Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 2401–2450

Bogenschießen / Haupttermin 2024 / 2_137 / Teil2-rK S. 1/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
7. Mai 2024 / AHS / Mathematik S. 27 /36
Aufgabe 25 (Teil 2)
Bogenschießen
Auf dem Gelände einer bestimmten 3-D-Bogenschießanlage wird mit Pfeil und Bogen auf Figuren
geschossen.
Aufgabenstellung:
a) Paul schießt einen Pfeil auf eine Figur. Die Flugbahn der Pfeilspitze vom Start im Punkt S zum
Ziel im Punkt Z kann durch die Gerade g modelliert werden.
Es gilt: S = (0 | 0 | 1,8), Z = (–5 | 7 | 8,5)
1) Stellen Sie eine Gleichung von g in Parameterdarstellung auf.
g : X = [0 / 1 P.]
b) Lara sieht eine bestimmte Figur unter dem Sehwinkel α . In der nachstehenden nicht maßstab-
getreuen Abbildung ist der Zusammenhang zwischen dem Sehwinkel α , der Entfernung r und
der Größe h dargestellt.
r
h α
2
α
Auge
1) Stellen Sie unter Verwendung von α und r eine Formel zur Berechnung von h auf.
h = [0 / 1 P.]
Bogenschießen / Haupttermin 2024 / 2_137 / Teil2-rK S. 2/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
S. 28 /36 7. Mai 2024 / AHS / Mathematik
c) Paul schießt beim Training auf die 3 Ziele A, B und C. Er trifft diese bei jedem Schuss unab-
hängig von jedem anderen Schuss mit den in der nachstehenden Tabelle angeführten Wahr-
scheinlichkeiten.
Ziel A B C
Wahrscheinlichkeit
2
5
7
10
1
4
Paul schießt nacheinander jeweils 1-mal auf die 3 Ziele A, B und C.
1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Paul mindestens 1 dieser 3 Ziele trifft. [0 / 1 P.]
Paul schießt 10-mal auf das Ziel A. Die binomialverteilte Zufallsvariable X gibt dabei die Anzahl
der Treffer an.
2) Ermitteln Sie den Erwartungswert E ( X ). [0 / 1 P.]

Mensch ärgere Dich nicht / Herbsttermin 2023 / 2_130 / Typ 2 S. 1/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
19. September 2023 / AHS / Mathematik S. 29 /34
Aufgabe 26 (Teil 2, Best-of-Wertung)
„Mensch ärgere Dich nicht“
„Mensch ärgere Dich nicht“ ist ein Brettspiel für mindestens zwei Personen. Ziel des Spieles ist
es, die eigenen 4 gleichfarbigen Spielfiguren möglichst schnell von den Startfeldern zu den Ziel-
feldern zu bewegen.
Aufgabenstellung:
a) In einem Stoffsäckchen befinden sich 4 rote, 4 gelbe und 4 blaue Spielfiguren eines
„Mensch ärgere Dich nicht“-Spieles. Isabella zieht zufällig und ohne Zurücklegen 4 Spiel-
figuren.
1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass alle 4 gezogenen Spielfiguren rot sind.
[0 / 1 P.]
Isabella hat alle roten Spielfiguren entnommen. Das Stoffsäckchen enthält also nur mehr die
4 gelben und die 4 blauen Spielfiguren.
Nun zieht Fatima so oft ohne Zurücklegen je 1 Spielfigur, bis sie alle 4 gelben Spielfiguren
gezogen hat.
Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der Züge k , die Fatima benötigt, bis sie alle 4 gelben
Spielfiguren gezogen hat. Durch die nachstehende Tabelle ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung
der Zufallsvariablen X gegeben.
k 4 5 6 7 8
P ( X = k )
1
70
u
10
70
20
70
v
2) Berechnen Sie u und v .
u =
v = [0 / 1 P.]
Mensch ärgere Dich nicht / Herbsttermin 2023 / 2_130 / Typ 2 S. 2/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
19. September 2023 / AHS / Mathematik S. 30 /34
b) Isabella gewinnt gegen ihre Freundin Fatima durchschnittlich 3 von 5 Partien „Mensch ärgere
Dich nicht“. In den bevorstehenden Sommerferien werden die beiden Mädchen n Partien
gegeneinander spielen ( n gerade, n > 2).
Die binomialverteilte Zufallsvariable Y gibt an, wie viele der n Partien von Isabella gewonnen
werden.
Gegeben sind vier Wahrscheinlichkeiten und sechs Ereignisse.
1) Ordnen Sie den vier Wahrscheinlichkeiten jeweils das mit dieser Wahrscheinlichkeit
eintretende Ereignis aus A bis F zu. [0 / ½ / 1 P.]
(
n
n
2
)
∙ 0,6
n
2
∙ 0,4
n
2
1 – 0,4
n
– n ∙ 0,6 ∙ 0,4
n – 1
1 – 0,6
n
n ∙ 0,6
n – 1
∙ 0,4
A
Isabella gewinnt genau die
Hälfte der n Partien.
B
Isabella gewinnt mindes-
tens 2 der n Partien.
C
Isabella verliert mehr als
die Hälfte der n Partien.
D
Isabella verliert genau
1 der n Partien.
E
Isabella verliert mindestens
1 der n Partien.
F
Isabella gewinnt höchstens
1 der n Partien.
Der Erwartungswert von Y wird mit μ , die Standardabweichung von Y mit σ bezeichnet.
2) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P ( μ – σ < Y < μ + σ ) für n = 14. [0 / 1 P.]

Würfelspiel*
Aufgabennummer: 2_104 Aufgabentyp: Typ 1  Typ 2 T
Bei einem Würfelspiel werden verschiedene Würfel mit jeweils 6 Seitenflächen verwendet.
Bei allen verwendeten Würfeln tritt bei jedem Wurf jede Seitenfläche mit der gleichen Wahr-
scheinlichkeit wie jede der anderen Seitenflächen auf. Die Ergebnisse verschiedener Würfe
sind voneinander unabhängig.
Es werden die 3 Würfeltypen A , B und C verwendet. In der nach stehenden Abbildung sind
deren Seitenflächen dargestellt.
Seitenflächen von Typ A
Seitenflächen von Typ B
Seitenflächen von Typ C
Aufgabenstellung:
a) Ein Spieler würfelt 1-mal gleichzeitig mit einem Würfel vom Typ B und einem Würfel vom
Typ C .
1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der gewürfelten Augen -
zahlen 8 beträgt.
b) Die Zufallsvariable X
A
bzw. X
B
bzw. X
C
gibt die Augenzahl beim Wurf eines Würfels vom
Typ A bzw. B bzw. C an. Eine dieser drei Zufallsvariablen hat einen ganzzahligen Erwar-
tungswert.
1) Geben Sie diesen ganzzahligen Erwartungswert an.
Die beiden anderen Zufallsvariablen haben die gleiche Standardabweichung.
2) Berechnen Sie diese Standardabweichung.
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 21. Mai 2021
c) Mit einem Würfel vom Typ C wird n -mal gewürfelt. Die Zufallsvariable Y
n
gibt an, bei wie
vielen von diesen n Würfen mit einem Würfel vom Typ C eine ungerade Augenzahl auf-
tritt ( n ∈ ℕ ). Mit μ
n
wird der Erwartungswert und mit σ
n
die Standardabweichung von
Y
n
bezeichnet.
1) Geben Sie μ
n
und σ
n
in Abhängigkeit von n an.
μ
n
=
σ
n
=
2 Würfelspiel

Buntes Spielzeug
Aufgabennummer: 2_078 Aufgabentyp: Typ 1  Typ 2 T
Grundkompetenz: WS 1.3, WS 2.3
Spielzeugteile werden von einer Maschine in den Farben Rot, Gelb und Blau ein gefärbt.
a) Die 3 zur Produktion notwendigen Farbdüsen arbeiten (unabhängig voneinander) jeweils
mit unterschiedlicher Qualität. Die Farbe Rot wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 96,8 %,
die Farbe Gelb mit einer Wahrscheinlichkeit von 98,3 % und die Farbe Blau mit einer
Wahrscheinlichkeit von 97,2 % so auf die Teile aufgetragen, dass diese die Qualitäts
kontrolle bestehen.
1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zweifärbiges Spielzeugteil in den
Farben Rot und Blau die Qualitätskontrolle besteht.
2) Beschreiben Sie ein Ereignis E im gegebenen Sachzusammenhang für ein zweifärbiges
Spielzeugteil, dessen Wahrscheinlichkeit durch P ( E ) = 1 – (0,968 · 0,983) berechnet
wird.
b) Die einfärbigen Spielzeugteile einer Produktion werden vermessen und ihre jeweiligen
Längen werden tabellarisch erfasst.
rote Spielzeugteile gelbe Spielzeugteile blaue Spielzeugteile
Länge in cm Anzahl Länge in cm Anzahl Länge in cm Anzahl
4,5 20 5,5 25 7,0 70
5,6 10 10,0 7
6,0 20 14,5 13
6,5 15
25,3 5
1) Ermitteln Sie den Median der Längen der gelben Spielzeugteile.
2) Zeigen Sie, dass das arithmetische Mittel der Längen der blauen Spielzeugteile gleich
groß ist wie das arithmetische Mittel der Längen der roten Spielzeugteile.

Roulette*
Aufgabennummer: 2_040 Aufgabentyp: Typ 1  Typ 2 T
Grundkompetenz: WS 2.3, WS 3.1, WS 3.2
Roulette ist ein Glücksspiel, bei dem mittels einer Kugel eine natürliche Zahl aus dem Zah-
lenbereich von 0 bis 36 zufällig ausgewählt wird, wobei jede der 37 Zahlen bei jedem der
voneinander unabhängigen Spieldurchgänge mit derselben Wahrscheinlichkeit ausgewählt
wird. Das Spielfeld mit der Zahl Null ist grün gefärbt, die Hälfte der restlichen Zahlenfelder
ist rot, die andere Hälfte schwarz gefärbt.
Die nachstehende Tabelle zeigt eine Auswahl von Setzmöglichkeiten und die im Erfolgsfall
ausbezahlten Gewinne. „35-facher Gewinn“ bedeutet zum Beispiel, dass bei einem gewon-
nenen Spiel der Einsatz und zusätzlich der 35-fache Einsatz (also insgesamt der 36-fache
Einsatz) ausbezahlt wird.
Einzelzahl (von 0 bis 36) 35-facher Gewinn
Rot / Schwarz 1-facher Gewinn
Ungerade / Gerade (ohne Null) 1-facher Gewinn
Eine der bekanntesten Spielstrategien ist das Martingale-System. Man setzt dabei stets auf
dieselbe „einfache Chance“ (z. B. auf „Rot“ oder „Gerade“). Falls man verliert, verdoppelt
man den Einsatz im darauffolgenden Spiel. Sollte man auch dieses Spiel verlieren, verdop-
pelt man den Einsatz noch einmal für das nächstfolgende Spiel und setzt diese Strategie
von Spiel zu Spiel fort. Sobald man ein Spiel gewinnt, endet diese Spielserie, und man hat
mit dieser Strategie den Einsatz des ersten Spiels dieser Spielserie (Starteinsatz) als Ge-
winn erzielt.
Aufgabenstellung:
a) Die Zufallsvariable X beschreibt, wie oft die Kugel bei 80 Spielen auf eine bestimmte
Zahl fällt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel bei 80 Spielen mindes-
tens viermal auf eine bestimmte Zahl fällt!
Ein Spieler möchte seine Gewinnchancen erhöhen und handelt wie folgt: Er notiert
während einer Serie von z. B. 37 Spielen, auf welche Zahlen die Kugel fällt. Weiters geht
er davon aus, dass die Kugel in den nachfolgenden Spielen auf die dabei nicht notierten
Zahlen fällt, und setzt auf diese Zahlen.
Geben Sie an, ob der Spieler mit dieser Strategie die Gewinnchancen erhöhen kann,
und begründen Sie Ihre Antwort!
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 20. September 2018
b) Eine Spielerin wendet das Martingale-System an und setzt immer auf „Rot“. Die Spiel -
serie endet, sobald die Spielerin gewinnt bzw. wenn der vom Casino festgelegte
Höchst einsatz von € 10.000 keine weitere Verdoppelung des Spieleinsatzes mehr
erlaubt.
Die nachstehende Tabelle zeigt, wie schnell die Einsätze ausgehend von einem Start -
einsatz von € 10 bei einer Martingale-Spielserie im Falle einer „Pechsträhne“ ansteigen
können.
Spielrunde Einsatz in €
1 10
2 20
3 40
4 80
5 160
6 320
7 640
8 1 280
9 2 560
10 5 120
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Spielerin bei dieser Martingale-Spiel -
serie alle zehn Spiele verliert!
Zeigen Sie durch die Berechnung des Erwartungswerts für den Gewinn, dass trotz der
sehr geringen Wahrscheinlichkeit, zehn aufeinanderfolgende Spiele zu verlieren, das
beschriebene Martingale-System ungünstig für die Spielerin ist!
2 Roulette

Glücksrad
Aufgabennummer: 2_007 Typ 1  Typ 2 T technologiefrei 
Bei einem Glücksspiel werden nach dem Drehen eines Glücksrads € 0, € 1, € 2 oder € 4
ausbezahlt. Jedes Mal, bevor das Rad gedreht wird, ist eine Spielgebühr von e € zu bezah-
len.
Die Zufallsvariable X gibt die Höhe des ausbezahlten Betrags an.
Nachstehend ist der Graph der Verteilungsfunktion F in Abhängigkeit vom ausbezahlten
Betrag x (in €) mit F ( x ) = P ( X ≤ x ) angegeben.
x in €
F ( x )
4 3 2 1 0
0
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,9
1
Aufgabenstellung:
a) 1) Tragen Sie die entsprechenden Werte der Wahrscheinlichkeitsverteilung von X in die
nachstehende Tabelle ein.
ausbezahlter Betrag x in € 0 1 2 4
P ( X = x )
2) Begründen Sie, warum jede Verteilungsfunktion monoton steigend ist und warum
das Maximum jeder Verteilungsfunktion 1 sein muss.
b) 1) Berechnen Sie den Erwartungswert von X .
2) Interpretieren Sie den Erwartungswert von X für den Spielbetreiber in Bezug auf die
Spielgebühr e .
c) Die Zufallsvariable Y gibt die Höhe des (tatsächlichen) Gewinns aus der Sicht der Spie-
lerin / des Spielers an.
Gewinn y in €
P ( Y = y )
1) Tragen Sie die Werte für den Gewinn y in Abhängigkeit von der Spielgebühr e in die
obige Tabelle ein.
2) Tragen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Y in Abhängigkeit von e in die obige
Tabelle ein.
2 Glücksrad