Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 2601–2650

Intelligenzquotient
Aufgabennummer: B_236
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich S
Der Intelligenzquotient (IQ) ist eine Kenngröße zur Bewertung des allgemeinen intellektuellen
Leistungsvermögens (Intelligenz) eines Menschen. Er vergleicht die Intelligenz eines Menschen
mit der mittleren Intelligenz der Gesamtbevölkerung im selben Zeitraum und im vergleichbaren
Alter.
a) Interpretieren Sie den IQ als normalverteilte Zufallsgröße mit Erwartungswert μ = 100:
– Lesen Sie den ungefähren Wert der Standardabweichung aus der unten stehenden
Grafik ab.
– Lesen Sie die IQ-Untergrenze der intelligentesten 16 % ab.
– Schätzen Sie aus der Grafik ab, wie viel Prozent der Personen einen höheren IQ als
90 haben.
b) Bei einem IQ-Test erreichte eine Gruppe von 5 Schülerinnen und Schülern Werte von
90, 95, 100, 105 und 110 IQ-Punkten, eine andere Gruppe 85, 90, 95, 105 und 125
IQ-Punkte.
– Berechnen Sie die arithmetischen Mittel sowie die Streuungsmaße Spannweite und
Standardabweichung (auf eine Dezimalstelle gerundet) der beiden Stichproben.
– Interpretieren Sie die Unterschiede.
34 % 34 %
13,5 % 13,5 % 2,5 % 2,5 %
70 85 100 115 130
Intelligenzquotient 2
c) Eine Gruppe von 10 Schülerinnen und Schülern machte einen Intelligenztest.
Dieselben Schüler/innen füllten einen Fragebogen aus, der Aufschluss über das Selbst-
bewusstsein gibt (je höher die Punktezahl, desto größer das Selbstbewusstsein).
Die Ergebnisse sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst:
IQ-Punkte x 101 96 120 105 103 90 107 98 110 103
Selbstbewusstsein y 3 1 4 3 4 2 5 2 4 2
– Ermitteln Sie die Gleichung der Regressionsgeraden.
– Stellen Sie die Punktwolke und die Regressionsgerade grafisch dar.
– Berechnen Sie mithilfe dieses Modells das Selbstbewusstsein eines Schülers
oder einer Schülerin mit einem IQ von 110.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.

Ammonium im Fluss
Aufgabennummer: B_105
Technologieeinsatz: möglich S erforderlich £
Die Selbstreinigungskraft eines fließenden Gewässers hängt von dessen Sauerstoffgehalt ab. Bleibt der
Sauerstoffgehalt konstant, erfolgt der Abbau von Ammonium exponentiell.
a) Bei konstanter Fließgeschwindigkeit baut ein bestimmter Fluss nach jeweils 2 Kilometern (km)
50 % des Ammoniums ab. Am Punkt A beträgt der Ammoniumgehalt 1 Milligramm pro Liter
(mg/L). Durch Einleitung von Abwasser erhöht sich der Ammoniumgehalt am Punkt B um
0,4 mg/L und am Punkt C um 0,5 mg/L.
Die nachstehende Grafik zeigt schematisch den Verlauf dieses Flusses.
– Übertragen Sie den Ammoniumgehalt in Milligramm pro Liter (mg/L) während der
ersten 6 Kilometer in ein Koordinatensystem. Wählen Sie Punkt A als Startpunkt.
Bei konstanter Fließgeschwindigkeit lässt sich der Abbau von Ammonium durch folgende Funk-
tion N beschreiben:
N ( s ) = N 0 · ℯ
–0,3466· s
s … Fließstrecke in km
N ( s ) … Ammoniumgehalt nach der Fließstrecke s in mg/L
N 0 … Anfangsgehalt an Ammonium in mg/L
– Berechnen Sie, wie hoch der Ammoniumgehalt in mg/L unmittelbar nach dem Punkt C ist.
b) Durch den Einbau von Wehrstufen soll der Sauerstoffeintrag in den Fluss und damit dessen
Selbstreinigungskraft erhöht werden. Der Fluss sollte danach imstande sein, schon nach 1 km
die Hälfte des eingetragenen Ammoniums abzubauen.
– Stellen Sie eine Formel auf, die – abhängig von der Flussstrecke und dem Anfangs-
gehalt – den Ammoniumgehalt in mg/L beschreibt.
c) An einer bestimmten Stelle des Flusses beträgt der Durchfluss 1 390 m
3
/s. Der mittlere Ammo-
niumgehalt beträgt 0,13 mg/L.
– Berechnen Sie die Menge an Ammonium (in Tonnen), die pro Tag an dieser Stelle durchfließt.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit passenden Maßeinheiten anzu-
geben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
C A B
4 km 5 km

Autofahrt (1)
Aufgabennummer: B_072
Technologieeinsatz: möglich S erforderlich £
a) Im folgenden Weg-Zeit-Diagramm ist die von einem Auto zurückgelegte Strecke s in
Metern (m) in Abhängigkeit von der Zeit t in Sekunden (s) für 0 s ≤ t ≤ 40 s dargestellt.
– Lesen Sie aus der Grafik die mittlere Geschwindigkeit des Autos für das Zeit-
intervall 15 s ≤ t ≤ 30 s ab.
– Lesen Sie aus der Grafik die momentane Geschwindigkeit des Autos für den Zeit-
punkt t = 30 s ab.
b) Die nachstehende Grafik zeigt das Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm eines Autos für die
ersten 40 s seiner Fahrt.
t in s
s ( t ) in m
t in s
v ( t ) in m/s
Autofahrt (1) 2
– Kreuzen Sie die zutreffende Aussage über die Beschleunigungsfunktion an.
[1 aus 5]
Die Beschleunigung ist nach ungefähr 40 Sekunden gleich null. £
Die Beschleunigung ist für 0 s ≤ t ≤ 40 s positiv. £
Der Graph der Beschleunigungsfunktion ist für den Bereich
0 s ≤ t ≤ 40 s fallend.
£
Die Beschleunigung ist nach ungefähr 20 Sekunden maximal. £
Die Beschleunigung ist nach 5 Sekunden ungefähr gleich groß
wie nach 35 Sekunden.
£
c) Die Geschwindigkeit eines anderen Autos erreicht nach 25 s ihr Maximum von
15 Metern pro Sekunde (m/s) und nach einer Fahrzeit von 50 s ist sie gleich null.
Die Geschwindigkeit kann mithilfe einer quadratischen Funktion v ( t ) = a · t ² + b · t + c
beschrieben werden.
– Stellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Parameter a , b und c auf.
– Ermitteln Sie diejenige Funktion, die die Geschwindigkeit des Autos in Abhängigkeit
von der Zeit beschreibt.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.

Planeten (1)
Aufgabennummer: B_167
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich S
In der nachstehenden Tabelle sind die Entfernungen von Planeten zur Sonne in AE (AE = astronomische
Einheit = mittlere Entfernung von der Sonne zur Erde) und deren Umlaufzeiten um die Sonne angegeben.
Merkur Venus Erde Jupiter Saturn
mittlere Entfernung x zur Sonne in
astronomischen Einheiten (AE)
0,39 0,72 1 5,2 9,54
gerundete Umlaufzeit y in Tagen (d) 88 225 365 4 330 10 760
a) Der Zusammenhang zwischen Entfernung und Umlaufzeit wird durch y = a ∙ x
c
beschrieben.
– Bestimmen Sie aus den Werten von Venus und Erde die Parameter a und c .
b) Die Anwendung der natürlichen Logarithmusfunktion auf die Werte der obigen Tabelle führt auf
die folgende Tabelle:
Merkur Venus Erde Jupiter Saturn
Logarithmus der mittleren Entfernung zur
Sonne in astronomischen Einheiten (AE)
x –0,94 –0,33 0 1,65 2,26
Logarithmus der Umlaufzeit in Tagen (d) y 4,48 5,42 5,9 8,37 9,28
Die logarithmierten Werte müssen auf einer Geraden liegen. Durch Bestimmung der Regressions-
geraden kann man Ungenauigkeiten ausgleichen.
– Berechnen Sie die Gleichung der Regressionsgeraden.
– Berechnen Sie mithilfe der Regressionsgeraden die Umlaufzeit in Tagen für den Mars
(mittlere Entfernung zur Sonne = 1,53 AE).
Planeten (1) 2
– Erklären Sie, warum die beiden im Folgenden angegebenen Korrelationskoeffizienten für die in
der Grafik dargestellten Regression nicht richtig sein können.
r 1 ≈ – 0,999
r 2 ≈ 1,01
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit pas-
senden Maßeinheiten anzugeben.

Zahlen können auch komplex sein*
Aufgabennummer: B_510
Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £
Viele Vorgänge in der Elektrotechnik können modellhaft mithilfe von komplexen Zahlen be-
schrieben werden. Dabei wird die imaginäre Einheit mit j bezeichnet.
a) 1) Zeichnen Sie in der nachstehenden Abbildung die komplexe Zahl z
1
= 2 · ℯ
–j ∙
π
2 ein.
2) Zeichnen Sie in der nachstehenden Abbildung die beiden komplexen Zahlen z
2
und z
3
ein, die den Realteil –3 und den Betrag 5 haben.
0 1 2 3 4 5 –1 –2 –3 –4 –5
0
2j
– 2j
– j
– 3j
– 4j
– 5j
j
3j
4j
5j imaginäre Achse
reelle Achse
b) Zu jeder komplexen Zahl z = a + b ∙ j mit a , b ∈ ℝ gibt es die konjugiert komplexe Zahl
z * = a – b ∙ j.
1) Zeigen Sie allgemein, dass z ∙ z * eine reelle Zahl ist.
* ehemalige Klausuraufgabe

Gewächshaus
Aufgabennummer: B_058
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich S
Für die Anzucht von Paradeisern wird ein Gewächshaus aus Glas gebaut (siehe Abbildung).
a) – Zeigen Sie, wie man die gegebene Formel für die Berechnung des Materialbedarfs an
Glas für alle 4 Seitenwände und das aus 4 Glasplatten bestehende Dach erhält.
O = b ∙ 2 ∙ h +
h 2
2
+
h 3
2
+ a ∙ (2 ∙ h + h
1
)
b) – Berechnen Sie denjenigen Winkel, den die lange schräge Kante d des Dachs mit der
waagrechten Kante a einschließt. Maße: a = 3,8 m, d = 3,2 m, c = 1,3 m.
c) Von der in einer Paradeiserpflanze vorhandenen Flüssigkeitsmenge verdunsten täglich
45 %. Über das Erdreich nimmt die Pflanze im gleichen Zeitraum 12 Milliliter (ml) Flüssig-
keit auf. Zu Beginn des Beobachtungszeitraumes enthält die Pflanze 15 ml Flüssigkeit.
Die Zunahme der Flüssigkeitsmenge in der Paradeiserpflanze kann durch folgende
Funktion y beschrieben werden:
y ( t ) = a ⋅ (1 – ℯ
b ⋅ t
) + c
t ... Zeit in Tagen
y ( t ) ... Flüssigkeitsmenge in der Pflanze zum Zeitpunkt t in ml
– Erstellen Sie (ohne Verwendung der Funktionsgleichung) eine Tabelle und eine Grafik,
die die tägliche Flüssigkeitsmenge in der Paradeiserpflanze für 15 Tage angeben.
– Ermitteln Sie die Parameter a , b und c . Verwenden Sie dazu die Daten der zuvor er-
stellten Tabelle.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit passenden Maßeinheiten anzu-
geben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
b
a
h 2
h
h 1
h 3 . .
.
c d
c
d

Raketenstart
Aufgabennummer: B_054
Technologieeinsatz: möglich S erforderlich £
Trägerraketen ermöglichen es, schwere Nutzlasten in die Erdumlaufbahn zu befördern. Ariane 5
ist die leistungsfähigste europäische Trägerrakete.
Beim Start der Ariane 5 lässt sich der senkrecht nach oben zurückgelegte Weg s in Abhängig-
keit von der Zeit t modellhaft annähernd durch eine quadratische Funktion beschreiben.
a)
t … Zeit in Sekunden (s)
s ( t ) … zurückgelegter Weg in Metern (m) zum Zeitpunkt t
– Stellen Sie die allgemeine Funktion s für den gegebenen Zusammenhang auf.
– Ermitteln Sie mithilfe der Werte aus der Tabelle die entsprechenden Parameter der
Funktion s .
b) Folgender Graph beschreibt modellhaft den zurückgelegten Weg s in Abhängigkeit von
der Zeit t in der Startphase der Rakete:
– Erklären Sie den Unterschied zwischen der Momentangeschwindigkeit v für den Zeit-
punkt t 0 = 30 s und der Durchschnittsgeschwindigkeit v für ∆ t = 30 s – 0 s mithilfe der
Begriffe Differenzenquotient und Differenzialquotient .
– Veranschaulichen Sie diese in obiger Grafik.
t in s s ( t ) in m
0 0
2 16,1
4 53,8
0
1000
2000
3000
4000
5000
0 10 20 30 40
s in m
t in s
Raketenstart 2
c) Die Beschleunigung der Ariane 5 in der Startphase beträgt etwa 5,4 m/s ² .
– Stellen Sie die Funktionen für die Beschleunigung, die Geschwindigkeit und den Weg
in Abhängigkeit von der Zeit auf.
d) Der Graph stellt die Geschwindigkeit-Zeit-Funktion v der Rakete in den ersten 5 Sekun-
den des Starts dar.
– Veranschaulichen Sie die Abhängigkeit der Beschleunigung-Zeit-Funktion a und der
Weg-Zeit-Funktion s von der gegebenen Funktion v , indem Sie a und s zeichnen.
– Erklären Sie, was man aus der Kenntnis der Eigenschaften des Graphen von v über
die Graphen von a und s aussagen kann.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
0
10
20
30
0 1 2 3 4 5
v in
m/s
t in s !

Großtrappen
Aufgabennummer: B_131
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich S
Ein LIFE-Projekt in Ostösterreich widmet sich dem Schutz der Großtrappen, einer gefährdeten
Vogelart. Zu Beginn des Beobachtungszeitraums wurden in Niederösterreich und im Burgen-
land 140 Tiere gezählt. 5 Jahre später waren es bereits 244.
a) – Argumentieren Sie, warum ein lineares bzw. ein unbegrenztes exponentielles Wachs-
tumsmodell die Entwicklung der Tierpopulation zwar beschreibt, dies aber langfristig
gesehen nicht der Realität entspricht.
b) Nehmen Sie ein begrenztes exponentielles Wachstum mit einer Obergrenze von
G = 1 000 an. Es gilt folgende Funktion:
y ( t ) = G – c · e
λ · t
t … Zeitdauer in Jahren (a)
y ( t ) … Anzahl der Tiere nach t Jahren
c … Anzahl der Tiere, um die der Anfangsbestand bis zur Obergrenze zunehmen kann
– Berechnen Sie den Stand der Population nach 20 Jahren unter der Voraussetzung,
dass die Entwicklung der Vogelpopulation diesem Modell folgt.
c) In der Realität wird das Wachstum der Großtrappen-Population besser durch die fol-
gende logistische Funktion beschrieben:
y ( t ) =
1 000
1 + 6,143 ∙ e
! 0,1369 ∙ t
t … Zeitdauer in Jahren (a)
y ( t ) … Anzahl der Tiere nach t Jahren
– Stellen Sie diese Funktion grafisch dar.
– Lesen Sie aus der Grafik ungefähr ab, wann sich der Bestand seit dem Beginn der
Beobachtungszeit auf 280 Tiere verdoppelt hat.
– Überprüfen Sie durch Ablesung des Zeitraums bis zur nächsten Verdopplung, ob die
Zeitdauer, in der sich der jeweilige Bestand an Tieren verdoppelt, in diesem Modell
konstant bleibt.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.

Drechseln
Aufgabennummer: B_003
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich S
Die folgende Abbildung zeigt den Längsschnitt eines rotationssymmetrischen Körpers, der
durch eine um die x -Achse drehende Parabel mit einem aufgesetzten Drehkegelstumpf und
einem Drehzylinder entsteht. Die Formgebung erfolgt durch Drechseln eines Holzzylinders.
(Maße in cm)
a) – Ermitteln Sie eine Funktionsgleichung der Parabel. Wählen Sie einen anderen
Ursprung des Koordinatensystems als in der Abbildung dargestellt.
b) – Berechnen Sie die Bogenlänge der oben dargestellten Parabel, die durch die Funktion
y ( x ) =
1
100
∙ x
2
– 0,2 ∙ x + 16 beschrieben wird.
Bogenlänge: s = 1 + ( y ′ ( x ))
2 b
a
d x
c) – Berechnen Sie den Abfall in Prozent, der bei der Herstellung des Drehteils anfällt,
wenn der Rohling einen Durchmesser d = 8,5 dm hat und die Parabel durch die
Funktion y ( x ) =
1
100
∙ x
2
– 0,2 ∙ x + 16 beschrieben wird.
Drechseln 2
d) Gegeben sind folgende Funktionen:
f ( x ) =
1
100
∙ x
2
– 0,2 ∙ x + 16 und g ( x ) = –
9
490
∙ x
2
+
319
490
∙ x +
2 174
49
Bei Rotation von Flächenstücken um die x -Achse entstehen Rotationskörper, deren
Volumina durch folgende Formeln berechnet werden können:
V 1 = π · (
50
–20
g ( x ) – f ( x ))
2
d x
V 2 = π · [
50
–20
( g ( x ))
2
– ( f ( x ))
2
] d x
– Stellen Sie für jede der beiden Volumsformeln das rotierende Flächenstück grafisch
dar.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.

Fahrzeugtests (1)
Aufgabennummer: B_045
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
Die Firma Cargo-Car führt in der Entwicklungsphase eines neuen Transporters Tests durch.
a) In Testreihen wurde der Kraftstoffverbrauch – abhängig von der Ladung – erhoben. In der
folgenden Tabelle ist für 8 Testfahrten die Reichweite pro Liter Kraftstoffverbrauch bei einer
vorgegebenen Ladung in Tonnen angegeben:
Reichweite in km 12,46 12,10 11,81 11,32 10,94 10,81 10,79 10,23
Ladung in t 1 1,05 1,3 1,4 1,52 1,7 1,9 2,1
– Geben Sie an, welche Variable hier als unabhängig und welche als abhängig anzuneh-
men ist.
– Ermitteln Sie die lineare Ausgleichsfunktion und stellen Sie diese in einem Daten-
diagramm dar.
– Beschreiben Sie die Methode der kleinsten Quadrate zur Ermittlung einer Regressions-
geraden.
b) Bei der Auswertung einer Testreihe ergab sich folgende Regressionsgerade y :
1 2 1,5 2,5
Ladung in t
CO
2
-Ausstoß in g/km
270
250
230
210
190
170
150
290
y = 56,429 · x + 139,57
r = 0,995
Ein Mitarbeiter möchte die geschätzte CO
2
-Emission bei einer Ladung von 1,5 Tonnen
und bei einer Ladung von 2,5 Tonnen ermitteln.
– Berechnen Sie die gesuchten Werte.
– Erklären Sie, welche der Berechnungen eine Interpolation und welche eine Extra -
polation darstellt.
– Interpretieren Sie den in der Grafik angegebenen Korrelationskoeffizienten r .
c) Tests zur Haltbarkeit neuer Bremsbeläge haben ergeben, dass deren Zuverlässigkeit R
mithilfe einer Funktion R folgender Form beschrieben werden kann:
R ( t ) = ℯ
– (
t
T )
b
R ( t ) ... Prozentsatz der Bremsbeläge, die nach der Benützungsdauer t noch intakt sind
t ... Benützungsdauer
T , b ... materialabhängige Parameter
Der Parameter T wird charakteristische Lebensdauer genannt.
– Weisen Sie nach, dass nach der charakteristischen Lebensdauer der Prozentsatz der
intakten Bremsbeläge – unabhängig vom Wert des Parameters b – ca. 36,8 % beträgt.
– Ermitteln Sie die fehlerhafte Zeile in folgender Umformung der Formel R ( t ) = ℯ
– (
t
T )
b
nach
der Benützungsdauer t .
1. R ( t ) = ℯ
– (
t
T )
b
2. ln( R ) = b · ln ( ℯ
– (
t
T )
)
3.
ln( R )
b
= –
t
T
4. t = – T ·
ln( R )
b
– Formen Sie die fehlerhafte Zeile so um, dass diese mathematisch richtig ist.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Fahrzeugtests (1) 2

Verkehrsunfall
Aufgabennummer: B_002
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich S
Auf der Autobahn bei Imst ereignete sich ein Verkehrsunfall. Ein Motorradfahrer prallte nach einer
30 Meter (m) langen Bremsung mit einer Geschwindigkeit von 80 Kilometern/Stunde (km/h) in ein ste-
hendes Auto. Eine konstante Verzögerung von 5 Metern/Sekunde
2
(m/s
2
) wird angenommen.
s ( t ) = v 0 · t –
a
2
· t
2
t ... Zeit in Sekunden (s)
s ( t ) ... zurückgelegter Bremsweg zum Zeitpunkt t
a) Berechnen Sie die Geschwindigkeit v 0 in km/h zu Beginn der Bremsung und die Zeitdauer der
Bremsung t in s.
b) Ein anderer Bremsvorgang mit gleicher Verzögerung startet zum Zeitpunkt t = 0 s mit einer
Geschwindigkeit von v 0 = 29 m/s zu Beginn der Bremsung und t = 2 s für die Zeitdauer der
Bremsung.
– Zeichnen Sie die Graphen der jeweiligen Funktionen im Weg-Zeit-Diagramm, im Geschwindig-
keit-Zeit-Diagramm und im Beschleunigung-Zeit-Diagramm.
– Geben Sie die mittlere Änderungsrate des Weges während der ersten Sekunde an.
– Erklären Sie deren physikalische Bedeutung.
c) Der Rettungswagen, der zum
Unfallort gerufen wird, fährt zu
einem Zeitpunkt t 1 = 0 min vom
Krankenhaus in Zams ab und
kommt zu einem Zeitpunkt
t 2 = 21,3 min zum Unfallort.
Das nebenstehende Diagramm
stellt die geglättete Geschwin-
digkeit des Krankenwagens v
in km/h in Abhängigkeit von
der Zeit t in min dar.
– Beschreiben Sie das Dia-
gramm in den angegebenen
Abschnitten A bis E hinsicht-
lich der Geschwindigkeits-
änderung.
– Zeichnen Sie für den Ab-
schnitt A skizzenhaft in einem Weg-Zeit-Diagramm den Graphen, der den zurückgelegten
Weg s in km in Abhängigkeit von der Zeit t in min des Krankenwagens angibt.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit
passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.

Bakterien
Aufgabennummer: B_172
Technologieeinsatz: möglich S erforderlich £
a) Milchsäurebakterien haben Stäbchenform (sie sind also annähernd zylindrisch) und
vermehren sich durch Zellteilung. Sie haben eine Länge von ca. 2 Mikrometern (μm)
und einen Durchmesser von ca. 0,9 μm.
In sauer gewordener Milch wurden in 1 Milliliter (ml) Milch ca. 1 Million Bakterien ge-
messen.
– Berechnen Sie, wie viel Prozent des Gesamtvolumens der Milch die Bakterien
einnehmen.
b) Escherichia-coli- Bakterien im Wasser sind gefährlich für die Gesundheit.
In einem Labor wird deren Anzahl stündlich gemessen. Die Bakterien vermehren sich
exponentiell, wobei der Wachstumsfaktor temperaturabhängig ist.
In der nachstehenden Grafik ist der Wachstumsfaktor in Abhängigkeit von der Tempe-
ratur dargestellt.
– Lesen Sie den Wachstumsfaktor bei 32 °C warmem Wasser ab.
– Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung der Anzahl von Stunden t , die es dauert, bis
sich die Escherichia-coli- Bakterien in 32 °C warmem Wasser von einer ursprünglichen
Anzahl N 0 auf eine kritische Anzahl K vermehren.
N 0 … ursprüngliche Anzahl der Bakterien vor dem Vermehrungsprozess
K … kritische Anzahl an Bakterien
t … Anzahl der Stunden des Vermehrungsprozesses
– Lösen Sie die erstellte Formel nach t auf.
Bakterien 2
c) Ein Bakterienwachstum verläuft nicht unbeschränkt exponentiell, sondern erreicht we-
gen der begrenzten Ressourcen eine Sättigungsmenge.
Die obenstehende Grafik zeigt das Wachstum einer Bakterienpopulation mit folgender
Funktion N :
N ( t ) =
20 ∙ 10
6
1 + 20 ∙ 10
5
∙ ℯ
– λ ∙ t
mit λ = 1,2 h
–1
t … Zeit in Stunden (h)
N ( t ) … Anzahl der Bakterien nach t Stunden
λ … Wachstumsparameter in h
–1
– Skizzieren Sie in der Grafik den Verlauf der Kurve für λ = 1,5 h
–1
.
Betrachten Sie den Teilausdruck ℯ
– λ · t
des Nenners der Funktion N .
– Erklären Sie, welchen Einfluss eine Veränderung von λ = 1,2 h
–1
auf λ = 1,5 h
–1
auf
den Teilausdruck ℯ
– λ · t
hat.
– Erklären Sie, welchen Einfluss die Veränderung im Teilausdruck ℯ
– λ · t
auf die gesamte
Funktion N hat.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.