Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 1151–1200

Taschenlampen / Haupttermin 2024 / 2_139 / Typ 2 S. 1/4
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
7. Mai 2024 / AHS / Mathematik S. 31 /36
Aufgabe 27 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Taschenlampen
Ein Betrieb produziert und verkauft Taschenlampen.
Aufgabenstellung:
a) Der vordere Teil einer bestimmten Taschenlampe besteht aus der punktförmigen Lichtquelle L
und einem Reflektor, der die Lichtquelle umgibt.
Der Querschnitt des vorderen Teiles dieser Taschenlampe ist in der nachstehenden nicht maß-
stabgetreuen Abbildung in einem Koordinatensystem modellhaft dargestellt.
y in cm
x in cm
n
m
B
A
Q
P
L
0
Reflektor Wand
20
Zwei geradlinige Lichtstrahlen gehen von der Lichtquelle L aus und werden in den Punkten P
und Q vom Reflektor parallel zur x -Achse auf eine Wand umgelenkt. Dort treffen sie in den
Punkten A und B auf.
L = (2,5 | 0)
LP = 3 cm und LQ = 4,1 cm
A = (20 | yA ) und B = (20 | yB )
m = 19,5 cm
Es gilt: LP + m = LQ + n
1) Berechnen Sie yB . [0 / 1 P.]
Taschenlampen / Haupttermin 2024 / 2_139 / Typ 2 S. 2/4
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
S. 32 /36 7. Mai 2024 / AHS / Mathematik
b) Bei der Kontrolle einer Lieferung werden Taschenlampen auf die Fehler F1, F2 und F3 hin über-
prüft. Diese 3 Fehler treten unabhängig voneinander auf.
In der nachstehenden Tabelle sind diese Fehler und die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten
angegeben.
Fehler Beschreibung Wahrscheinlichkeit
F1 Die Taschenlampe ist defekt. p 1
F2 Die Taschenlampe hat die falsche Farbe. 0,02
F3 Die Taschenlampe hat keine Aufbewahrungstasche. 0,01
Eine Taschenlampe wird nach dem Zufallsprinzip ausgewählt und überprüft.
1) Ordnen Sie den vier Ereignissen jeweils die auf jeden Fall zutreffende Wahrscheinlichkeit
aus A bis F zu. [0 / ½ / 1 P.]
Die Taschenlampe ist defekt und
hat die falsche Farbe.
Die Taschenlampe hat die richtige
Farbe.
Die Taschenlampe ist nicht defekt,
sie hat die richtige Farbe und sie
hat keine Aufbewahrungstasche.
Die Taschenlampe weist mindes-
tens 1 dieser 3 Fehler auf.
A 0,98
B 1 – (1 – p
1
) · 0,98 · 0,99
C p 1 · 0,02
D 1 – p
1
· 0,02 · 0,01
E p 1 · 0,02 · 0,01
F (1 – p
1
) · 0,98 · 0,01
Taschenlampen / Haupttermin 2024 / 2_139 / Typ 2 S. 3/4
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
7. Mai 2024 / AHS / Mathematik S. 33 /36
c) Die Gesamtkosten für die Herstellung der Taschenlampen in Abhängigkeit von der Produktions-
menge x können durch die differenzierbare Kostenfunktion K modelliert werden.
x ... Produktionsmenge in Mengeneinheiten (ME)
K ( x ) ... Gesamtkosten bei der Produktionsmenge x in Geldeinheiten (GE)
Die zugehörige Grenzkostenfunktion K ′ hat die Funktionsgleichung
K ′ ( x ) = 0,33 · x
2
– 1,8 · x + 3.
Es gilt: K (1) = 44,21
1) Stellen Sie eine Funktionsgleichung von K auf.
K ( x ) = [0 / 1 P.]
Im Folgenden wird angenommen, dass jede produzierte Taschenlampe auch verkauft wird.
Der Erlös aus dem Verkauf dieser Taschenlampen in Abhängigkeit von der Produktions-
menge x kann durch die Funktion E modelliert werden.
E ( x ) = a ∙ x
x ... Produktionsmenge in ME
E ( x ) ... Erlös bei der Produktionsmenge x in GE
a ... Preis in GE/ME
Der Gewinn wird durch die Gewinnfunktion G modelliert ( x in ME, G ( x ) in GE).
Das Betriebsziel ist, bei einer Produktion und einem Verkauf von 5 ME Taschenlampen einen
Gewinn von mindestens 100 GE zu erzielen.
2) Berechnen Sie den kleinstmöglichen Preis, mit dem dieses Betriebsziel erreicht wird.
[0 / 1 P.]

Bungee-Jumping / Haupttermin 2024 / 2_138 / Typ 2 S. 1/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
7. Mai 2024 / AHS / Mathematik S. 29 /36
Aufgabe 26 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Bungee-Jumping
Bungee-Jumping ist eine Extremsportart, bei der man von einer Absprungplattform in großer
Höhe an einem elastischen Seil befestigt in die Tiefe springt.
Aufgabenstellung:
a) Sabine unternimmt einen Bungeesprung. Dabei schwingt sie am Seil mehrmals auf und ab.
Ihre Höhe über dem Boden in Abhängigkeit von der Zeit t wird modellhaft durch die Funktion
h : ℝ
0
+
→ ℝ
+
beschrieben.
h ( t ) = a ·
(
ℯ
–0,03 · t
· cos
(
π · t
6
)
+ 1
)
t ... Zeit nach dem Absprung in s
h ( t ) ... Höhe über dem Boden zum Zeitpunkt t in m
a ... positiver Parameter
Zum Zeitpunkt t = 0 springt Sabine von der Absprungplattform in 90 m Höhe über dem
Boden in die Tiefe.
1) Berechnen Sie den Parameter a . [0 / 1 P.]
Die gesamte Zeitdauer, in der sich Sabine während des Bungeesprungs in einer Höhe von
mehr als 70 m über dem Boden befindet, wird mit d bezeichnet.
2) Ermitteln Sie d in Sekunden. [0 / 1 P.]
Nach Erreichen des tiefsten Punktes wird Sabine vom Seil wieder nach oben gezogen, bevor
sie erneut fällt.
3) Berechnen Sie, wie viele Meter Sabine dabei nach oben gezogen wird. [0 / 1 P.]
Bungee-Jumping / Haupttermin 2024 / 2_138 / Typ 2 S. 2/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
S. 30 /36 7. Mai 2024 / AHS / Mathematik
Zum Zeitpunkt t
1
ist Sabines (vertikale) Fallgeschwindigkeit maximal.
4) Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutref-
fenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht. [0 / ½ / 1 P.]
Für den Zeitpunkt t
1
gilt
1
;
die Fallgeschwindigkeit kann mit
2
berechnet werden.
1
h ״ ( t 1 ) > 0
h ״ ( t 1 ) < 0
h ״ ( t 1 ) = 0
2
h ( t
1
)
| h ′ ( t 1 ) |
∫
t 1
0
h ( t ) d t

Atemstromstärke / Wintertermin 2022 / 2_112 / Typ 2 S. 1/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 31 /32
Aufgabe 28 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Atemstromstärke
Unter Atemstromstärke versteht man die pro Zeiteinheit ein- bzw. ausgeatmete Luftmenge. Sie
wird modellhaft durch die Funktion f in Abhängigkeit von der Zeit t beschrieben ( t in s, f ( t ) in L/s).
Für die Atemstromstärke von Mathias gilt modellhaft:
f ( t ) = 0,5 ∙ sin(1,25 ∙ t )
Ein Atemzyklus besteht aus einer vollständigen Ein atmungsphase und einer vollständigen
Ausatmungsphase. Die Beobachtung beginnt bei t = 0.
In der nachstehenden Abbildung ist ein Atemzyklus dargestellt.
f ( t ) in L/s
t in s
O
Einatmungsphase Ausatmungsphase
f
Aufgabenstellung:
a) In der Ausatmungsphase des betrachteten Atemzyklus von Mathias hat die Funktion f an der
Stelle t
1
eine Extremstelle.
1) Ermitteln Sie t
1
(in s).
t
1
= s [0 / 1 P.]
Im betrachteten Atemzyklus gibt t
2
mit t
2
> 0 denjenigen Zeitpunkt an, zu dem das Luft-
volumen in der Lunge von Mathias erstmals nach Beginn des Atemzyklus minimal ist.
2) Ermitteln Sie t
2
(in s).
t
2
= s [0 / 1 P.]
Atemstromstärke / Wintertermin 2022 / 2_112 / Typ 2 S. 2/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 32 /32
b) Zu Beginn einer Einatmungsphase befinden sich 3,5 Liter Luft in der Lunge von Mathias.
1) Interpretieren Sie die nachstehende Berechnung im gegebenen Sachzusammenhang.
∫
2,5
0
f ( t ) d t + 3,5 ≈ 4,29 [0 / 1 P.]
Die Funktion V beschreibt das Volumen V ( t ) der eingeatmeten Luft von Mathias während einer
Einatmungsphase in Abhängigkeit von der Zeit t (Beginn der Einatmungsphase bei t = 0 und
V (0) = 0, t in s, V ( t ) in L).
2) Ergänzen Sie die beiden fehlenden Zahlen in der nachstehenden Funktionsgleichung von V .
V ( t ) = –0,4 ∙ cos( ∙ t ) + [0 / ½ / 1 P.]

Höhe der Schneedecke
Aufgabennummer: 2_FT001 Typ 1  Typ 2 T technologiefrei 
Die Höhe einer Schneedecke nimmt aufgrund von Witterungseinflüssen mit der Zeit ab.
Bei gleichbleibender Temperatur kann die Höhe einer Schneedecke bis zur vollständigen
Schneeschmelze durch die Funktion h modellhaft beschrieben werden. Dabei gilt:
h ( t ) = h
0
– a ∙ t
2
mit a > 0, t ≥ 0
t … Zeit in Tagen seit Beginn der Messung
h
0
… Höhe der Schneedecke zu Beginn der Messung in cm
h ( t ) … Höhe der Schneedecke nach t Tagen in cm
Aufgabenstellung:
a) Eine 20 cm hohe Schneedecke ist nach einem halben Tag nur mehr 18 cm hoch.
1) Berechnen Sie, wie viele Tage nach Beginn der Messung die Schneedecke vollständig
geschmolzen ist.
2) Beschreiben Sie, wie sich eine Erhöhung des Parameters a auf h ( t ) auswirkt.
b) In einem Alpendorf gilt für die Höhe der Schneedecke in einem bestimmten Zeitraum
h
0
= 40 und a = 5.
1) Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate der Höhe der Schneedecke in diesem
Alpendorf innerhalb der ersten beiden Tage nach Beginn der Messung.
2) Interpretieren Sie diesen Wert im gegebenen Sachzusammenhang unter Angabe der
zugehörigen Einheit.
Die Berechnung der Höhe der Schneedecke ist nur in einem bestimmten Zeitintervall
sinnvoll.
3) Ergänzen Sie die obere Intervallgrenze für dieses Zeitintervall.
Zeitintervall: [0; ]
4) Interpretieren Sie h ′ (0,5) im gegebenen Sachzusammenhang unter Angabe des kon-
kreten Wertes.
c) Nachstehend ist modellhaft die Entwicklung der Höhe der Schneedecke in Zentimetern
innerhalb einer Woche in einer bestimmten Stadt abgebildet.
6 5 4 3 2 1 0 7
Höhe der Schneedecke (in cm)
Zeit in Tagen
3
2
1
0
4
Gerhard behauptet, dass es sich beim Verlauf der Höhe der Schneedecke nicht um
den Graphen einer Funktion handelt.
1) Begründen Sie, warum seine Behauptung nicht richtig ist.
Der Graph kann im Intervall [3; 5] durch eine Funktion f mit f ( t ) = k ∙ t + d beschrieben
werden.
2) Geben Sie k und d an.
k =
d =
3) Beschreiben Sie unter Angabe konkreter Werte die Entwicklung der Höhe der
Schneedecke im Intervall [3; 7].
2 Höhe der Schneedecke

Erlös und Gewinn
Aufgabennummer: 2_011 Typ 1  Typ 2 T technologiefrei 
Ein bestimmter Betrieb produziert hochwertige Kameras. Die Produktionskosten K können in
Abhängigkeit von der produzierten Stückzahl x durch die nachstehende Funktionsgleichung
modellhaft beschrieben werden.
K ( x ) = 0,00077 ∙ x
3
– 0,693 ∙ x
2
+ 396 ∙ x + 317 900
Es können monatlich maximal 1 800 Kameras produziert werden und es wird angenommen,
dass alle produzierten Kameras auch verkauft werden.
Die Graphen der Kostenfunktion K und der Erlösfunktion E sind in der nachstehenden Ab-
bildung dargestellt.
K ( x ), E ( x ), G ( x ) in €
K
E
0 1 600 1 400 1 200 1 000 800 600 400 200 1 800
2 500 000
2 000 000
–1 000 000
1 500 000
1 000 000
500 000
0
–500 000
3 000 000
x in Stück
Aufgabenstellung:
a) 1) Zeichnen Sie in der obigen Abbildung den Graphen der Gewinnfunktion G ein.
2) Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils
zutreffenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht.
Um den Break-even-Point bei einer geringeren Stückzahl zu erreichen, muss der
Stückpreis
1
und der Gewinnbereich wird
2
.
1
kleiner werden
größer werden
gleich bleiben
2
kleiner
größer
nicht verändert
b) Der Verkaufspreis einer Kamera soll € 1.320 betragen.
1) Stellen Sie die Gleichung der Gewinnfunktion G auf.
2) Berechnen Sie diejenige Stückzahl, bei der der Gewinn maximal wird.
c) In der nachstehenden Abbildung wurde die Erlösfunktion so geändert, dass die Graphen
der Kostenfunktion K und der Erlösfunktion E
1
einander im Punkt T berühren.
K ( x ), E
1
( x ) in €
K
E
1
0 1 600 1 400 1 200 1 000 800 600 400 200 1 800
2 500 000
2 000 000
1 500 000
1 000 000
500 000
0
3 000 000
x in Stück
T = ( x
T
| y
T
)
1) Interpretieren Sie die Koordinaten des Punktes T im Hinblick auf den Gewinn.
2) Stellen Sie die geänderte Erlösfunktion E
1
mithilfe der Koordinaten des Punktes T auf.
E
1
( x ) =
2 Erlös und Gewinn

Erfassen der Geschwindigkeit
Aufgabennummer: 2_077 Aufgabentyp: Typ 1  Typ 2 T
Grundkompetenz: FA 1.7, AN 3.2, AN 3.3
Auf einer Teststrecke werden Messungen durchgeführt.
a) Die Test strecke beginnt bei einem Stoppschild. Die Messergebnisse für ein Auto auf die-
ser Strecke sind in folgender Tabelle angegeben:
am Stoppschild Messung 1 Messung 2
Zeit t in min 0 1 2,5
zurückgelegter Weg s
1
( t ) in km 0 1 3
Der zurückgelegte Weg soll in Abhängigkeit von der Zeit t im Zeitintervall [0; 2,5] durch
eine Polynomfunktion s
1
mit s
1
( t ) = a ∙ t
2
+ b ∙ t + c beschrieben werden.
1) Berechnen Sie die Koeffizienten der Funktion s
1
.
b) Der zurückgelegte Weg eines anderen Autos kann näherungs weise durch die Funktion s
2
beschrieben werden:
s
2
( t ) = –
1
3
∙ t ³ + 2 ∙ t ² +
1
3
∙ t mit 0 ≤ t ≤ 3
t ... Zeit in min
s
2
( t ) ... zurückgelegter Weg zur Zeit t in km
1) Überprüfen Sie nachweislich, ob die Geschwindigkeit dieses Autos zu Beginn des
angegebenen Zeitintervalls null ist.
2) Berechnen Sie, nach welcher Zeit t
0
die Beschleunigung des Autos im angegebenen
Zeit intervall null ist.
c) Die Geschwindigkeit eines anderen Autos kann im Zeitintervall [0; 3] näherungsweise
durch die Funktion v
3
beschrieben werden. Der Graph dieser Funktion v
3
ist in der nach-
stehenden Abbildung dargestellt.
Zeit in s
v
3
Geschwindigkeit in m /s
0,5 1 1,5 2 2,5 3 0
20
15
10
5
0
25
1) Erstellen Sie eine Gleichung der zugehörigen Weg-Zeit-Funktion s
3
im Zeitintervall [1; 3]
mit s
3
(1) = 15.
Erfassen der Geschwindigkeit 2

Ganzkörperhyperthermie
Aufgabennummer: 2_092 Aufgabentyp: Typ 1  Typ 2 T
Grundkompetenz: FA 1.7, FA 4.4, AN 3.3, AN 4.2
Bei einem Therapieverfahren
wird die Körpertemperatur
bewusst stark erhöht (künstliches
Fieber). Die nebenstehende
Grafik dokumentiert
näherungsweise den Verlauf des
künstlichen Fiebers bei einer
solchen Behandlung.
Die Funktion f beschreibt den
Zusam men hang zwischen Zeit
und Körpertemperatur:
f ( t ) = –0,18 ∙ t
3
+ 0,85 ∙ t
2
+ 0,6 ∙ t + 36,6
t ... Zeit in Stunden (h) mit 0 ≤ t ≤ 5
f ( t ) ... Körpertemperatur zur Zeit t in °C
a) 1) Berechnen Sie denjenigen Zeitpunkt, zu dem die Körpertemperatur 37 °C beträgt.
b) 1) Dokumentieren Sie, wie die maximale Körpertemperatur im angegebenen Zeitinter
vall mithilfe der Differenzialrechnung berechnet werden kann.
2) Begründen Sie, warum der Graph einer Polynomfunktion 3. Grades höchstens
2 Extrempunkte haben kann.
c) Die mittlere Körpertemperatur f während der 5 Stunden andauernden Behandlung soll
ermittelt werden.
Die mittlere Körpertemperatur in einem Zeitintervall [ t
1
; t
2
] ist:
f =
1
t
2
– t
1
∫
t
2
t 1
f ( t )d t
1) Berechnen Sie die mittlere Körpertemperatur f im Zeitintervall [0; 5].
f
h

Fallschirmsprung*
Aufgabennummer: 2_061 Aufgabentyp: Typ 1  Typ 2 T
Grundkompetenz: FA 1.4, FA 1.7, AN 1.1, AN 1.3, AN 4.3
Bei einem Fallschirmsprung aus einer Höhe von 4 000 m über Grund wird 30 s nach dem
Absprung der Fallschirm ge öffnet.
Für t ∈ [0; 30] gibt die Funktion v
1
mit v
1
( t ) = 56 – 56 ∙ ℯ
–
t
4 (unter Berücksichtigung des
Luft widerstands) die Fallgeschwindigkeit des Fallschirmspringers zum Zeitpunkt t an
( t in s nach dem Absprung, v
1
( t ) in m/s).
Für t ≥ 30 gibt die Funktion v
2
mit v
2
( t ) =
51
( t – 29)
2
+ 5 – 56 ∙ ℯ
–7,5
die Fallgeschwindigkeit
des Fallschirmspringers zum Zeitpunkt t bis zum Zeitpunkt der Landung an ( t in s nach
dem Absprung, v
2
( t ) in m/s).
Modellhaft wird angenommen, dass der Fallschirmsprung lotrecht ist.
Aufgabenstellung:
a) 1) Deuten Sie w =
v 1 (10) – v 1 (5)
10 – 5
im gegebenen Kontext.
Für ein t
1
∈ [0; 30] gilt: v
1
′ ( t
1
) = w .
2) Deuten Sie t
1
im gegebenen Kontext.
b) 1) Berechnen Sie mithilfe der Funktion v
1
, in welcher Höhe der Fallschirm geöffnet wird.
2) Berechnen Sie die Zeitdauer des gesamten Fallschirmsprungs vom Absprung bis
zur Landung.
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 28. Mai 2020
c) Ohne Berücksichtigung des Luftwiderstands hätte der Fallschirmspringer eine Anfangs-
geschwindigkeit von 0 m/s und im Zeitintervall [0; 30] eine konstante Beschleunigung
von 9,81 m/s². Die Fallgeschwindigkeit 9 s nach dem Absprung beträgt dann v *.
1) Berechnen Sie, um wie viel v
1
(9) kleiner ist als v *.
2) Berechnen Sie, um wie viel Prozent 9 s nach dem Absprung die Beschleunigung
des Fallschirmspringers geringer ist als bei einem Sprung ohne Berücksichtigung
des Luftwiderstands.
2 Fallschirmsprung

Aufzugsfahrt*
Aufgabennummer: 2_059 Aufgabentyp: Typ 1  Typ 2 T
Grundkompetenz: FA 1.7, AN 1.3, AN 4.3
Die Geschwindigkeiten von Personenaufzügen können sich je nach Bauart und Gebäude-
höhe sehr stark unterscheiden.
Die nachstehende Abbildung zeigt das Zeit-Beschleunigung-Diagramm für eine 20 s
dauernde Aufzugsfahrt. Zu Beginn und am Ende der Fahrt steht der Aufzug still. Die Zeit t
wird in Sekunden, die Beschleunigung a ( t ) in m/s
2
angegeben. Die Beschleunigungswerte
wurden mithilfe eines Sensors ermittelt und der Verlauf der Beschleunigung wurde mit einer
differenzierbaren Funktion a modelliert.
a ( t )
a
t
0,5
0
–0,5
1
–1
0 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 20
Aufgabenstellung:
a) 1) Geben Sie für jeden im Folgenden genannten Abschnitt der dargestellten Aufzugs-
fahrt das entsprechende Zeitintervall an.
Aufzug bremst ab:
Aufzug fährt mit konstanter Geschwindigkeit:
Kim behauptet, dass die Geschwindigkeit des Aufzugs im Zeitintervall [1,5 s; 2 s]
konstant bleibt.
2) Geben Sie an, ob Kim recht hat, und begründen Sie Ihre Entscheidung.
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 14. Jänner 2020
b) 1) Ermitteln Sie anhand der gegebenen Abbildung näherungsweise die Höchst -
geschwindigkeit v
max
während der dargestellten Aufzugsfahrt.
Der Graph der Funktion a schließt mit der t -Achse in den Zeitintervallen [0; 3,5] und
[17; 20] jeweils ein Flächenstück ein.
2) Begründen Sie, warum im gegebenen Kontext die Inhalte dieser beiden Flächen -
stücke gleich groß sein müssen.
c) Ein Produzent von Aufzugsanlagen plant die Herstellung eines neuen Aufzugs.
Die Beschleunigung dieses Aufzugs wird in den ersten 3 Sekunden durch die differen-
zierbare Funktion a
1
: [0; 3] → → ℝ mit
0,6 ∙ t
2
∙ (3 – 2 ∙ t ) für 0 ≤ t < 1
a
1
( t ) = 0,6 für 1 ≤ t < 2
0,6 ∙ ( t – 3)
2
∙ (2 ∙ t – 3) für 2 ≤ t ≤ 3
beschrieben ( t in s, a
1
( t ) in m/s
2
).
1) Berechnen Sie die Geschwindigkeitszunahme dieses Aufzugs im Zeitintervall [0; 3].
Für den Verlauf der Fahrt müssen bestimmte Bedingungen für die Beschleunigung
eingehalten werden. Der sogenannte Ruck , die momentane Änderungsrate der Be-
schleunigung, soll bei einer Fahrt mit einem Aufzug Werte zwischen –1 m/s
3
und 1 m/s
3
annehmen.
2) Überprüfen Sie, ob dieser Aufzug bei t = 1 die angeführten Bedingungen für den
Ruck einhält.
2 Aufzugsfahrt