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Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 2301–2350
Aufgabenstellungen und zugehörige offizielle Lösungserwartungen als lesbarer HTML-Text – mit direkten Sprüngen zur richtigen Seite der Sammel-PDF.
Aufgabe 1_683: Computerchips
Aufgabe als kompakte PDF öffnenComputerchips*
Aufgabennummer: 1_683 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: halboffenes Format Grundkompetenz: WS 3.2
Ein Unternehmen stellt Computerchips her. Jeder produzierte Computerchip ist unabhän-
gig von den anderen mit einer Wahrscheinlichkeit von 97 % funktionsfähig.
Das Unternehmen produziert an einem bestimmten Tag 500 Computerchips.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung für die Anzahl der
funktions fähigen Computerchips, die an diesem bestimmten Tag produziert werden!
Erwartungswert:
Standardabweichung:
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturat ermin: 15. Jänner 2019
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Lösung zu Computerchips
Lösung als kompakte PDF öffnen2 Computerchips
Lösungserwartung
Erwartungswert: 500 ∙ 0,97 = 485
Standardabweichung:
500 · 0,97 · 0,03 ≈ 3,81
Lösungsschlüssel
Ein Punkt für die beiden richtigen Werte.
Toleranzintervall für die Standardabweichung: [3,8; 3,82]
Aufgabe 1_660: Binomialverteilung
Aufgabe als kompakte PDF öffnenBinomialverteilung*
Aufgabennummer: 1_660 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: Zuordnungsformat Grundkompetenz: WS 3.2
Der relative Anteil der österreichischen Bevölkerung mit der Blutgruppe „AB Rhesusfaktor
negativ“ (AB–) ist bekannt und wird mit p bezeichnet.
In einer Zufallsstichprobe von 100 Personen soll ermittelt werden, wie viele dieser zufällig
ausgewählten Personen die genannte Blutgruppe haben.
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den vier angeführten Ereignissen jeweils denjenigen Term (aus A bis F) zu, der
die diesem Ereignis entsprechende Wahrscheinlichkeit angibt!
A 1 – p
100
B p ∙ (1 – p )
99
C 1 – (1 – p )
100
D (1 – p )
100
E p ∙ (1 – p )
99
· 100
F (1 – p )
100
+ p ∙ (1 – p )
99
· 100
Genau eine Person hat die
Blutgruppe AB–.
Mindestens eine Person hat
die Blutgruppe AB–.
Höchstens eine Person hat
die Blutgruppe AB–.
Keine Person hat die
Blutgruppe AB–.
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturat ermin: 20. September 2018
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Lösung zu Binomialverteilung
Lösung als kompakte PDF öffnen2 Binomialverteilung
Lösungserwartung
A 1 – p
100
B p ∙ (1 – p )
99
C 1 – (1 – p )
100
D (1 – p )
100
E p ∙ (1 – p )
99
· 100
F (1 – p )
100
+ p ∙ (1 – p )
99
· 100
Genau eine Person hat die
Blutgruppe AB–.
E
Mindestens eine Person hat
die Blutgruppe AB–.
C
Höchstens eine Person hat
die Blutgruppe AB–.
F
Keine Person hat die
Blutgruppe AB–.
D
Lösungsschlüssel
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn jedem der vier Ereignisse ausschließlich der laut
Lösungs erwartung richtige Buchstabe zugeordnet ist.
Aufgabe 1_636: Massenproduktion
Aufgabe als kompakte PDF öffnenMassenproduktion*
Aufgabennummer: 1_636 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: offenes Format Grundkompetenz: WS 3.2
Bei der Massenproduktion eines bestimmten Produkts werden Packungen zu 100 Stück
erzeugt. In einer solchen Packung ist jedes einzelne Stück (unabhängig von den anderen)
mit einer Wahrscheinlichkeit von 6 % mangelhaft.
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit in dieser Packung höchstens zwei mangel
hafte Stücke zu finden sind!
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 9. Mai 2018
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Lösung zu Massenproduktion
Lösung als kompakte PDF öffnen2 Massenproduktion
Lösungserwartung
Mögliche Vorgehensweise:
Die (binomialverteilte) Zufallsvariable X (mit den Parametern n = 100 und p = 0,06) be
schreibt die Anzahl der mangelhaften Stücke in dieser Packung.
P ( X ≤ 2) = P ( X = 0) + P ( X = 1) + P ( X = 2) ≈ 0,057
Lösungsschlüssel
Ein Punkt für die richtige Lösung. Andere Schreibweisen des Ergebnisses sind ebenfalls als
richtig zu werten.
Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das
Ergebnis aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.
Aufgabe 1_612: Rosenstöcke
Aufgabe als kompakte PDF öffnenRosenstöcke*
Aufgabennummer: 1_612 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: offenes Format Grundkompetenz: WS 3.2
Ein bestimmter Prozentsatz der Stöcke einer Rosensorte bringt gelbe Blüten hervor.
In einem Beet wird eine gewisse Anzahl an Rosenstöcken dieser Sorte gepflanzt. Die Zu-
fallsvariable X ist binomialverteilt und gibt die Anzahl der gelbblühenden Rosenstöcke an.
Dabei beträgt der Erwartungswert für die Anzahl X der gelbblühenden Rosenstöcke 32,
und die Standardabweichung hat den Wert 4.
Es wird folgender Vergleich angestellt:
„Die Wahrscheinlichkeit, dass sich in diesem Beet mindestens 28 und höchstens 36 gelb-
blühende Rosenstöcke befinden, ist größer als die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als
32 gelbblühende Rosenstöcke vorhanden sind.“
Aufgabenstellung:
Geben Sie an, ob dieser Vergleich zutrifft, und begründen Sie Ihre Entscheidung!
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 16. Jänner 2018
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Lösung zu Rosenstöcke
Lösung als kompakte PDF öffnen2 Rosenstöcke
Lösungserwartung
Der Vergleich trifft zu.
Mögliche Begründung:
Erwartungswert: μ = 32, Standardabweichung: σ = 4
unter Einbeziehung der Wahrscheinlichkeiten für σ -Umgebungen (bei Approximation durch
die normalverteilte Zufallsvariable Y ):
P (28 ≤ X ≤ 36) ≈ P ( μ – σ ≤ Y ≤ μ + σ ) ≈ 0,683
P ( X > 32) ≈ P ( Y > μ ) = 0,5 ⇒ P (28 ≤ X ≤ 36) > P ( X > 32)
Weitere Begründungsvarianten:
n … Anzahl der Rosenstöcke
p … Wahrscheinlichkeit für einen gelbblühenden Rosenstock
μ = 32 = n · p , σ
2
= 16 = n · p · (1 – p ) ⇒ n = 64, p = 0,5
• mittels Binomialverteilung:
P (28 ≤ X ≤ 36) ≈ 0,7396
P ( X > 32) ≈ 0,4503 ⇒ P (28 ≤ X ≤ 36) > P ( X > 32)
• mittels Approximation mit Stetigkeitskorrektur durch die normalverteilte Zufallsvariable Y :
P (28 ≤ X ≤ 36) ≈ P (27,5 ≤ Y ≤ 36,5) ≈ 0,7394
P ( X > 32) ≈ P ( Y > 32,5) ≈ 0,4503 ⇒ P (28 ≤ X ≤ 36) > P ( X > 32)
• mittels Approximation ohne Stetigkeitskorrektur durch die normalverteilte Zufallsvariable Y :
P (28 ≤ X ≤ 36) ≈ P (28 ≤ Y ≤ 36) ≈ 0,6827
P ( X > 32) ≈ P ( Y > 32) = 0,5 ⇒ P (28 ≤ X ≤ 36) > P ( X > 32)
Lösungsschlüssel
Ein Punkt für die Angabe, dass der Vergleich zutrifft, und eine korrekte Begründung.
Aufgabe 1_588: Reifen
Aufgabe als kompakte PDF öffnenReifen*
Aufgabennummer: 1_588 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: offenes Format Grundkompetenz: WS 3.2
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein neuer Autoreifen einer bestimmten Marke innerhalb der
ersten 10 000 Kilometer Fahrt durch einen Materialfehler defekt wird, liegt bei p %.
Eine Zufallsstichprobe von 80 neuen Reifen dieser Marke wird getestet.
Aufgabenstellung:
Geben Sie einen Ausdruck an, mit dem man die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer
dieser Reifen innerhalb der ersten 10 000 Kilometer Fahrt durch einen Materialfehler defekt
wird, berechnen kann!
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 28. September 2017
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Lösung zu Reifen
Lösung als kompakte PDF öffnen2 Reifen
Lösungserwartung
1 –
(
1 –
p
100
)
80
Lösungsschlüssel
Ein Punkt für einen korrekten Ausdruck. Äquivalente Ausdrücke sind als richtig zu werten.
Aufgabe 1_495: Parameter einer Binomialverteilung
Aufgabe als kompakte PDF öffnenParameter einer Binomialverteilung*
Aufgabennummer: 1_495 Aufgabentyp : Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: halboffenes Format Grundkompetenz: WS 3.2
Ein Zufallsexperiment wird durch eine binomialverteilte Zufallsvariable X beschrieben. Diese
hat die Erfolgswahrscheinlichkeit p = 0,36 und die Standardabweichung σ = 7,2.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie den zugehörigen Parameter n (Anzahl der Versuche)!
n =
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 20. September 2016
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Lösung zu Parameter einer Binomialverteilung
Lösung als kompakte PDF öffnen2 Parameter einer Binomialverteilung
Lösungserwartung
Mögliche Berechnung:
n ∙ 0,36 ∙ (1 – 0,36) = 7,2
2
n = 225
Lösungsschlüssel
Ein Punkt für die richtige Lösung.
Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das
Ergebnis aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.
Aufgabe 1_471: Verschiedenfärbige Kugeln
Aufgabe als kompakte PDF öffnenVerschiedenfärbige Kugeln*
Aufgabennummer: 1_471 Aufgabentyp : Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: Multiple Choice (1 aus 6) Grundkompetenz: WS 3.2
Auf einem Tisch steht eine Schachtel mit drei roten und zwölf schwarzen Kugeln. Nach
dem Zufallsprinzip werden nacheinander drei Kugeln aus der Schachtel gezogen, wobei die
gezogene Kugel jeweils wieder zurückgelegt wird.
Aufgabenstellung:
Gegeben ist der folgende Ausdruck:
3 · 0,8
2
· 0,2
Kreuzen Sie dasjenige Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit durch diesen Ausdruck be-
rechnet wird!
Es wird höchstens eine schwarze Kugel gezogen.
Es werden genau zwei schwarze Kugeln gezogen.
Es werden zwei rote Kugeln und eine schwarze Kugel gezogen.
Es werden nur rote Kugeln gezogen.
Es wird mindestens eine rote Kugel gezogen.
Es wird keine rote Kugel gezogen.
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 10. Mai 2016
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Lösung zu Verschiedenfärbige Kugeln
Lösung als kompakte PDF öffnen2 Verschiedenfärbige Kugeln
Lösungserwartung
Es werden genau zwei schwarze Kugeln gezogen.
Lösungsschlüssel
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die laut Lösungserwartung richtige
Aussage angekreuzt ist.
Aufgabe 1_422: Sammelwahrscheinlichkeit bei Überraschungseiern
Aufgabe als kompakte PDF öffnenSammelwahrscheinlichkeit bei Überraschungseiern*
Aufgabennummer: 1_422 Aufgabentyp : Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: offenes Format Grundkompetenz: WS 3.2
Ein italienischer Süßwarenhersteller stellt Überraschungseier her. Das Ei besteht aus
Schokolade. Im Inneren des Eies befindet sich in einer gelben Kapsel ein Spielzeug oder
eine Sammelfigur. Der Hersteller wirbt für die Star-Wars-Sammelfiguren mit dem Slogan
„Wir sind jetzt mit dabei, in jedem 7. Ei!“.
Bildquelle: http://www.eierlei.de/images/news/main_news/strawars_0294968706.jpg [26.05.2015].
Aufgabenstellung:
Peter kauft in einem Geschäft zehn Überraschungseier aus dieser Serie. Berechnen Sie die
Wahrscheinlichkeit, dass Peter mindestens eine Star-Wars-Sammelfigur erhält!
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 21. September 2015
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Lösung zu Sammelwahrscheinlichkeit bei Überraschungseiern
Lösung als kompakte PDF öffnen2 Sammelwahrscheinlichkeit bei Überraschungseiern
Lösungsschlüssel
Ein Punkt für die richtige Lösung. Andere Schreibweisen des Ergebnisses (als Dezimalzahl,
in Prozent) sind ebenfalls als richtig zu werten.
Toleranzintervalle: [0,78; 0,79] bzw. [78 %; 79 %]
Lösungserwartung
1 – (
6
7
)
10
Aufgabe 1_398: Tennisspiel
Aufgabe als kompakte PDF öffnenTennisspiel*
Aufgabennummer: 1_398 Aufgabentyp : Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: offenes Format Grundkompetenz: WS 3.2
Stefan und Helmut spielen im Training 5 Sätze Tennis. Stefan hat eine konstante Gewinn-
wahrscheinlichkeit von 60 % für jeden gespielten Satz.
Aufgabenstellung:
Es wird folgender Wert berechnet:
(
5
3
)
∙ 0,4
3
∙ 0,6
2
= 0,2304
Geben Sie an, was dieser Wert im Zusammenhang mit der Angabe aussagt!
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 11. Mai 2015
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Lösung zu Tennisspiel
Lösung als kompakte PDF öffnen2 Tennisspiel
Lösungsschlüssel
Ein Punkt für eine (sinngemäß) korrekte Interpretation.
Lösungserwartung
Dieser Wert gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der Helmut 3 von 5 Sätzen im Training
gewinnt.
Aufgabe 1_351: Binomialverteilung
Aufgabe als kompakte PDF öffnenBinomialverteilung*
Aufgabennummer: 1_351 Aufgabentyp : Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: Konstruktionsformat Grundkompetenz: WS 3.2
In der untenstehenden Abbildung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialver-
teilten Zufallsvariablen X mit den Parametern n = 6 und p = 0,5 durch ein Säulendiagramm
(Säulen breite = 1) dargestellt. μ bezeichnet den Erwartungswert von X .
Aufgabenstellung:
Schraffieren Sie diejenigen Rechtecksflächen, die P ( X > μ ) veranschaulichen!
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0 1 2 3 4 5 6 7 8
P ( X = k )
k
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 17. September 2014
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Lösung zu Binomialverteilung
Lösung als kompakte PDF öffnen2 Binomialverteilung
Lösungserwartung
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0 1 2 3 4 5 6 7 8
P ( X = k )
k
Lösungsschlüssel
Ein Punkt für die richtige Lösung. Jede Lösung, die den Bereich P ( X > 3) farbig hervorhebt
oder deutlich kennzeichnet, ist als richtig zu werten.
Aufgabe 1_326: Multiple-Choice-Antwort
Aufgabe als kompakte PDF öffnenMultiple-Choice-Antwort*
Aufgabennummer: 1_326 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: offenes Format Grundkompetenz: WS 3.2
Bei einer schriftlichen Prüfung werden der Kandidatin / dem Kandidaten fünf Fragen mit je
vier Antwortmöglichkeiten vorgelegt. Genau eine der Antworten ist jeweils richtig.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Kandidatin / der Kandidat bei zufälligem
Ankreuzen mindestens viermal die richtige Antwort kennzeichnet!
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 9. Mai 2014
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Lösung zu Multiple-Choice-Antwort
Lösung als kompakte PDF öffnen2 Multiple-Choice-Antwort
Lösungserwartung
X ... Anzahl der richtigen Antworten
W ( X ≥ 4) = 5 ∙
( )
1
4
4
∙
( )
3
4
+
( )
1
4
5
=
1
64
≈ 0,02 = 2 %
Lösungsschlüssel
Ein Punkt für die richtige Lösung. Jede der angeführten Schreibweisen des Ergebnisses
(als Bruch, Dezimalzahl oder in Prozenten) ist als richtig zu werten.
Toleranzintervall: [0,015; 0,02] bzw. [1,5 %; 2 %]
Aufgabe 1_350: Binomialverteilte Zufallsvariable
Aufgabe als kompakte PDF öffnenBinomialverteilte Zufallsvariable*
Aufgabennummer: 1_350 Aufgabentyp : Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: Multiple Choice (2 aus 5) Grundkompetenz: WS 3.3
In einer Urne befinden sich sieben weiße und drei rote Kugeln, die gleich groß und durch
Tasten nicht unterscheidbar sind. Jemand nimmt, ohne hinzusehen, Kugeln aus der Urne.
Aufgabenstellung:
In welchen der folgenden Fälle ist die Zufallsvariable X binomialverteilt?
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
X beschreibt die Anzahl der roten Kugeln bei dreimaligem Ziehen,
wenn jede entnommene Kugel wieder zurückgelegt wird.
X beschreibt die Anzahl der weißen Kugeln bei viermaligem Ziehen,
wenn die entnommenen Kugeln nicht zurückgelegt werden.
X beschreibt die Anzahl der weißen Kugeln bei fünfmaligem Ziehen,
wenn jede entnommene Kugel wieder zurückgelegt wird.
X beschreibt die Anzahl der Züge, bis die erste rote Kugel gezogen wird,
wenn jede entnommene Kugel wieder zurückgelegt wird.
X beschreibt die Anzahl der Züge, bis alle weißen Kugeln gezogen
wurden, wenn die entnommenen Kugeln nicht zurückgelegt werden.
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 17. September 2014
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Lösung zu Binomialverteilte Zufallsvariable
Lösung als kompakte PDF öffnen2 Binomialverteilte Zufallsvariable
Lösungserwartung
X beschreibt die Anzahl der roten Kugeln bei dreimaligem Ziehen,
wenn jede entnommene Kugel wieder zurückgelegt wird.
X beschreibt die Anzahl der weißen Kugeln bei fünfmaligem Ziehen,
wenn jede entnommene Kugel wieder zurückgelegt wird.
Lösungsschlüssel
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung
richtigen Aussagen angekreuzt sind.