Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 2501–2550

Standseilbahnen
Aufgabennummer: 2_080 Aufgabentyp: Typ 1  Typ 2 T
Grundkompetenz: AG 2.1, AG 4.1, FA 1.8, FA 4.3
Die Wägen von Standseilbahnen fahren auf Schienen und können große Steigungen be
wältigen.
a) Eine bestimmte Standseilbahn hat eine konstante Steigung von 40 %.
1) Berechnen Sie, welchen Höhenunterschied ein Wagen dieser Bahn überwindet, wenn
er von der Talstation bis zur Bergstation eine Fahrstrecke von 180 m zurücklegt.
b) Bei den meisten Standseilbahnen gibt es in der Mitte der Strecke eine Ausweichstelle, bei
der der talwärts fahrende Wagen dem bergwärts fahrenden Wagen ausweichen kann.
In der nachstehenden Abbildung ist eine solche Ausweichstelle modellhaft dargestellt.
–2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
1
2
3
f
y in m
x in m
Der Funktionsgraph von f schließt an den Stellen 0 und 3 knickfrei an die eingezeichneten
Geradenstücke an. „Knickfrei“ bedeutet, dass die Funktionen an denjenigen Stellen, an
denen ihre Graphen aneinander anschließen, den gleichen Funktionswert und die gleiche
Steigung haben.
Für die Funktion f gilt:
f ( x ) = a ∙ x ³ + b ∙ x ² + c ∙ x + d
x , f ( x ) … Koordinaten in m
Die Koeffizienten a , b , c und d können mithilfe eines linearen Gleichungssystems berech-
net werden. Der Ansatz für zwei der benötigten Gleichungen lautet:
27 ∙ a + 9 ∙ b + 3 ∙ c + d =
27 ∙ a + 6 ∙ b + c =
1) Vervollständigen Sie mithilfe der obigen Abbildung die beiden Gleichungen, indem Sie
jeweils die fehlende Zahl in das dafür vorgesehene Kästchen schreiben.
2) Lesen Sie aus der obigen Abbildung den Wert des Koeffizienten d ab.
c) Der Umsatz des Weltmarktführers im Seilbahnbau betrug im Geschäftsjahr 2015/16 rund
834 Millionen Euro und lag somit um 5,04 % über dem Umsatz im Geschäftsjahr 2014/15.
1) Berechnen Sie den Umsatz im Geschäftsjahr 2014/15 in Millionen Euro.
Standseilbahnen 2

Tennis
Aufgabennummer: 2_087 Aufgabentyp: Typ 1  Typ 2 T
Grundkompetenz: AG 2.1, FA 1.5, WS 1.1
Im Rahmen der Nachwuchsförderung wurden die Leistungen der Teilnehmer eines Knaben-
Tennisturniers genauer beobachtet.
a) Für die Auswertung der Daten der Aufschlaggeschwindigkeit der Teilnehmer wurde der
nachstehende Boxplot erstellt.
1) Lesen Sie diejenige Aufschlaggeschwindigkeit ab, die von 25 % der Teilnehmer nicht
übertroffen wurde.
2) Lesen Sie den Quartilsabstand ab.
b) Ein Spieler trifft beim Aufschlag den Ball in einer Höhe von 2,3 m im Punkt A genau über
der Mitte der Grundlinie. Er visiert den Punkt B (Mitte der Aufschlaglinie) an. Um nicht ins
Netz zu gehen, muss der Ball das Netz in einer Höhe von mindestens 1 Meter (über dem
Boden) überqueren.
Die Flugbahn des Tennisballs beim Aufschlag kann modellhaft mittels einer Gerade be-
schrieben werden.
Netz
Aufschlaglinie
Grundlinie
2,3 m
A
B
6,4 m 6,4 m 5,5 m
1) Überprüfen Sie nachweislich, ob der Ball bei diesem Aufschlag über das Netz geht.
c) Mithilfe einer Videoanalyse wird ein Grundlinienschlag modelliert.
Die Flugbahn zwischen dem Abschlagpunkt und dem Punkt, in dem der Ball auf dem
Boden aufkommt, kann durch die Funktion f beschrieben werden:
f ( x ) = –
1
50
∙ x
2
+
2
5
∙ x +
21
50
mit x ≥ 0
x ... horizontale Entfernung zum Abschlagpunkt in Metern (m)
f ( x ) ... Höhe des Balles an der Stelle x über dem Boden in m
1) Interpretieren Sie die Bedeutung der obigen Zahl
21
50
für die Flugbahn.
Tennis 2

Vergnügungspark
Aufgabennummer: 2_088 Aufgabentyp: Typ 1  Typ 2 T
Grundkompetenz: AG 2.3, AG 4.1, FA 4.4, AN 4.2
Ein kürzlich eröffneter Vergnügungspark ist ein beliebtes Ausflugsziel in der Region.
a) Beim Eingang zum Vergnügungspark steht ein Torbogen. Dieser wird durch einen Teil des
Graphen der Funktion mit folgender Gleichung beschrieben:
y = 9 – x
2
x , y ... Koordinaten in Metern (m)
Dabei wird der ebene Boden durch die x -Achse beschrieben.
Bei einer Parade muss ein 4 Meter hoher Festwagen durch den Torbogen geschoben
werden. Nach oben hin muss ein senkrechter Minimalabstand von 10 cm eingehalten
werden (siehe Skizze – nicht maßstabgetreu).
Festwagen
x in m
y in m
4 m
10 cm 10 cm
0 –3 3
b
1) Berechnen Sie, welche Breite b der Festwagen maximal haben darf.
Vor der Parade wird der Torbogen mit einer Folie verschlossen.
2) Berechnen Sie den Flächeninhalt der dazu benötigten Folie.
b) Eine der Hauptattraktionen ist die Hochschaubahn. Ein Teilstück kann durch die Polynom-
funktion modelliert werden, deren Graph in der folgenden Abbildung zu sehen ist:
x
y
1) Erklären Sie, welchen Grad diese Polynomfunktion mindestens haben muss.
c) Im Vergnügungspark gibt es ein Kino.
Fiona sitzt a Meter von der Leinwand entfernt (Punkt F ). Der Höhenwinkel zum unteren
Ende der Leinwand (Punkt Q ) wird mit α bezeichnet, der Höhenwinkel zum oberen Ende
der Leinwand (Punkt P ) wird mit β bezeichnet.
α
β
h
P
S
Q
a
F
1) Erstellen Sie eine Formel für die Berechnung der Höhe h der Leinwand aus a , α und β .
h =
Vergnügungspark 2

Bücherwurm
Aufgabennummer: B_283
Technologieeinsatz: möglich S erforderlich £
Menschen, die sehr viel lesen, werden oft als „Bücherwürmer“ bezeichnet.
a) Ein Verlag entwirft als Firmenlogo einen „Bücher-
wurm“. Als Grundlage für das Bild des Logos werden
zwei Cosinusfunktionen folgender Form verwendet:
y = a · cos( x ) + c
– Ermitteln Sie mithilfe des in der nachstehenden Abbildung dargestellten Funktions-
graphen g die Parameter a und c der Funktion g .
b) Ein Logo wird im Intervall –
7 π
6
,
11 π
6
durch die Funktionen f und g nach oben bzw.
unten begrenzt. Es soll mit Farbe ausgefüllt werden.
g ( x ) = 2 · cos( x ) + 3
f ( x ) = 2 · cos( x ) + 6
– Stellen Sie eine Formel zur Berechnung des Flächeninhalts A zwischen den Funk-
tionsgraphen von f und g im gegebenen Intervall auf.
A =
__________________________________
– Berechnen Sie den entsprechenden Flächeninhalt.
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Bücherwurm 2
c) Die digitale Verfügbarkeit von Büchern in Form von E-Books nimmt zu. Eine Autorin ver-
kauft von einem Roman 8 000 gebundene Exemplare und 200 E-Books. Pro verkauftem
gebundenem Exemplar nimmt sie € 2,20 ein, pro E-Book nur € 1,70.
– Erklären Sie, warum folgende Aussage falsch ist:
„Da der Anteil der Anzahl der verkauften E-Books an der Gesamtverkaufszahl 2,5 %
ist, betragen die Einnahmen der Autorin aus dem E-Book-Verkauf 2,5 % der Gesamt-
einnahmen.“
– Berechnen Sie den korrekten Prozentanteil der Einnahmen aus dem E-Book-Verkauf.
Hinweis zur Aufgabe:
Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind
mit passenden Maßeinheiten anzugeben.