Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 1201–1250

Pelletsheizung / Herbsttermin 2022 / 2_118 / Typ-2 S. 1/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 29 /34
Aufgabe 26 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Pelletsheizung
In Österreichs Haushalten werden verschiedene Heizungsarten wie zum Beispiel die Ölheizung
(mit Heizöl als Brennmaterial) oder die Pelletsheizung (mit Pellets – kleine gepresste Holzspäne –
als Brennmaterial) eingesetzt.
In der nachstehenden Tabelle sind die Jahresdurchschnittspreise für das Heizen mit Heizöl bzw.
mit Pellets für die Jahre 2006 und 2019 in Cent pro Kilowattstunde (Cent/kWh) angegeben.
2006 2019
Heizöl 6,80 7,95
Pellets 4,40 4,84
Datenquelle: https://www.propellets.at/haeufige-fragen-und-antworten-zu-pellets [13.10.2021].
Aufgabenstellung:
a) 1) Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate der Jahresdurchschnittspreise für Pellets (in
Cent/kWh pro Jahr) für den Zeitraum von 2006 bis 2019. [0 / 1 P.]
b) Familie Buchner lebt in einem Einfamilienhaus und heizt mit Heizöl. Die Familie überlegt, auf
eine Pelletsheizung umzusteigen.
Für die geschätzten Gesamtkosten für das Heizen mit Heizöl oder mit Pellets ab dem Jahr
2019 trifft Familie Buchner folgende Annahmen:
• Familie Buchner verbraucht pro Jahr rund 15 000 kWh Energie für das Beheizen ihres Hauses.
• Der Jahresdurchschnittspreis für das Heizen mit Heizöl (0,0795 €/kWh) und jener für das
Heizen mit Pellets (0,0484 €/kWh) bleiben ab dem Jahr 2019 gleich.
• Der Umstieg von der Ölheizung zu einer Pelletsheizung kostet einmalig 10.000 €.
t ... Zeit seit Beginn des Jahres 2019 in Jahren
K
Öl
( t ) ... geschätzte Gesamtkosten für das Heizen mit Heizöl bis zur Zeit t in €
K
Pellets
( t ) ... geschätzte Gesamtkosten für das Heizen mit Pellets bis zur Zeit t in €
1) Stellen Sie auf Basis dieser Annahmen jeweils eine Funktionsgleichung von K
Öl
bzw. von
K
Pellets
auf.
K
Öl
( t ) =
K
Pellets
( t ) = [0 / ½ / 1 P.]
2) Ermitteln Sie den Zeitpunkt t
1
, zu dem die geschätzten Gesamtkosten für Familie Buchner
für das Heizen mit Pellets gleich groß sind wie die geschätzten Gesamtkosten für das
Heizen mit Heizöl. [0 / 1 P.]
Pelletsheizung / Herbsttermin 2022 / 2_118 / Typ-2 S. 2/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 30 /34
c) Die Anzahl der Pelletsheizungen in Österreich kann für den Zeitraum von 1997 bis 2019 modell-
haft durch die nachstehende Gleichung beschrieben werden.
A ( t ) =
147 130
1 + 31 ∙ ℯ
–0,28 ∙ t
t ... Zeit seit Beginn des Jahres 1997 in Jahren
A ( t ) ... Anzahl der Pelletsheizungen in Österreich zur Zeit t in 1 000 Stück
1) Ermitteln Sie für den Zeitraum von 1997 bis 2019 dasjenige Jahr, in dem gemäß diesem
Modell die momentane Änderungsrate der Anzahl der Pelletsheizungen in Österreich am
größten war. [0 / 1 P.]

Krankenstände / Wintertermin 2022 / 2_109 / Typ 2 rK S. 1/2
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 27 /32
Aufgabe 25 (Teil 2)
Krankenstände
Die durchschnittliche Dauer der Krankenstände von Angestellten in einem bestimmten Betrieb ist
in den letzten Jahren gesunken.
Aufgabenstellung:
a) In der nachstehenden Tabelle ist für das Jahr 2000 und für das Jahr 2015 jeweils die durch-
schnittliche Dauer der Krankenstände in Tagen angegeben.
Jahr
durchschnittliche Dauer der
Krankenstände in Tagen
2000 12,6
2015 9,9
Mithilfe dieser Daten soll eine lineare Funktion K erstellt werden, die die durchschnittliche Dauer
der Krankenstände in Abhängigkeit von der Zeit t ab dem Jahr 2000 beschreibt.
1) Stellen Sie eine Gleichung der linearen Funktion K auf. [0 / 1 P.]
K ( t ) =
t ... Zeit in Jahren mit t = 0 für das Jahr 2000
K ( t ) ... durchschnittliche Dauer der Krankenstände zur Zeit t in Tagen
Es wird folgende Berechnung durchgeführt:
9,9 – 12,6
12,6
≈ –0,214
2) Interpretieren Sie das Ergebnis dieser Berechnung im gegebenen Sachzusammenhang.
[0 / 1 P.]
b) Aus langjähriger Erfahrung ist bekannt, dass im Winter der Angestellte A mit einer Wahr-
scheinlichkeit von 20 % und der Angestellte B mit einer Wahrscheinlichkeit von 30 % erkrankt.
Dabei wird modellhaft angenommen, dass alle Erkrankungen unabhängig voneinander erfolgen.
1) Beschreiben Sie ein im gegebenen Sachzusammenhang mögliches Ereignis E , dessen
Wahrscheinlichkeit mit dem nachstehenden Ausdruck berechnet wird.
P ( E ) = 1 – 0,8 ∙ 0,7 [0 / 1 P.]
2) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Angestellte A in höchstens 1 von 5 Wintern
erkrankt. [0 / 1 P.]

Fallschirmsprung
Aufgabennummer: 2_072 Aufgabentyp: Typ 1  Typ 2 T
Grundkompetenz: FA 2.1, AN 3.3, AN 4.2, AN 4.3
Bei einem Fallschirmsprung wurde der zeitliche Verlauf der Geschwindigkeit eines Fall
schirm springers aufge zeichnet. Im nachstehenden Diagramm wird diese Geschwindigkeit
für die ersten 80 Sekunden nach dem Absprung veranschaulicht.
60
50
40
30
20
10
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Geschwindigkeit in m/s
Zeit nach dem Absprung in s
a) In den ersten Sekunden nach dem Absprung gilt für den Fallschirmspringer annähernd
das Fallgesetz:
s ( t ) =
g
2
· t
2
t ... Zeit nach dem Absprung in s
s ( t ) ... Fallstrecke zur Zeit t in m
g ... Erdbeschleunigung, g = 9,81 m/s
2
1) Berechnen Sie mithilfe des Fallgesetzes die Geschwindigkeit des Fallschirmspringers
1,5 Sekunden nach dem Absprung.
b) 55 Sekunden nach dem Absprung zieht der Fallschirmspringer die Reißleine, der Fall
schirm öffnet sich.
1) Schätzen Sie den Flächeninhalt zwischen der Geschwindigkeitskurve und der Zeit
achse im Intervall [0 s; 55 s] ab.
2) Interpretieren Sie die Bedeutung dieses Flächeninhalts im gegebenen Sachzusammen
hang unter Angabe der entsprechenden Einheit.
c) Der Höhenmesser des Fallschirmspringers zeigt 60 Sekunden nach dem Absprung eine
Meereshöhe von 1 300 Metern an. Ab dieser Meereshöhe sinkt der Fallschirmspringer
jeweils 100 Meter in 14 Sekunden.
Dabei soll die Meereshöhe des Fallschirmspringers (in Metern) in Abhängigkeit von der
Zeit t (in Sekunden) durch eine Funktion h beschrieben werden.
1) Erstellen Sie eine Gleichung der Funktion h . Wählen Sie t = 0 für den Zeitpunkt 60 Se
kunden nach dem Absprung.
Fallschirmsprung 2

Abstandsmessung*
Aufgabennummer: 2_035 Aufgabentyp: Typ 1  Typ 2 T
Grundkompetenz: FA 1.7, FA 2.1, WS 1.1, WS 1.3, WS 1.4, WS 3.2
Im Rahmen der polizeilichen Kontrollmaßnahmen des öffentlichen Verkehrs werden Ab-
standsmessungen vorgenommen. Im Folgenden beschreibt der Begriff Abstand eine Stre-
ckenlänge und der Begriff Tiefenabstand eine Zeitspanne.
Beträgt der Abstand zwischen dem hinteren Ende des voranfahrenden Fahrzeugs und dem
vorderen Ende des nachfahrenden Fahrzeugs ∆ s Meter, so versteht man unter dem Tie-
fenabstand diejenige Zeit t in Sekunden, in der das nachfahrende Fahrzeug die Strecke der
Länge ∆ s zurücklegt.
Nachstehend sind Tiefenabstände, die im Rahmen einer Schwerpunktkontrolle von
1 000 Fahrzeugen ermittelt wurden, in einem Kastenschaubild (Boxplot) dargestellt. Alle
kontrollierten Fahrzeuge waren mit einer Geschwindigkeit von ca. 130 km/h unterwegs.
3 2 1 0
Tiefenabstand in Sekunden
Aufgabenstellung:
a) Geben Sie das erste Quartil q
1
und das dritte Quartil q
3
der Tiefenabstände an und
deuten Sie den Bereich von q
1
bis q
3
im gegebenen Kontext!
Nach den Erfahrungswerten eines österreichischen Autofahrerclubs halten ungefähr drei
Viertel der Kraftfahrer/innen bei einer mittleren Fahrgeschwindigkeit von ca. 130 km/h
einen Abstand von mindestens 30 Metern zum voranfahrenden Fahrzeug ein. Geben
Sie an, ob die im Kastenschaubild dargestellten Daten in etwa diese Erfahrungswerte
bestätigen oder nicht, und begründen Sie Ihre Entscheidung!
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 9. Mai 2018
2 Abstandsmessung
b) Einer üblichen Faustregel zufolge wird auf Autobahnen generell ein Tiefenabstand von
mindestens zwei Sekunden empfohlen. Jemand behauptet, dass aus dem dargestell-
ten Kastenschaubild ablesbar ist, dass mindestens 20 % der Kraftfahrer/innen diesen
Tiefenabstand eingehalten haben. Geben Sie einen größeren Prozentsatz an, der aus
dem Kastenschaubild mit Sicherheit abgelesen werden kann, und begründen Sie Ihre
Wahl!
Nehmen Sie den von Ihnen ermittelten Prozentsatz als Wahrscheinlichkeit an, dass der
empfohlene Tiefenabstand eingehalten wird.
Geben Sie an, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass bei zehn zufällig und unab-
hängig voneinander ausgewählten Messungen dieser Schwerpunktkontrolle zumindest
sechs Mal der empfohlene Tiefenabstand von mindestens zwei Sekunden eingehalten
wurde!
c) Bei einer anderen Abstandsmessung wird ein kontrolliertes Fahrzeug auf den letzten
300 Metern vor der Messung zusätzlich gefilmt, damit die Messung nicht verfälscht
wird, wenn sich ein anderes Fahrzeug vor das kontrollierte Fahrzeug drängt.
Fahrzeug A fährt während des Messvorgangs mit konstanter Geschwindigkeit und
benötigt für die gefilmten 300 Meter eine Zeit von neun Sekunden. Stellen Sie den
zurückgelegten Weg s
A
( t ) in Abhängigkeit von der Zeit t im unten stehenden Zeit-Weg-
Diagramm dar ( s
A
( t ) in Metern, t in Sekunden) und geben Sie an, mit welcher Geschwin-
digkeit in km/h das Fahrzeug unterwegs ist!
Ein Fahrzeug B legt die 300 Meter ebenfalls in neun Sekunden zurück, verringert dabei
aber kontinuierlich seine Geschwindigkeit. Skizzieren Sie ausgehend vom Ursprung
einen möglichen Graphen der entsprechenden Zeit-Weg-Funktion s
B
in das unten ste-
hende Zeit-Weg-Diagramm!
s
A
( t ), s
B
( t ) in m
t in s
8 7 6 5 4 3 2 1 0 9
250
200
150
100
50
0
300