Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 1101–1150

Wachstum einer Pflanze
Aufgabennummer: 2_004 Typ 1  Typ 2 T technologiefrei 
Das Wachstum einer Pflanze wurde über einen Zeitraum von 17 Wochen beobachtet und
ihre Höhe gemessen. Die Höhe dieser Pflanze kann in Abhängigkeit von der Zeit t durch
eine Funktion h mit h ( t ) =
1
24
∙ (– t
3
+ 27 ∙ t
2
+ 120) modelliert werden ( t in Wochen seit Be-
obachtungsbeginn, h ( t ) in cm).
Aufgabenstellung:
a) 1) Interpretieren Sie
h (13) – h (9)
4
= 9,47… im gegebenen Sachzusammenhang.
2) Interpretieren Sie h ′ (9) unter Angabe des konkreten Wertes im gegebenen Sachzu-
sammenhang.
b) 1) Weisen Sie rechnerisch nach, dass die Funktion h im Beobachtungszeitraum kein
lokales Maximum hat.
c) Für ein schnelleres Wachstum wird die Pflanze gedüngt. Zwei Wochen später erreicht
sie ihr stärkstes Wachstum.
1) Ermitteln Sie denjenigen Zeitpunkt, zu dem die Pflanze gedüngt wurde.
d) Im selben Zeitraum wurde das Wachstum einer anderen Pflanze beobachtet und model-
liert. Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen der entsprechenden Funktion h
1
.
t in Wochen
h
1
h
1
( t ) in cm
16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 17
120
100
80
60
40
20
0
140
1) Interpretieren Sie das Krümmungsverhalten von h
1
im Intervall [0; 17] im Hinblick auf
das Wachstum dieser Pflanze.
2 Wachstum einer Pflanze

Erderwärmung*
Aufgabennummer: 2_098 Aufgabentyp: Typ 1  Typ 2 T
Grundkompetenz: FA 1.4, FA 1.5, FA 2.2, FA 5.2, AN 1.3, AN 3.3
Unter globaler Mitteltemperatur versteht man die über die gesamte Erdoberfläche gemittelte
Temperatur in einem bestimmten Zeitraum unter bestimmten Bedingungen.
Die Entwicklung der globalen Mitteltemperatur kann mithilfe von Klimamodellen prognosti
ziert werden.
Nachstehend sind für einzelne Jahre die globalen Mitteltemperaturen angeführt.
Jahr 1900 1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980
globale Mitteltemperatur (in °C) 13,80 13,87 13,89 14,01 13,90 14,02 13,94 14,16
Jahr 1985 1990 1995 2000 2005 2010 2015
globale Mitteltemperatur (in °C) 14,03 14,37 14,37 14,31 14,51 14,55 14,72
Die Funktion T beschreibt modellhaft die globale Mitteltemperatur in Abhängigkeit von der
Zeit t ( t in Jahren ab dem Jahr 1900, T ( t ) in °C). Es gilt:
T ( t ) = a · ℯ
0,008 · t
– 0,03 · t + 11,1 mit a ∈ ℝ
+
Aufgabenstellung:
a) Bei einem bestimmten Klimamodell wird a = 2,7 angenommen.
Die Funktion T hat an der Stelle t = t
0
eine lokale Extremstelle.
1) Ermitteln Sie t
0
.
2) Begründen Sie mathematisch, warum gemäß diesem Modell die globale Mittel
temperatur ab der Stelle t
0
immer schneller ansteigt.
* ehemalige Klausuraufgabe (adaptiert), Maturatermin: 12. Jänner 2021
b) Verschiedene Studien nehmen an, dass die globale Mitteltemperatur im Jahr 2100 im
Vergleich zur globalen Mitteltemperatur im Jahr 2000 (also 14,31 °C) um mindestens
1,5 °C, aber um höchstens 4,5 °C höher sein wird.
1) Weisen Sie nach, dass die Funktion T mit a = 2,7 diese Studien mit der Annahme
für das Jahr 2100 bestätigt.
2) Geben Sie den kleinstmöglichen Wert a
min
und den größtmöglichen Wert a
max
so an,
dass die Funktion T diese Studien bestätigt.
a
min
=
a
max
=
c) Bei der UN Klimakonferenz in Paris im Jahr 2015 wurde eine neue internationale
Klima schutz Vereinbarung getroffen, die die Begrenzung der Zunahme der globalen
Mitteltemperatur vor sieht. Demnach dürfte die globale Mitteltemperatur im Jahr 2100
höchstens 15,3 °C betragen.
Um diese Klimaschutz Vereinbarung zu erfüllen, darf ab dem Jahr 2015 die mittlere
Änderungsrate der globalen Mitteltemperatur höchstens einen bestimmten Wert k
betragen ( k in °C pro Jahr).
1) Ermitteln Sie k .
Es wird angenommen, dass die globale Mitteltemperatur ab dem Jahr 2015 linear
zunimmt und die mittlere Änderungsrate der globalen Mitteltemperatur tatsächlich k
entspricht.
2) Geben Sie unter dieser Annahme eine Gleichung derjenigen linearen Funktion M an,
die die jährliche globale Mitteltemperatur (in °C) t Jahre nach 2015 modellhaft be
schreibt.
2 Erderwärmung

Sicherheitskontrolle*
Aufgabennummer: 2_096 Aufgabentyp: Typ 1  Typ 2 T
Grundkompetenz: WS 2.3, WS 3.1, WS 3.2, FA 1.5, AN 4.3
Beim Einlass in ein bestimmtes Stadion findet bei einer Veranstaltung eine maximal drei
stufige Sicher heitskontrolle bei Personen statt, um mitgeführte Gegenstände zu kontrollieren
und un zulässige Gegenstände zu erfassen. Liefert die erste Stufe dieser Sicherheitskontrolle
kein ein deutiges Ergebnis, dann wird die zweite Stufe der Sicherheitskontrolle durchgeführt.
Liegt dann noch immer kein eindeutiges Ergebnis vor, kommt die dritte Stufe der Sicher
heitskontrolle zum Einsatz.
Die erste und die zweite Stufe der Sicherheitskontrolle dauern jeweils 15 s, die dritte Stufe
dauert 300 s. Ein eindeutiges Ergebnis liefert dabei die erste Stufe mit einer Wahrschein
lichkeit von 90 %, die zweite Stufe mit einer Wahrscheinlichkeit von 60 %.
Aufgabenstellung:
a) Die Zufallsvariable X beschreibt die Dauer d (in s) der Sicherheitskontrolle bei einer
Person. Wartezeiten, die eventuell auftreten können, werden nicht berück sichtigt.
1) Ergänzen Sie in der nachstehenden Tabelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung der
Zufalls variablen X .
d
P ( X = d )
2) Ermitteln Sie den Erwartungswert E ( X ).
b) Der Wert p gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass eine Person einen unzulässigen
Gegenstand mit sich führt. Die Wahrscheinlichkeit, dass von 2 zufällig und unabhängig
voneinander ausgewählten Personen beide einen unzulässigen Gegenstand mit sich
führen, beträgt 10 %.
1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit p .
2) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass von 10 zufällig und unabhängig
voneinander ausgewählten Personen mindestens 5 Personen einen unzulässigen
Gegenstand mit sich führen.
* ehemalige Klausuraufgabe (adaptiert), Maturatermin: 16. September 2020
c) Die momentane Änderungsrate der Anzahl der Personen im Stadion kann mithilfe der
Funktion A mit A ( t ) = a · t
2
+ b · t + c mit a , b , c ∈ ℝ und 0 ≤ t ≤ 90 in Abhängigkeit
von der Zeit t beschrieben werden, wobei zum Zeitpunkt t = 0 der Einlass ins Stadion
beginnt ( t in Minuten, A ( t ) in Personen pro Minute).
Zu Beginn des Einlasses ist die momentane Änderungsrate der Anzahl der Personen im
Stadion gleich 0.
45 min nach Beginn des Einlasses ist die momentane Änderungsrate der Anzahl der
Personen im Stadion maximal. Zu diesem Zeitpunkt beträgt sie 15 Personen pro Minute.
1) Berechnen Sie die Werte von a , b und c .
2) Geben Sie die Anzahl der Personen an, die insgesamt bis zum Zeitpunkt t = 90 ins
Stadion gekommen sind.
2 Sicherheitskontrolle

Gewinnfunktion
Aufgabennummer: 2_009 Typ 1  Typ 2 T technologiefrei 
In einem bestimmten Unternehmen werden die Entwicklungen der Kosten K und des Er
löses E in Abhängigkeit von der produzierten Menge x eines bestimmten Produkts beob
achtet.
Die Erlösfunktion E mit E ( x ) = –0,05 ∙ x
2
+ 1,5 ∙ x und die Kostenfunktion K mit
K ( x ) = 0,3 ∙ x + 5,4 beschreiben modellhaft diese Entwicklungen ( x in Mengeneinheiten ME
und E ( x ), K ( x ) in Geldeinheiten GE). Alle produzierten Mengeneinheiten werden vom Unter
nehmen verkauft.
Aufgabenstellung:
a) 1) Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte der Funktionsgraphen von E
und K .
2) Interpretieren Sie die Koordinaten dieser Schnittpunkte im Hinblick auf den Gewinn
des Unternehmens.
b) Die nachstehende Abbildung zeigt die Graphen der Erlösfunktion E und der Kosten
funktion K .
x in ME
K ( x ), E ( x ), G ( x ) in GE
0 25 20 15 10 5 30
0
–1
–2
–3
–4
–5
–6
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
13
E
K
1) Zeichnen Sie in der obigen Abbildung den Graphen der Gewinnfunktion G ein.
2) Lesen Sie aus der obigen Abbildung ab, wie hoch der Gewinn bei maximalem Erlös
ist.
Gewinn bei maximalem Erlös: rund GE
c) 1) Berechnen Sie den zu erwartenden Gewinn, wenn 13 ME produziert und verkauft
werden.
Die Gewinnzone entspricht dem Abstand zwischen den beiden Nullstellen der Ge
winnfunktion.
2) Argumentieren Sie, dass eine Senkung der Fixkosten eine breitere Gewinnzone be
wirkt.
3) Erklären Sie, warum eine Veränderung der Fixkosten keine Auswirkung auf diejenige
Stückzahl hat, bei der der höchste Gewinn erzielt wird.
2 Gewinnfunktion

Produktionskosten
Aufgabennummer: 2_016 Typ 1  Typ 2 T technologiefrei 
Die unten stehende Abbildung zeigt die Graphen der Kostenfunktion K und der Erlösfunk
tion E eines bestimmten Betriebes. Mit x wird die Anzahl der produzierten und verkauften
Mengeneinheiten (ME) pro Tag eines bestimmten Produkts bezeichnet. Pro Tag können
höchstens 110 ME produziert werden.
x in ME
E ( x ), K ( x ) in Euro
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 110
7 000
6 000
5 000
4 000
3 000
2 000
1 000
0
8 000
K
E
Aufgabenstellung:
a) 1) Ermitteln Sie anhand der obigen Abbildung den Gewinnbereich.
2) Erklären Sie anhand der Funktionsgraphen, warum sich durch eine Senkung des
Verkaufspreises der Gewinnbereich verkleinert.
b) 1) Lesen Sie aus der obigen Abbildung die Fixkosten und den Verkaufspreis pro ME ab.
Fixkosten: Euro
Verkaufspreis pro ME: Euro
Der Verkaufspreis wird um 25 % verringert.
2) Berechnen Sie den Erlös für 110 ME.
c) Zwei der nachstehenden Aussagen treffen auf die in der obigen Abbildung dargestellten
Produktionskosten zu.
1) Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an.
K ″ (10) > K ″ (70)
K ″ (60) > 0
Der Kostenzuwachs ist bei x = 80 maximal.
Für alle x ∈ [0; 110] gilt: K ′ ( x ) > 0.
Es gilt: K ′ (50) > K ′ (90).
d) 1) Ermitteln Sie anhand der obigen Abbildung diejenige Produktionsmenge x
1
, für die
K ′ ( x
1
) = E ′ ( x
1
) gilt.
x
1
= ME
2) Weisen Sie rechnerisch nach, dass der erzielte Gewinn bei dieser Produktions
menge x
1
am höchsten ist.
2 Produktionskosten

Eisenbahn
Aufgabennummer: 2_069 Aufgabentyp: Typ 1  Typ 2 T
Grundkompetenz: FA 1.6, FA 1.7, FA 2.2, FA 2.3
In der nachstehenden Abbildung ist ein sogenannter Bildfahrplan für Züge zwischen Altheim
und Burghausen dargestellt. Die Züge fahren dabei – vereinfacht betrachtet – mit konstanter
Geschwindigkeit.
Entfernung von Altheim in km (gemessen auf der Zugstrecke)
Zeit nach Mitternacht in h
Altheim
Burghausen
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
200
17 16 15 14 13 12 11 10 0 18
Zug Nr. 1
Zug Nr. 2
Zug Nr. 3
Zug Nr. 4
a) Zug Nr. 3 fährt um 12:00 Uhr in Altheim ab.
Zug Nr. 4 fährt um 14:40 Uhr in Burghausen ab.
Auf der Fahrt zu ihren Zielbahnhöfen begegnen die beiden Züge einander.
1) Lesen Sie aus dem obigen Bildfahrplan ab, wann und wie weit von Burghausen ent-
fernt die beiden Züge einander begegnen.
b) 1) Argumentieren Sie, dass die Züge Nr. 2 und Nr. 4 mit der gleichen Geschwindigkeit
fahren.
c) Die Fahrt eines Zuges Nr. 5 wird durch die Funktion s beschrieben. Es gilt:
s ( t ) = –80 · t + 1 160
t ... Zeit nach Mitternacht in h
s ( t ) ... Entfernung von Altheim zur Zeit t in km
1) Bestimmen Sie die Uhrzeit, zu der Zug Nr. 5 in Burghausen abfährt.
d) Eine Eisenbahnstrecke hat eine Länge von 200 km. Nach einer Sanierung der Gleise
können die Züge mit einer um 10 km/h höheren Geschwindigkeit fahren. Die Fahrzeit wird
dadurch um eine halbe Stunde vermindert.
Zur Verdeutlichung sind die Angaben in der nachstehenden Tabelle dargestellt.
t ist dabei die Fahrzeit vor der Sanierung in Stunden.
Streckenlänge in km Geschwindigkeit in km/h Fahrzeit in h
nach der Sanierung 200
(
200
t
+ 10
) (
t –
1
2
)
1) Berechnen Sie t .
Eisenbahn 2

Angebot und Nachfrage*
Aufgabennummer: 2_056 Aufgabentyp: Typ 1  Typ 2 T
Grundkompetenz: FA 1.4, FA 1.6, AN 1.3, AN 3.3
Ein Aufeinandertreffen von Anbietern und Nachfragern wird in der Wirtschaftswissenschaft als
Markt bezeichnet. Gibt es auf einem Markt genau einen Anbieter für eine Ware, so ist dieser
in der Lage, den Preis der Ware zu bestimmen, wobei die nachgefragte und damit absetzba-
re Menge der Ware vom Preis abhängt. Um bei gewissen Problemstellungen mit der Kosten-,
Erlös- und/oder Gewinnfunktion arbeiten zu können, wird häufig der Preis als sogenannte
Preisfunktion der Nachfrage p
N
in Abhängigkeit von der nachgefragten Menge x der Ware
angegeben.
Die nachstehenden Aufgaben sind für die Preisfunktion der Nachfrage p
N
mit
p
N
( x ) = 36 – x
2
zu bearbeiten. Dabei wird x in Mengeneinheiten (ME) und p
N
( x ) in Geldein-
heiten pro Mengeneinheit (GE/ME) angegeben.
Aufgabenstellung:
a) Alle x ∈ ℝ
0
+
, für die p
N
( x ) ≥ 0 gilt, liegen im Intervall [ x
0
; x
n
].
1) Ermitteln Sie die mittlere Änderungsrate der Funktion p
N
in diesem Intervall [ x
0
; x
n
]
und deuten Sie das Ergebnis im Hinblick auf den Verkaufspreis.
2) Zeigen Sie mithilfe der Differenzialrechnung, dass für alle x
1
, x
2
mit x
1
< x
2
aus dem
Intervall ( x
0
; x
n
) die Ungleichung p
N
( x
1
) > p
N
( x
2
) gilt.
b) Der Erlös durch die verkaufte Menge der Ware wird durch die Funktion E mit
E ( x ) = x ∙ p
N
( x ) beschrieben. Der Grenzerlös E ′ ( x ) bei einer bestimmten Absatzmenge x
beschreibt näherungsweise die Änderung des Erlöses bezogen auf eine zusätzlich ab-
gesetzte Mengeneinheit.
1) Ermitteln Sie diejenige Menge x
E
, bei der der Erlös maximal ist.
2) Begründen Sie, warum der Grenzerlös für jede verkaufte Menge x mit 0 < x < x
E
positiv ist.
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 20. September 2019
c) Gibt es auf einem Markt viele Anbieter einer Ware, dann werden diese in der Regel bei
steigendem Preis auch eine größere Menge der Ware anbieten. Dieser Zusammenhang
kann als Preisfunktion des Angebots p
A
in Abhängigkeit von der angebotenen Menge x
beschrieben werden (mit x in ME und p
A
( x ) in GE/ME).
Diejenige Menge der Ware, bei der der Preis für die angebotene Menge und der Preis
für die nachgefragte Menge gleich groß sind, nennt man Gleichgewichtsmenge x
G
. Den
zugehörigen Preis nennt man Gleichgewichtspreis.
1) Ermitteln Sie für die gegebene Funktion p
N
und die Funktion p
A
mit
p
A
( x ) = 4 ∙ x + 4 die Gleichgewichtsmenge x
G
und den zugehörigen Gleichgewichts -
preis.
Für eine Ware wird ein Preis p
M
festgelegt, der um 2 GE/ME größer als der ermittelte
Gleichgewichtspreis ist.
2) Bestimmen Sie die angebotene und die nachgefragte Menge für diesen Preis p
M
und
vergleichen Sie die Ergebnisse im Hinblick auf die verkaufte Menge der Ware.
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 20. September 2019
2 Angebot und Nachfrage