Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 1451–1500

Änderungsraten einer Polynomfunktion*
Aufgabennummer: 1_843 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: Konstruktionsformat
Änderungsraten einer Polynomfunktion
In der nachstehenden Abbildung sind der Graph der Polynomfunktion f und der
Punkt A = ( x
1
| f ( x
1
)) des Graphen von f dargestellt.
f ( x )
f
x
A = ( x
1
| f ( x
1
))
0
0
Für eine Stelle x
2
in der obigen Abbildung mit x
2
> x
1
gelten folgende Bedingungen:
• Der Differenzialquotient von f an der Stelle x
2
ist negativ.
• Der Differenzenquotient von f im Intervall [ x
1
; x
2
] ist null.
Aufgabenstellung:
Kennzeichnen Sie in der obigen Abbildung denjenigen Punkt P = ( x
2
| f ( x
2
)), bei dem beide
oben genannten Bedingungen erfüllt sind.
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturat ermin: 21. Mai 2021

Experiment*
Aufgabennummer: 1_819 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: halboffenes Format Grundkompetenz: AN 1.3
Bei einem Experiment wurde die Temperatur einer bestimmten Flüssigkeit (in °C) zu ver-
schiedenen Zeitpunkten gemessen.
Die nachstehende Abbildung zeigt das jeweilige Messergebnis 20 min bzw. 30 min nach
Beobachtungsbeginn.
40 35 30 25 20 15 10 5 0 45
70
60
50
40
30
20
10
0
80
Temperatur der Flüssigkeit in °C
Zeit nach Beobachtungsbeginn in min
(30 | 73)
(20 | 62)
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate der Temperatur der Flüssigkeit im Zeitintervall
[20 min; 30 min].
mittlere Änderungsrate: °C/min
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturat ermin: 12. Jänner 2021

Änderungsraten*
Aufgabennummer: 1_795 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: Konstruktionsformat Grundkompetenz: AN 1.3
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph einer Funktion f im Intervall [1; 7] dargestellt.
f ( x )
x
7 6 5 4 3 2 1 0
7
6
5
4
3
2
1
0
8
f
Aufgabenstellung:
Zeichnen Sie in der obigen Abbildung denjenigen Punkt P des Graphen von f ein, in dem
für die Funktion f der Differenzialquotient dem Differenzenquotienten im Intervall [1; 7] ent-
spricht.
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturat ermin: 16. September 2020

Ölpreis*
Aufgabennummer: 1_771 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: halboffenes Format Grundkompetenz: AN 1.3
Die nachstehende Grafik zeigt die Preisentwicklung für Rohöl im Zeitraum vom 8.6.2012
bis 8.9.2012.
70
80
90
100
8.6.2012 – 8.9.2012
8.6. 1.7. 1.9. 8.9.
Preis in Euro pro Barrel Rohöl
Datenquelle: http://www.heizoel24.at/charts/rohoel [14.12.2012] (adaptiert).
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie die mittlere Änderungsrate für den Preis pro Barrel Rohöl pro Monat im Zeit-
raum vom 1.7.2012 bis 1.9.2012.
mittlere Änderungsrate: Euro pro Barrel Rohöl pro Monat
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturat ermin: 28. Mai 2020

Bewegung*
Aufgabennummer: 1_747 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: offenes Format Grundkompetenz: AN 1.3
Ein Körper startet seine geradlinige Bewegung zum Zeitpunkt t = 0.
Die Funktion v ordnet jedem Zeitpunkt t die Geschwindigkeit v ( t ) des Körpers zum Zeit-
punkt t zu ( t in s, v ( t ) in m/s).
Aufgabenstellung:
Interpretieren Sie die Gleichung v ′ (3) = 1 im gegebenen Kontext unter Verwendung der
ent sprechenden Einheit.
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturat ermin: 14. Jänner 2020

Differenzenquotient*
Aufgabennummer: 1_722 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: halboffenes Format Grundkompetenz: AN 1.3
Der Graph einer Funktion f verläuft durch die Punkte P = (–1 | 2) und Q = (3 | f (3)).
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie f (3) so, dass der Differenzenquotient von f im Intervall [–1; 3] den Wert 1
hat.
f (3) =
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturat ermin: 20. September 2019

Veränderung eines Flüssigkeitsvolumens*
Aufgabennummer: 1_675 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: Multiple Choice (2 aus 5) Grundkompetenz: AN 1.3
Das in einem Gefäß enthaltene Flüssigkeitsvolumen V ändert sich im Laufe der Zeit t im Zeit
intervall [ t
0
; t
4
].
Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen der Funktion V ′ , die die momentane Än
derungsrate des im Gefäß enthaltenen Flüssigkeitsvolumens in diesem Zeitintervall angibt.
t
V ′ ( t )
V ′
t
3
t
1
t
0
t
4
t
2
0
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Das Flüssigkeitsvolumen im Gefäß nimmt im Zeitinter
vall [ t
1
; t
3
] ab.
Das Flüssigkeitsvolumen im Gefäß ist zum Zeitpunkt t
2
kleiner als zum Zeitpunkt t
3
.
Das Flüssigkeitsvolumen im Gefäß weist zum Zeit
punkt t
3
die niedrigste momentane Änderungsrate auf.
Das Flüssigkeitsvolumen im Gefäß ist zum Zeitpunkt t
4
am größten.
Das Flüssigkeitsvolumen im Gefäß ist zu den Zeit
punkten t
2
und t
4
gleich groß.
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturat ermin: 15. Jänner 2019

Mittlere Änderungsrate*
Aufgabennummer: 1_651 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: halboffenes Format Grundkompetenz: AN 1.3
Von einer Funktion f ist die folgende Wertetabelle gegeben:
x f ( x )
–3 42
–2 24
–1 10
0 0
1 –6
2 –8
3 –6
4 0
5 10
6 24
Aufgabenstellung:
Die mittlere Änderungsrate der Funktion f ist im Intervall [–1; b ] für
genau ein b ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} gleich null.
Geben Sie b an!
b =
* ehemalige Klausuraufgabe, Matura termin: 20. September 2018

Abkühlungsprozess*
Aufgabennummer: 1_627 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: offenes Format Grundkompetenz: AN 1.3
Eine Flüssigkeit wird abgekühlt. Die Funktion T beschreibt modellhaft den Temperaturverlauf.
Dabei gibt T ( t ) die Temperatur der Flüssigkeit zum Zeitpunkt t ≥ 0 an ( T ( t ) in °C, t in Minuten).
Der Abkühlungsprozess startet zum Zeitpunkt t = 0.
Aufgabenstellung:
Interpretieren Sie die Gleichung T ′ (20) = –0,97 im gegebenen Kontext unter Angabe der
korrekten Einheiten!
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 9. Mai 2018

Schwimmbad*
Aufgabennummer: 1_579 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: offenes Format Grundkompetenz: AN 1.3
In ein Schwimmbad wird ab dem Zeitpunkt t = 0 Wasser eingelassen.
Die Funktion h beschreibt die Höhe des Wasserspiegels zum Zeitpunkt t . Die Höhe h ( t )
wird dabei in dm gemessen, die Zeit t in Stunden.
Aufgabenstellung:
Interpretieren Sie das Ergebnis der folgenden Berechnung im gegebenen Kontext!
h (5) – h (2)
5 – 2
= 4
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 28. September 2017

Finanzschulden*
Aufgabennummer: 1_552 Aufgabentyp : Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: offenes Format Grundkompetenz: AN 1.3
Die Finanzschulden Österreichs haben im Zeitraum 2000 bis 2010 zugenommen. Im Jahr
2000 betrugen die Finanzschulden Österreichs F
0
, zehn Jahre später betrugen sie F
1
(je-
weils in Milliarden Euro).
Aufgabenstellung:
Interpretieren Sie den Ausdruck
F 1 – F 0
10
im Hinblick auf die Entwicklung der Finanzschul-
den Österreichs!
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 10. Mai 2017

Änderungsraten einer Polynomfunktion*
Aufgabennummer: 1_528 Aufgabentyp : Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: Multiple Choice (2 aus 5) Grundkompetenz: AN 1.3
Gegeben ist der Graph einer Polynomfunktion f .
f ( x )
x
f
0 –1 –2 –3 –4
0
1
2
3
–3
–2
–1
4
5
6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Der Differenzialquotient an der Stelle x = 6 ist größer als der
Differenzialquotient an der Stelle x = –3.
Der Differenzialquotient an der Stelle x = 1 ist negativ.
Der Differenzenquotient im Intervall [–3; 0] ist 1.
Die mittlere Änderungsrate ist in keinem Intervall gleich 0.
Der Differenzenquotient im Intervall [3; 6] ist positiv.
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 12. Jänner 2017

Aktienkurs*
Aufgabennummer: 1_505 Aufgabentyp : Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: offenes Format Grundkompetenz: AN 1.3
Ab dem Zeitpunkt t = 0 wird der Kurs einer Aktie (in Euro) beobachtet und dokumentiert.
A ( t ) beschreibt den Kurs der Aktie nach t Tagen.
Aufgabenstellung:
Es wird folgender Wert berechnet:
A (10) – A (0)
10
= 2
Geben Sie an, was dieser Wert im Hinblick auf die Entwicklung des Aktienkurses aussagt!
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 20. September 2016

Mittlere Änderungsrate interpretieren*
Aufgabennummer: 1_481 Aufgabentyp : Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: Multiple Choice (2 aus 5) Grundkompetenz: AN 1.3
Gegeben ist eine Polynomfunktion f dritten Grades. Die mittlere Änderungsrate von f hat im
Intervall [ x
1
; x
2
] den Wert 5.
Aufgabenstellung:
Welche der nachstehenden Aussagen können über die Funktion f sicher getroffen werden?
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Im Intervall [ x
1
; x
2
] gibt es mindestens eine Stelle x mit f ( x ) = 5.
f ( x
2
) > f ( x
1
)
Die Funktion f ist im Intervall [ x
1
; x
2
] monoton steigend.
f ′ ( x ) = 5 für alle x ∈ [ x
1
; x
2
]
f ( x
2
) – f ( x
1
) = 5 · ( x
2
– x
1
)
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 10. Mai 2016

Mittlere Geschwindigkeit*
Aufgabennummer: 1_457 Aufgabentyp : Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: offenes Format Grundkompetenz: AN 1.3
Die Funktion h , deren Graph in der nachstehenden Abbildung dargestellt ist, beschreibt
näherungsweise die Höhe h ( t ) eines senkrecht nach oben geschossenen Körpers in Ab-
hängigkeit von der Zeit t ( t in Sekunden, h ( t ) in Metern).
h ( t ) in m
t in s
0 9 8 7 6 5 4 3 2 1 10
0
100
80
60
40
20
120
h
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie anhand des Graphen die mittlere Geschwindigkeit des Körpers in Metern
pro Sekunde im Zeitintervall [2 s; 4 s]!
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 15. Jänner 2016

Mittlere Änderungsrate der Temperatur*
Aufgabennummer: 1_408 Aufgabentyp : Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: halboffenes Format Grundkompetenz: AN 1.3
Ein bestimmter Temperaturverlauf wird modellhaft durch eine Funktion T beschrieben.
Die Funktion T : [0; 60] → ℝ ordnet jedem Zeitpunkt t eine Temperatur T ( t ) zu. Dabei wird t
in Minuten und T ( t ) in Grad Celsius angegeben.
Aufgabenstellung:
Stellen Sie die mittlere Änderungsrate D der Temperatur im Zeitintervall [20; 30] durch einen
Term dar!
D = °C/min
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 11. Mai 2015

Freier Fall*
Aufgabennummer: 1_384 Aufgabentyp : Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: offenes Format Grundkompetenz: AN 1.3
Der Weg, den ein Stein im freien Fall zurücklegt, kann näherungsweise durch den funktio-
nalen Zusammenhang s ( t ) = 5 · t
2
beschrieben werden. Dabei wird die Fallzeit t in Sekun-
den und der in dieser Zeit zurückgelegte Weg s ( t ) in Metern gemessen.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Geschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s), die der Stein nach einer
Fallzeit von t = 2 Sekunden hat!
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 16. Jänner 2015

Beschleunigungsfunktion bestimmen*
Aufgabennummer: 1_360 Aufgabentyp : Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: halboffenes Format Grundkompetenz: AN 1.3
Der Weg s ( t ), den ein Körper in der Zeit t zurücklegt, wird in einem bestimmten Zeitintervall
durch
s ( t ) =
6
–
t
3
+ 5 ∙ t
2
+ 5 ∙ t
beschrieben ( s ( t ) in Metern, t in Sekunden).
Aufgabenstellung:
Geben Sie diejenige Funktion a an, die die Beschleunigung dieses Körpers in Abhängigkeit
von der Zeit t beschreibt!
a ( t ) =
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 17. September 2014

Ableitungswerte ordnen*
Aufgabennummer: 1_336 Aufgabentyp : Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: offenes Format Grundkompetenz: AN 1.3
Gegeben ist der Graph einer Polynomfunktion f .
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie die Werte f ′ (0), f ′ (1), f ′ (3) und f ′ (4) der Größe nach, beginnend mit dem klein-
sten Wert! (Die konkreten Werte von f ′ (0), f ′ (1), f ′ (3) und f ′ (4) sind dabei nicht anzugeben.)
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 9. Mai 2014
f ( x )
f
x

Stammfunktion einer Sinusfunktion / Herbsttermin 2023 / 1_1306 / Typ 1 S. 1/2
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
19. September 2023 / AHS / Mathematik S. 17 /34
Aufgabe 15
Stammfunktion einer Sinusfunktion
Die Funktion F : ℝ → ℝ mit F ( x ) = –1,25 ∙ cos( b ∙ x ) ist eine Stammfunktion
der Funktion f : ℝ → ℝ mit f ( x ) = 2 ∙ sin( b ∙ x ) mit b ∈ ℝ \{0}.
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie b .
[0 / 1 P.]

Ableitungsregeln / Wintertermin 2023 / 1_1258 / Typ 1 S. 1/2
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 17 /33
Aufgabe 15
Ableitungsregeln
Gegeben sind die zwei differenzierbaren Funktionen g : ℝ → ℝ und h : ℝ → ℝ sowie k ∈ ℝ .
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Aussagen an, die auf jeden Fall zutreffen. [2 aus 5]
Für die reelle Funktion f mit f ( x ) = g ( x ) – h ( x ) gilt:
f ′ ( x ) = g ′ ( x ) – h ′ ( x )
Für die reelle Funktion f mit f ( x ) = h ( k ∙ x ) gilt:
f ′ ( x ) = h ′ ( k ∙ x )
Für die reelle Funktion f mit f ( x ) = k ∙ g ( x ) gilt:
f ′ ( x ) = k ∙ g ′ ( x )
Für die reelle Funktion f mit f ( x ) = g ( x ) + k gilt:
f ′ ( x ) = g ′ ( x ) + k ∙ x
Für die reelle Funktion f mit f ( x ) = g ( x ) + h ( x ) gilt:
f ′ ( x ) = g ′ ( x ) ∙ h ′ ( x )
[0 / 1 P.]

Erste Ableitung / Herbsttermin 2022 / 1_1234 / Typ 1 S. 1/2
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 17 /34
Aufgabe 15
Erste Ableitung
Gegeben ist die differenzierbare Funktion f : ℝ → ℝ , x ↦ f ( x ).
Es gilt: f ′ (0) = 2
Für die zwei Zahlen a , k ∈ ℝ ist die Funktion g : ℝ → ℝ mit g ( x ) = a ∙ f ( k ∙ x ) gegeben.
Aufgabenstellung:
Stellen Sie mithilfe von a und k eine Formel zur Berechnung von g ′ (0) auf.
g ′ (0) =
[0 / 1 P.]

Regeln des Differenzierens / Haupttermin 2022 / 1_1193 / Typ 1 S. 1/2
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
3. Mai 2022 / AHS / Mathematik S. 17 /36
Aufgabe 15
Regeln des Differenzierens
Gegeben sind die zwei differenzierbaren Funktionen f und g und die positive reelle Zahl a .
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Funktionen an, die auf jeden Fall mit ( a
2
∙ ( f + g )) ′ übereinstimmen.
[2 aus 5]
2 ∙ a ∙ f ′ + 2 ∙ a ∙ g ′
a
2
∙ f ′ + a
2
∙ g ′
2 ∙ a ∙ ( f + g ) ′
a
2
∙ ( f + g ) ′
f ′ + g ′
[0 / 1 P.]

Werte einer Ableitungsfunktion*
Aufgabennummer: 1_700 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: Multiple Choice (2 aus 5) Grundkompetenz: AN 2.1
Gegeben ist die Funktion f : ℝ → ℝ mit f ( x ) = 3 · ℯ
x
.
Aufgabenstellung:
Die nachstehenden Aussagen beziehen sich auf Eigenschaften der Funktion f bzw. deren
Ableitungsfunktion f ′ .
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Es gibt eine Stelle x ∈ ℝ mit f ′ ( x ) = 2.
Für alle x ∈ ℝ gilt: f ′ ( x ) > f ′ ( x + 1).
Für alle x ∈ ℝ gilt: f ′ ( x ) = 3 · f ( x ).
Es gibt eine Stelle x ∈ ℝ mit f ′ ( x ) = 0.
Für alle x ∈ ℝ gilt: f ′ ( x ) ≥ 0.
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturat ermin: 8. Mai 2019

Ableitung*
Aufgabennummer: 1_603 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: Multiple Choice (1 aus 6) Grundkompetenz: AN 2.1
Gegeben sind sechs Funktionsgleichungen mit einem Parameter k , wobei k ∈ ℤ und k ≠ 0.
Aufgabenstellung:
Für welche der gegebenen Funktionsgleichungen gilt der Zusammenhang f ′ ( x ) = k ∙ f ( x )
für alle x ∈ ℝ ?
Kreuzen Sie die zutreffende Funktionsgleichung an!
f ( x ) = k
f ( x ) =
k
x
f ( x ) = k ∙ x
f ( x ) = x
k
f ( x ) = ℯ
k ∙ x
f ( x ) = sin( k ∙ x )
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 16. Jänner 2018