Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 2451–2500

Würfelspiel / Herbsttermin 2022 / 2_120 / Typ-2 S. 1/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 33 /34
Aufgabe 28 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Würfelspiel
Bei einem Würfelspiel werden fünf sechsflächige Würfel gleichzeitig geworfen. Bei jedem der Würfel
treten die Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf. Die fünf Würfel werden
unabhängig voneinander geworfen. Die Ergebnisse der Würfe sind voneinander unabhängig.
Nachstehend sind drei mögliche Ereignisse beschrieben.
Grande Eine beliebige Augenzahl tritt fünfmal auf, z. B. 4, 4, 4, 4, 4.
Full House
Eine beliebige Augenzahl tritt genau dreimal auf. Eine andere beliebige Augenzahl
tritt genau zweimal auf, z. B. 1, 1, 1, 4, 4.
Straße Die Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5 oder 2, 3, 4, 5, 6 treten jeweils genau einmal auf.
Aufgabenstellung:
a) 1) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit für ein Grande , wenn die fünf Würfel einmal geworfen
werden. [0 / 1 P.]
Es wurden die Augenzahlen 2, 2, 2, 4 und 5 geworfen. Bei einem zweiten Wurf werden nur die
beiden Würfel mit den Augenzahlen 4 und 5 erneut geworfen, die anderen drei Würfel bleiben
liegen.
Die Wahrscheinlichkeit, mit diesem zweiten Wurf ein Grande zu erhalten, beträgt p
1
.
Die Wahrscheinlichkeit, mit diesem zweiten Wurf ein Full House zu erhalten, beträgt p
2
.
2) Ermitteln Sie die zwei Wahrscheinlichkeiten p
1
und p
2
.
p
1
=
p
2
= [0 / ½ / 1 P.]
b) Für die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis E bei einem Wurf mit fünf Würfeln gilt:
P ( E ) = 6 ∙
[(
5
4
)
·
(
1
6
)
4
∙
5
6
]
1) Beschreiben Sie ein mögliches Ereignis E im gegebenen Sachzusammenhang. [0 / 1 P.]
Würfelspiel / Herbsttermin 2022 / 2_120 / Typ-2 S. 2/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 34 /34
c) Die Wahrscheinlichkeit für eine Straße liegt bei einem Wurf mit den fünf Würfeln bei rund 3,09 %.
Die Wahrscheinlichkeit für ein Full House liegt bei einem Wurf mit den fünf Würfeln bei
rund 3,86 %.
Franz würfelt einmal mit allen fünf Würfeln. Anna gibt Franz 40 Euro, wenn er eine Straße oder
ein Full House erhält. In allen anderen Fällen bekommt Anna von Franz x Euro.
1) Ermitteln Sie x so, dass die zu erwartenden Beträge, die Anna und Franz einander aus-
zahlen, annähernd gleich sind. [0 / 1 P.]

Lieblingsfarbe
Aufgabennummer: 2_068 Aufgabentyp: Typ 1  Typ 2 T
Grundkompetenz: WS 1.2, WS 2.1, WS 3.2
a) Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person Rosa als Lieblingsfarbe
nennt, beträgt 13 %.
25 zufällig ausgewählte Personen werden nach ihrer Lieblingsfarbe gefragt.
1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass genau 3 der 25 Personen Rosa als
Lieblings farbe nennen.
b) Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person Orange als Lieblingsfarbe
nennt, beträgt 7 %.
Unter n befragten Personen soll mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 % min
destens 1 Person sein, die Orange als Lieblingsfarbe nennt.
1) Berechnen Sie die Anzahl n derjenigen Personen, die dafür mindestens befragt werden
müssen.
c) Die binomialverteilte Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl derjenigen Personen unter
10 Befragten, die Lila als Lieblingsfarbe nennen. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion dieser
Zufallsvariablen ist in der nachstehenden Abbildung dargestellt.
0,35
P ( X = k )
k
0,30
0,40
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0,36
0,22
0,11
0,03
0,01
Die Wahrscheinlichkeit, dass unter 10 Befragten maximal 3 Befragte Lila als Lieblingsfarbe
nennen, beträgt 96 %.
1) Zeichnen Sie in der obigen Abbildung die fehlende Säule für P ( X = 2) ein.
d) Die Schüler/innen einer Schule wurden nach ihren Lieblingsfarben gefragt. In der nach
stehenden Abbildung ist dargestellt, wie viel Prozent der Befragten die jeweilige Farbe als
Lieblingsfarbe genannt haben.
40 %
19 %
18 %
16 %
11 %
Blau
Rot
Grün
Schwarz
Gelb
Lieblingsfarbe
1) Beschreiben Sie, woran man erkennen kann, dass man auch mehr als eine Lieblings
farbe nennen durfte.
Lieblingsfarbe 2

Aufnahmetest
Aufgabennummer: 2_002 Typ 1  Typ 2 T technologiefrei 
Bei einem Aufnahmetest werden 10 Multiple-Choice-Fragen gestellt. Für jede Frage sind
4 Antwortmöglichkeiten angegeben, wobei nur eine davon richtig ist.
Kandidat K nimmt an diesem Aufnahmetest teil. Er kreuzt alle Antworten zufällig und unab-
hängig voneinander an.
Aufgabenstellung:
a) 1) Geben Sie zwei Gründe an, warum die Anzahl der richtig beantworteten Fragen
unter den vorliegenden Annahmen binomialverteilt ist.
b) Beantwortet man mindestens 7 Fragen richtig, so gilt der Aufnahmetest als bestanden.
Beantwortet man alle 10 Fragen richtig, so erhält man zusätzlich ein Leistungsstipendium.
1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Kandidat K nicht aufgenommen wird.
2) Interpretieren Sie die Wahrscheinlichkeit 0,25
10
im gegebenen Sachzusammenhang.
c) 1) Berechnen Sie den Erwartungswert der von Kandidat K zufällig richtig beantwor-
teten Fragen.

Teilchenbeschleuniger
Aufgabennummer: 2_084 Aufgabentyp: Typ 1  Typ 2 T
Grundkompetenz: AG 2.1, WS 3.2, WS 3.3
Am Forschungsinstitut CERN wird mithilfe moderner Teilchenbeschleuniger physikalische
Grundlagenforschung betrieben. In einem Teilchenbeschleuniger werden elektrisch
geladene Teilchen auf hohe Geschwindigkeiten beschleunigt.
a) Die Teilchen bewegen sich in einem ringförmigen Tunnel nahezu mit Lichtgeschwindigkeit.
Sie machen dabei in einer Sekunde a Umläufe und legen in dieser Zeit rund 3 ∙ 10
8
m
zurück.
1) Erstellen Sie eine Formel für die Berechnung der Länge u eines Umlaufs in Kilometern.
u =
b) Wenn Teilchen im Teilchenbeschleuniger kollidieren, können neue Teilchen entstehen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Kollision ein Teilchen eines bestimmten Typs ent-
steht, beträgt 3,4 %.
Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis E wird mit P ( E ) =
( )
500
2
∙ 0,034
2
∙ (1 – 0,034)
498
berechnet.
1) Beschreiben Sie im gegebenen Sachzusammenhang ein Ereignis, dessen Wahrschein-
lichkeit so berechnet wird.
2) Berechnen Sie, wie viele dieser Teilchen im Mittel entstehen, wenn 1 000 Kollisionen
stattfinden.
c) Im Zentrum eines Atoms befindet sich der Atomkern. Vereinfacht können sowohl der
Atomkern als auch das gesamte Atom als kugelförmig angenommen werden.
In einer Broschüre wird beschrieben, wie klein ein Atomkern im Vergleich zum gesamten
Atom ist: „Hätte ein Atomkern 1 cm Durchmesser, so wäre der Durchmesser des gesam-
ten Atoms 100 m.“
1) Berechnen Sie den Durchmesser eines Atoms, wenn der Durchmesser des Atomkerns
10
–14
m beträgt.