Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 1051–1100

Töne / Haupttermin 2022 / 1_1190 / Typ 1 S. 1/2
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
S. 14 /36 3. Mai 2022 / AHS / Mathematik
Aufgabe 12
Töne
Die Funktionen f , g und h beschreiben jeweils in Abhängigkeit von der Zeit t (in Sekunden)
Schwingungen, die Töne erzeugen.
Dabei gilt:
f ( t ) = sin(600 · t )
g ( t ) =
5
4
· sin(800 · t )
h ( t ) =
6
5
· sin(500 · t )
Die Lautstärke eines Tons ist umso höher, je größer die Amplitude (maximale Auslenkung) der
zugehörigen Schwingung ist.
Ein Ton ist umso höher, je höher die Frequenz (Anzahl der Schwingungen pro Sekunde) der zuge-
hörigen Schwingung ist.
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden
Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht.
Die Schwingung, die den Ton mit der höchsten Lautstärke erzeugt, wird durch die Funktion
1
beschrieben;
die Schwingung, die den tiefsten Ton erzeugt, wird durch die Funktion
2
beschrie-
ben.
1
f
g
h
2
f
g
h
[0 / ½ / 1 P.]

Parameter einer Sinusfunktion*
Aufgabennummer: 1_386 Typ 1 T Typ 2  technologiefrei 
Aufgabenformat: Multiple Choice (2 aus 5)
Die unten stehende Abbildung zeigt die Graphen von zwei Sinusfunktionen f und g der
Form a ∙ sin( b ∙ x ) mit a , b ∈ ℝ
+
\{0}.
f ( x ), g ( x )
x
f
g
0
4
3
2
1
5
–2
–3
–1
–4
–π 0 π 2 ∙ π
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an.
Der Parameter a ist bei f dreimal so groß wie bei g .
Würde man den Parameter b bei f verdreifachen, so wäre der neue
Graph mit jenem von g deckungsgleich.
Für den Parameter b von f gilt: b = 1.
Der Parameter b ist bei g doppelt so groß wie bei f .
Eine Veränderung des Parameters a bewirkt eine Verschiebung des
Graphen der Funktion in senkrechter Richtung.
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 16. Jänner 2015, adaptiert

Sinusfunktion*
Aufgabennummer: 1_745 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: Konstruktionsformat Grundkompetenz: FA 6.3
Gegeben ist eine Funktion f : ℝ → → ℝ mit f ( x ) = a · sin (
π ∙ x
b
) mit a , b ∈ ℝ
+
.
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie in der nachstehenden Abbildung a und b auf der jeweils entsprechenden
Achse so, dass der abgebildete Graph dem Graphen der Funktion f entspricht.
x
f
f ( x )
0
0
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturat ermin: 14. Jänner 2020

Graphen zweier Winkelfunktionen*
Aufgabennummer: 1_697 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: Lückentext Grundkompetenz: FA 6.3
Die nachstehende Abbildung zeigt die Graphen der Funktionen f
1
: ℝ → ℝ und f
2
: ℝ → ℝ
mit f
1
( x ) = a
1
· sin( b
1
· x ) sowie f
2
( x ) = a
2
· sin( b
2
· x ) mit a
1
, a
2
, b
1
, b
2
> 0.
f
1
( x ), f
2
( x )
f
1
x
f
2
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satz-
teile so, dass eine korrekte Aussage entsteht!
Für die Parameterwerte gilt
1
und
2
.
a
2
< a
1
a
1
≤ a
2
≤ 2 · a
1
a
2
> 2 · a
1
b
2
< b
1
b
1
≤ b
2
≤ 2 · b
1
b
2
> 2 · b
1
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturat ermin: 8. Mai 2019

Sinusfunktion*
Aufgabennummer: 1_625 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: halboffenes Format Grundkompetenz: FA 6.3
Für a , b ∈ ℝ
+
sei die Funktion f : ℝ → ℝ mit f ( x ) = a · sin( b · x ) für x ∈ ℝ gegeben.
Die beiden nachstehenden Eigenschaften der Funktion f sind bekannt:
• Die (kleinste) Periode der Funktion f ist π .
• Die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Funktionswert von f beträgt 6.
Aufgabenstellung:
Geben Sie a und b an!
a =
b =
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 9. Mai 2018

Parameter einer Sinusfunktion*
Aufgabennummer: 1_458 Aufgabentyp : Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: Konstruktionsformat Grundkompetenz: FA 6.3
Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen der Funktion s mit der Gleichung
s ( x ) = c ∙ sin( d ∙ x ) mit c , d ∈ ℝ
+
im Intervall [–2π; 2π].
s ( x ), s
1
( x )
s
x
0
π 2π –2π –π
0
3
2
1
–2
–1
–3
2
π
2
3π
2
π
–
2
3π
–
Aufgabenstellung:
Erstellen Sie im obigen Koordinatensystem eine Skizze eines möglichen Funktionsgraphen
der Funktion s
1
mit s
1
( x ) = 2 c ∙ sin(2 d ∙ x ) im Intervall [–2π; 2π]!
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 15. Jänner 2016

Sinusfunktion*
Aufgabennummer: 1_434 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: Zuordnungsformat Grundkompetenz: FA 6.3
Gegeben sind die Graphen von vier Funktionen der Form f ( x ) = a ∙ sin( b ∙ x ) mit a , b ∈ ℝ .
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie jedem Graphen den dazugehörigen Funktionsterm (aus A bis F) zu!
x
0
1
2
3
4
π/3 2π/3 π 4π/3 5π/3 2π –π/3 –2π/3
–1
–2
–3
f 1 ( x )
f 1
x
0
1
2
3
4
π/3 2π/3 π 4π/3 5π/3 2π –π/3 –2π/3
–1
–2
–3
f 2 ( x )
f 2
x
0
1
2
3
4
π/3 2π/3 π 4π/3 5π/3 2π –π/3 –2π/3
–1
–2
–3
f 3 ( x )
f 3
f 4 ( x )
x
0
1
2
3
4
π/3 2π/3 π 4π/3 5π/3 2π –π/3 –2π/3
–1
–2
–3
f 4
A sin( x )
B 1,5 ∙ sin( x )
C sin(0,5 x )
D 1,5 ∙ sin(2 x )
E 2 ∙ sin(0,5 x )
F 2 ∙ sin(3 x )
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 21. September 2015

Sinusfunktion*
Aufgabennummer: 1_338 Aufgabentyp : Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: Lückentext Grundkompetenz: FA 6.3
Im unten stehenden Diagramm sind die Graphen zweier Funktionen f und g dargestellt.
Die Funktion f hat die Funktionsgleichung f ( x ) = a ∙ sin( b ∙ x ) mit den reellen Parametern a
und b . Wenn diese Parameter in entsprechender Weise verändert werden, erhält man die
Funktion g .
Aufgabenstellung:
Wie müssen die Parameter a und b verändert werden, um aus f die Funktion g zu erhalten?
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satz-
teile so, dass eine korrekte Aussage entsteht!
Um den Graphen von g zu erhalten, muss a
1
und b
2
.
1
verdoppelt werden
halbiert werden
gleich bleiben
2
verdoppelt werden
halbiert werden
gleich bleiben
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 9. Mai 2014

Periodenlänge / Herbsttermin 2023 / 1_1303 / Typ 1 S. 1/2
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
19. September 2023 / AHS / Mathematik S. 14 /34
Aufgabe 12
Periodenlänge
Gegeben ist die Funktion f : ℝ → ℝ mit f ( x ) = sin
(
π
c
∙ x
)
mit c ∈ ℝ
+
.
Die (kleinste) Periodenlänge von f ist
3
2
.
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie c .
[0 / 1 P.]

Wechselstrom*
Aufgabennummer: 1_793 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: halboffenes Format Grundkompetenz: FA 6.4
Bei sinusförmigem Wechselstrom ändert sich der Wert der Stromstärke periodisch.
In der nach stehenden Ab bildung ist die Stromstärke I ( t ) in Abhängigkeit von der Zeit t für
einen sinusförmigen Wechselstrom dargestellt ( t in s, I ( t ) in A).
I ( t ) in A
t in s
1
0
2
–1
–2
I
0,04 0,03 0,02 0,01 0,05
Aufgabenstellung:
Geben Sie den Maximalwert der Stromstärke und die (kleinste) Periodenlänge dieses sinus
förmigen Wechselstroms an.
Maximalwert: A
(kleinste) Periodenlänge: s
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturat ermin: 16. September 2020

Periodenlänge*
Aufgabennummer: 1_721 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: halboffenes Format Grundkompetenz: FA 6.4
Gegeben ist die Funktion f : ℝ → ℝ mit f ( x ) =
1
3
∙ sin
(
3 · π
4
· x
)
.
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie die Länge der (kleinsten) Periode p der Funktion f .
p =
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturat ermin: 20. September 2019

Periodizität*
Aufgabennummer: 1_577 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: Multiple Choice (1 aus 6) Grundkompetenz: FA 6.4
Gegeben ist eine reelle Funktion f mit der Funktionsgleichung f ( x ) = 3 · sin( b · x ) mit b ∈ ℝ .
Aufgabenstellung:
Einer der nachstehend angegebenen Werte gibt die (kleinste) Periodenlänge der Funktion f an.
Kreuzen Sie den zutreffenden Wert an!
b
2
b
b
3
π
b
2π
b
π
3
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 28. September 2017

Periodische Funktion*
Aufgabennummer: 1_506 Aufgabentyp : Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: halboffenes Format Grundkompetenz: FA 6.4
Gegeben ist die periodische Funktion f mit der Funktionsgleichung f ( x ) = sin( x ).
Aufgabenstellung:
Geben Sie die kleinste Zahl a > 0 (Maßzahl für den Winkel in Radiant) so an, dass für alle
x ∈ ℝ die Gleichung f ( x + a ) = f ( x ) gilt!
a =
––––––––––
rad
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 20. September 2016

Winkelfunktion*
Aufgabennummer: 1_817 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: halboffenes Format Grundkompetenz: FA 6.5
Gegeben ist die Funktion f : ℝ → ℝ mit f ( x ) = 3 ∙ cos( x ). Diese Funktion soll in der Form
x ↦ a ∙ sin( x + b ) dargestellt werden ( a , b ∈ ℝ ).
Aufgabenstellung:
Geben Sie für a und b jeweils einen passenden Wert an.
a =
b =
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturat ermin: 12. Jänner 2021

Winkelfunktionen*
Aufgabennummer: 1_673 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: offenes Format Grundkompetenz: FA 6.5
In der unten stehenden Abbildung sind die Graphen der Funktionen f und g mit den
Funktions gleichungen f ( x ) = sin( x ) und g ( x ) = cos( x ) dargestellt.
Für die in der Abbildung eingezeichneten Stellen a und b gilt: cos( a ) = sin( b ).
f ( x ), g ( x )
g
f
b a x
2π 0
–1
0
1
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie k ∈ ℝ so, dass b – a = k ∙ π gilt!
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturat ermin: 15. Jänner 2019

Winkelfunktionen*
Aufgabennummer: 1_530 Aufgabentyp : Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: offenes Format Grundkompetenz: FA 6.5
Gegeben sind die Funktionen f und g mit f ( x ) = –sin( x ) bzw. g ( x ) = cos( x ) .
Aufgabenstellung:
Geben Sie an, um welchen Wert b ∈ [0; 2π] der Graph von f verschoben werden muss,
um den Graphen von g zu erhalten, sodass –sin( x + b ) = cos( x ) gilt!
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 12. Jänner 2017

Schwimmbecken / Haupttermin 2023 / 2_125 / Typ 2 r-K S. 1/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
3. Mai 2023 / AHS / Mathematik S. 27 /36
Aufgabe 25 (Teil 2)
Schwimmbecken
In einem Freibad gibt es verschiedene Schwimmbecken.
Aufgabenstellung:
a) Das Volumen eines bestimmten quaderförmigen Schwimmbeckens kann mithilfe der
Gleichung V = a
2
∙ h berechnet werden.
a ... Seitenlänge der quadratischen Grundfläche
h ... Tiefe des Schwimmbeckens
Betrachtet werden die Funktion V : ℝ
+
→ ℝ
+
, a ↦ V ( a ) bei konstantem h und die Funktion
h : ℝ
+
→ ℝ
+
, V ↦ h ( V ) bei konstantem a .
1) Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutref-
fenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht. [0 / ½ / 1 P.]
Die Funktion V ist eine
1
, die Funktion h ist eine
2
.
1
lineare Funktion
quadratische Funktion
Quadratwurzelfunktion
2
lineare Funktion
quadratische Funktion
Quadratwurzelfunktion
b) Zum Füllen eines anderen Schwimmbeckens werden p Pumpen verwendet, die pro Stunde
jeweils die gleiche Wassermenge in das Schwimmbecken pumpen. Für p = 2 beträgt die
Fülldauer 19 h.
1) Stellen Sie unter Verwendung der Anzahl p der Pumpen eine Formel zur Berechnung der
Fülldauer T (in h) auf.
T = [0 / 1 P.]
Die Wassermenge in diesem Schwimmbecken nimmt durch Verdunstung und durch betriebs-
bedingte Ursachen ab. Dabei beschreibt die Funktion W : [0; 10] → ℝ mit
W ( t ) = –
1
96
∙ t
3
+
1
4
∙ t
2
–
35
24
∙ t modellhaft die momentane Änderungsrate der Wassermenge
zum Zeitpunkt t an einem bestimmten Tag ( t in h, W ( t ) in m
3
/h).
2) Ermitteln Sie die Abnahme der Wassermenge (in m
3
) im Zeitintervall [0; 6]. [0 / 1 P.]
Schwimmbecken / Haupttermin 2023 / 2_125 / Typ 2 r-K S. 2/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
S. 28 /36 3. Mai 2023 / AHS / Mathematik
c) In der nachstehenden Abbildung ist das seitliche Profil einer bestimmten Wasserrutsche
modellhaft dargestellt.
f ( x ) in m
x in m
Wasserrutsche f
O
Das seitliche Profil der Wasserrutsche ist durch den Graphen der Funktion f : [0; 5] → ℝ mit
f ( x ) =
8
125
∙ x
3
–
12
25
∙ x
2
+ 4 gegeben ( x in m, f ( x ) in m).
1) Ermitteln Sie die Stelle x
1
, an der die Wasserrutsche am steilsten bergab verläuft. [0 / 1 P.]

Zehnkampf
Aufgabennummer: 2_FT003 Typ 1  Typ 2 T technologiefrei 
Beim Zehnkampf der Männer in der Leichtathletik erhält jeder Athlet in jeder der zehn Diszi
plinen Punkte, die jeweils nach einer eigenen Formel berechnet werden.
Für den Weitsprung gilt:
P = 0,14354 ∙ ( x – 220)
1,4
x … Sprungweite in cm
P … Punkte
Für die Punktevergabe wird P nach der Berechnung auf Ganze gerundet.
Aufgabenstellung:
a) Der Weltrekord im Zehnkampf wurde vom Franzosen Kevin Mayer 2018 aufgestellt und
liegt bei 9 126 Punkten. Seine Weitsprungleistung betrug 780 cm.
1) Berechnen Sie, wie viele Punkte Kevin Mayer mehr erhalten hätte, wenn er die Welt
rekordweite von 895 cm gesprungen wäre.
2) Geben Sie an, welche Sprungweite ein Athlet übertreffen muss, um Punkte zu be
kommen.
Die Sprungweite muss größer als cm sein.
b) Steigt die Sprungweite um 115 cm, so ist der durchschnittliche Punktezuwachs nicht
für jeden Ausgangswert gleich.
1) Weisen Sie diese Aussage für die beiden Intervalle [500 cm; 615 cm] und
[780 cm; 895 cm] rechnerisch nach.
Steigt die Sprungweite um den gleichen Wert, so ist der Punktezuwachs umso höher,
je größer die Sprungweite ist, von der man ausgeht.
2) Begründen Sie diese Aussage.
c) Bei einem Zehnkampf sind 3 Sprünge erlaubt. Der weiteste fehlerfreie Sprung wird ge
wertet. Erfahrungsgemäß ist 1 von 20 Sprüngen ein Fehlversuch, weil er nicht korrekt
durchgeführt wird.
1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Athlet bei einem Zehnkampf keinen
Fehlversuch im Weitsprung hat.
2 Zehnkampf

Fußballspielen im Park
Aufgabennummer: 2_081 Aufgabentyp: Typ 1  Typ 2 T
Grundkompetenz: FA 1.4, FA 1.7, FA 4.3, AN 3.3
Roland und Julia spielen im Park Fußball. Roland legt den Ball auf die horizontale Wiese,
nimmt Anlauf und schießt.
Die Flugbahn des Balles kann näherungsweise durch den Graphen einer Polynomfunktion h
beschrieben werden. Dabei wird der Ball als punktförmig angenommen.
h ( x ) = –0,003 · x
3
+ 0,057 · x
2
mit x ≥ 0
x … horizontale Entfernung des Balles von der Abschussstelle in Metern (m)
h ( x ) … Höhe des Balles über dem Boden an der Stelle x in m
a) 1) Ermitteln Sie den für diesen Sachzusammenhang größtmöglichen sinnvollen
Definitions bereich für die Funktion h .
2) Berechnen Sie den höchsten Punkt der Flugbahn.
b) Julia fängt den Ball aus einer Höhe von 1,80 m.
1) Ermitteln Sie die beiden horizontalen Entfernungen von der Abschussstelle, an denen
Julia sich dabei befinden kann.
c) Roland überlegt, ob er bei diesem Schuss den Ball über ein 2,8 m hohes Klettergerüst,
das in direkter Schussrichtung 10 m von der Abschussstelle entfernt steht, schießen
könnte.
1) Überprüfen Sie nachweislich, ob der Ball bei diesem Schuss tatsächlich über das
Kletter gerüst fliegen kann.

Spezielle Polynomfunktionen vierten Grades / Wintertermin 2023 / 2_123 / Typ 2 S. 1/2
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 31 /33
Aufgabe 27 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Spezielle Polynomfunktionen vierten Grades
Gegeben ist eine Polynomfunktion f mit f ( x ) = a · x
4
+ b · x
2
+ c mit a , b , c ∈ ℝ \{0}.
Aufgabenstellung:
a) 1) Stellen Sie unter Verwendung von a und b eine Gleichung zur Berechnung der Wende-
stellen von f auf. [0 / 1 P.]
b) 1) Weisen Sie rechnerisch mithilfe der 1. und 2. Ableitung von f nach, dass auf der senk-
rechten Achse ein Extrempunkt P des Graphen von f liegt. [0 / 1 P.]
Genau einer der Koeffizienten a, b und c ist ausschlaggebend dafür, ob es sich beim ermittel-
ten Extrempunkt P um einen Hochpunkt handelt.
2) Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutref-
fenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht. [0 / 1 P.]
Damit dieser Extrempunkt P ein Hochpunkt ist, muss für den Koeffizienten
1
gelten, dass dieser
2
ist.
1
a
b
c
2
kleiner als 0
gleich 1
größer als 0
c) Gegeben ist eine Polynomfunktion g mit g ( x ) = d · ( x + e )
2
· ( x – e )
2
mit d ≠ 0 und e ∈ ℝ .
Der Graph von g verläuft durch den Punkt N = (2 | 0).
1) Ermitteln Sie unter diesen Voraussetzungen alle möglichen Werte von e . [0 / 1 P.]

Koffein*
Aufgabennummer: 2_101 Aufgabentyp: Typ 1  Typ 2 T
Aufgabenstellung:
a) Lea trinkt eine Tasse Kaffee. In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Funkti-
on K dar gestellt, die modellhaft die Konzentration K ( t ) von Koffein in Leas Blut in Abhän-
gigkeit von der Zeit t nach dem Trinken des Kaffees beschreibt ( t in h, K ( t ) in mg/L).
K ( t ) in mg/L
3 2 1 0,2 0,4 0,6 0,8 1,2 1,4 1,6 1,8 2,2 2,4 2,6 2,8 0
4
3
2
1
0
5
t in h
K
1) Ermitteln Sie mithilfe der obigen Abbildung, wie viele Minuten nach dem Trinken des
Kaffees die maximale Konzentration von Koffein im Blut auftritt.
min
2) Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils
zutreffenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht.
Die Funktion K hat im Intervall (0; 0,8)
1
und in diesem Intervall
ändert sich das Vorzeichen der
2
.
1
eine Wendestelle
eine Extremstelle
eine Nullstelle
2
Krümmung
Steigung
Funktionswerte
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 21. Mai 2021
b) Die Löslichkeit von Koffein in Wasser gibt an, wie viel Gramm Koffein pro Liter (g/L)
maximal gelöst werden können. Die Löslichkeit ist temperaturabhängig. Sie lässt sich
näherungsweise durch die Funktion f beschreiben.
f ( T ) = 6,42 · ℯ
0,05 · T
mit 0 ≤ T ≤ 90
T … Temperatur in °C
f ( T ) … Löslichkeit von Koffein in Wasser bei der Temperatur T in g/L
Jemand behauptet:
„Bei einem Anstieg der Temperatur um 10 °C nimmt die Löslichkeit von Koffein in Was-
ser etwa auf das 1,65-Fache zu.“
1) Überprüfen Sie rechnerisch, ob diese Behauptung richtig ist.
Folgende Gleichung wird aufgestellt:
2 · 6,42 = 6,42 · ℯ
0,05 · T
2) Interpretieren Sie die Lösung dieser Gleichung im gegebenen Sachzusammenhang.
2 Koffein