Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 651–700

Eigenschaften einer
Polynomfunktion dritten Grades*
Aufgabennummer: 2_033 Aufgabentyp: Typ 1  Typ 2 T
Grundkompetenz: AG 2.3, AN 1.3, AN 4.2, AN 4.3, FA 4.3
Gegeben ist eine Polynomfunktion dritten Grades f mit der Funktionsgleichung
f ( x ) = a ∙ x
3
+ b ∙ x , wobei die Koeffizienten a , b ∈ ℝ \{0} sind.
Aufgabenstellung:
a) Begründen Sie, warum die Funktion f genau drei verschiedene reelle Nullstellen hat,
wenn die Ko effizienten a und b unterschiedliche Vorzeichen haben!
Die Steigung der Tangente an den Graphen von f an der Stelle x = 0 entspricht dem
Wert des Koeffizienten b . Begründen Sie, warum diese Aussage wahr ist!
b) Geben Sie eine Beziehung zwischen den Koeffizienten a und b an, sodass
∫
1
0
f ( x ) d x = 0
gilt!
Begründen Sie, warum aus der Annahme
∫
1
0
f ( x ) d x = 0 folgt, dass f eine Nullstelle im
Intervall (0; 1) hat, und skizzieren Sie einen möglichen Graphen einer solchen Funktion f
im nachstehenden Koordinatensystem!
f ( x )
x
0 2 1 –1 –2
–2
–3
–1
1
2
–4
0
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 9. Mai 2018

Vitamin C / Haupttermin 2022 / 2_116 / Typ 2 S. 1/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
S. 32 /36 3. Mai 2022 / AHS / Mathematik
Aufgabe 28 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Vitamin C
Vitamin C erfüllt viele wichtige Aufgaben im menschlichen Körper.
Aufgabenstellung:
a) Brokkoli enthält durchschnittlich 100 mg Vitamin C pro 100 g.
Bei einem Gemüsegroßhändler wird eine Zufallsstichprobe von 50 Portionen frischem Brokkoli
entnommen und für jede Portion der Vitamin-C-Gehalt pro 100 g gemessen.
Der Flächeninhalt eines Rechtecks im nachstehenden Histogramm entspricht der absoluten
Häufi gkeit der Portionen dieser Stichprobe im jeweiligen Bereich.
mg Vitamin C pro 100 g
80 bis unter 90 90 bis unter 100 100 bis 120
1,5
1
0,5
2
0
1) Ermitteln Sie die Anzahl der Portionen in der Zufallsstichprobe, die 100 mg bis 120 mg
Vitamin C pro 100 g aufweisen. [0 / 1 P.]
Von der Zufallsstichprobe werden 3 Portionen ohne Zurücklegen entnommen.
2) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 2 dieser Portionen 100 mg bis
120 mg Vitamin C pro 100 g aufweisen. [0 / 1 P.]
Vitamin C / Haupttermin 2022 / 2_116 / Typ 2 S. 2/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
3. Mai 2022 / AHS / Mathematik S. 33 /36
b) Ein Getränkehersteller möchte Fruchtsaft so in Flaschen abfüllen, dass jede Flasche
100 mg Vitamin C enthält.
Es stehen zur Verfügung:
• Birnensaft mit 20 mg Vitamin C pro 100 ml
• Orangensaft mit 35 mg Vitamin C pro 100 ml
• Mischungen aus diesen beiden Säften
Emine behauptet, dass der Vitamin-C-Gehalt von 100 mg bei Flaschen mit einem Fassungs-
vermögen von 250 ml nicht erreicht werden kann.
1) Begründen Sie, warum Emines Behauptung richtig ist. [0 / 1 P.]
Die zur Verfügung stehenden Fruchtsäfte werden so gemischt, dass 350 ml Saft genau
100 mg Vitamin C enthalten.
2) Ermitteln Sie, wie viele Milliliter Birnensaft mit wie vielen Millilitern Orangensaft dafür ge-
mischt werden müssen. [0 / 1 P.]

Einkommensverteilung
Aufgabennummer: 2_031 Prüfungsteil: Typ 1  Typ 2 
Grundkompetenzen: AG 2.4, AN 4.2, AN 4.3, FA 1.4, FA 1.7, FA 3.2, FA 4.1, FA 5.6, WS 1.1, WS 1.2
Der Statistiker Max Lorenz beschrieb bereits im Jahr 1905 statistische Verteilungen mithilfe
der nach ihm benannten Lorenz-Kurve. Eine Lorenz-Kurve f kann z. B. zur Beschreibung der
Einkommensverteilung in einem Staat herangezogen werden. Je ausgeprägter ihr „Bauch“ ist,
desto größer ist der Einkommensunterschied zwischen niedrigem und hohem Einkommen.
Die Lorenz-Kurve der Einkommensverteilung eines Staates, in dem alle Personen bis auf eine
Person nichts verdienen und diese eine Person alles bekommt, wird in der nachstehenden
Grafik durch die punktierten Linien (Katheten eines rechtwinkeligen Dreiecks) dargestellt. Das
andere Extrem ist ein Staat, in dem alle Personen gleich viel verdienen. In diesem Fall wird die
Lorenz-Kurve zu einer Geraden h , welche durch die strichlierte Linie dargestellt ist. Zwischen
den beiden Extremen verläuft die Lorenz-Kurve f eines Staates.
Jeder Punkt P = ( x | f ( x )) auf der Kurve f steht für folgende Aussage: „Die einkommens-
schwächsten x % aller Haushalte beziehen f ( x ) % des Gesamteinkommens.“
arm Mittelstand reich
60
40
20
80
0
Gesamteinkommen in Prozent
Die Lorenz-Kurven
Einkommensverteilung
in der Bevölkerung
h
f
B
A – B
Der Flächeninhalt des rechtwinkeligen Dreiecks wird mit A bezeichnet. Der Graph der Lorenz-
Kurve f schließt mit den beiden Katheten des rechtwinkeligen Dreiecks eine Fläche mit Inhalt B
ein. Setzt man den Inhalt der Fläche zwischen der Lorenz-Kurve f und der Geraden h mit der
Dreiecksfläche A in Bezug, erhält man den Gini-Ungleichheitskoeffizienten GUK =
A – B
A
, eine
Zahl zwischen null und eins. Je kleiner der GUK ist, desto gleichmäßiger ist das Gesamtein-
kommen auf die Bevölkerung verteilt.
In der nachstehenden Grafik ist die Einkommensverteilung in Österreich in Prozent der gesam-
ten Bruttobezüge im Jahre 2006 dargestellt. Daraus ist z. B. abzulesen, dass jene 20 % der
Bevölkerung mit den niedrigsten Bruttoeinkommen nur 2,2 % des Gesamtbruttoeinkommens
erhalten haben.
Quelle: http://diepresse.com/home/wirtschaft/economist/446997/Sozialbericht_Einkommen-in-Oesterreich-ungleicher-verteilt
[04.05.2017].
Einkommensverteilung 2
Aufgabenstellung:
a) Zeichnen Sie die Lorenz-Kurve für die Einkommensverteilung der Bruttobezüge in Öster-
reich im Jahr 2006 in der nachstehenden Grafik als Streckenzug ein!
h
Einkommensgruppe (Anteil relativ)
arm Mittelstand reich
0,8 0,6 0,4 0,2 0 1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
1
Einkommensanteil (relativ)
Berechnen Sie mithilfe des eingezeichneten Streckenzuges den GUK für die Bruttobezüge
in Österreich für das Jahr 2006!
b) Die Verteilung der Bruttoeinkommen in Österreich im Jahre 2006 soll durch eine Polynom -
funktion p so modelliert werden, dass alle Daten, die aus dem Kreisdiagramm aus der
Einleitung abgelesen werden können, mit Funktionswerten dieser Polynomfunktion über-
einstimmen.
Begründen Sie, welchen Grad die Polynomfunktion p bei konkreter Berechnung (maximal)
hat!
Begründen Sie, warum eine Exponentialfunktion e mit e ( x ) = a ∙ b
x
( a , b ∈ ℝ
+
) nicht für
die Modellierung einer Lorenz-Kurve geeignet ist!
Einkommensverteilung 3
c) Um politische Maßnahmen abschätzen zu können, werden verschiedene Szenarien
entworfen. So soll beispielsweise für die Bruttoeinkommen langfristig eine Lorenz-Kurve
angestrebt werden, die durch die Funktion g mit der Funktionsgleichung
g ( x ) = 0,245 · x
3
+ 0,6 · x
2
+ 0,155 · x beschrieben werden kann.
Geben Sie eine Gleichung an, mit der der GUK für die angestrebte Einkommensverteilung
berechnet werden kann, und ermitteln Sie diesen GUK !
Geben Sie mithilfe konkreter Zahlenwerte an, wie sich in diesem Fall die Einkommensver-
teilung der „20 % der Arbeitnehmer/innen mit den niedrigsten Bruttoeinkommen“ und die
Einkommensverteilung der „20 % der Arbeitnehmer/innen mit den höchsten Bruttoeinkom-
men“ im Vergleich zu den Bruttobezügen im Jahr 2006 in Österreich ändern würden!
d) Für das Jahr 2007 kann die Einkommensverteilung für Österreich mit einem GUK von 0,26
beschrieben werden.
Datenquelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Liste_der_L%C3%A4nder_nach_Einkommensverteilung [04.05.2017].
Angenommen, die Lorenz-Kurve für die Einkommensverteilung kann für ein bestimmtes
Land, das eine ausgeglichenere Einkommensverteilung als Österreich aufweisen soll,
durch eine Potenzfunktion h mit h ( x ) = a ∙ x
z
+ b mit a , b , z ∈ ℝ beschrieben werden.
Geben Sie an, welche Werte die Parameter a und b haben müssen, und begründen Sie
Ihre Wahl!
Geben Sie eine Ungleichung an, die für das Jahr 2007 einen Zusammenhang zwischen
dem GUK von Österreich und dem GUK von demjenigen Land, das eine ausgeglichenere
Einkommensverteilung als Österreich aufweisen soll, beschreibt! Ermitteln Sie für diesen
Fall einen möglichen Wert für den Exponenten z mit z > 1 !
Einkommensverteilung 4

Sonnenblumen / Wintertermin 2023 / 2_121 / Typ 2 r-K S. 1/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 27 /33
Aufgabe 25 (Teil 2)
Sonnenblumen
Aufgabenstellung:
a) Die Höhe einer bestimmten Sonnenblume lässt sich in Abhängigkeit von der Zeit t näherungs-
weise durch die zwei quadratischen Funktionen f und g beschreiben. Die Graphen dieser
beiden Funktionen gehen im Punkt P mit gleicher Steigung ineinander über. (Siehe unten
stehende Abbildung.)
f ( t ) =
1
15
∙ t
2
+ 0,2 ∙ t + 5 mit 0 ≤ t ≤ 21
g ( t ) = a ∙ t
2
+ b ∙ t + c mit 21 ≤ t ≤ 42
t ∈ [0; 42] ... Zeit ab dem Beobachtungsbeginn in Tagen
f ( t ) ... Höhe der Sonnenblume zum Zeitpunkt t in cm
g ( t ) ... Höhe der Sonnenblume zum Zeitpunkt t in cm
t in Tagen
f ( t ), g ( t ) in cm
42 21 0
0
72,2
38,6
f
g
P
1) Tragen Sie in der obigen Abbildung den fehlenden Wert der Achsenbeschriftung in das
dafür vorgesehene Kästchen ein. [0 / 1 P.]
2) Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten a , b und c der
Funktion g . [0 / ½ / 1 P.]
3) Interpretieren Sie den nachstehenden Term im gegebenen Sachzusammenhang unter An-
gabe der zugehörigen Einheit.
Es gilt: t
1
= 2 Tage, t
2
= 42 Tage
g ( t 2 ) – f ( t 1 )
t 2 – t 1
[0 / 1 P.]
Sonnenblumen / Wintertermin 2023 / 2_121 / Typ 2 r-K S. 2/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 28 /33
b) Die Höhe einer anderen Sonnenblume lässt sich in Abhängigkeit von der Zeit t in einem be-
stimmten Zeitintervall näherungsweise durch die Funktion h beschreiben.
h ( t ) = 6,2 ∙ a
t
t ... Zeit ab dem Beobachtungsbeginn in Tagen
h ( t ) ... Höhe der Sonnenblume zum Zeitpunkt t in cm
Zum Zeitpunkt t = 17 beträgt die Höhe dieser Sonnenblume 38,6 cm.
1) Berechnen Sie a . [0 / 1 P.]

Beschleunigungstest / Herbsttermin 2022 / 2_119 / Typ-2 S. 1/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 31 /34
Aufgabe 27 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Beschleunigungstest
Bei einem Beschleunigungstest wird ein Fahrzeug aus dem Stillstand (Anfangsgeschwindigkeit =
0 km/h) beschleunigt.
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Zeit-Geschwindigkeit-Funktion v für einen
Be schleunigungstest mit einem Sportwagen dargestellt. Dabei bewegt sich der Sportwagen
t Sekunden nach Beginn des Beschleunigungsvorgangs mit der Geschwindigkeit v ( t ) in km/h.
36 34 32 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 38
150
100
50
0
200
t in s
v ( t ) in km/h
(2 | 50)
v
Aufgabenstellung:
a) Es wird angenommen, dass die Geschwindigkeit v
1
des Sportwagens im Zeitintervall [0; 2]
direkt proportional zur Zeit t ist ( t in s, v
1
( t ) in km/h).
1) Stellen Sie eine Funktionsgleichung von v
1
auf.
v
1
( t ) = [0 / 1 P.]
b) Bei einer anderen Modellierung kann die Geschwindigkeit des Sportwagens im Zeitintervall
[0; 20] in Abhängigkeit von der Zeit t durch die Funktion v
2
beschrieben werden.
v
2
( t ) = –0,001 ∙ t
4
+ 0,078 ∙ t
3
– 2,23 ∙ t
2
+ 32 ∙ t
t ... Zeit in s
v
2
( t ) ... Geschwindigkeit zur Zeit t in km/h
1) Berechnen Sie mithilfe von v
2
den Zeitpunkt t
2
∈ [0; 20], zu dem die Geschwindigkeit des
Sportwagens 130 km/h beträgt. [0 / 1 P.]
Beschleunigungstest / Herbsttermin 2022 / 2_119 / Typ-2 S. 2/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 32 /34
c) Die Geschwindigkeit-Beschleunigung-Funktion a ordnet jeder Geschwindigkeit v ∈ [80; 160]
des Sportwagens näherungsweise die entsprechende Beschleunigung a ( v ) zu.
a ( v ) = 0,0003 ∙ v
2
+ b ∙ v + c mit b , c ∈ ℝ
v ... Geschwindigkeit in km/h
a ( v ) ... Beschleunigung bei der Geschwindigkeit v in m/s
2
In der nachstehenden Tabelle sind zwei Beschleunigungswerte angeführt.
v in km/h 80 160
a ( v ) in m/s² 6,7 1,4
1) Ermitteln Sie b und c . [0 / 1 P.]
2) Ermitteln Sie mithilfe der Funktion a und der Abbildung im Einleitungstext den Zeitpunkt t
3
,
zu dem die Beschleunigung 3,7 m/s
2
beträgt. [0 / 1 P.]

Maturaball*
Aufgabennummer: 2_105 Aufgabentyp: Typ 1  Typ 2 T
Aufgabenstellung:
a) Für einen Maturaball werden Karten im Vorverkauf und an der Abendkassa angeboten. Im
Vorverkauf kostet jede Karte € 20. An der Abendkassa kostet jede Karte um 10 % mehr.
Insgesamt wurden 640 Karten um einen Gesamtpreis von € 13.240 verkauft.
Es werden folgende Bezeichnungen gewählt:
x ... Anzahl der im Vorverkauf verkauften Karten
y ... Anzahl der an der Abendkassa verkauften Karten
1) Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung von x und y .
b) Zur Unterhaltung wird das Spiel Glücksrad angeboten. Die Wahrscheinlichkeit, zu gewin-
nen, beträgt bei jedem Spiel konstant und unabhängig voneinander 25 %.
Katja spielt dieses Spiel 3-mal.
1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Katja dabei genau 2-mal gewinnt.
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 17. September 2021
c) Weiters wird das Spiel Entenspiel angeboten.
Von insgesamt 50 Badeenten sind 5 an ihrer Unterseite markiert.
Bei diesem Spiel wählt eine teilnehmende Person 2 der 50 Badeenten zufällig und ohne
Zurücklegen aus. Jede markierte Badeente, die dabei ausgewählt wird, führt zu einem
Gewinn.
Die Zufallsvariable X gibt dabei an, wie viele der beiden ausgewählten Badeenten markiert
sind. Die Wahrscheinlichkeit für ein in diesem Sachzusammenhang mögliches Ereignis wird
mit dem nachstehenden Ausdruck berechnet.
P ( X = ) =
5
50
·
45
49
+
45
50
·
5
49
1) Tragen Sie die fehlende Zahl im dafür vorgesehenen Kästchen ein.
Martin behauptet: „Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt.“
2) Begründen Sie, warum Martins Behauptung falsch ist.
2 Maturaball

Kostenfunktion
Aufgabennummer: 2_012 Typ 1  Typ 2 T technologiefrei 
Bei einem bestimmten Unternehmen werden die Produktionskosten untersucht. Im ersten
Jahr gilt modellhaft für dieses Unternehmen:
K ( x ) = 0,01 ∙ x
3
– 3 ∙ x
2
+ 350 ∙ x + 20 000
x … Produktionsmenge in ME ( x ∈ ℝ
0
+
)
K ( x ) … Produktionskosten in GE
Aufgabenstellung:
a) 1) Berechnen Sie, um wie viel sich die Grenzkosten bei einem Produktionsumfang von
x = 50 ME vom tatsächlichen Zuwachs der Kosten (das heißt bei Erhöhung des
Produktionsumfangs von 50 ME auf 51 ME) bei diesem Unternehmen unterscheidet.
Für K ( x ) gilt die Aussage: „Die Grenzkosten sind stets positiv.“
2) Begründen Sie, warum diese Aussage richtig ist.
b) Für die Festlegung des Produktionsplans ist es erforderlich, die durchschnittlichen
Kosten pro erzeugter ME in Abhängigkeit von der Produktionsmenge zu kennen. Die
Stückkostenfunktion gibt die durchschnittlichen Kosten pro erzeugter ME an.
1) Stellen Sie die Stückkostenfunktion K ( x ) dieses Unternehmens auf.
2) Berechnen Sie, bei welcher Produktionsmenge die durchschnittlichen Stückkosten
für dieses Unternehmen am geringsten sind.
c) Im zweiten Jahr können die Produktionskosten dieses Unternehmens durch eine Funk-
tion f mit f ( x ) = a ∙ x
2
+ 100 ∙ x + c mit a , b , c ∈ ℝ , a ≠ 0, x ∈ ℝ
0
+
modellhaft beschrie-
ben werden.
1) Ermitteln Sie alle Werte für a so, dass ein progressiver Verlauf der Produktionskosten
vorliegt.
Für diese Produktionskosten gilt:
• Die Fixkosten der Produktion betragen 15 000 GE.
• Die Produktionskosten für 100 ME betragen 30 000 GE.
2) Bestimmen Sie die Werte von a und c .
a =
c =
2 Kostenfunktion

Altenpflege
Aufgabennummer: 2_073 Aufgabentyp: Typ 1  Typ 2 T
Grundkompetenz: AG 2.1, AG 2.5, AN 1.1, AN 1.3
a) Katharina und Georg arbeiten als Pflegekräfte in einem Heim. Sie bekommen das gleiche
monatliche Grundgehalt. Im Februar lag in diesem Heim ein besonderer Arbeitsbedarf vor.
Georg leistete 14 Überstunden, Katharina leistete 46 Überstunden. Ihr jeweiliges Gesamt
entgelt setzt sich aus dem Grundgehalt und der Abgeltung für die geleisteten Überstunden
zusammen. Jede Überstunde wird dabei gleich abgegolten.
Das Gesamtentgelt von Georg betrug im Februar € 2.617, jenes von Katharina betrug
€ 3.433.
1) Ermitteln Sie das Grundgehalt und die Abgeltung für eine Überstunde.
b) Der Aufzug eines Pflegeheims hat eine rechteckige Grundfläche mit einer Länge von 4 m
und einer Breite von 2,8 m. Ein Pflegebett fährt auf beweglichen Rollen und hat die Außen
maße 2,4 m × 1,1 m (siehe nachstehende nicht maßstabgetreue Abbildung).
4 m
1,1 m
2,4 m
2,8 m
Bett
Aufzug-Innenraum von oben gesehen
1) Überprüfen Sie nachweislich, ob der Aufzug breit genug ist, damit das Bett – wie oben
skizziert – um 180° gedreht werden kann.
c) Die nachstehende Tabelle zeigt die Anzahl der Hausbesuche pro Jahr durch mobile Dienste
im Rahmen der Altenpflege in Oberösterreich sowie deren prozentuellen Anstieg jeweils
im Vergleich zur Anzahl 2 Jahre davor.
Jahr
Anzahl der Haus
besuche pro Jahr
prozentueller Anstieg
(gerundet)
1994 498 086
1996 589 168 18,3 %
1998 802 146 36,1 %
2000 1 017 793 26,9 %
2002 1 176 665 15,6 %
2004 1 360 543 15,6 %
Der prozentuelle Anstieg der Anzahl der Hausbesuche pro Jahr betrug sowohl von 2000
auf 2002 als auch von 2002 auf 2004 jeweils rund 15,6 %.
1) Erklären Sie in Worten, warum sich die absolute Änderung der Anzahl der Hausbesu
che pro Jahr von 2000 auf 2002 von jener von 2002 auf 2004 unterscheidet, obwohl
die prozentuellen Anstiege in den jeweiligen Zeitintervallen gleich sind.
2) Interpretieren Sie das Ergebnis der Berechnung
1 360 543 – 498 086
2004 – 1994
≈ 86 246 im ge
gebenen Sachzusammenhang.
Altenpflege 2

Quadratische Funktion*
Aufgabennummer: 2_037 Aufgabentyp: Typ 1  Typ 2 T
Grundkompetenz: AG 2.5, FA 1.5, AN 3.2, AN 3.3
Der Graph einer Polynomfunktion f zweiten Grades schneidet die positive senkrechte Ach-
se im Punkt A = (0 | y
A
) und hat mit der positiven x -Achse den Punkt B = ( x
B
| 0) gemein-
sam, wobei B ein Extrempunkt von f ist.
Die Funktion f ist von der Form f ( x ) =
1
4
∙ x
2
+ b ∙ x + c mit b , c ∈ ℝ .
Aufgabenstellung:
a) Geben Sie an, ob c größer als null, gleich null oder kleiner als null sein muss, und
begründen Sie Ihre Entscheidung!
Geben Sie an, ob b größer als null, gleich null oder kleiner als null sein muss, und
begründen Sie Ihre Entscheidung!
b) Gegeben ist folgende Aussage: „Der Punkt B ist ein Schnittpunkt der Graphen der
Funktion f und ihrer Ableitungsfunktion f ′ .“ Geben Sie an, ob diese Aussage wahr oder
falsch ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung!
Es gibt für alle Werte von b genau eine Stelle x
t
mit folgender Eigenschaft: An der Stel-
le x
t
haben f und f ′ die gleiche Steigung. Geben Sie diese Stelle x
t
in Abhängigkeit von b
an!
c) Geben Sie an, welcher Zusammenhang zwischen b und c bestehen muss, damit die
Extremstelle x
B
von f auch Nullstelle von f ist!
Geben Sie die Koeffizienten b und c der Funktion f in Abhängigkeit von x
B
an!
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 20. September 2018

Kettenlinie
Aufgabennummer: 2_030 Prüfungsteil: Typ 1 £ Typ 2 T
Grundkompetenzen: AG 2.5, AN 1.1, AN 1.3, FA 1.4, FA 1.5, FA 1.7, FA 3.2
Hängt man ein Seil (oder beispielsweise eine Kette) an zwei Punkten auf, so kann der Verlauf
des Seils unter bestimmten Bedingungen durch eine Funktion der Form x ↦
a
2
∙ ( ℯ
x
a
+ ℯ
– x
a
) mit
a ∈ ℝ
+
modelliert werden.
Der Wert der Konstanten a hängt dabei von der Seillänge und vom Abstand der beiden Auf-
hängepunkte ab.
Der vertikale Abstand zwischen dem tiefsten Punkt des Seils und seinen Aufhängepunkten wird
als Durchhang bezeichnet.
Ein bestimmtes Seil kann modellhaft durch eine Funktion f der obigen Form mit a = 4 be-
schrieben werden ( x und f ( x ) in Metern). Die beiden Aufhängepunkte P
1
und P
2
befinden sich in
gleicher Höhe und ihr Abstand beträgt d = 6 m.
Aufgabenstellung:
a) Geben Sie eine Gleichung an, mit der die Stelle mit dem maximalen Durchhang des durch
f beschriebenen Seils berechnet werden kann, und ermitteln Sie diese Stelle!
Geben Sie eine Funktionsgleichung f
1
an, mit der ein Seil modelliert werden kann, welches
an jeweils 1 m tieferen Aufhängepunkten montiert ist und denselben Durchhang wie das
durch f beschriebene Seil aufweist!
b) Geben Sie eine Gleichung an, mit der der Durchhang δ des durch f modellierten Seils be-
rechnet werden kann, und ermitteln Sie diesen Durchhang!
Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen der Funktion δ
1
, der die Abhängigkeit
des Durchhangs von der Länge des Seils zwischen den Aufhängepunkten P
1
und P
2
be-
schreibt.
Seillänge (in m)
Durchhang
1
(in m) δ
8 7 6 5 9 4 3 2
2
1
0
3
0 1
δ
1
Geben Sie mithilfe der oben dargestellten Abbildung die Länge des in der Einleitung be-
schriebenen Seils an! Ermitteln Sie weiters, um wie viele Meter der Durchhang zunimmt,
wenn das Seil durch ein zwei Meter längeres Seil (gleicher Beschaffenheit) ersetzt wird,
das an denselben Aufhängepunkten montiert ist!
c) Der Graph der Funktion f kann durch den Graphen einer quadratischen Funktion g mit
g ( x ) = b ∙ x
2
+ c mit b , c ∈ ℝ
+
angenähert werden. Der Graph von g verläuft durch die
Aufhängepunkte P
1
und P
2
und den Tiefpunkt des Graphen von f .
Geben Sie alle Gleichungen an, die für die Berechnung von b und c notwendig sind, und
ermitteln Sie die Werte dieser Parameter!
Geben Sie eine Gleichung an, mit der der größte vertikale Abstand von f und g zwischen
den beiden Aufhängepunkten berechnet werden kann!
d) Der Graph der Funktion f kann auch durch den Graphen einer Polynomfunktion h vierten
Grades angenähert werden. Für den Graphen von h gelten folgende Bedingungen:
Er verläuft durch die Aufhängepunkte P
1
und P
2
und den Tiefpunkt des Graphen von f und
hat in den beiden Aufhängepunkten dieselbe Steigung wie der Graph von f .
Drücken Sie alle gegebenen Bedingungen mithilfe von Gleichungen aus!
Ermitteln Sie anhand dieser Gleichungen eine Funktionsgleichung von h !
Kettenlinie 2

Triathlon / Herbsttermin 2023 / 2_129 / Typ 2 S. 1/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
19. September 2023 / AHS / Mathematik S. 27 /34
Aufgabe 25 (Teil 2)
Triathlon
Triathlon ist ein Bewerb, bei dem die Sportlerinnen und Sportler einen Schwimmbewerb, einen
Radbewerb und einen Laufbewerb in genau dieser Reihenfolge absolvieren.
Aufgabenstellung:
a) Der Verlauf der Schwimmstrecke eines bestimmten Triathlons ist in der nachstehenden Ab-
bildung modellhaft dargestellt. Der Schwimmbewerb startet im Punkt S und endet im Punkt Z ,
dazwischen müssen die Kontrollpunkte B
1
, B
2
, B
3
, S , B
1
und B
2
in genau dieser Reihenfolge
erreicht werden.
y in m
x in m
B
2
B
1
B
3
S
Z
O
Die Entfernung vom Punkt S = (600 | 0) zum Punkt B
1
beträgt 700 m.
1) Berechnen Sie die y -Koordinate von B
1
.
B
1
=
(
0 | )
[0 / 1 P.]
b) Beim Radbewerb eines bestimmten Triathlons startet Stefanie 1,45 min vor Tanja.
t ... Zeit in min
t = 0 ... Zeitpunkt, zu dem Stefanie startet
v
Stefanie
( t ) ... Geschwindigkeit von Stefanie zum Zeitpunkt t in km/min
v
Tanja
( t ) ... Geschwindigkeit von Tanja zum Zeitpunkt t in km/min
Stefanie erreicht das Ziel des Radbewerbs nach einer Fahrzeit von 291 min. Zu dieser Zeit ist
Tanja noch auf der Radstrecke.
1) Interpretieren Sie, was mit dem nachstehenden Ausdruck im gegebenen Sachzusammen-
hang berechnet werden kann.
∫
291
0
v
Stefanie
( t ) d t –
∫
291
1,45
v
Tanja
( t ) d t [0 / 1 P.]
Triathlon / Herbsttermin 2023 / 2_129 / Typ 2 S. 2/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
19. September 2023 / AHS / Mathematik S. 28 /34
c) Michael nimmt an einem bestimmten Triathlon teil.
Michael startet in den abschließenden 42,195 km langen Laufbewerb mit einer bisherigen
Gesamtzeit von 5 h 12 min 38 s.
Michael beendet den Triathlon mit einer Gesamtzeit von 7 h 36 min 56 s.
1) Berechnen Sie Michaels Durchschnittsgeschwindigkeit im Laufbewerb in km/h. [0 / 1 P.]
d) Der wohl bekannteste Triathlon-Bewerb ist die Ironman World Championship in Hawaii.
Die Funktion f : ℕ → ℝ mit f ( t ) = 0,1275 ∙ t
3
– 8,525 ∙ t
2
+ 198,425 ∙ t + 15 beschreibt in Ab-
hängigkeit von der Zeit t für den Zeitraum von 1978 bis 2018 modellhaft die Anzahl der Perso-
nen, die an diesem Bewerb teilnehmen ( t in Jahren mit t = 0 für das Jahr 1978).
Quelle: https://www.tri226.de/ironman-ergebnisse.php?language=ge&table=start_finish [09.08.2022].
Die Anzahl der Personen, die an diesem Bewerb teilnehmen, ist im Zeitraum von 1978 bis
2018 im Mittel um n Personen pro Jahr gestiegen.
1) Berechnen Sie n . [0 / 1 P.]

Firmenlogos / Herbsttermin 2022 / 2_117 / Typ2-rK S. 1/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 27 /34
Aufgabe 25 (Teil 2)
Firmenlogos
Aufgabenstellung:
a) In der nachstehenden Abbildung ist ein Firmenlogo grau markiert dargestellt.
f ( x ), g ( x ) in cm
x in cm
g
f
4 3 2 1 0 –1 –2 –3 –4 –5 5
0
1
2
–2
–1
Die untere Begrenzungslinie wird durch einen Teil des Graphen der Funktion f beschrieben:
f ( x ) =
1
8
∙ x
2
– 2
Die obere Begrenzungslinie wird durch einen Teil des Graphen der Funktion g beschrieben:
g ( x ) = a ∙ ( x
3
– 16 ∙ x ) mit a ∈ ℝ
An der Stelle x = 4 haben f und g die gleiche Steigung.
1) Berechnen Sie den Parameter a . [0 / 1 P.]
Der Punkt (0 | 0) ist ein Wendepunkt des Graphen von g .
2) Begründen Sie, warum der Graph der Funktion g keinen weiteren Wendepunkt haben
kann. [0 / 1 P.]
Firmenlogos / Herbsttermin 2022 / 2_117 / Typ2-rK S. 2/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 28 /34
b) Das Logo eines Autoherstellers hat die Form eines regelmäßigen Fünfecks (siehe nach-
stehende nicht maßstabgetreue Abbildung).
s
s
s
s
s
72°
r r
1) Berechnen Sie für r = 3 cm den Umfang u dieses regelmäßigen Fünfecks. [0 / 1 P.]
c) Im nachstehenden Koordinatensystem ist das Logo eines Fischrestaurants grau markiert dar-
gestellt.
f ( x ), g ( x ), h ( x )
x
g
h
f
b
0
0
Das Logo ist symmetrisch bezüglich des Graphen der konstanten Funktion h mit h ( x ) = b
mit b ∈ ℝ
+
. Die Begrenzungslinien des Logos sind Teile der Graphen der Funktionen f und g
(siehe obige Abbildung).
Für die Funktion f gilt:
f ( x ) = a ∙ x
2
mit a ∈ ℝ
+
1) Stellen Sie unter Verwendung von a und b eine Funktionsgleichung von g auf. [0 / 1 P.]

Gewitter
Aufgabennummer: 2_065 Aufgabentyp: Typ 1  Typ 2 T
Grundkompetenz: AG 4.1, AN 4.3, WS 2.3
a) In drei verschiedenen Städten – A , B und C – werden am Nachmittag laut Wetter prognose
unabhängig voneinander mit folgenden Wahrscheinlichkeiten Gewitter auftreten:
Stadt A B C
Wahrscheinlichkeit für ein Gewitter 50 % 80 % 80 %
1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in mindestens einer der drei Städte kein
Gewitter auftreten wird.
b) Um Gebäude vor Blitzeinschlägen zu schützen, werden Blitzableiter verwendet. Dabei wird
eine Metallstange, die sogenannte Fangstange , auf dem Gebäude senkrecht montiert.
Der höchste Punkt einer solchen Fangstange kann als Spitze eines drehkegelförmigen
Schutzbereichs angesehen werden. Alle Objekte, die sich vollständig innerhalb dieses
Schutzbereichs befinden, sind vor direkten Blitzeinschlägen geschützt.
h … Höhe der Fangstange
α … Schutzwinkel
r … Radius der Grundfläche des
Schutzbereichs
Grundfläche des
Schutzbereichs
r
h
α
Fangstange
Flachdach
1) Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung des Radius r aus α und h .
r =
Auf einem Flachdach ist eine 2 m hohe Fangstange senkrecht montiert. 3 m vom Fuß
punkt der Fang stange entfernt steht eine 1,2 m hohe Antenne senkrecht auf dem Flach
dach. Der Schutzwinkel beträgt 77°.
2) Überprüfen Sie nachweislich, ob sich diese Antenne vollständig innerhalb des Schutz
bereichs befindet.
c) Während eines Nachmittags, an dem es ein Gewitter gab, wurde die Veränderung der
Temperatur ermittelt. Die Funktion T ′ beschreibt die momentane Änderungsrate der
Temperatur in Abhängigkeit von der Zeit t (siehe nachstehende Abbildung).
–6
–4
–2
0
2
4
6
8
T ′ ( t ) in °C/h
T ′
0 0,5 0,75 1 1,25 1,5 0,25
t in h
t
0
t … Zeit seit Beginn der Messung in h
T ′ ( t ) … momentane Änderungsrate der Temperatur zur Zeit t in °C/h
Die absolute Temperaturänderung in einem Zeitintervall [ t
1
; t
2
] kann durch das Integral
∫
t 2
t 1
T ′ ( t ) d t berechnet werden.
1) Bestimmen Sie mithilfe der obigen Abbildung näherungsweise die absolute Temperatur
änderung im Zeitintervall [1,25; 1,5].
Gewitter 2

Kugelstoßen
Aufgabennummer: 2_070 Aufgabentyp: Typ 1  Typ 2 T
Grundkompetenz: AG 2.1, AG 4.1, FA 2.1, FA 4.3
Kugelstoßen ist eine Disziplin bei den Olympischen Sommerspielen.
Eine Metallkugel muss so weit wie möglich aus einem Kreis in einen vorgegebenen Auf
schlag bereich gestoßen werden.
a) Im Jahr 1948 wurde bei den Männern ein neuer Weltrekord mit der Weite 17,68 m auf
gestellt.
Eine Faustregel besagt, dass sich seit 1948 der Weltrekord bei den Männern alle 2,5 Jahre
um 34 cm verbessert hat. Die Weltrekordweite (in Metern) soll gemäß dieser Faustregel in
Abhängigkeit von der Zeit t (in Jahren) durch eine lineare Funktion f beschrieben werden.
1) Erstellen Sie eine Gleichung der Funktion f . Wählen Sie t = 0 für das Jahr 1948.
b) Der Aufschlagbereich ist in der nachstehenden Abbildung in der Ansicht von oben dar
gestellt (alle Angaben in Metern).
20
12
α
20
1) Berechnen Sie den in der obigen Abbildung markierten Winkel α .
c) Die Bahnkurve einer gestoßenen Kugel lässt sich näherungsweise durch den Graphen der
quadratischen Funktion h beschreiben:
h ( x ) = –0,05 · x
2
+ 0,75 · x + 2 mit x ≥ 0
x ... horizontale Entfernung der Kugel von der Abstoßstelle in m
h ( x ) ... Höhe der Kugel über dem Boden bei der horizontalen Entfernung x in m
1) Ermitteln Sie, in welcher horizontalen Entfernung von der Abstoßstelle die Kugel auf
dem Boden aufschlägt.
d) Für die bei den Männern verwendeten Kugeln gelten folgende Vorgaben:
• Die Masse beträgt 7 257 g.
• Der Durchmesser der Kugel liegt zwischen 11 cm und 13 cm.
Eine Messing Eisen Legierung hat eine Dichte von 8,2 g/cm³.
Die Masse m ist das Produkt aus Volumen V und Dichte ϱ , also m = V ∙ ϱ .
1) Überprüfen Sie nachweislich, ob man aus dieser Messing Eisen Legierung eine Kugel
herstellen kann, die diese Vor gaben erfüllt.
Kugelstoßen 2