Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 1601–1650

Eigenschaften einer Polynomfunktion*
Aufgabennummer: 1_750 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: Lückentext Grundkompetenz: AN 3.3
Es sei f : ℝ → ℝ eine Polynomfunktion und a , b ∈ ℝ mit a < b .
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen des jeweils richtigen Satz-
teils so, dass jedenfalls eine korrekte Aussage entsteht.
Wenn für alle x ∈ ( a ; b )
1
gilt, dann ist die Funktion f im Intervall ( a ; b )
2
.
1
f ( x ) > 0
f ′ ( x ) < 0
f ″ ( x ) > 0
2
streng monoton fallend
rechtsgekrümmt (negativ gekrümmt)
streng monoton steigend
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturat ermin: 14. Jänner 2020

Eigenschaften einer Polynomfunktion dritten Grades*
Aufgabennummer: 1_725 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: Multiple Choice (2 aus 5) Grundkompetenz: AN 3.3
Gegeben ist eine Polynomfunktion f dritten Grades. An den beiden Stellen x
1
und x
2
mit
x
1
< x
2
gelten folgende Bedingungen:
f ′ ( x
1
) = 0 und f ″ ( x
1
) < 0
f ′ ( x
2
) = 0 und f ″ ( x
2
) > 0
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Aussagen an, die für die Funktion f auf jeden Fall zutreffen.
f ( x
1
) > f ( x
2
)
Es gibt eine weitere Stelle x
3
mit f ′ ( x
3
) = 0.
Im Intervall [ x
1
; x
2
] gibt es eine Stelle x
3
mit f ( x
3
) > f ( x
1
).
Im Intervall [ x
1
; x
2
] gibt es eine Stelle x
3
mit f ″ ( x
3
) = 0.
Im Intervall [ x
1
; x
2
] gibt es eine Stelle x
3
mit f ′ ( x
3
) > 0.
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturat ermin: 20. September 2019

Polynomfunktion*
Aufgabennummer: 1_702 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: Multiple Choice (2 aus 5) Grundkompetenz: AN 3.3
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph einer Polynomfunktion f : ℝ → ℝ vom
Grad 3 im Intervall [–1; 7] dargestellt. Alle lokalen Extremstellen sowie die Wendestelle von f
im Inter vall [–1; 7] sind ganzzahlig und können aus der Abbildung abgelesen werden.
f ( x )
f
x
5 4 3 2 1 6 7 0 –1
3
2
1
0
4
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden auf die Funktion f zutreffenden Aussagen an!
f ″ (3) = 0
f ′ (1) > f ′ (3)
f ″ (1) = f ″ (5)
f ″ (1) > f ″ (4)
f ′ (3) = 0
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturat ermin: 8. Mai 2019

Eigenschaften einer Polynomfunktion
dritten Grades*
Aufgabennummer: 1_677 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: Multiple Choice (2 aus 5) Grundkompetenz: AN 3.3
Gegeben ist der Graph einer Polynomfunktion dritten Grades f . Die Stellen x = –2 und
x = 2 sind Extremstellen von f .
f ( x )
x
f
0
5
10
–10
–5
15
20
25
0 1 2 3 4 –4 –3 –2 –1
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
f ′ (0) = 0
f ″ (1) > 0
f ′ (–3) < 0
f ′ (2) = 0
f ″ (–2) > 0
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturat ermin: 15. Jänner 2019

Zweite Ableitung*
Aufgabennummer: 1_653 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: Multiple Choice (2 aus 5) Grundkompetenz: AN 3.3
Gegeben ist der Graph einer Polynomfunktion f dritten Grades.
f ( x )
x
W
T
H
f
5 6 4 3 2 1 –1 –2 0
–2
0
2
4
6
Die eingezeichneten Punkte sind der Hochpunkt H = (0 | f (0)), der Wendepunkt W = (2 | f (2))
und der Tiefpunkt T = (4 | f (4)) des Graphen.
Aufgabenstellung:
Nachstehend sind fünf Aussagen über die zweite Ableitung von f gegeben.
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Für alle x aus dem Intervall [–1; 1] gilt: f ″ ( x ) < 0.
Für alle x aus dem Intervall [1; 3] gilt: f ″ ( x ) < 0.
Für alle x aus dem Intervall [3; 5] gilt: f ″ ( x ) < 0.
f ″ (0) = f ″ (4)
f ″ (2) = 0
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturat ermin: 20. September 2018

Steigung einer Funktion
Aufgabennummer: 1_036 Prüfungsteil: Typ 1
Typ 2 
Aufgabenformat: offenes Format Grundkompetenz: AN 3.3


keine Hilfsmittel
erforderlich


gewohnte Hilfsmittel
möglich

besondere Technologie
erforderlich
Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung f ( x ) =
1
4

x
3
+
3
2

x
2
+ 4 x + 5.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie den Wert der Steigung der Funktion f an der Stelle x = 2!

Wendestelle*
Aufgabennummer: 1_605 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: offenes Format Grundkompetenz: AN 3.3
Eine Polynomfunktion dritten Grades f hat die Ableitungsfunktion f ′ mit f ′ ( x ) = 12 ∙ x
2
– 4 ∙ x – 8.
Aufgabenstellung:
Geben Sie an, ob die Funktion f an der Stelle x = 6 eine Wendestelle hat, und begründen
Sie Ihre Entscheidung!
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 16. Jänner 2018

Zeit-Weg-Funktion*
Aufgabennummer: 1_582 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: Multiple Choice (2 aus 5) Grundkompetenz: AN 3.3
Die geradlinige Bewegung eines Autos wird mithilfe der Zeit-Weg-Funktion s beschrieben.
Innerhalb des Beobachtungszeitraums ist die Funktion s streng monoton wachsend und
rechtsgekrümmt.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden für diesen Beobachtungszeitraum zutreffenden Aussagen an!
Die Geschwindigkeit des Autos wird immer größer.
Die Funktionswerte von s ′ sind negativ.
Die Funktionswerte von s ″ sind negativ.
Der Wert des Differenzenquotienten von s im Beobachtungs -
zeitraum ist negativ.
Der Wert des Differenzialquotienten von s wird immer kleiner.
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 28. September 2017

Eigenschaften der zweiten Ableitung*
Aufgabennummer: 1_526 Aufgabentyp : Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: Multiple Choice (2 aus 5) Grundkompetenz: AN 3.3
Gegeben sind die Graphen von fünf reellen Funktionen.
Aufgabenstellung:
Für welche der angegebenen Funktionen gilt f ″ ( x ) > 0 im Intervall [–1; 1]?
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Graphen an!
f ( x )
x
0 1 –2 –1 –3 2 3
0
–1
–2
1
2
f
f ( x )
x
0 1 –2 –1 –3 2 3
0
–1
–2
1
2
f
f ( x )
x
0 1 –2 –1 –3 2 3
0
–1
–2
1
2
f
f ( x )
x
0 1 –2 –1 –3 2 3
0
–1
–2
1
2
f
f ( x )
x
0 1 –2 –1 –3 2 3
0
–1
–2
1
2
f
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 12. Jänner 2017

Differenzierbare Funktion*
Aufgabennummer: 1_502 Aufgabentyp : Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: Multiple Choice (2 aus 5) Grundkompetenz: AN 3.3
Die nachstehende Abbildung zeigt den Ausschnitt eines Graphen einer Polynomfunktion f .
Die Tangentensteigung an der Stelle x = 6 ist maximal.
x
f ( x )
f
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden für die gegebene Funktion f zutreffenden Aussagen an!
f ″ (6) = 0
f ″ (11) < 0
f ″ (2) < f ″ (10)
f ′ (6) = 0
f ′ (7) < f ′ (10)
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 20. September 2016

Nachweis eines lokalen Minimums*
Aufgabennummer: 1_478 Aufgabentyp : Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: offenes Format Grundkompetenz: AN 3.3
Gegeben ist eine Polynomfunktion p mit p ( x ) = x
3
– 3 ∙ x + 2. Die erste Ableitung p ′ mit
p ′ ( x ) = 3 ∙ x
2
– 3 hat an der Stelle x = 1 den Wert null.
Aufgabenstellung:
Zeigen Sie rechnerisch, dass p an dieser Stelle ein lokales Minimum (d. h. ihr Graph dort
einen Tiefpunkt) hat!
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 10. Mai 2016

Lokale Extremstellen*
Aufgabennummer: 1_454 Aufgabentyp : Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: offenes Format Grundkompetenz: AN 3.3
In der nachstehenden Tabelle sind Funktionswerte einer Polynomfunktion f dritten Grades
sowie ihrer Ableitungsfunktionen f ′ und f ″ angegeben.
x 0 1 2 3 4
f ( x ) –2 2 0 –2 2
f ′ ( x ) 9 0 –3 0 9
f ″ ( x ) –12 –6 0 6 12
Aufgabenstellung:
Geben Sie an, an welchen Stellen des Intervalls (0; 4) die Funktion f jedenfalls lokale Extrem
stellen hat!
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 15. Jänner 2016

Graph einer Ableitungsfunktion*
Aufgabennummer: 1_430 Aufgabentyp : Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: Multiple Choice (2 aus 5) Grundkompetenz: AN 3.3
Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion f ′ einer Funktion f .
Die Funktion f ′ ist eine Polynomfunktion zweiten Grades.
f ' ( x )
x
f '
0 9 8 7 6 5 4 3 –1 –2 –3 –4 –5 2 1 10
0
4
3
2
1
–1
–2
–3
5
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Die Funktion f ist eine Polynomfunktion dritten Grades.
Die Funktion f ist im Intervall [0; 4] streng monoton steigend.
Die Funktion f ist im Intervall [–4; –3] streng monoton fallend.
Die Funktion f hat an der Stelle x = 0 eine Wendestelle.
Die Funktion f ist im Intervall [– 4; 4] linksgekrümmt.
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 21. September 2015

Graph einer Ableitungsfunktion*
Aufgabennummer: 1_405 Aufgabentyp : Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: Multiple Choice (2 aus 5) Grundkompetenz: AN 3.3
Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion f ′ mit
f ′ ( x ) =
1
–
4
∙ x
2
–
1
–
2
∙ x – 2 einer Polynomfunktion f .
x
0
1
2
3
4
–1
–2
–3
–4
0 1 2 3 4 5 –1 –2 –3 –4
f
‘
( x )
f ‘
Aufgabenstellung:
Welche der folgenden Aussagen über die Funktion f sind richtig?
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Die Funktion f hat im Intervall [– 4; 5] zwei lokale Extremstellen.
Die Funktion f ist im Intervall [1; 2] monoton steigend.
Die Funktion f ist im Intervall [– 4; –2] monoton fallend.
Die Funktion f ist im Intervall [– 4; 0] linksgekrümmt
(d. h. f ″ ( x ) > 0 für alle x ∈ [– 4; 0]).
Die Funktion f hat an der Stelle x = 1 eine Wendestelle.
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 11. Mai 2015

Negative erste Ableitung*
Aufgabennummer: 1_382 Aufgabentyp : Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: halboffenes Format Grundkompetenz: AN 3.3
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph einer Funktion f im Intervall [–3; 11] darge-
stellt. An der Stelle x = 4 hat die Funktion ein lokales Minimum.
f ( x )
f
x
Aufgabenstellung:
Geben Sie das Intervall I für diejenigen Stellen x ∈ [–3; 11] an, für die gilt: f ′ ( x ) < 0!
I =
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 16. Jänner 2015

Extremstelle*
Aufgabennummer: 1_357 Aufgabentyp : Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: Multiple Choice (2 aus 5) Grundkompetenz: AN 3.3
Die Ermittlung lokaler Extremstellen einer Polynomfunktion f erfolgt häufig mithilfe der Diffe-
renzialrechnung.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Aussagen an, die stets zutreffend sind!
Wenn x
0
eine lokale Extremstelle von f ist, dann wechselt die Funktion
an der Stelle x
0
das Krümmungsverhalten.
Wenn x
0
eine lokale Extremstelle von f ist, dann ist f ″ ( x
0
) = 0.
Wenn die Funktion f bei x
0
das Monotonieverhalten ändert, dann liegt
bei x
0
eine lokale Extremstelle von f .
Wenn x
0
eine lokale Extremstelle von f ist, dann ist f ′ ( x
0
) = 0.
Wenn x
0
eine lokale Extremstelle von f ist, dann ist f ′ ( x ) für x < x
0
immer
negativ und für x > x
0
immer positiv.
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 17. September 2014

Eigenschaften einer Funktion*
Aufgabennummer: 1_334 Aufgabentyp : Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: Multiple Choice (2 aus 5) Grundkompetenz: AN 3.3
Von einer reellen Polynomfunktion f sind der Graph und die Funktionsgleichung der Ablei
tungsfunktion f ′ gegeben: f ′ ( x ) = – x + 2.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Die Stelle x
1
= 0 ist eine Wendestelle von f .
Im Intervall [0; 1] ist f streng monoton fallend.
Die Tangente an den Graphen der Funktion f im Punkt (0| f (0))
hat die Steigung 2.
Die Stelle x
2
= 2 ist eine lokale Maximumstelle von f .
Der Graph der Funktion f weist im Intervall [2; 3] eine Links
krümmung (positive Krümmung) auf.
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 9. Mai 2014
f ′ ( x )
x
f ′

Benzinverbrauch bei der Fahrt auf einer Landstraße*
Aufgabennummer: 1_870 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: offenes Format
Maria fährt mit ihrem Auto auf einer Landstraße eine Strecke von 10 km.
Die Funktion b gibt den momentanen Benzinverbrauch b ( s ) (in L/km) in Abhängigkeit von der
zurück gelegten Strecke s (in km) seit Beginn der Fahrt an (siehe nachstehende Abbildung).
s in km
b ( s ) in L/km
5 10 0
0
0,1
b
Der Ausdruck V hat die Einheit L/km und wird mithilfe der nachstehenden Formel berechnet.
V =
1
10
·
∫
10
0
b ( s ) d s
Aufgabenstellung:
Interpretieren Sie V im gegebenen Sachzusammenhang.
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturat ermin: 17. September 2021

Fläche zwischen Graph und x -Achse*
Aufgabennummer: 1_822 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: Multiple Choice (2 aus 5) Grundkompetenz: AN 4.1
Gegeben ist eine Potenzfunktion f : [0; 15] → ℝ
+
.
Der Inhalt A derjenigen Fläche, die vom Graphen von f , von der x -Achse und von den
beiden Geraden x = 0 und x = 15 begrenzt wird, kann durch den nachstehenden
Ausdruck U näherungsweise berechnet werden.
U = 5 · ( f (0) + f (5) + f (10))
In der nachstehenden Abbildung sind der Graph von f und – grau markiert – die Fläche,
deren Inhalt durch den Ausdruck U berechnet wird, dargestellt.
f ( x )
f
x
14 15 12 10 8 6 4 2 13 11 9 7 5 3 1 0
4
2
0
6
7
3
1
5
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Ausdrücke an, mit denen der Flächeninhalt A besser als mit dem
Ausdruck U angenähert werden kann.
5 · ( f (0) + f (5) + f (10) + f (15))
2,5 · ( f (0) + f (2,5) + f (5) + f (7,5) + f (10) + f (12,5))
∫
15
0
f ( x ) d x
f (0) · 15
f (15) · 5
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturat ermin: 12. Jänner 2021

Untersumme und Obersumme*
Aufgabennummer: 1_678 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: Multiple Choice (2 aus 5) Grundkompetenz: AN 4.1
In den nachstehenden Abbildungen sind jeweils der Graph einer Funktion f sowie eine
Unter summe U (= Summe der Flächeninhalte der dunkel markierten, gleich breiten Recht
ecke) und eine Obersumme O (= Summe der Flächeninhalte der dunkel und hell markierten,
gleich breiten Rechtecke) im Intervall [– a ; a ] dargestellt.
Aufgabenstellung:
Für zwei Funktionen, deren Graph nachstehend abgebildet ist, gilt bei konstanter Recht
eck breite im Intervall [– a ; a ] die Beziehung
∫
a
– a
f ( x ) d x =
O + U
2
.
Kreuzen Sie die beiden Abbildungen an, bei denen die gegebene Beziehung erfüllt ist!
f ( x ) f
x
a – a
f ( x ) f
x
a – a
f ( x )
f
x
a – a
f ( x )
f
x
a – a
f ( x ) f
x
a – a
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturat ermin: 15. Jänner 2019

Schnitt zweier Funktionen*
Aufgabennummer: 1_333 Aufgabentyp : Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: Konstruktionsformat Grundkompetenz: AN 4.1
Gegeben sind die beiden reellen Funktionen f und g mit den Gleichungen f ( x ) = x
2
und
g ( x ) = – x
2
+ 8.
Aufgabenstellung:
Im nachstehenden Koordinatensystem sind die Graphen der beiden Funktionen f und g
dargestellt. Schraffieren Sie diejenige Fläche, deren Größe A mit A =
∫
1
0
g ( x ) d x –
∫
1
0
f ( x ) d x
berechnet werden kann!
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 9. Mai 2014
0
0 1 2 3 4 5 –1 –2 –3 –4
2
4
6
8
–2
–4
–6
–8
f
f ( x ), g ( x )
g
x

Bestimmtes Integral / Wintertermin 2022 / 1_894 / Typ 1 S. 1/2
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 19 /32
Aufgabe 17
Bestimmtes Integral
Die Polynomfunktion f : ℝ → → ℝ hat eine bestimmte Stammfunktion F . Von dieser Stammfunktion F
sind nachstehend einige Wertepaare gegeben.
x F ( x )
0 0
1 1
2 3
3 6
4 10
5 15
Weiters ist die Funktion g : ℝ → → ℝ mit g ( x ) = f ( x ) + 2 gegeben.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie
∫
4
1
g ( x ) d x .
[0 / 1 P.]

Arbeit bei der Dehnung einer Schraubenfeder*
Aufgabennummer: 1_823 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: offenes Format Grundkompetenz: AN 4.2
Eine Schraubenfeder mit der Federkonstanten k = 40 N/m wird aus der Gleichgewichts
lage s
0
= 0 m um h = 0,08 m gedehnt.
Die dabei verrichtete Arbeit W (in Joule) wird mithilfe des nachstehenden Ausdrucks be
rechnet.
W =
∫
s 0 + h
s 0
k · s d s
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die bei der oben beschriebenen Dehnung verrichtete Arbeit.
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturat ermin: 12. Jänner 2021

Bestimmen eines Koeffizienten*
Aufgabennummer: 1_726 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: halboffenes Format Grundkompetenz: AN 4.2
Gegeben ist die Funktion f : ℝ → ℝ mit f ( x ) = a · x
2
+ 2 mit a ∈ ℝ .
Aufgabenstellung:
Geben Sie den Wert des Koeffizienten a so an, dass die Gleichung
∫
1
0
f ( x ) d x = 1 erfüllt ist.
a =
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturat ermin: 20. September 2019

Bestimmtes Integral*
Aufgabennummer: 1_654 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: halboffenes Format Grundkompetenz: AN 4.2
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph einer abschnittsweise linearen Funktion f
dargestellt. Die Koordinaten der Punkte A , B und C des Graphen der Funktion sind ganz-
zahlig.
f ( x )
f
x
4
3
2
1
0
–1
–2
–3
0 –1 1 2 3 4 5 6 7 8
B A
C
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie den Wert des bestimmten Integrals
∫
7
0
f ( x ) d x !
∫
7
0
f ( x ) d x =
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturat ermin: 20. September 2018