Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 1501–1550

Sinusfunktion und Cosinusfunktion*
Aufgabennummer: 1_580 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: Multiple Choice (1 aus 6) Grundkompetenz: AN 2.1
Gegeben sind die Funktionen f mit f ( x ) = sin( a · x ) und g mit g ( x ) = a · cos( a · x ) mit a ∈ ℝ .
Aufgabenstellung:
Welche Beziehung besteht zwischen den Funktionen f und g und deren Ableitungs
funktionen?
Kreuzen Sie diejenige Gleichung an, die für alle a ∈ ℝ gilt!
a · f ′ ( x ) = g ( x )
g ′ ( x ) = f ( x )
a · g ( x ) = f ′ ( x )
f ( x ) = a · g ′ ( x )
f ′ ( x ) = g ( x )
g ′ ( x ) = a · f ( x )
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 28. September 2017

Ableitungsregeln*
Aufgabennummer: 1_504 Aufgabentyp : Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: Multiple Choice (1 aus 6) Grundkompetenz: AN 2.1
Über zwei Polynomfunktionen f und g ist bekannt, dass für alle x ∈ ℝ gilt:
g ( x ) = 3 · f ( x ) – 2
Aufgabenstellung:
Welche der nachstehenden Aussagen ist jedenfalls für alle x ∈ ℝ wahr? Kreuzen Sie die
zutreffende Aussage an!
g ′ ( x ) = f ′ ( x )
g ′ ( x ) = f ′ ( x ) – 2
g ′ ( x ) = 3 · f ′ ( x )
g ′ ( x ) = 3 · f ′ ( x ) – 2
g ′ ( x ) = 3 · f ′ ( x ) – 2 · x
g ′ ( x ) = –2 · f ′ ( x )
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 20. September 2016

Reelle Funktion*
Aufgabennummer: 1_456 Aufgabentyp : Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: halboffenes Format Grundkompetenz: AN 2.1
Eine reelle Funktion f ist durch die Funktionsgleichung f ( x ) = 4 x
3
– 2 x
2
+ 5 x – 2 gegeben.
Aufgabenstellung:
Geben Sie eine Funktionsgleichung der Ableitungsfunktion f ′ der Funktion f an!
f ′ ( x ) =
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 15. Jänner 2016

Ableitung einer Winkelfunktion*
Aufgabennummer: 1_432 Aufgabentyp : Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: offenes Format Grundkompetenz: AN 2.1
Eine Gleichung einer Funktion f lautet:
f ( x ) = 5 · cos( x ) + sin(3 · x )
Aufgabenstellung:
Geben Sie eine Gleichung der Ableitungsfunktion f ′ der Funktion f an!
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 21. September 2015

Ableitung einer Polynomfunktion*
Aufgabennummer: 1_359 Aufgabentyp : Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: Lückentext Grundkompetenz: AN 2.1
Gegeben sind eine reelle Polynomfunktion f und deren Ableitungsfunktion f ′ .
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satz-
teile so, dass eine korrekte Aussage entsteht!
Für die 1. Ableitung der Funktion f mit f ( x ) =
1
gilt: f ′ ( x ) =
2
.
1
3 x ³ – 4 x ² + 7 x – 3
6 x ² – 4 x + 7
3 x ² – 4 x + 7
2
x ³ – 2 x ² + 7 x
6 x – 4
6 x ² – 4
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 17. September 2014

Wert eines bestimmten Integrals / Herbsttermin 2023 / 1_1307 / Typ 1 S. 1/2
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
19. September 2023 / AHS / Mathematik S. 18 /34
Aufgabe 16
Wert eines bestimmten Integrals
Die Funktion g ist eine Stammfunktion der Polynomfunktion f . Von der Funktion g sind einige
Wertepaare gegeben:
x g ( x )
–2 3
–1 0
0 –1
1 0
2 3
3 8
4 15
Aufgabenstellung:
Geben Sie den Wert des nachstehenden Integrals an.
∫
3
0
f ( x ) d x =
[0 / 1 P.]

Produktionskosten / Haupttermin 2023 / 1_1282 / Typ 1 S. 1/2
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
3. Mai 2023 / AHS / Mathematik S. 17 /36
Aufgabe 15
Produktionskosten
Die monatlichen Fixkosten eines Betriebs für die Produktion von Erfrischungsgetränken betragen
€ 200.000.
Die Funktion K beschreibt modellhaft die monatlichen Gesamtkosten für diese Produktion (in Euro)
in Abhängigkeit von der Produktionsmenge x .
Die Grenzkosten für diese Produktion werden durch die Funktion K ′ beschrieben.
K ′ ( x ) = 0,003 ∙ x
2
– 6 ∙ x + 3 500
x ... Produktionsmenge in Mengeneinheiten
K ′ ( x ) ... Grenzkosten bei der Produktionsmenge x in Euro pro Mengeneinheit
Aufgabenstellung:
Stellen Sie eine Funktionsgleichung von K auf.
K ( x ) =
[0 / 1 P.]

Überholvorgang / Wintertermin 2023 / 1_1259 / Typ 1 S. 1/2
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 18 /33
Aufgabe 16
Überholvorgang
Die Beschleunigung eines bestimmten Fahrzeugs während eines Überholvorgangs wird durch die
Funktion a beschrieben.
Es gilt:
a ( t ) = – t
3
+ 3 ∙ t
2
mit 0 ≤ t ≤ 3
t ... Zeit ab Beginn des Überholvorgangs in s
a ( t ) ... Beschleunigung des Fahrzeugs zur Zeit t in m/s
2
Die Funktion v ordnet dabei jeder Zeit t die Geschwindigkeit des Fahrzeugs v ( t ) (in m/s) zu.
Zu Beginn des Überholvorgangs hat das Fahrzeug die Geschwindigkeit v (0) = 20 m/s.
Aufgabenstellung:
Stellen Sie eine Funktionsgleichung von v auf.
[0 / 1 P.]

Traubensaft / Wintertermin 2022 / 1_891 / Typ 1 S. 1/2
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 16 /32
Aufgabe 14
Traubensaft
Ein bestimmter Behälter wird mit Traubensaft befüllt. Die Funktion f beschreibt den Füllstand des
Trauben safts im Behälter in Abhängigkeit von der Zeit t . Dabei gilt:
• Der Füllvorgang erfolgt ohne Unterbrechung.
• Die Zunahme des Füllstands nimmt laufend (d. h. streng monoton) ab.
t ... Zeit seit Beginn des Füllvorgangs in s
f ( t ) ... Füllstand des Traubensafts im Behälter zur Zeit t in cm
t
1
, t
2
... zwei bestimmte Zeitpunkte während des Füllvorgangs mit t
1
< t
2
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5]
Die 1. Ableitung von f hat an der Stelle t
1
einen
positiven Wert.
Die 1. Ableitung von f hat an der Stelle t
2
einen
negativen Wert.
Die 1. Ableitung von f hat an der Stelle t
1
den gleichen
Wert wie die 1. Ableitung von f an der Stelle t
2
.
Die 2. Ableitung von f hat an der Stelle t
1
einen
positiven Wert.
Die 2. Ableitung von f hat an der Stelle t
2
einen
negativen Wert.
[0 / 1 P.]

Ableitungsfunktion und Stammfunktion*
Aufgabennummer: 1_868 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: Multiple Choice (2 aus 5)
Die Polynomfunktion f hat die Ableitungsfunktion f ′ und die Stammfunktion F .
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Aussagen an, die auf jeden Fall zutreffen. [2 aus 5]
Der Ausdruck F ( a ) gibt die Steigung von f an der Stelle a für
alle a ∈ ℝ an.
Die Stammfunktion F ist eindeutig bestimmt. Es gibt somit
keine weitere Stammfunktion von f .
Die Ableitungsfunktion f ′ ist eindeutig bestimmt. Es gibt
somit keine weitere Ableitungsfunktion von f .
Der Ausdruck F ′ (0) gibt die Steigung der Funktion f an der
Stelle 0 an.
Es gilt: F ′ ( a ) = f ( a ) für alle a ∈ ℝ .
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturat ermin: 17. September 2021

Stammfunktionen*
Aufgabennummer: 1_821 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: Multiple Choice (2 aus 5) Grundkompetenz: AN 3.1
Gegeben ist eine Stammfunktion F einer Polynomfunktion f : ℝ → ℝ .
Aufgabenstellung:
Zwei der nachstehenden Funktionen G
1
bis G
5
sind für alle c ∈ ℝ \{0} jedenfalls auch
Stammfunktionen von f .
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Funktionen an.
G
1
= c ∙ F
G
2
= c + F
G
3
= F – c
G
4
= c – F
G
5
=
F
c
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturat ermin: 12. Jänner 2021

Stammfunktion*
Aufgabennummer: 1_797 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: offenes Format Grundkompetenz: AN 3.1
Gegeben ist eine Funktion f : ℝ → ℝ , x ↦ f ( x ).
Die Funktion g : ℝ → ℝ , x ↦ g ( x ) ist eine Stammfunktion von f .
Für eine Funktion h : ℝ → ℝ , x ↦ h ( x ) und c ∈ ℝ \{0} gilt: h ( x ) = g ( x ) + c .
Aufgabenstellung:
Geben Sie an, ob h ebenfalls eine Stammfunktion von f ist, und begründen Sie Ihre Ent-
scheidung.
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturat ermin: 16. September 2020

Wachstum einer Pflanze*
Aufgabennummer: 1_773 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: halboffenes Format Grundkompetenz: AN 3.1
Zu Beginn eines dreiwöchigen Beobachtungszeitraums ist eine bestimmte Pflanze 15 cm
hoch. Die momentane Änderungsrate der Höhe dieser Pflanze wird durch die Funktion v in
Abhängigkeit von der Zeit t beschrieben.
Dabei gilt:
v ( t ) = 3 – 0,3 ∙ t
2
mit t ∈ [0; 3] in Wochen und v ( t ) in cm/Woche
Die Funktion h ordnet jedem Zeitpunkt t ∈ [0; 3] die Höhe h ( t ) der Pflanze zu ( t in Wochen,
h ( t ) in cm).
Aufgabenstellung:
Geben Sie h ( t ) an.
h ( t ) =
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturat ermin: 28. Mai 2020

Ableitungsfunktion und Stammfunktion*
Aufgabennummer: 1_723 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: Multiple Choice (2 aus 5) Grundkompetenz: AN 3.1
Es sei f : ℝ → ℝ eine Polynomfunktion.
Aufgabenstellung:
Zwei der folgenden Aussagen über die Funktion f treffen auf jeden Fall zu.
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an.
Die Funktion f hat genau eine Stammfunktion F .
Die Funktion f hat genau eine Ableitungsfunktion f ′ .
Ist F eine Stammfunktion von f , so gilt: f ′ = F .
Ist F eine Stammfunktion von f , so gilt: F ″ = f ′ .
Ist F eine Stammfunktion von f , so gilt:
∫
1
0
F ( x ) d x = f (1) – f (0).
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturat ermin: 20. September 2019

Stammfunktion*
Aufgabennummer: 1_701 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: halboffenes Format Grundkompetenz: AN 3.1
Gegeben ist eine Funktion f : ℝ → ℝ mit f ( x ) = a · x
3
mit a ∈ ℝ .
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie a so, dass die Funktion F : ℝ → ℝ mit F ( x ) = 5 · x
4
– 2 eine Stamm
funktion von f ist!
a =
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturat ermin: 8. Mai 2019

Zusammenhang zwischen Funktion und
Stammfunktionen*
Aufgabennummer: 1_676 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: Multiple Choice (2 aus 5) Grundkompetenz: AN 3.1
Die Funktionen g und h sind unterschiedliche Stammfunktionen einer Polynomfunktion f
vom Grad n ≥ 1.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
g ′ ( x ) = h ′ ( x )
g ( x ) + h ( x ) = c , c ∈ ℝ \{0}
∫
2
0
g ( x ) d x = f (2) – f (0)
∫
2
0
f ( x ) d x = h (2) – h (0)
g ( x ) = c · h ( x ), c ∈ ℝ \{1}
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturat ermin: 15. Jänner 2019

Beziehungen zwischen Funktion,
Ableitungs- und Stammfunktion*
Aufgabennummer: 1_629 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: Lückentext Grundkompetenz: AN 3.1
Es sei f eine Polynomfunktion dritten Grades, f ′ ihre Ableitungsfunktion und F eine der
Stammfunktionen von f .
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satz-
teile so, dass eine korrekte Aussage entsteht!
Die zweite Ableitungsfunktion der Funktion
1
ist die Funktion
2
.
1
f
f ′
F
2
f
f ′
F
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 9. Mai 2018

Ableitungs- und Stammfunktion*
Aufgabennummer: 1_527 Aufgabentyp : Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: Multiple Choice (2 aus 5) Grundkompetenz: AN 3.1
Es sei f eine Polynomfunktion und F eine ihrer Stammfunktionen.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Eine Funktion F heißt Stammfunktion der Funktion f , wenn gilt:
f ( x ) = F ( x ) + c ( c ∈ ℝ ) .
Eine Funktion f ′ heißt Ableitungsfunktion von f , wenn gilt:
∫
f ( x )d x = f ′ ( x ).
Wenn die Funktion f an der Stelle x
0
definiert ist, gibt f ′ ( x
0
) die Steigung
der Tangente an den Graphen von f an dieser Stelle an.
Die Funktion f hat unendlich viele Stammfunktionen, die sich nur durch
eine additive Konstante unterscheiden.
Wenn man die Stammfunktion F einmal integriert, dann erhält man
die Funktion f .
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 12. Jänner 2017

Funktion und Stammfunktion / Haupttermin 2024 / 1_1355 / Typ 1 S. 1/2
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
S. 18 /36 7. Mai 2024 / AHS / Mathematik
Aufgabe 16
Funktion und Stammfunktion
In der unten stehenden Abbildung sind der Graph der Funktion f und der Graph einer ihrer
Stammfunktionen F dargestellt.
Im Intervall [ x
1
; x
2
] ist unter dem Graphen der Funktion f ein Flächenstück grau gekennzeichnet.
Unter dem Graphen von F ist die Strecke mit der Länge s gekennzeichnet.
O
F
s
f
x
1
x
2
x
f ( x ), F ( x )
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie diejenige Gleichung an, die den Zusammenhang zwischen s und dem Inhalt des
grau gekennzeichneten Flächenstücks richtig beschreibt. [1 aus 6]
s = F ( x 1 ) – F ( x 2 )
s = f ( x 2 ) – f ( x 1 )
s =
F ( x 1 ) + F ( x 2 )
2
s =
∫
x 2
x 1
f ( x ) d x
s =
∫
x 1
x 2
f ( x ) d x
s =
∫
x 2
x 1
F ( x ) d x
[0 / 1 P.]

Graph einer Ableitungsfunktion / Wintertermin 2024 / 1_1331 / Typ 1 S. 1/2
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 18 /35
Aufgabe 16
Graph einer Ableitungsfunktion
Nachstehend ist der Graph der Ableitungsfunktion f ′ einer Polynomfunktion f dargestellt. Die Ab-
leitungsfunktion f ′ ist eine Polynomfunktion 3. Grades und hat 3 ganzzahlige Nullstellen.
f ′ ( x )
x
f ′
2 1 0
0
1
–2
–1
–3
2
3 –2 –3 –1
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Aussagen an, die auf die Polynomfunktion f jedenfalls zutreffen. [2 aus 5]
f ist im Intervall [2; 3] streng monoton steigend.
f ist im Intervall [2; 3] linksgekrümmt (positiv gekrümmt).
Es gilt: f (–3) ≤ f (3)
f hat genau 2 Wendestellen.
f hat genau 2 lokale Maximumstellen.
[0 / 1 P.]

Ableitungsfunktion / Haupttermin 2023 / 1_1283 / Typ 1 S. 1/2
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
S. 18 /36 3. Mai 2023 / AHS / Mathematik
Aufgabe 16
Ableitungsfunktion
In der unten stehenden Abbildung ist der Graph der konstanten Ableitungsfunktion f ′ einer
Funktion f dargestellt. Für die Funktion f gilt: f (0) = 2
Aufgabenstellung:
Zeichnen Sie in der nachstehenden Abbildung den Graphen der Funktion f ein.
f ′
x
2
3
1
0
–1
–2
–3
3 2 1 0 4 –1 –2 –3
f ( x ), f ′ ( x )
[0 / 1 P.]

Zweite Ableitung / Wintertermin 2023 / 1_1260 / Typ 1 S. 1/2
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 19 /33
Aufgabe 17
Zweite Ableitung
Die unten stehende Abbildung zeigt den Graphen der 2. Ableitung f ″ einer Polynomfunktion
3. Grades f . Der Graph von f ″ ist eine Gerade, die durch den Koordinatenursprung verläuft.
f ʺ ( x )
x 0
0
f ʺ
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Abbildungen an, die den Graphen einer solchen Polynomfunktion f dar-
stellen können. [2 aus 5]
f ( x )
x
f
0
0
f ( x )
x
f
0
0
f ( x )
x
0
0
f
f
f ( x )
x 0
0
f ( x )
x
f
0
0
[0 / 1 P.]

Ableitungs- und Stammfunktion / Herbsttermin 2022 / 1_1235 / Typ 1 S. 1/2
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 18 /34
Aufgabe 16
Ableitungs- und Stammfunktion
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Polynomfunktion 3. Grades f dargestellt. Alle
lokalen Extremstellen und die Wendestelle von f sind ganzzahlig.
f ( x )
x
f
0
1
–1
1 0 2 3 4 5 6 7 8 9
2
3
4
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden
Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht.
Der Graph der 1. Ableitung von f
1
und die Graphen aller Stammfunktionen von f
2
.
1
schneidet die x -Achse an der
Stelle x = 4
ist im Intervall (–∞; 4) streng
monoton fallend
ist im Intervall (–∞; 4) rechts-
gekrümmt (negativ gekrümmt)
2
haben an der Stelle x = 6 eine Wende-
stelle mit waagrechter Tangente
schneiden die x -Achse an der
Stelle x = 6
sind im Intervall (2; 6) streng monoton
fallend
[0 / ½ / 1 P.]

Stammfunktion / Haupttermin 2022 / 1_1194 / Typ 1 S. 1/2
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
S. 18 /36 3. Mai 2022 / AHS / Mathematik
Aufgabe 16
Stammfunktion
Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen der reellen Funktion f : [0; 8] → ℝ , x ↦ f ( x ).
Die Funktion F mit F (0) = 0 ist eine Stammfunktion von f . Die gekennzeichneten Punkte haben
ganzzahlige Koordinaten.
f ( x ), F ( x )
x
0 6 4 2 8
0
5
4
3
2
1
6
7
8
–2
–3
–4
–5
–1
–6
–7
–8
5 3 1 7
f
Aufgabenstellung:
Skizzieren Sie in der obigen Abbildung den Graphen von F im Intervall [0; 8] unter Verwendung
der Funktionswerte F (0), F (4) und F (8).
[0 / ½ / 1 P.]

Zeit-Geschwindigkeit-Funktion / Wintertermin 2022 / 1_892 / Typ 1 S. 1/2
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 17 /32
Aufgabe 15
Zeit-Geschwindigkeit-Funktion
Für die Bewegung eines bestimmten Körpers gibt v ( t ) die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t an
( t in s, v ( t ) in m/s). Der Graph von v ist im Zeitintervall [0; 30] in der nachstehenden Abbildung dar-
gestellt.
v ( t ) in m/s
v
0 25 20 15 10 5 30
t in s
0
5
10
Unten stehend sind Aussagen über die Zeit-Weg-Funktion s und die Zeit-Beschleunigung-
Funktion a für diese Bewegung angeführt ( t in s, s ( t ) in m, a ( t ) in m/s
2
).
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5]
Es gilt: s (10) < 10.
Es gibt einen Zeitpunkt t
0
∈ [0; 30] mit a ( t
0
) = 0.
Zum Zeitpunkt t = 15 ist die Beschleunigung maximal.
Es gilt: s (30) – s (0) > 300.
Für alle t
1
, t
2
∈ [0; 30] mit t
2
> t
1
gilt: s ( t
2
) > s ( t
1
).
[0 / 1 P.]