Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 2551–2600

Flugzeuge (2) / Wintertermin 2023 / B_562 / adaptierte Prüfungsaufgabe S. 1/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
Flugzeuge (2)
S. 13 /20 11. Jänner 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1
Aufgabe 6
Flugzeuge
a) Bei einem bestimmten Kleinfl ugzeug befi ndet
sich in jedem der beiden Flügel ein Tank
(siehe nebenstehende Abbildung). L
x
1
x
2
Tank
Tankvorderkante Tankhinterkante
Der Querschnitt eines Flügels dieses Kleinflugzeugs kann durch die Graphen der Funktionen
f
1
, f
2
und g modelliert werden.
0
0,1
0,2
0 1
f
2
f
1
x
1
x
2
f
1
( x ), f
2
( x ), g ( x ) in m
x in m
g
0,2
1) Stellen Sie eine Formel zur Berechnung des Inhalts A der grau markierten Fläche auf.
A = [0 / 1 P.]
Es gilt:
f
1
( x ) =
50
3
∙ x
3
– 10 · x
2
+
28
15
· x mit 0 ≤ x ≤ 0,2
f
2
( x ) =
2
15
∙ (1 – x ) mit 0,2 ≤ x ≤ 1
g ( x ) = 0,051 · x
4
– 0,142 · x
3
+ 0,176 · x
2
+ 0,063 ∙ x – 0,148 ∙

x mit 0 ≤ x ≤ 1
x , f
1
( x ), f
2
( x ), g ( x ) ... Koordinaten in m
L = 5 m
x
1
= 0,1 m
x
2
= 0,7 m
2) Berechnen Sie das Volumen eines Tanks dieses Kleinfl ugzeugs. [0 / 1 P.]
Die beiden Tanks des Kleinfl ugzeugs sind gleich groß.
Auf einem Sportfl ughafen sind 210 000 L Treibstoff gelagert.
3) Berechnen Sie, wie oft man mit dieser Treibstoffmenge die beiden Tanks des Kleinflugzeugs
vollständig befüllen könnte. [0 / 1 P.]
An der Stelle x = 0,2 geht der Graph von f
1
in den Graphen von
f
2
über.
Flugzeuge (2) / Wintertermin 2023 / B_562 / adaptierte Prüfungsaufgabe S. 2/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
11. Jänner 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 14 /20
b) Bevor ein Flugzeug abhebt, beschleunigt es auf der Startbahn. Der bis zum Abheben zurück-
gelegte Weg eines bestimmten Flugzeugs kann näherungsweise durch die Funktion s be-
schrieben werden.
s ( t ) = t
2
+ 5 ∙ t
t ... Zeit seit Beginn des Startvorgangs in s
s ( t ) ... zurückgelegter Weg zur Zeit t in m
Das Flugzeug hebt bei einer Geschwindigkeit von 90 km/h ab.
1) Berechnen Sie die Länge desjenigen Weges, den dieses Flugzeug auf der Startbahn
zurücklegt. [0 / 1 P.]
c) Der Seitenwind beeinflusst die Flugrichtung und die Geschwindigkeit eines Flugzeugs. In der
nachstehenden Abbildung ist dieser Zusammenhang als Parallelogramm dargestellt.
v
E
v
Wind
v
Res
α
Im Folgenden wird für die Länge eines Vektors v die Schreibweise | v | = v verwendet.
1) Stellen Sie eine Formel zur Berechnung von v
Res
auf. Verwenden Sie dabei v
E
, v
Wind
und α .
v
Res
= [0 / 1 P.]
Zwischen den Winkeln α und γ gilt der folgende Zusammenhang:
v
Res
sin(180° – α )
=
v
Wind
sin( γ )
2) Zeichnen Sie in der obigen Abbildung den spitzen Winkel γ ein. [0 / 1 P.]

Sedimente / Haupttermin 2022 / B_543 S. 1/4
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
S. 18 /24 3. Mai 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2
Aufgabe 7 (Teil B)
Sedimente
Sedimente sind in Flüssigkeiten enthaltene Teilchen, die sich unter dem Einfluss der Schwerkraft
ablagern.
a) In einer Flüssigkeit sinkt ein Teilchen durch die Schwerkraft ab. Die Sinkgeschwindigkeit v
kann modellhaft durch die nachstehende Differenzialgleichung beschrieben werden.
d v
d t
= 10 – 20 ∙ v
t ... Zeit in s
v ... Sinkgeschwindigkeit in m/s
1) Ermitteln Sie mithilfe der obigen Differenzialgleichung diejenige Sinkgeschwindigkeit, bei
der die Beschleunigung null ist. [0 / 1 P.]
2) Berechnen Sie die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung mithilfe der Methode Tren-
nen der Variablen . [0 / 1 P.]
3) Berechnen Sie die Lösung der Differenzialgleichung mit v (0) = 0,2. [0 / 1 P.]
b) Das Flussbett der Donau verändert sich ständig. Die Seehöhe (Höhe über dem Meeresspiegel)
an einer bestimmten Stelle des Flussbetts wurde wiederholt gemessen. Die Messwerte sind in
der nachstehenden Tabelle dargestellt.
Zeit seit Beginn des
Jahres 1950 in Jahren
Seehöhe des
Flussbetts in m
0 142,0
20 141,7
35 141,6
45 141,2
52 141,0
Die Seehöhe des Flussbetts soll in Abhängigkeit von der Zeit durch die quadratische Funktion f
beschrieben werden.
1) Stellen Sie mithilfe der Regressionsrechnung eine Gleichung der quadratischen Funktion f
auf.
t ... Zeit seit Beginn des Jahres 1950 in Jahren
f ( t ) ... Seehöhe des Flussbetts zur Zeit t in m [0 / 1 P.]
2) Ermitteln Sie mithilfe der quadratischen Funktion f die Seehöhe des Flussbetts zu Beginn
des Jahres 2010. [0 / 1 P.]
Sedimente / Haupttermin 2022 / B_543 S. 2/4
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
3. Mai 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 19 /24
c) Die Sinkgeschwindigkeit W
S
von kugelförmigen Sandkörnern in Wasser hängt von deren
Durchmesser d ab (siehe nachstehende Abbildung).
d in mm
W
S
in m/s
10 1 0,1 0,01 100
0,1
0,01
0,001
0,0001
1
Bildquelle: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Settling_velocity_quartz.png [15.03.2019] (adaptiert).
Die Dichte ϱ eines Sandkorns beträgt 2 650 kg/m
3
. Die Masse m ist das Produkt aus Dichte ϱ
und Volumen V , also m = ϱ · V .
Ein bestimmtes kugelförmiges Sandkorn hat eine Sinkgeschwindigkeit von 0,2 m/s.
1) Ermitteln Sie mithilfe der obigen Abbildung die Masse m dieses Sandkorns. Geben Sie das
Ergebnis in der Einheit Gramm an. [0 / 1 / 2 P.]
Im Bereich 0,01 mm < d < 0,1 mm ist der in der obigen Abbildung dargestellte Verlauf gerad-
linig. Daher kann die Sinkgeschwindigkeit W S in Abhängigkeit vom Durchmesser d in diesem
Bereich durch eine der unten stehenden Funktionsgleichungen beschrieben werden.
2) Kreuzen Sie die zutreffende Funktionsgleichung an. [1 aus 5]
a , c ... positive Konstanten [0 / 1 P.]
W
S
( d ) = a ∙ c
d
W
S
( d ) =
a
d
W
S
( d ) = a ∙ d
c
W
S
( d ) = a ∙ d + c
W
S
( d ) = a ∙ ln( d ) + c

Werkzeuge / Haupttermin 2022 / B_531 S. 1/6
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
S. 14 /24 3. Mai 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1
Aufgabe 6 (Teil B)
Werkzeuge
a) Ein Werkzeugset besteht aus 6 verschieden langen Innensechskantschlüsseln (siehe nach-
stehendes Symbolfoto).
ℓ
1
ℓ
2
ℓ
3
ℓ
6
Nummer: 1 2 3 4 5 6
Bildquelle: Scott Ehardt – own work, public domain, https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Allen_keys.jpg [01.07.2020] (adaptiert).
Das Verhältnis der Länge eines Innensechskantschlüssels zur Länge des nächstgrößeren be-
trägt jeweils 10 zu 11.
1) Vervollständigen Sie die nachstehende Formel zur Berechnung der Länge ℓ 3 aus der
Länge ℓ 2 .
ℓ 3 = ∙ ℓ 2 [0 / 1 P.]
2) Ermitteln Sie die Länge ℓ 6 des längsten Innensechskantschlüssels, wenn der kürzeste die
Länge ℓ 1 = 9 cm hat. [0 / 1 P.]
Werkzeuge / Haupttermin 2022 / B_531 S. 2/6
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
3. Mai 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 15 /24
b) In der nachstehenden Abbildung ist ein Teil eines Sägeblatts vereinfacht dargestellt.
a b h
s φ ε
1) Stellen Sie eine Formel zur Berechnung der Länge s auf. Verwenden Sie dabei die Winkel ε
und φ sowie die Länge b .
s = [0 / 1 P.]
Für ein bestimmtes Sägeblatt gilt:
a = 23,7 mm, b = 10,4 mm, s = 18,8 mm
2) Berechnen Sie den Winkel φ . [0 / 1 P.]
3) Kreuzen Sie die auf das obige Dreieck nicht zutreffende Aussage an. [1 aus 5] [0 / 1 P.]
a
b
=
sin( φ )
sin( ε )
cos( φ – 90°) =
h
b
s
2
= a
2
+ b
2
– 2 ∙ a ∙ b ∙ cos(180° – ε – φ )
h
sin( ε )
=
a
sin( φ )
s ∙ b ∙ sin( φ )
2
=
h ∙ s
2
Werkzeuge / Haupttermin 2022 / B_531 S. 3/6
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
S. 16 /24 3. Mai 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1
c) Stahlnägel werden in Packungen abgefüllt.
Die Masse der Packungen ist annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 1 000 g
und der Standardabweichung σ = 6 g.
Im Zuge einer Qualitätskontrolle werden Stichproben zu jeweils n Packungen entnommen.
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Dichtefunktion der Verteilung der Stich-
probenmittelwerte dargestellt.
W
2
W
1
Masse in g 1 000 998 1 002
W
1
, W
2
... Wendepunkte der Dichtefunktion
1) Geben Sie die Anzahl n der Packungen an, aus denen diese Stichproben jeweils bestehen.
n = Packungen [0 / 1 P.]
Bei einer anderen Sorte von Stahlnägeln ist die Masse der Packungen ebenfalls annähernd
normalverteilt. Bei einer Stichprobe von 8 zufällig ausgewählten Packungen wurden die nach-
stehenden Werte (in g) gemessen.
500,8 499,4 500,2 501,6 502,5 500,5 499,8 501,4
2) Ermitteln Sie den zweiseitigen 95-%-Vertrauensbereich für den Erwartungswert der Masse
der Packungen dieser Sorte von Stahlnägeln. [0 / 1 P.]
Werkzeuge / Haupttermin 2022 / B_531 S. 4/6
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
3. Mai 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 17 /24
d) In einem Labor werden Bohrmaschinen eines bestimmten Modells einem Langzeittest unter-
zogen. Die Lebensdauer dieser Bohrmaschinen ist annähernd normalverteilt.
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der zugehörigen Verteilungsfunktion F dargestellt.
0
1
0,5
Wahrscheinlichkeit
Lebensdauer in Betriebsstunden
F
n 0
Die zugehörige Dichtefunktion wird mit f bezeichnet.
1) Veranschaulichen Sie in der obigen Abbildung die Wahrscheinlichkeit
∫
n
–∞
f ( x ) d x . [0 / 1 P.]
2) Beschreiben Sie ein Ereignis E im gegebenen Sachzusammenhang, für dessen Wahr-
scheinlichkeit gilt:
P ( E ) = 1 – F ( n ) [0 / 1 P.]

Pumpenproduktion
Aufgabennummer: B_169
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich S
Bei der Produktion von Schmutzwasserpumpen wird ein bestimmtes Modell hergestellt. Für die
Kostenfunktion K bei der Herstellung dieses Modells gilt:
K ( x ) = 0,0012 ∙ x
3
– 0,5 ∙ x
2
+ 80 ∙ x + 10 000
x … Stückzahl produzierter Schmutzwasserpumpen
K ( x ) … Kosten bei der Produktion von x Schmutzwasserpumpen in Euro ( € )
a) Die unten stehende Abbildung zeigt die Funktionsgraphen
• der Kostenfunktion K
• der Erlösfunktion E
• der Gewinnfunktion G
– Begründen Sie, warum der Graph von Funktion 3 den Verlauf der Gewinnfunktion be-
schreibt.
b) − Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate der Kosten, wenn die Produktion von
100 auf 101 Stück erhöht wird.
− Berechnen Sie die Grenzkosten für 100 Stück mithilfe der Grenzkostenfunktion.
− Begründen Sie, warum die Ergebnisse dieser Berechnungen unterschiedlich sind.
K ( x ), E ( x ), G ( x ) in Euro
Pumpenproduktion 2
c) Die Schmutzwasserpumpen werden zu einem Preis von € 200 pro Stück verkauft.
− Stellen Sie die Funktionsgleichung der Gewinnfunktion G auf.
– Berechnen Sie, bei wie vielen verkauften Schmutzwasserpumpen der Gewinn maxi-
mal ist.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.

Seile*
Aufgabennummer: B_391
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T
a) Der Verlauf eines durchhängenden Seils einer Gondelbahn zwischen dem Punkt P
1
und
dem Punkt P
2
kann näherungsweise durch den Graphen der Polynomfunktion f dargestellt
werden (siehe nachstehende Abbildung).
f
P 2 = ( c | b )
P
1
= (0| a )
y
x
– Interpretieren Sie die Bedeutung der Größe
b – a
c
im gegebenen Sachzusammenhang.
– Stellen Sie eine Formel auf, mit der der Steigungswinkel φ des Graphen der Funktion f
im Punkt P
2
= ( c|b ) bestimmt werden kann.
φ =
* ehemalige Klausuraufgabe
b) Der Verlauf eines zwischen zwei Punkten S
1
und S
2
durchhängenden Seils kann durch den
Graphen der Funktion g mit g ( x ) =
ℯ
x
+ ℯ
– x
2
dargestellt werden. Näherungsweise kann
dieser Seilverlauf durch den Graphen einer quadratischen Funktion h mit h ( x ) = a · x
2
+ c
dargestellt werden (siehe nachstehende Abbildung).
Die Graphen der beiden Funktionen schneiden einander in den Punkten S
1
und S
2
.
g ( x ), h ( x )
g
h
x
S
2
S
1
1 0 –1 2 –2
0
3
2
1
4
– Lesen Sie aus der obigen Abbildung den Parameter c ab.
– Ermitteln Sie den Parameter a .
– Berechnen Sie den Schnittwinkel der Graphen von g und h im Schnittpunkt S
2
.
Seile 2
c) Zwischen zwei Gebäuden verläuft eine Straße. Eine Ampelanlage wird mit Seilen an beiden
Gebäudemauern befestigt. Die Winkel, die die Seile mit den Hausmauern einschließen, be-
tragen α = 71° und β = 78°. Der Betrag der Gewichtskraft G der Ampel ist: | G | = 1 500 N
(siehe nachstehende Abbildung).
Ampel
G
– Veranschaulichen Sie mithilfe eines Kräfteparallelogramms, wie die Kraft G auf die bei-
den Seile aufgeteilt werden kann.
– Berechnen Sie die Beträge der beiden Kräfte, die auf die Seile wirken.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
Seile 3

Herstellungskosten (2)
Aufgabennummer: B_016
Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich S
Für ein Produkt lautet die quadratische Kostenfunktion wie folgt:
K ( x ) = 0,1 x ² + 6 x + 40
K ( x ) … Gesamtkosten von x Mengeneinheiten in Geldeinheiten (GE)
x … erzeugte Menge in Mengeneinheiten (ME)
Der Betrieb erzeugt pro Tag höchstens 30 ME dieses Produkts.
a) – Interpretieren Sie die gegebene Kostenfunktion hinsichtlich der folgenden mathemati-
schen Eigenschaften:
• sinnvoller Definitionsbereich
• Monotonie und Krümmungsverhalten
• Fixkosten
b) – Ermitteln Sie aus der gegebenen Gleichung, wie viele ME produziert wurden, wenn
Kosten von 150 GE angefallen sind.
– Ermitteln Sie, wie hoch die Kosten für die Produktion von 10 ME sind.
– Stellen Sie die Kostenfunktion grafisch dar und zeichnen Sie die beiden berechneten
Wertepaare ein.
c) – Stellen Sie die Stückkostenfunktion (= Durchschnittskostenfunktion) auf.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.

Designertasse
Aufgabennummer: B_005
Technologieeinsatz: möglich S erforderlich £
Eine Designertasse wird aus Glas mit einer Dichte von 2 500 kg/m
3
hergestellt. Sie hat die
Form eines quadratischen Pyramidenstumpfs mit einem aufgesetzten Quader. Der Hohlraum
der Tasse hat die Form eines Drehparaboloids mit aufgesetztem Drehzylinder.
(Maße in cm)
a) Der Tassengriff hat die Form eines Ringkörpers (Torus).
Volumsformel für den Torus: V = 2 · π
2
· R · r
2
R ... Radius der Kreislinie des Torus
r ... Radius der Querschnittsfläche des Torus
– Berechnen Sie unter Verwendung der angegebenen Skizze die Masse des Tassen-
griffs.
b) Die bis zum Rand gefüllte Tasse fasst ein Volumen von 380,918 ml.
– Berechnen Sie das Glasvolumen, das zur Herstellung der dargestellten Designertasse
ohne Tassengriff notwendig ist.
c) Alle Abmessungen der Querschnittsfläche in x -Richtung werden um 5 % vergrößert. Die
Abmessungen in y -Richtung bleiben unverändert.
– Argumentieren Sie, warum das Volumen des Hohlraumes nicht um 5 % zunimmt.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit pas-
senden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.
R
M
y
x

Smartphone-Akkus / Wintertermin 2023 / B_563 S. 1/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
S. 15 /20 11. Jänner 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1
Aufgabe 7
Smartphone-Akkus
a) Max notiert zu verschiedenen Zeitpunkten den Ladestand seines Smartphones.
Zeit nach Beendigung des
Ladevorgangs in Stunden
2,5 4 5,5 6,5 8 10
Ladestand des Smartphones
in Prozent
74 66 52 41 22 12
Die Zeit nach Beendigung des Ladevorgangs wird mit t bezeichnet. Der Ladestand des
Smartphones soll in Abhängigkeit von t näherungsweise durch die lineare Funktion L be-
schrieben werden.
1) Stellen Sie mithilfe der Regressionsrechnung eine Gleichung der linearen Funktion L auf.
[0 / 1 P.]
Das Smartphone gibt eine Warnung aus, wenn der Ladestand auf 15 % gesunken ist.
2) Ermitteln Sie, nach welcher Zeit dies gemäß der Funktion L der Fall ist. [0 / 1 P.]
Smartphone-Akkus / Wintertermin 2023 / B_563 S. 2/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
11. Jänner 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 16 /20
b) Die Dauer eines Ladevorgangs bei einem bestimmten Akkutyp kann als annähernd normalver-
teilt mit dem Erwartungswert μ und der Standardabweichung σ angenommen werden.
1) Geben Sie mithilfe von μ und σ dasjenige Intervall an, in dem die Dichtefunktion negativ
gekrümmt ist.
] ; [ [0 / 1 P.]
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Verteilungsfunktion F dargestellt.
Wahrscheinlichkeit
Dauer des
Ladevorgangs in min
μ
F
2) Tragen Sie in der obigen Abbildung die fehlenden Zahlen in die dafür vorgesehenen
Kästchen ein. [0 / 1 P.]
Es gilt: μ = 92 min und F (86) = 0,12
3) Berechnen Sie die Standardabweichung σ . [0 / 1 P.]

Fahrzeugtests (3) / Wintertermin 2023 / B_567 S. 1/4
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
Fahrzeugtests (3)
S. 18 /19 11. Jänner 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2
Aufgabe 8
Fahrzeugtests
a) Für ein Fahrsicherheitstraining mit einem Motorrad wird eine Markierungslinie auf eine Fahr-
bahn gemalt. Die Markierungslinie kann durch den Graphen der Funktion f beschrieben
werden (siehe nachstehende Abbildung).
x in m
f ( x ) in m
f
f ( x ) = –cos
(
π
10
· x
)
x , f ( x ) ... Koordinaten in m
1) Tragen Sie in der obigen Abbildung die fehlenden Zahlen in die dafür vorgesehenen
Kästchen ein. [0 / 1 P.]
2) Beschreiben Sie, was im gegebenen Sachzusammenhang mit dem nachstehenden Aus-
druck berechnet wird.
∫
30
0

1 +
(
π
10
· sin
(
π
10
· x
))
2
d x [0 / 1 P.]
Die Funktion f kann auch in der Form f ( x ) = sin
(
π
10
· x + c
)
geschrieben werden.
3) Geben Sie den Wert des Parameters c an.
c = [0 / 1 P.]
Fahrzeugtests (3) / Wintertermin 2023 / B_567 S. 2/4
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
11. Jänner 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 19 /19
b) Auf einer Teststrecke wurde die Geschwindigkeit eines Elektroautos bei einem Beschleunigungs-
test gemessen. Die Auswertung der Daten ergibt die Geschwindigkeit-Zeit-Funktion v .
v ( t ) = 50 · (1 – ℯ
–0,1123 · t
)
t ... Zeit nach dem Start in s
v ( t ) ... Geschwindigkeit zur Zeit t in m/s
1) Berechnen Sie die Zeit in Sekunden, die das Elektroauto für die Beschleunigung von
40 km/h auf 100 km/h benötigt. [0 / 1 P.]
2) Berechnen Sie den Flächeninhalt, der vom Graphen der Funktion v und der Zeitachse im
Intervall 0 ≤ t ≤ 10 eingeschlossen wird. [0 / 1 P.]
3) Interpretieren Sie diesen Flächeninhalt im gegebenen Sachzusammenhang. Geben Sie
dabei die zugehörige Einheit an. [0 / 1 P.]
c) In der nachstehenden Tabelle ist der CO2-Ausstoß von diversen Sportwagen in Abhängigkeit
von ihrer Leistung angegeben.
Leistung in PS 199 258 272 297 300 325 399
CO2-Ausstoß in g/km 183 226 241 269 273 266 370
Datenquelle: http://www.poel-tec.com/umwelt/co2-tabelle-fahrzeugmodelle.php [31.03.2022].
Der CO2-Ausstoß soll in Abhängigkeit von der Leistung näherungsweise durch die lineare
Funktion f beschrieben werden.
1) Stellen Sie mithilfe der Regressionsrechnung eine Gleichung der linearen Funktion f auf.
[0 / 1 P.]
Der CO2-Ausstoß eines anderen Sportwagens mit einer Leistung von 265 PS wird mit
213 g/km angegeben. Der mithilfe der Funktion f ermittelte Wert bei einer Leistung von
265 PS weicht um einen gewissen Prozentsatz von 213 g/km ab.
2) Berechnen Sie diesen Prozentsatz. [0 / 1 P.]

Landung eines Flugzeugs / Haupttermin 2022 / B_544 S. 1/5
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
S. 20 /24 3. Mai 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2
Aufgabe 8 (Teil B)
Landung eines Flugzeugs
a) Ein Flugzeug steuert beim Landeanflug den Punkt P = (13 200 | 23 100 | 0) an. Die Flugbahn
des Flugzeugs wird näherungsweise durch die Gerade g mit dem Parameter λ beschrieben.
(Alle Angaben in Metern.)
g : X =
(
0
0
1 500
)
+ λ ∙ b
Die nachstehende Abbildung zeigt schematisch den Verlauf dieses Landeanflugs.
P
γ
g
y
x
z
O
1) Berechnen Sie einen Richtungsvektor b . [0 / 1 P.]
2) Berechnen Sie den spitzen Winkel γ . [0 / 1 P.]
b) Die (negative) Beschleunigung eines Flugzeugs vom Aufsetzen ( t = 0) bis zum Stillstand t
S
kann modellhaft durch eine lineare Funktion a beschrieben werden (siehe unten stehende
Abbildung).
1) Zeichnen Sie in der nachstehenden Abbildung den linearen Mittelwert a (Integralmittelwert)
der Funktion a im Zeit intervall [0; t
S
] ein. [0 / 1 P.]
Zeit
Beschleunigung
O t
S
a
Landung eines Flugzeugs / Haupttermin 2022 / B_544 S. 2/5
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
3. Mai 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 21 /24
c) Beim Starten und Landen eines Flugzeugs ist der sogenannte Rollwiderstandskoeffizient von
Bedeutung. Der Rollwiderstandskoeffizient hängt unter anderem von der Geschwindigkeit ab.
Diese wird in der Einheit Knoten angegeben.
Mithilfe von Messwerten wurde die nachstehende lineare Regressionsfunktion c ermittelt.
c ( v) = 0,00023 ∙ v + 0,01177
v ... Geschwindigkeit in Knoten
c ( v ) ... Rollwiderstandskoeffizient bei der Geschwindigkeit v
1) Berechnen Sie, um wie viel Prozent der Rollwiderstandskoeffizient gemäß diesem Modell bei
einer Geschwindigkeit von 60 Knoten größer als bei einer Geschwindigkeit von 30 Knoten
ist. [0 / 1 P.]
Für den Messwert M = (40 | yM ) gilt:
c (40) – yM
= –0,004
2) Zeichnen Sie in der nachstehenden Abbildung den Punkt M ein. [0 / 1 P.]
Rollwiderstandskoeffizient
Geschwindigkeit in Knoten
65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 70
0
0,035
0,03
0,025
0,02
0,015
0,01
0,005
0,04
c
Landung eines Flugzeugs / Haupttermin 2022 / B_544 S. 3/5
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
S. 22 /24 3. Mai 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2
d) Flugzeuge fliegen in unterschiedlichen Höhen. Der Zusammenhang zwischen der Lufttempe-
ratur T und der Flughöhe ist im nachstehenden Diagramm dargestellt.
Flughöhe in Metern
Lufttemperatur T
in Kelvin
290 280 270 260 250 240 230 220 210 200 300
0
20 000
15 000
10 000
5 000
25 000
Die Turbinen eines Flugzeugs wandeln einen Teil der Energie des Treibstoffs in Bewegungs-
energie um. Dieser Anteil kann modellhaft durch den Carnot-Wirkungsgrad η beschrieben
werden. Für einen bestimmten Turbinentyp gilt:
η =
1 230 – T
1 230
T ... Lufttemperatur in Kelvin
1) Ermitteln Sie mithilfe des obigen Diagramms den Carnot-Wirkungsgrad in einer Flughöhe
von 9 km. [0 / 1 P.]

Fischzucht / Wintertermin 2023 / B_566 S. 1/5
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
S. 15 /19 11. Jänner 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2
Aufgabe 7
Fischzucht
a) Forellen sind als Speisefi sche sehr beliebt.
Die Masse einer Forelle, wie sie in einer bestimmten Fischhandlung verkauft wird, kann als
annähernd normalverteilt angenommen werden.
Im Rahmen der regelmäßigen Qualitätskontrollen werden Stichproben vom Umfang n = 9
entnommen.
Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen der Dichtefunktion der Stichprobenmittel-
werte.
Masse in g
354 353 352 351 350 349 348 347 346 345 355
W
2
W
1
W
1
, W
2
... Wendepunkte der Dichtefunktion
1) Ermitteln Sie die durch die schraffi erte Fläche dargestellte Wahrscheinlichkeit. [0 / 1 P.]
Die Standardabweichung σ der Grundgesamtheit unterscheidet sich von der Standard-
abweichung der Stichprobenmittelwerte.
2) Ermitteln Sie die Standardabweichung σ der Grundgesamtheit. [0 / 1 P.]
b) Auch Saiblinge sind als Speisefi sche sehr beliebt.
Die Masse eines Saiblings, wie er in einer bestimmten Fischhandlung verkauft wird, kann als
annähernd normalverteilt angenommen werden.
Bei einer Stichprobe vom Umfang n = 9 wurden der Stichprobenmittelwert x = 299 g und
die Stichprobenstandardabweichung sn
– 1
= 6,3 g ermittelt.
1) Ermitteln Sie den zweiseitigen 90-%-Vertrauensbereich für den Erwartungswert μ dieser
Normalverteilung. [0 / 1 P.]
Fischzucht / Wintertermin 2023 / B_566 S. 2/5
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
11. Jänner 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 16 /19
c) Die Gesamtmasse der Fische in einem bestimmten Fischteich sinkt infolge einer Hitzewelle.
Die Gesamtmasse der Fische in diesem Teich kann in Abhängigkeit von der Zeit t durch die
Funktion m beschrieben werden.
t ... Zeit in Tagen mit 0 ≤ t ≤ 30
m ( t ) ... Gesamtmasse der Fische zur Zeit t in kg
Im nachstehenden ordinatenlogarithmischen Koordinatensystem ist der Graph der Funktion m
dargestellt.
20 10 0 30
m
100
1 000
t in Tagen
m ( t ) in kg
1) Tragen Sie im obigen Koordinatensystem die fehlende Zahl in das dafür vorgesehene
Kästchen ein. [0 / 1 P.]
Im obigen Koordinatensystem ist der Graph von m eine Gerade.
2) Kreuzen Sie die zutreffende Funktionsgleichung von m an ( a > 0, b > 0). [1 aus 5]
[0 / 1 P.]
m ( t ) = a ∙ lg( t ) + b
m ( t ) = – a ∙ t + b
m ( t ) = a ∙ t
b
m ( t ) = a ∙ b
t
m ( t ) = a ∙ t + b
3) Berechnen Sie die Parameter a und b der Funktion m . [0 / 1 P.]
Fischzucht / Wintertermin 2023 / B_566 S. 3/5
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
11. Jänner 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 2 S. 17 /19
d) Die maximale Anzahl der Fische, die in einem bestimmten Teich leben können, beträgt G .
Die Anzahl der Fische zur Zeit t kann näherungsweise durch eine Funktion f beschrieben werden.
Die momentane Änderungsrate der Anzahl der Fische ist proportional zur Differenz zwischen
der maximalen Anzahl der Fische G und der Anzahl der vorhandenen Fische f .
1) Stellen Sie die zugehörige Differenzialgleichung für f auf. Bezeichnen Sie dabei den Propor-
tionalitätsfaktor mit k . [0 / 1 P.]
Eine Lösung dieser Differenzialgleichung für eine bestimmte Anfangsbedingung lautet:
f ( t ) = 1 000 – 900 ∙ ℯ
– k ∙ t
mit t ≥ 0
t ... Zeit in Tagen
f ( t ) ... Anzahl der Fische zur Zeit t
2) Geben Sie die zugehörige Anfangsbedingung für t = 0 an. [0 / 1 P.]
3) Begründen Sie anhand der oben angegebenen Funktionsgleichung, warum die Anzahl der
Fische für t → ∞ asymptotisch gegen 1 000 geht. [0 / 1 P.]

Schallschutzwände
Aufgabennummer: B_029
Technologieeinsatz: möglich  erforderlich 
Schallschutzwände dämmen den Lärm, der von einer Straße ausgeht.
a) Der Schalldruckpegel ist ein Maß zur Beschreibung der Stärke eines Schallereignisses.
Der Schalldruckpegel kann mit zunehmendem Abstand vom Straßenrand durch die fol-
gende Funktion Lp beschrieben werden:
Lp ( x ) = 75 – 10 · lg( x )
x ... Abstand von der Schallquelle in m ( x > 1 m)
Lp ( x ) ... Schalldruckpegel in dB im Abstand x von der Schallquelle
– Ermitteln Sie, um wie viel Dezibel der Schalldruckpegel abnimmt, wenn die Entfernung
verdoppelt wird.
b) Die Längen X von Lärmschutzwänden eines bestimmten Herstellers sind normalverteilt
mit dem Erwartungswert μ und der Standardabweichung σ = 3,5 mm. Bei einer Stich-
probe von 20 Stück wird ein Stichprobenmittelwert von x � = 3 998,9 mm festgestellt.
– Ermitteln Sie das zweiseitige 98-%-Konfidenzintervall für den Erwartungswert μ dieser
Normalverteilung.
Schallschutzwände 2
c) Die Längen von Lärmschutzwänden eines bestimmten Herstellers sind normalverteilt
mit dem Erwartungswert μ = 3 999,5 mm und der Standardabweichung σ = 3,4 mm.
Lärmschutzwände mit einer Länge größer als 4 010 mm werden nicht ausgeliefert.
Eine Produktion umfasst 10 000 Stück.
– Berechnen Sie, mit welcher Anzahl von Lärmschutzwänden, die nicht ausgeliefert
werden können, in dieser Produktion zu rechnen ist.
– Ordnen Sie den beiden Abbildungen jeweils denjenigen Ausdruck aus A bis D zu, der
durch die Abbildung veranschaulicht wird ( X ... Länge der Lärmschutzwände in mm).
[2 zu 4]
▆
A P ( X ≥ 3 995)
B P ( μ – σ ≤ X ≤ μ + σ )
▆
C P ( X ≤ 3 995)
D P ( μ – 2 σ ≤ X ≤ μ + 2 σ )
Schallschutzwände 3
d) Die nachstehende Abbildung zeigt 2 geradlinige Schallschutzwände, die durch einen
Kreisbogen ineinander übergeführt werden sollen. Die Bestimmung des Schnittpunktes
P mithilfe der Funktionen y 1 und y 2 ergibt: P = (–12,842|57,878).
– Stellen Sie die Funktionsgleichungen für die Funktionen y 1 und y 2 auf.
– Berechnen Sie die Länge des Kreisbogens zwischen den Punkten A und B .
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.