ
1
)
d
☐
sin( γ
2
)
a
=
sin( γ
1
)
d
☐
sin ( α 1 )
b
=
sin ( β
1
)
c
☐
sin ( γ
1
)
d
=
sin ( δ
1
)
c
☐
sin( α 1 )
b
=
sin( γ
2
)
a
☐
c) Für Konzerte wird der Platz vor dem Turm in Sektoren aufgeteilt. Die nachstehende
Skizze veranschaulicht die Fläche eines bestimmten Sektors, wobei die Seitenlängen in
Metern (m) angegeben sind.
– Berechnen Sie die Seitenlänge x aus den gegebenen Größen.
– Begründen Sie mathematisch, warum die Berechnung der Länge x mit
x = sin (24,2°) ∙ h falsch ist.
– Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.
x
h
2 m
113,66°
24,2°

Infrarotheizung
Aufgabennummer: B-C1_30
Technologieeinsatz: möglich S erforderlich £
Heutzutage werden immer häufiger Infrarotheizungen in Wohnräumen eingesetzt.
a) Der Erwärmungsvorgang des Heizleiters der Infrarotheizung lässt sich durch die Funkti-
on ϑ näherungsweise beschreiben:
ϑ ( t ) = c · (1 – ℯ
– λ · t
) + b
t … Zeit nach Beobachtungsbeginn in Minuten (min)
λ … Zeitkonstante der Infrarotheizung in min
–1
ϑ ( t ) … Temperatur des Heizleiters der Infrarotheizung zur Zeit t in °C
– Ermitteln Sie mithilfe der nachstehenden Grafik die Parameter b , c und λ der Funktion ϑ .
– Begründen Sie anhand der Funktion ϑ , warum die Temperatur nie über ( c + b ) °C
ansteigen kann.
Infrarotheizung 2
b) Der Erwärmungsvorgang der Vorderwand der Infrarotheizung lässt sich durch folgende
Funktion ϑ 1 beschreiben:
ϑ 1( t ) = 20 · (1 – ℯ
–0,07 · t
) + 20
t … Zeit nach Beobachtungsbeginn in min
λ … Zeitkonstante der Infrarotheizung in min
–1
ϑ ( t ) … Temperatur des Heizleiters der Infrarotheizung zur Zeit t in °C
– Argumentieren Sie, warum die momentane Erwärmungsgeschwindigkeit theoretisch
nie null wird.
– Berechnen Sie den Zeitpunkt nach Beobachtungsbeginn, zu dem die momentane
Erwärmungsgeschwindigkeit 0,35
°C
min
beträgt.
c) Der Zusammenhang zwischen Temperatur und mittlerer Geschwindigkeit der Luftteil-
chen wird durch folgende Formel beschrieben:
T =
m ∙ v
2
3 ∙ k B
m … Masse der Luftteilchen in Kilogramm (kg)
v … mittlere Geschwindigkeit der Luftteilchen in Metern pro Sekunde (m/s)
k B … Boltzmann-Konstante in Joule/Kelvin (J/K)
T … Temperatur in Kelvin (K)
– Erläutern Sie anhand der Formel für T , welche Änderung der Teilchengeschwindigkeit
einer Verdoppelung der Temperatur entspricht.
d) Die Fläche an der Vorderseite der Infrarotheizung hat die Form eines Vierecks mit den
Seitenlängen a = 71,4 cm, b = 36,9 cm und d = 59,1 cm. Die Winkel sind β = 94° und
δ = 84,3°.
– Berechnen Sie mithilfe der
nebenstehenden Skizze den
Flächeninhalt des Vierecks.
– Berechnen Sie mithilfe der
Skizze den Umfang des
Vierecks.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit passenden Maß-
einheiten anzugeben.

Dachfenster (1)
Aufgabennummer: B_065
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich S
Ein 3-eckiges Dachfenster soll neu verglast werden.
g = 81°
AB = 1,60 m
BC = 0,70 m
a) – Berechnen Sie die Fläche des skizzierten Dreiecks, das die Fensteröffnung darstellt.
b) Das oben angegebene Dreieck wird in ein Koordinatensystem gezeichnet, die Koordi-
naten der 3 Eckpunkte sind bekannt.
– Beschreiben Sie, welche Überlegung bei der folgenden Vorgangsweise für die
Berechnung der Dreiecksfläche nicht korrekt ist:
c = a = AB
OM =
1
2
∙ ( OA + OB )
hc = MC
A =
c ∙ hc
2
– Beschreiben Sie, wie man die Koordinaten des Fußpunktes der Höhe hc ermittelt.
– Stellen Sie die dazu nötigen Geraden in allgemeiner Form auf.
A B
g
hc
.
C
Dachfenster (1) 2
c) In einer Glaserei werden 3-eckige Fensterscheiben zugeschnitten. In folgender Tabelle
sind die Flächeninhalte einer Produktionsserie bestimmter Fensterscheiben angegeben:
Fläche in m ²
Anzahl der
Scheiben
1,91 – 1,95 1
1,96 – 2,00 5
2,01 – 2,05 22
2,06 – 2,10 48
2,11 – 2,15 52
2,16 – 2,20 29
2,21 – 2,25 0
2,26 – 2,30 1
– Berechnen Sie den arithmetischen Mittelwert und die Standardabweichung der
angegebenen Flächeninhalte. Verwenden Sie dazu die Klassenmitten.
– Beschreiben Sie, welche Wahrscheinlichkeit bezogen auf die Fensterproduktion durch
den nachstehenden Rechenausdruck ermittelt wird ( x und s der vorhergehenden
Rechnung sollen als Schätzung für μ und σ verwendet werden).
P = 1 – 0,932 – 0,082 = 0,150… ≈ 15 %
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.

Wasserstand in einem Hafenbecken
Aufgabennummer: B_085
Technologieeinsatz: möglich S erforderlich £
Die Höhe des Wasserstandes in einem Hafenbecken an der Ostsee lässt sich aufgrund der
Gezeiten annähernd durch folgende Funktion H beschreiben:
H ( t ) = 4 + 1,5 · cos(0,507 · t )
H ( t ) … Höhe des Wasserstandes in Metern (m) zum Zeitpunkt t
t … Zeit in Stunden (h) nach Mitternacht am 12. März, 0 h ≤ t ≤ 24 h
a) – Berechnen Sie die Wassertiefe im Hafenbecken am Morgen des 12. März um 8:15 Uhr.
b) – Zeichnen Sie den Graphen der Funktion H .
– Ermitteln Sie aus der Grafik, zu welchen Zeitpunkten am 12. März der Wasserstand
am höchsten und wann er am niedrigsten ist.
– Geben Sie jeweils die Höhe des Wasserstandes zu diesen Zeitpunkten an.
c) Die Funktion für die Höhe des Wasserstandes in Abhängigkeit von der Zeit t lautet all-
gemein:
H ( t ) = d + a · cos( b · t )
– Interpretieren Sie die Bedeutung der einzelnen Parameter im angegebenen Zusam-
menhang.
d) An einem bestimmten Tag beträgt der Wasserstand im Hafenbecken um 3:06 Uhr
9,5 m und jener um 9:18 Uhr 2,5 m.
– Berechnen Sie die Größe der Parameter a und b , wenn der Wasserstand durch
folgende Funktion beschrieben wird:
H 1( t ) = a + b · sin(0,507 · t )
H 1( t ) … Höhe des Wasserstandes in Metern (m) zum Zeitpunkt t
t … Zeit in Stunden (h) nach Mitternacht, 0 h ≤ t ≤ 24 h
– Ermitteln Sie, ob ein Schiff mit einem Tiefgang (Distanz von der Wasserlinie bis zum
tiefsten Punkt eines Schiffs) von 5,5 m um 18:00 Uhr noch im Hafen anlegen kann.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit pas-
senden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.

Kängurusprünge
Aufgabennummer: B-C9_15
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich S
a) In Australien leben heute ca. 60 Känguruarten, die sich bei höheren Geschwindigkeiten
meist springend fortbewegen. Die kleinste Art ist das Zottelige Hasenkänguru mit ca.
35 cm Körpergröße, die größte das Rote Riesenkänguru mit ca. 1,8 m Körpergröße.
Bei allen Känguruarten ist die maximale Sprungweite etwa das 7-Fache ihrer Körpergröße.
– Erstellen Sie eine Funktion, die die ungefähre maximale Sprunglänge in Abhängigkeit
von der Körpergröße angibt.
– Stellen Sie diese Funktion von der kleinsten bis zur größten Känguruart grafisch dar.
b) Der nachstehende Graph zeigt den Sprung eines Kängurus.
Der Sprung kann mit einer Polynomfunktion 2. Grades im angegebenen Definitionsbe-
reich beschrieben werden.
– Berechnen Sie die Funktionsgleichung mithilfe quadratischer Regression. Runden Sie
die Koeffizienten auf Hundertstel.
– Lesen Sie die benötigten Werte aus dem Graphen ab.
c) In einem Volksschulhort gibt es das Brettspiel Känguruhüpfen zum spielerischen Addie-
ren im Zahlenraum 12.
Am Start stehen maximal 11 Kängurus, die mit den Nummern von 2 bis 12 beschriftet
sind. Jede/r Spieler/in sucht sich ein Känguru aus. Es wird reihum mit 2 sechsseitigen
Würfeln gewürfelt. Nach jedem Wurf werden die Augenzahlen addiert und das Känguru,
dessen Nummer mit der Augensumme der beiden Würfel übereinstimmt, darf ein Feld
vorhüpfen.
– Überprüfen Sie nachweislich, ob die Chance, ein Feld vorzurücken, für alle Kängurus
gleich groß ist.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.

Der Schall
Aufgabennummer: B_067
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich S
Als Schalldruck p werden die Druckschwankungen eines kompressiblen Schallübertragungs-
mediums (üblicherweise Luft) bezeichnet, die bei der Ausbreitung von Schall auftreten. Eine für
das Hörempfinden relevante Größe ist der Schalldruckpegel Lp .
L p = 20 ∙ lg
p
p
0
Lp … Schalldruckpegel in Dezibel (dB)
p … Schalldruck in Pascal (Pa)
p 0 ... Bezugswert für Luftschall ( p 0 = 20 μ Pa)
a) – Stellen Sie den Schalldruckpegel Lp in Abhängigkeit vom Schalldruck p für das Inter-
vall [ p 0; 0,1 Pa] grafisch dar.
– Zeigen Sie mithilfe der Rechenregeln für Logarithmen und der angegebenen Formel,
dass eine Verdoppelung des Schalldrucks p eine Erhöhung des Schalldruckpegels Lp
um etwa 6 dB bewirkt.
b) Das nachstehende Diagramm zeigt die Abhängigkeit des Schalldruckpegels vom
Schalldruck nach obiger Formel. Ab einem Schalldruck p von etwa 20 Pa können be-
reits bei kurzfristiger Einwirkung Gehörschäden auftreten.
– Ermitteln Sie aus der Grafik den Schalldruckpegel Lp für diesen Schalldruck.
1 10 100
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
L p in dB
p in Pa
Der Schall 2
In der Grafik ist der Abstand zwischen 1 Pa und 10 Pa auf der horizontalen Achse 5 cm.
– Berechnen Sie den Abstand zwischen 10 Pa und 50 Pa in cm auf der logarithmisch
skalierten horizontalen Achse.
c) Ein einzelner Ton kann durch eine Sinusschwingung dargestellt werden. Die Hörbarkeit
eines Tones für den Menschen hängt von der Lautstärke (Amplitude A ) und von der
Tonhöhe (Frequenz f ) ab. Je größer die Amplitude ist, desto lauter ist der Ton. Je höher
die Frequenz ist, desto höher ist der Ton.
Die folgende Funktion gibt die Schwingung einer Schallwelle für den Kammerton a mit
einer Frequenz f = 440 Hz wieder:
y ( t ) = A · sin(2 π · 440 t )
y ( t ) … Auslenkung in Längeneinheiten zum Zeitpunkt t
t … Zeit in Sekunden (s)
A … Amplitude in Längeneinheiten
– Stellen Sie eine Funktionsgleichung der Schwingung für den Kammerton a mit dop-
pelter Lautstärke auf.
Als Hörgrenze bezeichnet man diejenige Frequenz, bei der ein Ton einer bestimmten
Lautstärke gerade noch hörbar ist. Die Hörgrenze bei einem Menschen im Alter von
35 Jahren beträgt etwa 15 kHz.
– Stellen Sie eine Funktionsgleichung der Schwingung für diese Frequenz auf.
d) Ein Megafon ist ein trichterförmiges Gerät, das die Ausbreitung von Schall beeinflusst
und die Verständlichkeit und Reichweite von Sprache verbessert.
Die nachstehende Abbildung stellt näherungsweise den inneren Querschnitt eines
Megafons dar.
f
-15
-10
-5
0
5
10
15
0 5 10 15 20 25 30
f ( x ) in cm
x in cm
f
Der Schall 3
Die Begrenzungslinie der Querschnittsfläche wird im relevanten Intervall durch die Funk-
tion f beschrieben: f ( x ) =
x
3
3 000
+ 4 .
– Berechnen Sie das Innenvolumen des Megafons.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.

Distelsamen / Herbsttermin 2022 / B_552 S. 1/5
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
20. September 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 14 /22
Aufgabe 6 (Teil B)
Distelsamen
Im Rahmen eines Projekts zum Thema Verbreitung von Unkrautsamen untersucht eine Gruppe
von Schülerinnen das Fallverhalten von Distelsamen.
a) Zur Bestimmung der Masse von Distelsamen wird eine Zufallsstichprobe von 8 Distelsamen
untersucht. Die nachstehende Tabelle zeigt die Messergebnisse.
Masse eines Distelsamens in mg 0,84 0,81 0,82 0,82 0,83 0,81 0,82 0,85
1) Berechnen Sie den Stichprobenmittelwert x und die Stichprobenstandardabweichung sn – 1
dieser Messergebnisse. [0 / 1 P.]
Die Masse von Distelsamen wird als annähernd normalverteilt angenommen.
2) Ermitteln Sie das zweiseitige 95-%-Konfidenzintervall für den Erwartungswert μ dieser
Normalverteilung. [0 / 1 P.]
b) Ein Distelsamen wird aus einer bestimmten Höhe fallen gelassen. Für eine bestimmte Phase
der Bewegung kann der zurückgelegte Weg in Abhängigkeit von der Zeit modellhaft durch
eine lineare Funktion beschrieben werden.
Die Schülerinnen messen für diese Phase folgende Werte:
Zeit in s 1,2 2,7 4,2 5,0 6,6
zurückgelegter Weg in cm 20 40 60 80 100
1) Stellen Sie mithilfe der Regressionsrechnung eine Gleichung der zugehörigen linearen
Funktion auf. [0 / 1 P.]
2) Interpretieren Sie den Wert der Steigung dieser linearen Funktion im gegebenen Sachzu-
sammenhang. Geben Sie dabei die zugehörige Einheit an. [0 / 1 P.]
Distelsamen / Herbsttermin 2022 / B_552 S. 2/5
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
20. September 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 15 /22
c) Ein Samen einer anderen Distelart fällt aus einer bestimmten Höhe senkrecht herab. Die Ge-
schwindigkeit dieses Distelsamens kann in Abhängigkeit von der Zeit t durch die Funktion v
modelliert werden. Die Funktion v ist streng monoton steigend und nähert sich asymptotisch
dem Wert 5 cm/s. Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen dieser Funktion v .
4 3 2 1 0 5
4
3
2
1
0
5
v ( t ) in cm/s
t in s
v
1) Kreuzen Sie die nicht zutreffende Aussage an. [1 aus 5] [0 / 1 P.]
Die Beschleunigung des Distelsamens nähert sich
dem Wert 0 cm/s
2
.
Die Beschleunigung des Distelsamens zur Zeit
t = 0,5 s ist größer als zur Zeit t = 1 s.
Der Distelsamen legt im Zeitintervall [0 s; 0,5 s]
rund 0,75 cm zurück.
Die zugehörige Beschleunigung-Zeit-Funktion ist
streng monoton steigend.
Die mittlere Beschleunigung des Distelsamens im
Zeitintervall [0 s; 0,5 s] beträgt rund 6 cm/s
2
.
Distelsamen / Herbsttermin 2022 / B_552 S. 3/5
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
20. September 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 16 /22
d) Beim Herabfallen wirken auf einen Distelsamen zu einem bestimmten Zeitpunkt die drei Kräfte
F G , F W und F L .
Die nachstehende Abbildung veranschaulicht diese drei Kräfte in einem Koordinatensystem.
F
G
F
W
y in μN
x in μN
0 –1 –2 –3 –4 –5 –6 1 2 3 4 5 6
0
2
1
–2
–3
–4
–5
–6
–1
–7
3
4
5
6
7
F
L
1) Geben Sie die Koordinaten von F L an.
F L =
( )
[0 / 1 P.]
Für die resultierende Kraft F R gilt:
F R = F G + F W + F L
2) Zeichnen Sie in der obigen Abbildung die resultierende Kraft F R ausgehend vom Koordina-
tenursprung ein. [0 / 1 P.]
3) Berechnen Sie den Betrag der resultierenden Kraft F R . [0 / 1 P.]

Fahrradrennen
Aufgabennummer: B_251
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich S
Es findet ein Fahrradrennen statt.
a) Die Rennstrecke führt geradlinig von A
über B nach C . C hat die Koordinaten
(8 | y 0). Die Richtung von B nach C ist
durch den Vektor
2
1,5
gegeben.
– Berechnen Sie die Länge des
Weges von A nach B.
– Zeichnen Sie den Punkt C in die
nebenstehende Grafik ein.
– Beschreiben Sie, was mit dem Aus-
druck – AB + BC berechnet wird.
b) Auf der Rennstrecke befindet sich ein gerades Straßenstück mit 10 % Gefälle.
– Erklären Sie mithilfe des Steigungsbegriffes, was „10 % Gefälle“ bedeutet.
– Berechnen Sie den Neigungswinkel des Straßenstücks.
y in km
x in km
A
B
8 7 6 5 4 3 2 1 0 9 10
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
12
13
Fahrradrennen 2
c) Der zurückgelegte Weg einer Rennfahrerin wird bei einem Bremsmanöver gemessen.
t in s 1 3 5
s in m 10,17 23,73 28,25
t ... Zeit in Sekunden (s)
s ( t ) ... zurückgelegter Weg zum Zeitpunkt t in Metern (m)
Der zurückgelegte Weg kann durch eine quadratische Funktion s mit
s ( t ) = a · t
2
+ b · t + c beschrieben werden.
– Erstellen Sie mithilfe der gegebenen Messwerte ein Gleichungssystem zur Berech-
nung der Parameter a , b und c .
– Lösen Sie dieses Gleichungssystem.
– Berechnen Sie mithilfe der Funktion s die mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall [2; 4].
– Erklären Sie, welche Größe mit der 1. Ableitung der Funktion s zum Zeitpunkt t = 3
berechnet werden kann.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.