Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 1301–1350

Kostenfunktion*
Aufgabennummer: 2_052 Aufgabentyp: Typ 1  Typ 2 T
Grundkompetenz: FA 1.4, FA 1.6, FA 4.1, FA 4.3, AN 3.3
Ein Hersteller interessiert sich für die monatlich anfallenden Kosten bei der Produktion eines
bestimmten Produkts. Die Produktionskosten für dieses Produkt lassen sich in Abhängig-
keit von der Produktionsmenge x (in Mengeneinheiten, ME) durch eine Polynomfunktion
dritten Grades K mit K ( x ) = 8 ∙ 10
–7
∙ x
3
– 7,5 ∙ 10
–4
∙ x
2
+ 0,2405 ∙ x + 42 modellieren
( K ( x ) in Geldeinheiten, GE).
Aufgabenstellung:
a) 1) Berechnen Sie für dieses Produkt den durchschnittlichen Kostenanstieg pro zusätz-
lich produzierter Mengeneinheit im Intervall [100 ME; 200 ME].
2) Ermitteln Sie, ab welcher Produktionsmenge die Grenzkosten steigen.
b) Die Produktionsmenge x
opt
, für die die Stückkostenfunktion K mit K ( x ) =
K ( x )
x
minimal
ist, heißt Betriebsoptimum zur Kostenfunktion K .
1) Ermitteln Sie das Betriebsoptimum x
opt
.
Der Hersteller berechnet die Produktionskosten für die Produktionsmenge x
opt
. Dabei
stellt er fest, dass diese Kosten 65 % seines für die Produktion dieses Produkts verfüg-
baren Kapitals ausmachen.
2) Berechnen Sie das dem Hersteller für die Produktion dieses Produkts zur Verfügung
stehende Kapital.
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 20. September 2019
c) Für den Verkaufspreis p kann der Erlös in Abhängigkeit von der Produktionsmenge x
durch eine lineare Funktion E mit E ( x ) = p ∙ x beschrieben werden ( E ( x ) in GE, x in ME,
p in GE/ME). Dabei wird vorausgesetzt, dass gleich viele Mengeneinheiten verkauft wie
produziert werden.
1) Bestimmen Sie p so, dass der maximale Gewinn bei einem Verkauf von 600 ME
erzielt wird.
Die maximal mögliche Produktionsmenge beträgt 650 ME.
2) Bestimmen Sie den Gewinnbereich (also den jenigen Produktionsbereich, in dem der
Hersteller Gewinn erzielt).
d) Für ein weiteres Produkt dieses Herstellers sind in der nachstehenden Tabelle die
Produktions kosten (in GE) für verschiedene Produktionsmengen (in ME) dargestellt.
Produktionsmenge (in ME) 50 100 250 500
Produktionskosten (in GE) 197 253 308 380 700
Diese Produktionskosten können durch eine Polynomfunktion dritten Grades K
1
mit
K
1
( x ) = a ∙ x
3
+ b ∙ x
2
+ c ∙ x + d mit a , b , c , d ∈ ℝ modelliert werden.
1) Bestimmen Sie die Werte von a , b , c und d .
2) Berechnen Sie die in der obigen Tabelle fehlende Produktionsmenge.
2 Kostenfunktion

Abkühlungsprozesse
Aufgabennummer: 2_032 Prüfungsteil: Typ 1 £ Typ 2 T
Grundkompetenzen: AN 1.3, AN 2.1, AN 4.3, FA 1.5, FA 1.6, FA 1.7
Wird eine Tasse mit heißem Kaffee am Frühstückstisch abgestellt, kühlt der Kaffee anfangs
rasch ab, bleibt aber relativ lange warm.
Die Temperatur einer Flüssigkeit während des Abkühlens kann nach dem Newton’schen Ab-
kühlungsgesetz durch eine Funktion der Form t ↦ T
U
+ ( T
0
– T
U
) ∙ ℯ
– k ∙ t
beschrieben werden.
Dabei gibt T
0
die Anfangstemperatur der Flüssigkeit (in °C) zum Zeitpunkt t = 0 an, T
U
ist die
konstante Umgebungstemperatur (in °C) und k ∈ ℝ
+
(in s
–1
) ist eine von den Eigenschaften
der Flüssigkeit und des Gefäßes abhängige Konstante.
Ein zu untersuchender Abkühlungsprozess wird durch eine Funktion T der obigen Form be-
schrieben. Dabei beträgt die Anfangstemperatur T
0
= 90 °C und die Umgebungstemperatur
T
U
= 20 °C. Die Abkühlungskonstante hat den Wert k = 0,002. Die Zeit t wird in Sekunden
gemessen, die Temperatur T ( t ) in °C.
Aufgabenstellung:
a) Berechnen Sie den Wert des Differenzenquotienten der Funktion T im Intervall [0 s; 300 s]
und interpretieren Sie den berechneten Wert im Hinblick auf den beschriebenen Abküh-
lungsprozess!
Beschreiben Sie den Verlauf des Graphen von T für große Werte von t und interpretieren
Sie den Verlauf im gegebenen Kontext!
b) Der Wert T ′ ( t ) kann als „Abkühlungsgeschwindigkeit“ der Flüssigkeit zum Zeitpunkt t ge-
deutet werden.
Geben Sie für den zu untersuchenden Abkühlungsprozess eine Funktionsgleichung für T ′
an!
Geben Sie weiters denjenigen Zeitpunkt an, zu dem der Betrag der Abkühlungsgeschwin-
digkeit am größten ist!
Der Graph von T ′ und die t -Achse schließen im Intervall [0 s; 600 s] eine Fläche von
ca. 49 Flächeneinheiten ein.
Interpretieren Sie diesen Wert unter Verwendung der entsprechenden Einheit im gegebenen
Kontext!
c) Eine zweite Flüssigkeit in einem anderen Gefäß hat zum Zeitpunkt t = 0 eine Temperatur
von 95 °C. Nach einer Minute ist die Temperatur auf 83,4 °C gesunken, die Umgebungs-
temperatur beträgt T
U
= 20 °C. Die Funktion T
2
beschreibt den Abkühlungsprozess dieser
Flüssigkeit.
Geben Sie eine Gleichung an, mit der die Abkühlungskonstante k
2
für diesen Abkühlungs-
prozess berechnet werden kann, und ermitteln Sie diesen Wert!
Ermitteln Sie den Schnittpunkt der Graphen der Funktionen T und T
2
und interpretieren Sie
die Koordinaten des Schnittpunkts im gegebenen Kontext!
Abkühlungsprozesse 2

Flugreisen / Haupttermin 2023 / 2_128 / Typ 2 S. 1/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
S. 34 /36 3. Mai 2023 / AHS / Mathematik
Aufgabe 28 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Flugreisen
An den österreichischen Flughäfen werden die Anzahl der Flüge, die Anzahl der Fluggäste sowie
die Flugstrecken der Reisenden erfasst.
Datenquelle: https://www.statistik.at/web_de/statistiken/energie_umwelt_innovation_mobilitaet/verkehr/luftfahrt/personenverkehr/index.html
[19.12.2020].
Aufgabenstellung:
a) Die jährliche Anzahl aller Fluggäste in Österreich ist von 0,14 Millionen im Jahr 1955 auf
28,95 Millionen im Jahr 2017 gestiegen.
Diese zeitliche Entwicklung der Anzahl der Fluggäste in Österreich kann näherungsweise
durch die Exponentialfunktion N : ℝ
0
+
→ ℝ
+
mit N ( t ) = a ∙ b
t
mit a , b ∈ ℝ
+
beschrieben wer-
den ( t in Jahren mit t = 0 für das Jahr 1955, N ( t ) in Millionen Fluggästen).
1) Berechnen Sie a und b . [0 / 1 P.]
Im Jahr 2018 gab es in Österreich 31,73 Millionen Fluggäste.
2) Weisen Sie rechnerisch nach, dass die mit N ermittelte Anzahl der Fluggäste für das
Jahr 2018 um weniger als 1 % von der tatsächlichen Anzahl der Fluggäste abweicht.
[0 / 1 P.]
b) Die Anzahl der Flüge bzw. Fluggäste in Österreich ist für die Jahre 2018 und 2019 in der
nachstehenden Tabelle angegeben.
Anzahl der Flüge Anzahl der Fluggäste
2018 296 852 31 725 019
2019 319 945 36 206 642
Die durchschnittliche Anzahl der Fluggäste pro Flug ist von 2018 auf 2019 um n gestiegen.
1) Berechnen Sie n . [0 / 1 P.]
Flugreisen / Haupttermin 2023 / 2_128 / Typ 2 S. 2/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
3. Mai 2023 / AHS / Mathematik S. 35 /36
c) Die unten stehende Abbildung zeigt für das Jahr 2019 die Anzahl der angebotenen Sitzplätze
sowie die Anzahl der Fluggäste für Flüge von bzw. nach Wien. Die Prozentsätze geben jeweils
den relativen Anteil der durch die Fluggäste besetzten Sitzplätze an.
82,8 %
74,8 %
79,0 %
78,0 %
63,5 % 87,3 %
77,1 % 71,4 %
Angebot an Sitzplätzen
beförderte Fluggäste
Wien – London
Wien – Berlin
Wien – Moskau
Wien – Rom
Wien – Brüssel Wien – Madrid
Wien – Kopenhagen
Wien – Dubai
1 500
1 200
900
600
300
0
1 800
Anzahl in 1 000
1) Ordnen Sie den vier Aussagen für das Jahr 2019 jeweils die passende Flugstrecke aus
A bis F zu. [0 / ½ / 1 P.]
Auf dieser Flugstrecke wurden mehr als
doppelt so viele Fluggäste befördert wie
auf der Flugstrecke Wien – Moskau .
Auf dieser Flugstrecke war die
Anzahl der unbesetzten Sitzplätze am
kleinsten.
Auf dieser Flugstrecke war die Anzahl
der beförderten Fluggäste größer als
650 000 und kleiner als 1,1 Millionen.
Auf dieser Flugstrecke war mehr als ein
Drittel der angebotenen Sitzplätze
unbesetzt.
A Wien – Berlin
B Wien – Madrid
C Wien – Brüssel
D Wien – Kopenhagen
E Wien – London
F Wien – Rom

Baumwachstum
Aufgabennummer: 2_010 Typ 1  Typ 2 T technologiefrei 
Die nachstehende Tabelle enthält Messwerte des Umfangs eines bestimmten Baumstamms
in Abhängigkeit von seinem Alter.
Alter t (in Jahren) 25 50 75 100
Umfang u (in Metern) 0,462 1,256 2,465 3,370
Dieser Zusammenhang kann durch eine Wachstumsfunktion u modelliert werden, wobei
der Wert u ( t ) den Umfang zum Zeitpunkt t angibt.
Aufgabenstellung:
a) Für die ersten 50 Jahre soll die Zunahme des Umfangs mit einer Exponentialfunktion f
mit f ( t ) = a ∙ b
t
in Abhängigkeit von der Zeit t modelliert werden.
1) Geben Sie a und b so an, dass f mit den in der obigen Tabelle angegebenen Werten
für ein Alter von 25 und 50 Jahren übereinstimmt.
a =
b =
2) Begründen Sie rechnerisch, warum dieses Modell für die darauffolgenden 25 Jahre
nicht angemessen ist.
b) 1) Interpretieren Sie den Differenzenquotient von u im Zeitraum von 50 bis 75 Jahren
unter Angabe des konkreten Wertes im gegebenen Sachzusammenhang.
Es gilt: u ′ (50) = 0,043.
2) Interpretieren Sie diesen Wert im gegebenen Sachzusammenhang.
c) In der nachstehenden Abbildung sind die Messwerte und der Graph der Wachstums-
funktion u veranschaulicht.
75 50 25 0 100
u
t in Jahren
u ( t ) in Metern
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
3,5
1) Lesen Sie aus der obigen Abbildung denjenigen Zeitpunkt t
0
ab, zu dem der Umfang
des Baumes am schnellsten zugenommen hat.
t
0
= Jahre
2) Stellen Sie eine Gleichung auf, mit der dieser Zeitpunkt rechnerisch ermittelt werden
kann, wenn die Wachstumsfunktion u bekannt ist.
d) Für die Wachstumsfunktion u gilt: u ( t ) =
3,95
1 + 26,65 ∙ ℯ
–0,05 ∙ t
.
Der Umfang des Baumstamms nähert sich entsprechend dieser Wachstumsfunktion
einem bestimmten Wert u
max
.
1) Geben Sie u
max
an.
u
max
= Meter
2 Baumwachstum

Halbwertszeit des Wissens
Aufgabennummer: 2_093 Aufgabentyp: Typ 1  Typ 2 T
Grundkompetenz: FA 2.2, FA 5.1, FA 5.2
Das zu einem bestimmten Zeitpunkt erworbene Wissen verliert im Laufe der Zeit
aufgrund gesellschaftlicher Veränderungen, technologischer Neuerungen etc. an
Aktualität und Gültig keit („Relevanz“). Die nachstehende Abbildung beschreibt die
Abnahme der Relevanz des Wissens in verschiedenen Fachbereichen. Für jedes Jahr
wird angegeben, wie viel Prozent des ursprünglichen Wissens noch relevant sind.
a) Man geht davon aus, dass die Relevanz des beruflichen Fachwissens exponentiell ab
fällt und eine Halbwertszeit von 5 Jahren hat.
1) Zeichnen Sie in die Abbildung der Angabe den Verlauf der Relevanz des beruflichen
Fachwissens im Intervall [0; 15] ein.
b) Die Relevanz von Technologiewissen nimmt mit einer Halbwertszeit von 3 Jahren
exponentiell ab.
1) Stellen Sie diejenige Exponentialfunktion auf, die die Relevanz des Technologie
wissens in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt.
c) Die Relevanz des Hochschulwissens lässt sich durch folgende Funktion N beschreiben:
N ( t ) = 100 · ℯ
–0,0693 ∙ t
t ... Zeit in Jahren
N ( t ) ... Relevanz des Hochschulwissens zur Zeit t in % des anfänglichen Hochschul
wissens
1) Berechnen Sie, um wie viel Prozent die Relevanz des Hochschulwissens nach
7 Jahren bereits abgenommen hat.
d) Die Relevanz des Schulwissens kann in den ersten Jahrzehnten durch eine lineare
Funktion beschrieben werden.
1) Lesen Sie aus der Abbildung in der Angabe die Steigung dieser linearen Funktion ab.
Halbwertszeit des Wissens 2

Bevölkerungswachstum in Afrika*
Aufgabennummer: 2_083 Aufgabentyp: Typ 1  Typ 2 T
Grundkompetenz: FA 2.2, FA 5.1, FA 5.5, AN 1.1, AN 1.3, WS 1.1, WS 1.3
Afrika hatte Ende 2018 eine Bevölkerung von ca. 1,3 Milliarden Menschen und verzeichnet
derzeit das stärkste Bevölkerungswachstum aller Kontinente.
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 16. September 2020
Aufgabenstellung:
a) Die nachstehende Abbildung zeigt die Alterspyramide der afrikanischen Bevölkerung im
Kalenderjahr 2018.
Der Alterspyramide ist z. B. zu entnehmen, dass im Kalenderjahr 2018 galt: 4,5 % der
afrikanischen Bevölkerung sind Männer mit einem Lebensalter von 20 bis 24 Jahren
und 4,4 % der afrikanischen Bevölkerung sind Frauen mit einem Lebensalter von 20 bis
24 Jahren. Unter Lebensalter versteht man die Anzahl vollendeter Lebensjahre.
8 % 6 % 4 % 2 % 0 % 2 % 4 % 6 % 8 % 10 % 10 %
95 – 99
90 – 94
85 – 89
80 – 84
75 – 79
70 – 74
65 – 69
60 – 64
55 – 59
50 – 54
45 – 49
40 – 44
35 – 39
30 – 34
25 – 29
20 – 24
15 – 19
10 – 14
5 – 9
0 – 4
100+ Männer Frauen
7,5 %
6,7 %
5,8 %
5,1 %
4,4 %
3,9 %
3,5 %
2,9 %
2,3 %
1,9 %
1,3 %
1,0 %
0,8 %
0,5 %
0,3 %
0,2 %
0,1%
0,0 %
0,0 %
0,0 %
1,6 %
0,0 %
0,0 %
0,1 %
0,1 %
0,3 %
0,4 %
0,7 %
0,9 %
1,2 %
1,5 %
1,9 %
2,3 %
2,9 %
3,5 %
4,0 %
4,5 %
5,2 %
6,0 %
6,9 %
7,7 %
0,0 %
Datenquelle: https://www.populationpyramid.net/de/afrika/2018 [10.05.2019].
Nehmen Sie modellhaft an, dass in jeder Altersklasse die einzelnen Lebensalter gleich
häufig auftreten.
1) Bestimmen Sie anhand der Alterspyramide den Median m des Lebensalters der
afrikanischen Bevölkerung im Kalenderjahr 2018.
m = Jahre
2) Geben Sie die Anzahl an Afrikanerinnen und Afrikanern an, die im Kalenderjahr 2018
jünger als m Jahre waren.
2 Bevölkerungswachstum in Afrika
b) Die nachstehende Abbildung zeigt die prognostizierte Bevölkerungsentwicklung (Angaben
in Millionen) im Zeitraum von 2010 bis 2050 in ausgewählten afrikanischen Ländern.
Bevölkerung in Millionen
Burkina Faso
Marokko Algerien
Südafrika
Niger
Sudan
Uganda
Tansania Ägypten
Malawi
2010 2050
16,3
32,4
35,4
50,5
15,9
43,2
33,8
45
84,5
15,7
40,8 42,6
49,6
56,8 58,2
75,9
91,3
109,5
129,5
36,6
Datenquelle: https://de.statista.com/statistik/daten/studie/159204/umfrage/prognose-zur-bevoelkerungsentwicklung-in-
afrika-bis-2050/ [10.05.2019].
1) Geben Sie von den zehn angeführten Ländern dasjenige Land an, das laut Prognose
im Zeitraum von 2010 bis 2050 am stärksten zum absoluten Bevölkerungswachs-
tum in Afrika beitragen wird.
2) Geben Sie von den zehn angeführten Ländern dasjenige Land an, in dem laut Prognose
im Zeitraum von 2010 bis 2050 das stärkste relative Bevölkerungswachstum erfolgt.
c) Die nachstehende Tabelle zeigt die Bevölkerungsentwicklung in Nigeria im Zeitraum
von 1980 bis 2010.
Kalenderjahr 1980 1990 2000 2010
Bevölkerungszahl in Millionen 73,5 95,3 122,4 158,6
1) Zeigen Sie anhand der Tabelle, dass die Bevölkerungszahl im Zeitraum von 1980 bis
2010 annähernd exponentiell zugenommen hat.
Nehmen Sie an, dass die Bevölkerungszahl von Nigeria weiterhin in dieser Art exponentiell
wachsen wird.
2) Geben Sie unter Verwendung der Daten aus den beiden Kalenderjahren 2000 und
2010 an, in welchem Kalenderjahr die Bevölkerungszahl Nigerias erstmals mehr als
360 Millionen betragen wird.
3 Bevölkerungswachstum in Afrika
d) Die nachstehende Tabelle zeigt, wie sich die durchschnittliche Lebenserwartung der
afrikanischen Bevölkerung seit 1953 entwickelt hat.
Kalenderjahr
durchschnittliche
Lebenserwartung
in Jahren
1953 37,5
1958 40,0
1963 42,3
1968 44,4
1973 46,6
1978 48,7
1983 50,5
1988 51,7
1993 51,7
1998 52,3
2003 53,7
2008 57,0
2013 60,2
2018 62,4
1) Berechnen Sie die mittlere jährliche Zunahme k der durchschnittlichen Lebens -
erwartung im Zeitraum von 1953 bis 2018.
Es wird angenommen, dass die durchschnittliche Lebenserwartung in Afrika nach dem
Kalenderjahr 2018 konstant pro Jahr um den berechneten Wert k zunimmt.
Im Kalenderjahr 2018 betrug die durchschnittliche Lebenserwartung in Europa
78,5 Jahre.
2) Geben Sie an, in welchem Kalenderjahr die durchschnittliche Lebenserwartung in
Afrika unter dieser Annahme den Wert für Europa im Kalenderjahr 2018 erreichen
würde.
4 Bevölkerungswachstum in Afrika

Fahrradtour / Haupttermin 2022 / 2_113 / Typ 2 rK S. 1/2
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
3. Mai 2022 / AHS / Mathematik S. 27 /36
Aufgabe 25 (Teil 2)
Fahrradtour
Aufgabenstellung:
a) Bettina macht eine 2-stündige Fahrradtour. Ihre Geschwindigkeit kann dabei näherungsweise
durch die Funktion v beschrieben werden.
v ( t ) = –0,08 ∙ t
2
+ 16 mit 0 ≤ t ≤ 2
t ... Zeit in h mit t = 0 für den Beginn der Fahrradtour
v ( t ) ... Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t in km/h
1) Berechnen Sie die Zeitdauer, die Bettina für die ersten 10 km dieser Fahrradtour benötigt.
[0 / 1 P.]
2) Berechnen Sie die Beschleunigung zum Zeitpunkt t = 1. Geben Sie auch die zugehörige
Einheit an. [0 / ½ / 1 P.]
b) Der empfohlene Reifendruck eines Fahrradreifens sinkt mit zunehmender Breite des Reifens.
Für einen empfohlenen Reifendruck von 2 bar bis 9 bar kann der empfohlene Reifendruck
näherungsweise durch die Funktion p beschrieben werden.
p ( x ) = 19,1 ∙ ℯ
–0,0376 ∙ x
x ... Breite des Reifens in mm
p ( x ) ... empfohlener Reifendruck bei der Breite x in bar
1) Ermitteln Sie das größtmögliche Intervall für die Breite des Reifens, für das sich ein emp-
fohlener Reifendruck von 2 bar bis 9 bar ergibt. [0 / 1 P.]
2) Interpretieren Sie das Ergebnis der nachstehenden Berechnung unter Angabe der zuge-
hörigen Einheiten im gegebenen Sachzusammenhang.
p (30) – p (20) ≈ –2,8 [0 / 1 P.]

E-Book*
Aufgabennummer: 2_060 Aufgabentyp: Typ 1  Typ 2 T
Grundkompetenz: AN 1.1, AN 1.3, FA 2.1, FA 5.2, WS 2.2, WS 3.2
Ein Buch in digitaler Form wird als E-Book (von engl. electronic book ) bezeichnet.
Die beiden folgenden auf Deutschland bezogenen Grafiken stellen Schätzwerte für die
Entwicklung des Markts für E-Books dar:
Umsatz im Markt für E-Books
in Millionen Euro
2019 2018 2017 2016 2015 2020
800
600
400
200
0
1 000
349
446
550
659
773
869
Nutzer im Markt für E-Books
in Millionen
2019 2018 2017 2016 2015 2020
8
6
4
2
0
10
7
7,8
8,2 8,5
8,8
9,1
Quelle: http://www.e-book-news.de/20-prozent-wachstum-pro-jahr-statista-sieht-deutschen-e-book-markt-im-aufwind/
[19.06.2019] (adaptiert).
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 14. Jänner 2020
Aufgabenstellung:
a) 1) Berechnen Sie für den geschätzten Umsatz pro Nutzer in Deutschland die absolute
und die relative Änderung für den Zeitraum von 2015 bis 2020.
absolute Änderung: €
relative Änderung:
2) Berechnen Sie den Differenzenquotienten des geschätzten Umsatzes pro Nutzer in
Deutschland für den Zeitraum von 2015 bis 2020.
b) Die geschätzte Steigerung des Umsatzes im Markt für E-Books von 349 Millionen Euro
im Jahr 2015 auf 869 Millionen Euro im Jahr 2020 wird in der oben angeführten Quelle
wie folgt beschrieben:
„20 Prozent Wachstum pro Jahr“
1) Geben Sie an, wie die Umsatzschätzung U (2017) für das Jahr 2017 hätte lauten
müssen, wenn der Umsatz ausgehend vom Schätzwert von 2015 tatsächlich jährlich
um 20 % zugenommen hätte.
U (2017) = Millionen Euro
Jemand beschreibt die geschätzte Steigerung des Umsatzes im Markt für E-Books von
349 Millionen Euro im Jahr 2015 auf 869 Millionen Euro im Jahr 2020 wie folgt:
„ a Millionen Euro Wachstum pro Jahr“
2) Berechnen Sie a .
2 E-Book
c) Im Jahr 2015 betrug die Einwohnerzahl von Deutschland ungefähr 82,18 Millionen, jene
von Österreich ungefähr 8,58 Millionen. Jemand stellt sich die folgende Frage: „Wie
groß ist die Anzahl der Personen aus Österreich, die im Jahr 2015 schon E-Book-Nutzer
waren?“
1) Beantworten Sie diese Frage unter der Annahme, dass Österreich im Jahr 2015 den
gleichen (geschätzten) Anteil an E-Book-Nutzern wie Deutschland hatte.
Anzahl: Personen
Im Jahr 2020 werden 500 Personen aus Österreich zufällig ausgewählt.
Die als binomialverteilt angenommene Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Personen
aus dieser Auswahl an, die E-Book-Nutzer sind. Dabei wird die Wahrscheinlichkeit,
dass eine Person E-Book-Nutzer ist, mit 12 % angenommen.
2) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 50 E-Book-Nutzer in
dieser Auswahl sind.
3 E-Book

Weltbevölkerung / Haupttermin 2022 / 2_115 / Typ 2 S. 1/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
S. 30 /36 3. Mai 2022 / AHS / Mathematik
Aufgabe 27 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Weltbevölkerung
In der nachstehenden Tabelle ist für bestimmte Kalenderjahre die Schätzung der Weltbevölkerung
(jeweils zur Jahresmitte) angegeben.
Kalenderjahr Weltbevölkerung in Milliarden
1850 1,260
1900 1,650
1950 2,536
1960 3,030
1970 3,700
1990 5,327
2000 6,140
2010 6,957
2020 7,790
Datenquellen: https://de.statista.com/statistik/daten/studie/1694/umfrage/entwicklung-der-weltbevoelkerungszahl/,
https://www.statistik.at/web_de/statistiken/menschen_und_gesellschaft/bevoelkerung/internationale_uebersich/036446.html
[17.05.2020].
Aufgabenstellung:
a) Im Zeitraum von 1850 bis 1950 hat sich die Weltbevölkerung annähernd verdoppelt.
Nehmen Sie für diesen Zeitraum an, dass die Weltbevölkerung jährlich um den gleichen
Prozentsatz gewachsen ist.
1) Berechnen Sie diesen Prozentsatz. [0 / 1 P.]
b) Ab 1970 kann die Entwicklung der Weltbevölkerung näherungsweise durch eine lineare
Funktion f beschrieben werden.
1) Stellen Sie mithilfe der Werte für die Weltbevölkerung der Kalenderjahre 1970 und 2000
eine Funktionsgleichung von f in Abhängigkeit von der Zeit t auf ( t in Jahren mit t = 0 für
das Jahr 1970, f ( t ) in Milliarden). [0 / 1 P.]
2) Berechnen Sie, um wie viel Prozent der mithilfe von f ermittelte Wert für das Kalenderjahr
2020 vom in der obigen Tabelle angegebenen Wert abweicht. [0 / 1 P.]
Weltbevölkerung / Haupttermin 2022 / 2_115 / Typ 2 S. 2/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
3. Mai 2022 / AHS / Mathematik S. 31 /36
c) In einem anderen Modell wird die Entwicklung der Weltbevölkerung ab 1970 durch die
Funktion g modelliert.
g ( t ) = 3,7 · ℯ
–0,0001 · t 2 + 0,02 · t
t ... Zeit ab 1970 in Jahren
g ( t ) ... Weltbevölkerung zur Zeit t in Milliarden
Gemäß diesem Modell wird die Weltbevölkerung zunächst zunehmen und in weiterer Folge
abnehmen.
1) Ermitteln Sie mithilfe der Funktion g das Maximum der Weltbevölkerung und das Kalender-
jahr, in dem dies gemäß dem Modell eintreten soll.
Maximum der Weltbevölkerung: rund Milliarden
Kalenderjahr: [0 / ½ / 1 P.]