Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 1001–1050

Exponentialfunktion*
Aufgabennummer: 1_339 Aufgabentyp : Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: Multiple Choice (2 aus 5) Grundkompetenz: FA 5.4
Eine reelle Funktion f mit der Gleichung f ( x ) = c ∙ a
x
ist eine Exponentialfunktion, für deren
reelle Parameter c und a gilt: c ≠ 0, a > 1.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Aussagen an, die auf diese Exponentialfunktion f und alle Werte
k , h ∈ ℝ , k > 1 zutreffen!
f ( k ∙ x ) = k ∙ f ( x )
f ( x + h )
f ( x )
= a
h
f ( x + 1) = a ∙ f ( x )
f (0) = 0
f ( x + h ) = f ( x ) + f ( h )
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 9. Mai 2014

Halbwertszeit / Haupttermin 2024 / 1_1350 / Typ 1 S. 1/2
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
7. Mai 2024 / AHS / Mathematik S. 13 /36
Aufgabe 11
Halbwertszeit
Die Masse einer radioaktiven Substanz in Abhängigkeit von der Zeit t kann durch eine Exponential-
funktion beschrieben werden. Dabei gilt:
N ( t ) = N
0
∙ ℯ
– k ∙ t
N ( t ) ... vorhandene Masse der radioaktiven Substanz zum Zeitpunkt t
N
0
... vorhandene Masse der radioaktiven Substanz zum Zeitpunkt t = 0
k ∈ ℝ
+
... Zerfallskonstante
Mit τ wird die Halbwertszeit der radioaktiven Substanz bezeichnet.
Mit t * wird ein beliebiger Zeitpunkt bezeichnet.
Es gilt: t * ≠ τ und t * > 0
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie den zu N ( t * + τ ) äquivalenten Ausdruck an. [1 aus 6]
2 ∙ N 0
N ( τ )
N
(
1
2
∙ t *
)
2 ∙ N ( τ )
N (2 ∙ t *)
1
2
∙ N ( t *)
[0 / 1 P.]

Verdoppelungszeit / Herbsttermin 2023 / 1_1302 / Typ 1 S. 1/2
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
19. September 2023 / AHS / Mathematik S. 13 /34
Aufgabe 11
Verdoppelungszeit
Die jeweilige Anzahl der Bakterien von sechs Bakterienkulturen wächst exponentiell. Dabei ist die
jeweilige Verdoppelungszeit unterschiedlich.
Die Anzahl der Bakterien der jeweiligen Bakterienkultur wird in Abhängigkeit von der Zeit t durch
Ni : ℝ
0
+
→ ℝ
+
, t ↦ Ni ( t ) mit i ∈ {1, 2, ... , 6} modelliert ( t in Stunden).
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den vier Aussagen über die Verdoppelungszeiten jeweils die zugehörige Funktions-
gleichung aus A bis F zu.
Die Anzahl der Bakterien
verdoppelt sich 1-mal
pro Stunde.
Die Anzahl der Bakterien
verdoppelt sich 2-mal
pro Stunde.
Die Anzahl der Bakterien
verdoppelt sich 3-mal
pro Stunde.
Die Anzahl der Bakterien
verdoppelt sich 4-mal
pro Stunde.
A N
1
( t ) = N
1
(0) ∙ 1,5
t
B N
2
( t ) = N
2
(0) ∙ 4
t
C N
3
( t ) = N
3
(0) ∙ 2
t
D N
4
( t ) = N
4
(0) ∙ 16
t
E N
5
( t ) = N
5
(0) ∙ 3
t
F N
6
( t ) = N
6
(0) ∙ 8
t
[0 / ½ / 1 P.]

Halbwertszeit / Haupttermin 2022 / 1_1189 / Typ 1 S. 1/2
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
3. Mai 2022 / AHS / Mathematik S. 13 /36
Aufgabe 11
Halbwertszeit
Die Halbwertszeit einer bestimmten radioaktiven Substanz beträgt T Jahre.
Die nach t Jahren vorhandene Menge der radioaktiven Substanz wird mit m ( t ) bezeichnet.
Es gilt: m (0) > 0.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Gleichungen an. [2 aus 5]
m ( T ) =
1
2
· m (0)
m (2 ∙ T ) = 0
m (3 ∙ T ) =
7
8
· m (0)
m (4 ∙ T ) =
1
4
· m ( T )
m (5 ∙ T ) =
1
2
· m (4 ∙ T )
[0 / 1 P.]

Halbwertszeit*
Aufgabennummer: 1_865 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: halboffenes Format
Die nachstehende Abbildung zeigt modellhaft die Entwicklung der Strahlungsintensität einer be-
stimmten radioaktiven Substanz in Abhängigkeit von der Zeit.
Strahlungsintensität in %
Zeit in Jahren
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
100
110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 120
Aufgabenstellung:
Geben Sie die Halbwertszeit T der Strahlungsintensität dieser radioaktiven Substanz an.
T = Jahre
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturat ermin: 17. September 2021

Halbwertszeiten von Zerfallsprozessen*
Aufgabennummer: 1_840 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: halboffenes Format
Die drei Exponentialfunktionen N
1
, N
2
und N
3
beschreiben jeweils einen Zerfallsprozess mit
den zugehörigen Halbwertszeiten τ
1
, τ
2
und τ
3
.
Nach stehend sind Ausschnitte der Graphen dieser drei Funktionen abgebildet.
N
1
( t ), N
2
( t ), N
3
( t )
N
1
N
3
N
2
t 0
0
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie die Halbwertszeiten τ
1
, τ
2
und τ
3
der Größe nach. Beginnen Sie mit der
kürzesten Halbwertszeit.
< <
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturat ermin: 21. Mai 2021

Halbwertszeit*
Aufgabennummer: 1_816 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: Konstruktionsformat Grundkompetenz: FA 5.5
Das radioaktive Isotop
137
Cs (Cäsium) hat eine Halbwertszeit von etwa 30 Jahren.
Die Funktion f gibt in Abhängigkeit von der Zeit t an, wie viel Prozent der Ausgangsmenge
an
137
Cs noch vorhanden sind ( t in Jahren, f ( t ) in % der Ausgangsmenge).
Die zum Zeitpunkt t = 0 vorhandene Menge an
137
Cs wird als Ausgangsmenge bezeichnet.
Aufgabenstellung:
Zeichnen Sie im nachstehenden Koordinatensystem im Zeitintervall [0; 60] den Graphen
von f ein.
f ( t ) in % der Ausgangsmenge
t in Jahren
60 50 40 30 20 10 0
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
100
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturat ermin: 12. Jänner 2021

Halbwertszeit*
Aufgabennummer: 1_792 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: halboffenes Format Grundkompetenz: FA 5.5
Die Funktion f mit f ( t ) = 80 ∙ b
t
mit b ∈ ℝ
+
beschreibt die Masse f ( t ) einer radioaktiven
Substanz in Abhängigkeit von der Zeit t ( t in h, f ( t ) in mg). Die Halbwertszeit der radioaktiven
Substanz beträgt 4 h.
Eine Messung beginnt zum Zeitpunkt t = 0.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie diejenige Masse (in mg) der radioaktiven Substanz, die nach den ersten
3 Halbwertszeiten vorhanden ist.
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturat ermin: 16. September 2020

Anzahl von Tieren*
Aufgabennummer: 1_768 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: halboffenes Format Grundkompetenz: FA 5.5
Man nimmt an, dass sich die Anzahl der Tiere einer bestimmten Tierart auf der Erde um
1,8 % pro Jahr erhöht.
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie diejenige Zeitdauer in Jahren, innerhalb der sich die Anzahl der Tiere dieser
Tierart auf der Erde verdoppelt.
Zeitdauer: ca. Jahre
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturat ermin: 28. Mai 2020

Verzinsung*
Aufgabennummer: 1_744 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: offenes Format Grundkompetenz: FA 5.5
Ein Kapital K
0
wird auf einem Sparbuch mit 1 % p. a. (pro Jahr) verzinst.
Für die nachstehende Aufgabenstellung gilt die Annahme, dass allfällige Steuern oder
Gebühren nicht gesondert berücksichtigt werden müssen und dass keine weiteren Ein
zahlungen oder Auszahlungen erfolgen.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie, in wie vielen Jahren sich das Kapital K
0
bei gleichbleibendem Zinssatz ver
doppelt.
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturat ermin: 14. Jänner 2020

Halbwertszeit*
Aufgabennummer: 1_649 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: offenes Format Grundkompetenz: FA 5.5
Die Masse m ( t ) einer radioaktiven Substanz kann durch eine Exponentialfunktion m in Ab-
hängigkeit von der Zeit t beschrieben werden.
Zu Beginn einer Messung sind 100 mg der Substanz vorhanden, nach vier Stunden misst
man noch 75 mg dieser Substanz.
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie die Halbwertszeit t
H
dieser radioaktiven Substanz in Stunden!
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturat ermin: 20. September 2018

Halbwertszeiten*
Aufgabennummer: 1_600 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: Zuordnungsformat Grundkompetenz: FA 5.5
Die nachstehenden Abbildungen zeigen die Graphen von Exponentialfunktionen, die jeweils die
Abhängigkeit der Menge einer radioaktiven Substanz von der Zeit beschreiben.
Dabei gibt M ( t ) die Menge (in mg) zum Zeitpunkt t (in Tagen) an.
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den vier Graphen jeweils die entsprechende Halbwertszeit (aus A bis F) zu!
M ( t )
t in Tagen
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 10
8
6
4
2
0
M ( t )
t in Tagen
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 10
0,8
0,6
0,4
0,2
0
1
M ( t )
t in Tagen
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 10
45
30
15
0
60
M ( t )
t in Tagen
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 10
160
120
80
40
0
200
A 1 Tag
B 2 Tage
C 3 Tage
D 5 Tage
E 10 Tage
F mehr als 10 Tage
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 16. Jänner 2018

Dicke einer Bleischicht*
Aufgabennummer: 1_576 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: halboffenes Format Grundkompetenz: FA 5.5
Die Intensität elektromagnetischer Strahlung nimmt bei Durchdringung eines Körpers expo-
nentiell ab.
Die Halbwertsdicke eines Materials ist diejenige Dicke, nach deren Durchdringung die
Intensität der Strahlung auf die Hälfte gesunken ist. Die Halbwertsdicke von Blei liegt für die
beobachtete Strahlung bei 0,4 cm.
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie diejenige Dicke d , die eine Bleischicht haben muss, damit die Intensität auf
12,5 % der ursprünglichen Intensität gesunken ist!
d = cm
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 28. September 2017

Halbwertszeit von Cobalt-60*
Aufgabennummer: 1_554 Aufgabentyp : Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: offenes Format Grundkompetenz: FA 5.5
Das radioaktive Isotop Cobalt-60 wird unter anderem zur Konservierung von Lebensmitteln
und in der Medizin verwendet.
Das Zerfallsgesetz für Cobalt-60 lautet N ( t ) = N
0
· ℯ
–0,13149 · t
mit t in Jahren; dabei bezeich-
net N
0
die vorhandene Menge des Isotops zum Zeitpunkt t = 0 und N ( t ) die vorhandene
Menge zum Zeitpunkt t ≥ 0.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Halbwertszeit von Cobalt-60!
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 10. Mai 2017

Bienenbestand*
Aufgabennummer: 1_507 Aufgabentyp : Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: halboffenes Format Grundkompetenz: FA 5.5
Wegen eines Umweltgifts nimmt der Bienenbestand eines Imkers täglich um einen fixen
Prozentsatz ab. Der Imker stellt fest, dass er innerhalb von 14 Tagen einen Bestandsverlust
von 50 % erlitten hat.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie den täglichen relativen Bestandsverlust in Prozent!
täglicher relativer Bestandsverlust:
––––––––––
%
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 20. September 2016

Technetium*
Aufgabennummer: 1_411 Aufgabentyp : Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: offenes Format Grundkompetenz: FA 5.5
Für eine medizinische Untersuchung wird das radioaktive Isotop
99 m
43
Tc (Technetium)
künstlich hergestellt. Dieses Isotop hat eine Halbwertszeit von 6,01 Stunden.
Aufgabenstellung:
Geben Sie an, wie lange es dauert, bis von einer bestimmten Ausgangsmenge Technetiums
nur noch ein Viertel vorhanden ist!
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 11. Mai 2015

Bevölkerungszahl / Wintertermin 2022 / 1_889 / Typ 1 S. 1/2
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 14 /32
Aufgabe 12
Bevölkerungszahl
Es wurde erhoben, wie sich die Bevölkerungszahl in verschiedenen Städten in den vergangenen
fünf Jahren verändert hat.
Zwei der unten angeführten Situationen können als exponentielles Wachstum der jeweiligen Be-
völkerungszahl beschrieben werden.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Situationen an, die jeweils mithilfe einer Exponentialfunktion angemessen
beschrieben werden können. [2 aus 5]
Die Bevölkerungszahl nahm jedes Jahr um
1
10
der
Bevölkerungszahl des jeweiligen Vorjahres zu.
Die Bevölkerungszahl hat im ersten Jahr um 10 000, im
zweiten um 20 000, im dritten um 30 000, im vierten um
40 000 und im letzten Jahr um 50 000 zugenommen.
Die Bevölkerungszahl war jedes Jahr um 5 % größer als
im jeweiligen Vorjahr.
Die Bevölkerungszahl war jedes Jahr um 20 000 größer
als im jeweiligen Vorjahr.
Die Bevölkerungszahl war in den ersten zwei Jahren
jedes Jahr um 5 % größer als im jeweiligen Vorjahr, dann
jedes Jahr um 15 % größer als im jeweiligen Vorjahr.
[0 / 1 P.]

Sinusfunktion / Haupttermin 2024 / 1_1351 / Typ 1 S. 1/2
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
S. 14 /36 7. Mai 2024 / AHS / Mathematik
Aufgabe 12
Sinusfunktion
Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen der Funktion f mit f ( x ) = a ∙ sin( b ∙ x ) mit a , b ∈ ℝ
+
.
f ( x )
x
f
P
1
P
2 0
0
Die Punkte P
1
= ( x
1
| 0) und P
2
= ( x
2
| 0) mit x
1
=
3 ∙ π
4
und x
2
= π liegen auf dem Graphen von f .
Es gilt: f
(
x 1 + x 2
2
)
= –3
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie a und b .
a =
b =
[0 / ½ / 1 P.]

Graph einer Sinusfunktion / Wintertermin 2023 / 1_1255 / Typ 1 S. 1/2
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 14 /33
Aufgabe 12
Graph einer Sinusfunktion
Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen der Sinusfunktion f mit f ( x ) = a ∙ sin( b ∙ x ) mit
a , b ∈ ℝ
+
.
Der Graph von f verläuft durch die Punkte P
1
= (3π | 3) und P
2
= (4π | 0).
f ( x )
x
0 3π 2π π –π 4π
0
3
2
1
4
–1
–2
–3
–4
f
P
1
P
2
Aufgabenstellung:
Geben Sie a und b an.
a =
b =
[0 / ½ / 1 P.]

Parameter einer Sinusfunktion*
Aufgabennummer: 1_601 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: halboffenes Format Grundkompetenz: FA 6.1
Gegeben ist der Graph einer Funktion f mit f ( x ) = a ∙ sin( b ∙ x ) mit a , b ∈ ℝ
+
.
f ( x )
f
x
0 3π/2 π 2π π/2 –π/2 –π –3π/2 –2π
2
1
0
–1
–2
3
–3
Aufgabenstellung:
Geben Sie die für den abgebildeten Graphen passenden Parameterwerte a und b an!
a =
b =
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 16. Jänner 2018

Sinusfunktion*
Aufgabennummer: 1_410 Aufgabentyp : Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: halboffenes Format Grundkompetenz: FA 6.1
Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f mit f ( x ) = a ∙ sin( b ∙ x )
mit a , b ∈ ℝ .
f
x
f ( x ) ,
,
,
,
Aufgabenstellung:
Geben Sie die für den abgebildeten Graphen passenden Parameterwerte von f an!
a =
b =
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 11. Mai 2015

Windrad / Haupttermin 2023 / 1_1279 / Typ 1 S. 1/2
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
S. 14 /36 3. Mai 2023 / AHS / Mathematik
Aufgabe 12
Windrad
Die Spitzen der Rotorblätter von Windrädern bewegen sich auf einer Kreisbahn, deren Durchmes-
ser als Rotordurchmesser bezeichnet wird.
Die Funktion h : ℝ → ℝ , t ↦ h ( t ) beschreibt modellhaft die Höhe der Spitze eines der Rotorblätter
eines bestimmten Windrads über dem Boden in Abhängigkeit von der Zeit t ( t in s, h ( t ) in m).
Der Funktionsgraph von h ist in der nachstehenden Abbildung dargestellt.
160
140
120
100
80
60
40
20
0
180
h ( t ) in m
t in s
9 6 3 0 12
h
Aufgabenstellung:
Geben Sie mithilfe der obigen Abbildung den Rotordurchmesser sowie die Zeit, die ein Rotorblatt
für eine volle Umdrehung benötigt, an.
Rotordurchmesser: m
Zeit für eine volle Umdrehung: s
[0 / ½ / 1 P.]

Bewegung auf einem Kreis*
Aufgabennummer: 1_769 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: halboffenes Format Grundkompetenz: FA 6.2
Ein Punkt P bewegt sich auf einem Kreis mit dem
Mittelpunkt M = (0 | 0) mit konstanter Geschwindigkeit
gegen den Uhrzeigersinn.
Zu Beginn der Bewegung (zum Zeitpunkt t = 0) liegt
der Punkt P auf der positiven x -Achse wie in der
nebenstehenden Abbildung dargestellt.
y
P
M x
Die Funktion f ordnet der Zeit t die zweite Koordinate f ( t ) = a ∙ sin( b ∙ t ) des Punktes P
zur Zeit t zu ( t in s, f ( t ) in dm, a , b ∈ ℝ
+
). Der in der nachstehenden Abbildung dargestellte
Graph von f verläuft durch den Punkt H , wobei gilt: f ′ (1,5) = 0.
f ( t )
t
f
H = (1,5 | 4)
0
0
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie den Radius des Kreises und die Umlaufzeit des Punktes P (für eine Umrun-
dung).
Radius des Kreises: dm
Umlaufzeit: s
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturat ermin: 28. Mai 2020

Sinusfunktionen / Wintertermin 2024 / 1_1327 / Typ 1 S. 1/2
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 14 /35
Aufgabe 12
Sinusfunktionen
Vier Graphen von Funktionen der Form f ( x ) = a · sin( b · x ) mit a ∈ ℝ und b ∈ ℝ
+
sind in den
unten stehenden Abbildungen dargestellt.
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den vier Graphen jeweils die passende Bedingung für a und b aus A bis F zu.
A a < 0 und b < 1
B a < 0 und b > 1
C 0 < a < 1 und b < 1
D 0 < a < 1 und b > 1
E a > 1 und b < 1
F a > 1 und b > 1
f ( x )
x
0 π 2π
0
1
2
–1
–2
–
π
2
π
2
3π
2
f
f ( x )
x
0 π
0
1
2
–1
–2
π
2
π
2
f
2π
3π
2
–
f ( x )
x
0 π
0
1
2
–1
–2
π
2
π
2
f
2π
3π
2
–
f ( x )
x
0 π
0
1
2
–1
–2
π
2
π
2
f
2π
3π
2
–
[0 / ½ / 1 P.]

Eigenschaften einer Sinusfunktion / Herbsttermin 2022 / 1_1231 / Typ 1 S. 1/2
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 14 /34
Aufgabe 12
Eigenschaften einer Sinusfunktion
Gegeben ist eine Funktion f : ℝ → ℝ mit f ( x ) = a ∙ sin( b ∙ x ) mit a , b ∈ ℝ
+
.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden auf die Funktion f zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5]
Wenn b größer wird, dann wird die (kürzeste) Periodenlänge
größer.
Wenn a kleiner wird, dann wird die (kürzeste) Periodenlänge
größer.
Wenn a kleiner wird, dann wird die Anzahl der Nullstellen im
Intervall [0; 2 ∙ π] kleiner.
Wenn a größer wird, dann wird die Differenz zwischen dem
größten und dem kleinsten Funktionswert größer.
Wenn b größer wird, dann wird der Abstand zwischen zwei
aufeinanderfolgenden Nullstellen kleiner.
[0 / 1 P.]