Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 601–650

Wings for Life World Run*
Aufgabennummer: 2_048 Aufgabentyp: Typ 1  Typ 2 T
Grundkompetenz: AG 2.1, FA 1.7, FA 5.3, AN 1.1, AN 4.3, WS 1.1
Der Wings for Life World Run ist ein in vielen Ländern zur gleichen Zeit stattfindender Volks-
lauf. Eine Besonderheit dieses Laufs ist, dass keine vorgegebene Distanz zurückgelegt
werden muss.
Es starten alle Läufer/innen weltweit gleichzeitig um 11:00 UTC (koordinierte Weltzeit). Vom
jeweiligen Startpunkt startet 30 Minuten später ein Auto, das sogenannte Catcher-Car , und
fährt die Strecke ab. Dabei erhöht sich die Geschwindigkeit des Autos nach einem vorge-
gebenen Zeitplan. Für jede teilnehmende Person endet der Lauf, wenn sie vom Catcher-
Car überholt wird. Das Ergebnis für eine teilnehmende Person ist die Länge derjenigen
Strecke, die diese Person bis zum Zeitpunkt des Überholens durch das Catcher-Car
zurückgelegt hat.
Für die Geschwindigkeiten des Catcher-Cars wurden bis zum Jahr 2018 folgende Werte
vorge geben (diese dienen modellhaft als Grundlage für die Bearbeitung der folgenden
Aufgaben stel lungen):
Uhrzeit Geschwindigkeit
von 11:30 bis 12:30 15 km/h
von 12:30 bis 13:30 16 km/h
von 13:30 bis 14:30 17 km/h
von 14:30 bis 15:30 20 km/h
von 15:30 bis 16:30 20 km/h
ab 16:30 35 km/h
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 8. Mai 2019
Aufgabenstellung:
a) Eine Person läuft mit konstanter Geschwindigkeit, bis sie vom Catcher-Car überholt
wird. Diese Person wird während der 15-km/h-Phase des Catcher-Cars überholt.
Die Laufzeit t der Person hängt von der Geschwindigkeit v der Person ab.
Geben Sie einen Term an, mit dem t bei Kenntnis von v berechnet werden kann
(mit t in h und v in km/h)!
t =
Im Jahr 2016 betrug die (konstante) Geschwindigkeit einer Person bei diesem Lauf
9 km/h. Ein Jahr später war ihre (konstante) Geschwindigkeit bei diesem Lauf um 10 %
höher.
Geben Sie an, um wie viel Prozent sich dadurch die Streckenlänge erhöhte, die diese
Person zurücklegte, bis sie vom Catcher-Car überholt wurde!
Die zurückgelegte Streckenlänge erhöhte sich dadurch um ca. %.
b) Eine bestimmte gut trainierte Person läuft während der ersten Stunde mit einer kons-
tanten Geschwindigkeit und benötigt dabei pro Kilometer 5 Minuten. Anschließend wird
sie lang samer. Ab diesem Zeitpunkt (also für t ≥ 1) kann ihre Geschwindigkeit mithilfe
der Funktion v in Abhängigkeit von der gelaufenen Zeit modelliert werden. Für die Ge-
schwindigkeit v ( t ) gilt:
v ( t ) = 12 ∙ 0,7
t – 1
mit t in h und v ( t ) in km/h
Deuten Sie den Ausdruck 12 + ∫
b
1
v ( t ) d t mit b ≥ 1 im gegebenen Kontext!
Diese Person wird während der 16-km/h-Phase des Catcher-Cars überholt.
Berechnen Sie die Uhrzeit, zu der das Catcher-Car diese Person überholt!
Uhrzeit: : UTC
2 Wings for Life World Run
c) Ein Läufer wird während der 20-km/h-Phase des Catcher-Cars überholt. Juri schließt
aus dieser Information, dass dieser Läufer nicht weniger als 40 km und nicht mehr als
88 km zurückgelegt hat, bis er vom Catcher-Car überholt wurde. Leo meint zu dieser
Behauptung: „Deine Aussage ist wahr, aber ich könnte ein kleineres Intervall nennen,
das ebenso zutrifft.“
Geben Sie an, ob die Behauptung von Leo stimmt, und begründen Sie Ihre Entschei-
dung!
In Wien legte 2017 die schnellste Teilnehmerin eine Strecke von 51,72 km zurück, bis
sie vom Catcher-Car überholt wurde.
Berechnen Sie ihre durchschnittliche Geschwindigkeit v !
v = km/h
3 Wings for Life World Run

Kondensator*
Aufgabennummer: 2_042 Aufgabentyp: Typ 1  Typ 2 T
Grundkompetenz: AG 2.1, FA 2.1, FA 1.5, AN 4.3
Ein Kondensator ist ein elektrisches Bauelement, mit dem elektrische Ladung und die dar-
aus resultierende elektrische Energie gespeichert werden kann.
Eine einfache Form des Kondensators ist der sogenannte Plattenkondensator . Er besteht
aus zwei einander gegenüberliegenden elektrisch leitfähigen Flächen, die als Kondensator-
platten bezeichnet werden.
Das Verhältnis zwischen der gespeicherten Ladung Q und der an die Kondensatorplatten
angelegten (Gleich-)Spannung U wird als Kapazität C bezeichnet.
Es gilt C =
Q
U
, wobei C in der Einheit Farad angegeben wird.
Aufgabenstellung:
a) Ein Kondensator mit einer bestimmten Kapazität C wird bis zur Ladungsmenge Q
1
auf-
geladen, die gemessene Spannung U ( Q
1
) hat dann den Wert U
1
.
Skizzieren Sie in der nachstehenden Abbildung die Spannung U beim Ladevorgang am
Kondensator in Abhängigkeit von der Ladung Q !
U ( Q )
U
1
Q
1
Q
0
0
Die in diesem Kondensator gespeicherte Energie W kann mithilfe der Formel
W =
∫
Q 1
0
U ( Q ) d Q berechnet werden.
Geben Sie eine Formel für die gespeicherte Energie W in Abhängigkeit von U
1
und C
an!
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 15. Jänner 2019
b) Bei einem Ladevorgang kann die Spannung zwischen den Kondensatorplatten als
Funktion U in Abhängigkeit von der Zeit t durch U ( t ) = U * ∙ (1 – ℯ
–
t
τ
) beschrieben wer-
den. Dabei ist U * > 0 die an den Kondensator angelegte Spannung und τ > 0 eine für
den Ladevorgang charakteristische Konstante. Der Ladevorgang beginnt zum Zeit-
punkt t = 0.
Die Zeit, nach der die Spannung U ( t ) zwischen den Kondensatorplatten 99 % der an-
gelegten Spannung U * beträgt, wird als Ladezeit bezeichnet.
Bestimmen Sie die Ladezeit eines Kondensators in Abhängigkeit von τ !
Geben Sie eine Formel für die momentane Änderungsrate der Spannung zwischen
den Kondensatorplatten in Abhängigkeit von t an und zeigen Sie mithilfe dieser Formel,
dass die Spannung während des Ladevorgangs ständig steigt!
2 Kondensator

Vermögensverteilung*
Aufgabennummer: 2_043 Aufgabentyp: Typ 1  Typ 2 T
Grundkompetenz: AG 2.1, FA 1.7, FA 2.1, AN 4.3, WS 1.1
Das gesamte Vermögen eines Landes ist häufig sehr ungleich auf die Bevölkerung verteilt.
Eine im Jahr 2012 durchgeführte Erhebung der Europäischen Zentralbank (EZB) lieferte
Daten für eine Abschätzung, welcher Anteil der österreichischen Bevölkerung über welches
Vermögen (in Millionen Euro) verfügt. Die Ergebnisse der darauf basierenden Studie sind
in Abbildung 1 dargestellt. Beispielsweise bedeutet der Schwellenwert bei 20 %, dass die
vermögensschwächsten 20 % der österreichischen Bevölkerung ein Vermögen von maxi-
mal € 6.086 besitzen.
Im Jahr 2012 betrug die Bevölkerungszahl von Österreich ca. 8,45 Millionen Einwohner/innen.
Die sogenannte Lorenz-Kurve L (vgl. Abbildung 2) veranschaulicht, welcher relative Anteil
der Bevölkerung welchen relativen Anteil des Gesamtvermögens besitzt. So besitzen laut
der EZB-Studie die vermögensschwächsten 80 % der österreichischen Bevölkerung nur
ca. 23 % des gesamten Vermögens.
Abbildung 1:
relativer Anteil der Bevölkerung
60 % 80 % 100 % 40 % 20 % 0 %
15
10
5
Schwellenwert in Mio. Euro
Schwellen-
wert
bei 20 %:
€ 6.086
Schwellen-
wert
bei 40 %:
€ 34.731
Schwellen-
wert
bei 60 %:
€ 139.614
Schwellen-
wert
bei 80 %:
€ 310.837
1
0
0,5
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 15. Jänner 2019
Abbildung 2: 100 %
80 %
60 %
40 %
20 %
0 %
0 % 20 % 40 % 60 % 80 % 100 %
relativer Anteil der Bevölkerung
relativer Anteil des Gesamtvermögens
45°-Linie: absolute Gleichverteilung
A
L
Quelle: Eckerstorfer, Paul, Johannes Halak et al.: Vermögen in Österreich. Bericht zum Forschungsprojekt „Reichtum im Wandel“.
[17.10.2014] (adaptiert).
Der Gini-Koeffizient ist ein Maß für die Ungleichverteilung des Vermögens in einem Land. Er
ent spricht dem Quotienten aus dem Inhalt der markierten Fläche A (zwischen der 45°-Linie
und der Lorenz-Kurve L ) und dem Flächeninhalt desjenigen Dreiecks, das durch die Eck-
punkte (0 % | 0 %), (100 % | 0 %) und (100 % | 100 %) festgelegt ist.
Laut EZB-Studie hatte der Gini-Ko effizient für Öster reich für das Jahr 2012 den Wert 0,76.
Aufgabenstellung:
a) Ermitteln Sie mithilfe von Abbildung 1, wie viele Personen in Österreich im Jahr 2012
ein Vermögen von mindestens einer Million Euro besaßen!
Berechnen Sie unter der vereinfachenden Annahme, dass die Schwellenwerte im Inter -
vall [20 %; 40 %] annähernd linear zunehmen, einen Näherungswert des Schwellen-
werts bei 25 %!
2 Vermögensverteilung
b) Ermitteln Sie, welchen relativen Anteil am Gesamtvermögen die vermögensstärksten
10 % der österreichischen Bevölkerung besitzen!
Laut einer Studie der Universität Linz aus dem Jahr 2013 besitzen die vermögens-
stärksten 10 % der österreichischen Bevölkerung einen deutlich größeren relativen An-
teil am Gesamtvermögen, als es in der EZB-Studie behauptet wurde.
Unter Berücksichtigung der Studie der Universität Linz erhält man eine andere Lorenz-
Kurve L * als die abgebildete Lorenz-Kurve L . Skizzieren Sie in der nachstehenden Ab-
bildung einen möglichen Verlauf einer solchen Lorenz-Kurve L *!
100 %
80 %
60 %
40 %
20 %
0 %
0 % 20 % 40 % 60 % 80 % 100 %
relativer Anteil der Bevölkerung
relativer Anteil des Gesamtvermögens
45°-Linie: absolute Gleichverteilung
A
L
c) Die Lorenz-Kurve wird im Intervall [0; 1] durch eine reelle Funktion in Abhängigkeit von x
modelliert, wobei x den relativen Anteil der Bevölkerung angibt.
Berechnen Sie den Gini-Koeffizienten für ein Land S , dessen Lorenz-Kurve für das Jahr
2012 durch die Funktion L
1
mit L
1
( x ) = 0,9 ∙ x
5
+ 0,08 ∙ x
2
+ 0,02 ∙ x im Intervall [0; 1]
beschrieben werden kann!
Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit dem Gini-Koeffizienten für Österreich für das Jahr 2012
und geben Sie an, ob das Gesamtvermögen in diesem Jahr in Österreich oder im
Land S gleichmäßiger auf die Bevölkerung verteilt war!
3 Vermögensverteilung

Lachsbestand*
Aufgabennummer: 2_039 Aufgabentyp: Typ 1  Typ 2 T
Grundkompetenz: AG 2.1, FA 1.4, FA 1.6, AN 3.3, WS 1.1
Der kanadische Wissenschaftler W. E. Ricker untersuchte die Nachkommenanzahl von
Fischen in Flüssen Nordamerikas in Abhängigkeit von der Anzahl der Fische der Elternge-
neration. Er ver öffentlichte 1954 das nach ihm benannte Ricker-Modell.
Der zu erwartende Bestand R ( n ) einer Nachfolgegeneration kann näherungsweise anhand
der sogenannten Reproduktionsfunktion R mit R ( n ) = a ∙ n ∙ ℯ
– b ∙ n
mit a , b ∈ ℝ
+
aus dem
Bestand n der jeweiligen Elterngeneration ermittelt werden.
Lachse kehren spätestens vier Jahre nach dem Schlüpfen aus dem Meer an ihren „Ge-
burtsort“ zurück, um dort zu laichen, d. h., die Fischeier abzulegen. Nach dem Laichen
stirbt der Großteil der Lachse.
Ricker untersuchte unter anderem die Rotlachspopulation im Skeena River in Kanada. Die
nachstehende Tabelle gibt die dortigen Lachsbestände in den Jahren von 1908 bis 1923
an, wobei die angeführten Bestände Mittelwerte der beobachteten Bestände jeweils vier
aufeinanderfolgender Jahre sind.
Zeitraum
beobachteter Lachsbestand
(in tausend Lachsen)
01.01.1908 – 31.12.1911 1 098
01.01.1912 – 31.12.1915 740
01.01.1916 – 31.12.1919 714
01.01.1920 – 31.12.1923 615
Datenquelle: http://jmahaffy.sdsu.edu/courses/s00/math121/lectures/product_rule/product.html [01.02.2018] (adaptiert).
Anhand dieser Daten für den Lachsbestand im Skeena River wurden für die Reprodukti-
onsfunktion R die Parameterwerte a = 1,535 und b = 0,000783 ermittelt ( R ( n ) und n in
tausend Lachsen).
Aufgabenstellung:
a) Ermitteln Sie für die Lachspopulation im Skeena River für n > 0 mithilfe der Reproduk-
tionsfunktion die Lösung n
0
der Gleichung R ( n ) = n in tausend Lachsen!
Interpretieren Sie n
0
im gegebenen Kontext!
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturat ermin: 20. September 2018
b) Bestimmen Sie die Koordinaten des Extrempunkts E = ( n
E
| R ( n
E
)) der Reproduktions-
funktion R in Abhängigkeit von a und b und zeigen Sie, dass n
E
für alle a , b ∈ ℝ
+
eine
Stelle eines lokalen Maximums ist!
Geben Sie an, für welche Werte des Parameters a der Bestand R ( n
E
) der Nachfolge-
generation stets größer als der vorherige Bestand n
E
ist!
c) Stellen Sie die Daten der obigen Tabelle der beobachteten Lachsbestände (in tausend
Lachsen) durch ein Histogramm dar, wobei die absoluten Häufigkeiten als Flächeninhal-
te von Rechtecken abgebildet werden sollen!
01.01.1924 01.01.1920 01.01.1916 01.01.1912 01.01.1908
Zeit in Jahren
150
100
50
0
200
300
250
Das von Ricker entwickelte Modell zählt zu den Standardmodellen zur Beschreibung
von Populationsentwicklungen. Dennoch können die mithilfe der Reproduktionsfunktion
berechneten Werte mehr oder weniger stark von den beobachteten Werten abweichen.
Nehmen Sie den beobachteten durchschnittlichen Lachsbestand von 1 098 (im Zeit-
raum von 1908 bis 1911) als Ausgangswert, berechnen Sie damit für die jeweils vier-
jährigen Zeiträume von 1912 bis 1923 die laut Reproduktionsfunktion zu erwartenden
durchschnittlichen Lachsbestände im Skeena River und tragen Sie die Werte in die
nachstehende Tabelle ein!
Zeitraum berechneter Lachsbestand (in tausend Lachsen)
01.01.1912 – 31.12.1915
01.01.1916 – 31.12.1919
01.01.1920 – 31.12.1923
2 Lachsbestand

Stratosphärensprung
Aufgabennummer: 2_028 Prüfungsteil: Typ 1 £ Typ 2 T
Grundkompetenzen: AG 2.1, AN 1.3, FA 2.1, FA 2.2
Am 14.10.2012 sprang der österreichische Extremsportler Felix Baumgartner aus einer Höhe
von 38 969 m über dem Meeresspiegel aus einer Raumkapsel. Er erreichte nach 50 s in der
nahezu luftleeren Stratosphäre eine Höchstgeschwindigkeit von 1 357,6 km/h (≈ 377,1 m/s)
und überschritt dabei als erster Mensch im freien Fall die Schallgeschwindigkeit, die bei 20 °C
ca. 1 236 km/h (≈ 343,3 m/s) beträgt, in der Stratosphäre wegen der niedrigen Luft-
temperaturen aber deutlich geringer ist.
Die Schallgeschwindigkeit in trockener Luft hängt bei Windstille nur von der Lufttemperatur T ab.
Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) werden nach-
stehend zwei Formeln angegeben, die – bis auf einen (gerundeten) Faktor – äquivalent sind.
Die Lufttemperatur T wird in beiden Formeln in °C angegeben.
v
1
=

401,87 ∙ ( T + 273,15)
v
2
= 331,5 ∙

1 +
T
273,15
Aufgabenstellung:
a) Die Fallbeschleunigung a eines Körpers im Schwerefeld der Erde ist abhängig vom Ab-
stand des Körpers zum Erdmittelpunkt. Die Fallbeschleunigung an der Erdoberfläche auf
Meeresniveau, d. h. bei einer Entfernung von r = 6 371 000 m vom Erdmittelpunkt, beträgt
bei vernachlässigbarem Luftwiderstand ca. 9,81 m/s
2
.
Für die Fallbeschleunigung a gilt: a ( r ) =
G ∙ M
r
2
, wobei G die Gravitationskonstante, M die
Erdmasse und r der Abstand des Körpers vom Erdmittelpunkt ist. Es gilt:
G = 6,67 ∙ 10
–11
N
m
2
kg
2
; M = 5,97 ∙ 10
24
kg
Berechnen Sie den Wert der Fallbeschleunigung, die auf Felix Baumgartner beim Ab-
sprung aus der Raumkapsel wirkte!
a =
_______
m/s
2
Berechnen Sie die mittlere B eschleunigung, die auf Felix Baumgartner bis zum Errei-
chen der Höchstgeschwindigkeit wirkte!
b) Als Felix Baumgartner seine Höchstgeschwindigkeit erreichte, bewegte er sich um 25 %
schneller als der Schall in dieser Höhe.
Geben Sie eine Gleichung an, mit der unter Verwendung einer der beiden in der Einleitung
genannten Formeln die Lufttemperatur, die zu diesem Zeitpunkt geherrscht hat, berechnet
werden kann, und ermitteln Sie diese Lufttemperatur!
Untersuchen Sie mithilfe der beiden Formeln den Quotienten der Schallgeschwindigkeiten
im Lufttemperaturintervall [–60 °C; 20 °C] in Schritten von 10 °C und geben Sie eine
Formel an, die in diesem Lufttemperaturintervall den Zusammenhang zwischen v
1
und v
2
beschreibt!
c) Zeigen Sie mithilfe von Äquivalenzumformungen, dass die beiden Formeln für die Schallge-
schwindigkeit in der Einleitung bis auf einen (gerundeten) Faktor äquivalent sind! Gehen Sie
dabei von der Formel für v
1
aus!
Die Abhängigkeit der Schallgeschwindigkeit v
1
von der Lufttemperatur T kann im Lufttem-
peraturintervall [–20 °C; 40 °C] in guter Näherung durch eine lineare Funktion f mit
f ( T ) = k ∙ T + d modelliert werden.
Ermitteln Sie die Werte der Parameter k und d und interpretieren Sie diese Werte im gege-
benen Kontext!
Stratosphärensprung 2

Laufband
Aufgabennummer: 2_029 Prüfungsteil: Typ 1 £ Typ 2 T
Grundkompetenzen: AG 2.1, AN 1.3, AN 3.2, AN 3.3, AN 4.2, FA 1.4, FA 1.7, FA 2.6, WS 1.3
Ein Laufband ist ein Sportgerät, auf dem verschiedene Lauftrainingsprogramme absolviert wer-
den können.
Bei einem individuell erstellten, 30-minütigen Trainingsprogramm ändert sich die Laufbandge-
schwindigkeit alle zwei Minuten. Die von der Zeit t (in min) abhängigen Laufbandgeschwindig-
keiten (in km/h) sind Funktionswerte an bestimmten Stellen der Funktion f mit
f ( t ) = 0,0008 · t
3
– 0,05 · t
2
+ 1,1 · t + 5.
Die Laufbandgeschwindigkeit während der ersten beiden Minuten entspricht dem Funktions-
wert f (0), die Geschwindigkeit in den beiden darauffolgenden Minuten dem Wert f (2) usw. Für
die Berechnungen wird vereinfacht angenommen, dass sich die Laufbandgeschwindigkeit
innerhalb sehr kurzer Zeit ändert.
Die nachstehende Abbildung zeigt modellhaft die Entwicklung der Laufbandgeschwindigkeit
in den ersten zehn Minuten des Trainings, wobei v ( t ) die Geschwindigkeit des Laufbands zum
Zeitpunkt t angibt. Das Training beginnt zum Zeitpunkt t = 0.
v ( t ), f ( t ) in km/h
f
v
t in min
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 10
14
12
10
8
6
4
2
0
16
Aufgabenstellung:
a) Geben Sie einen Ausdruck an, mit dem das arithmetische Mittel der Laufbandgeschwin-
digkeiten während des 30-minütigen Trainingsprogramms berechnet werden kann, und
ermitteln Sie diesen Wert!
Begründen Sie, warum das arithmetische Mittel der Laufbandgeschwindigkeiten der mitt-
leren Geschwindigkeit v während des 30-minütigen Trainingsprogramms entspricht!
Berechnen Sie unter Verwendung der mittleren Geschwindigkeit v die während des 30-mi-
nütigen Trainingsprogramms bewältigte Strecke!
b) Geben Sie die minimale und die maximale Geschwindigkeit des Laufbands während des
30-minütigen Trainingsprogramms an!
v
min
= km/h
v
max
= km/h
Begründen Sie, warum zu den Zeitpunkten t
min
und t
max
, zu denen die minimale bzw. die
maximale Geschwindigkeit des Laufbands in dem 30-minütigen Trainingsprogramm er-
reicht wird, f ′ ( t
min
) ≠ 0 und f ′ ( t
max
) ≠ 0 gilt!
c) Geben Sie den Wert von v ′ (1) an und interpretieren Sie diesen Wert (mit Angabe der Ein-
heit) im gegebenen Kontext!
v ′ (1) =
Beschreiben Sie anhand des Graphen in der Einleitung, wie der Graph der Ableitungsfunk-
tion v ′ im Intervall [0; 30] verlaufen müsste!
d) Die in den ersten zehn Trainingsminuten zurückgelegte Weglänge kann näherungsweise
mit dem Integral
1
60
∙
∫
10
0
f ( t ) d t berechnet werden.
Berechnen Sie diesen Näherungswert und erläutern Sie die Bedeutung des Faktors
1
60
!
Geben Sie die absolute Abweichung des berechneten Näherungswertes von der tatsäch-
lich zurückgelegten Weglänge während der ersten zehn Minuten in Metern an!
Laufband 2
e) Unter bestimmten Voraussetzungen ist der Energiebedarf einer Person bei einem Lauftrai-
ning direkt proportional zur Masse der Person (in kg) und zur zurückgelegten Weglänge (in
km).
Die nachstehende Tabelle zeigt den Energiebedarf (in kcal) einer 80 kg schweren Person
bei einem Lauftraining in Abhängigkeit von der Dauer t des Trainings. Die Person läuft mit
einer konstanten Geschwindigkeit von 10 km/h .
t = 15 min t = 30 min t = 45 min t = 60 min
Energiebedarf in kcal 194 388 582 776
Zeigen Sie anhand der Tabellenwerte die direkte Proportionalität des Energiebedarfs
zur zurückgelegten Wegstrecke und berechnen Sie den Proportionalitätsfaktor k !
Beim Lauftraining wird die Geschwindigkeit häufig als „Tempo“ in min/km umschrieben.
Berechnen Sie für die unten angeführten Geschwindigkeiten unter Verwendung des
Proportionalitätsfaktors k für eine 90 kg schwere Person jeweils das Tempo und den
Energiebedarf (in kcal) für die angegebene Zeitdauer!
Geschwindigkeit
in km/h
Tempo
in min/km
Energiebedarf
in 15 min
Energiebedarf
in 30 min
7,5 8
10
12
Laufband 3

Aufnahme einer Substanz ins Blut
Aufgabennummer: 2_026 Prüfungsteil: Typ 1 £ Typ 2 T
Grundkompetenzen: AG 2.1, AN 2.1, AN 3.3, FA 1.2, FA 1.5, FA 1.7
Wenn bei einer medizinischen Behandlung eine Substanz verabreicht wird, kann die Konzent-
ration der Substanz im Blut (kurz: Blutkonzentration) in Abhängigkeit von der Zeit t in manchen
Fällen durch eine sogenannte Bateman-Funktion c ( t ) = d ∙ ( ℯ
– a ∙ t
– ℯ
– b ∙ t
) mit den personenbezo-
genen Parametern a , b , d > 0, a < b modelliert werden. Die Zeit t wird in Stunden gemessen,
t = 0 entspricht dem Zeitpunkt der Verabreichung der Substanz.
Die Bioverfügbarkeit f gibt den Anteil der verabreichten Substanz an, der unverändert in den
Blutkreislauf gelangt. Bei einer intravenösen Verabreichung (d. h. einer direkten Verabreichung in
eine Vene) beträgt der Wert der Bioverfügbarkeit 1.
Das Verteilungsvolumen V beschreibt, in welchem Ausmaß sich die Substanz aus dem Blut in
das Gewebe verteilt.
Der Parameter d ist direkt proportional zur verabreichten Dosis D und zur Bioverfügbarkeit f ,
außerdem ist d indirekt proportional zum Verteilungsvolumen V .
Die nachstehende Abbildung zeigt exemplarisch den zeitlichen Verlauf der Blutkonzentration in
Nanogramm pro Milliliter (ng/ml) für den Fall der Einnahme einer bestimmten Dosis der Subs-
tanz Lysergsäurediethylamid und kann mit der Bateman-Funktion c
1
mit den Parametern
d = 19,5, a = 0,4 und b = 1,3 beschrieben werden.
Der Graph der Bateman-Funktion weist für große Zeiten t einen asymptotischen Verlauf gegen
die Zeitachse auf.
Blutkonzentration c
1
( t ) (in ng/ml)
c
1
Zeit t (in h)
7 6 5 4 3 2 1 0 8
4
2
0
8
6
Aufgabenstellung:
a) Geben Sie eine Gleichung an, mit der der Zeitpunkt der maximalen Blutkonzentration für
die in der Einleitung beschriebene Bateman-Funktion c
1
berechnet werden kann, und
ermitteln Sie diesen Zeitpunkt!
Begründen Sie allgemein, warum der Wert des Parameters d in der Bateman-Funktion c
nur die Größe der maximalen Blutkonzentration beeinflusst, aber nicht den Zeitpunkt, zu
dem diese erreicht wird!
b) Die Werte der Parameter a , b und d der Bateman-Funktion variieren von Patient zu Patient.
Es wird im Folgenden angenommen, dass der Wert des Parameters d für drei untersuchte
Patienten P
1
, P
2
, P
3
identisch ist.
Für den Patienten P
1
gelten die Parameter aus der Einleitung. Bei Patient P
2
ist der Wert
des Parameters a etwas größer als bei Patient P
1
.
Beschreiben Sie, wie sich der Graph der Bateman-Funktion verändert, wenn der Wert des
Parameters a erhöht wird, der Parameter b unverändert bleibt und a < b gilt! Interpretieren
Sie diese Veränderung im gegebenen Kontext!
Patient P
3
erreicht (bei gleicher verabreichter Dosis) die maximale Blutkonzentration zeit-
gleich mit Patient P
1
, die maximale Blutkonzentration von Patient P
3
ist aber größer.
Ermitteln Sie, wie sich die Werte von a und b bei der Bateman-Funktion für Patient P
3
von
jenen von Patient P
1
unterscheiden!
Aufnahme einer Substanz ins Blut 2
c) Kreuzen Sie diejenige Formel an, die den Zusammenhang zwischen dem Parameter d
der Bateman-Funktion und den in der Einleitung beschriebenen Größen V , D und f korrekt
beschreibt! Der Parameter λ ist dabei ein allgemeiner Proportionalitätsfaktor.
d = λ ∙
D
V ∙ f
d = λ ∙
D ∙ V
f
d = λ ∙
V ∙ f
D
d = λ ∙
D ∙ f
V
d = λ ∙
V
D ∙ f
d = λ ∙
f
V ∙ D
Bei einem konstanten Wert des Parameters d und der Bioverfügbarkeit f kann man die
verabreichte Dosis D ( V ) als Funktion D in Abhängigkeit vom Verteilungsvolumen V auffas-
sen. Beziehen Sie sich auf die von Ihnen angekreuzte Formel und geben Sie für die Para -
meterwerte der in der Einleitung dargestellten Bateman-Funktion und für den Fall einer
intravenösen Verabreichung die Funktionsgleichung D ( V ) an! Geben Sie weiters an, um
welchen Funktionstyp es sich bei D handelt!
Aufnahme einer Substanz ins Blut 3

Saturn-V-Rakete
Aufgabennummer: 2_025 Prüfungsteil: Typ 1 £ Typ 2 S
Grundkompetenzen: AG 2.1, FA 2.1, FA 4.3, AN 1.1, AN 1.3, AN 3.3, AN 4.3
£
keine Hilfsmittel
erforderlich
£
gewohnte Hilfsmittel
möglich
S
besondere Technologie
erforderlich
Eine Mehrstufenrakete besteht aus mehreren, oft übereinander montierten „Raketenstufen“.
Jede Raketenstufe ist eine separate Rakete mit Treibstoffvorrat und Raketentriebwerk. Leere
Treibstofftanks und nicht mehr benötigte Triebwerke werden abgeworfen. Auf diese Weise
werden höhere Geschwindigkeiten und somit höhere Umlaufbahnen als mit einstufigen Rake-
ten erreicht.
Die Familie der Saturn-Raketen gehört zu den leistungsstärksten Trägersystemen der Raum-
fahrt, die jemals gebaut wurden. Sie wurden im Rahmen des Apollo-Programms für die US-
amerikanische Raumfahrtbehörde NASA entwickelt. Die Saturn V ist die größte jemals gebaute
Rakete. Mithilfe dieser dreistufigen Rakete konnten in den Jahren 1969 bis 1972 insgesamt
12 Personen auf den Mond gebracht werden. 1973 beförderte eine Saturn V die US-amerika-
nische Raumstation Skylab in eine Erdumlaufbahn in 435 km Höhe.
Eine Saturn V hatte die Startmasse m 0 = 2,9 · 10
6
kg. Innerhalb von 160 s nach dem Start
wurden die 2,24 · 10
6
kg Treibstoff der ersten Stufe gleichmäßig verbrannt. Diese ersten 160 s
werden als Brenndauer der ersten Stufe bezeichnet. Die Geschwindigkeit v ( t ) (in m/s) einer Sa-
turn V kann t Sekunden nach dem Start während der Brenndauer der ersten Stufe näherungs-
weise durch die Funktion v mit
v ( t ) = 0,0000000283 · t
5
– 0,00000734 · t
4
+ 0,000872 · t
3
– 0,00275 · t
2
+ 2,27 · t
beschrieben werden.
Aufgabenstellung:
a) Berechnen Sie die Beschleunigung einer Saturn V beim Start und am Ende der Brenndau-
er der ersten Stufe!
Geben Sie an, ob die Beschleunigung der Rakete nach der halben Brenndauer der ersten
Stufe kleiner oder größer als die mittlere Beschleunigung (= mittlere Änderungsrate der
Geschwindigkeit) während der ersten 160 Sekunden des Flugs ist! Begründen Sie Ihre
Antwort anhand des Graphen der Geschwindigkeitsfunktion!
b) Berechnen Sie die Länge des Weges, den eine Saturn V 160 s nach dem Start zurückge-
legt hat!
Begründen Sie, warum in dieser Aufgabenstellung der zurückgelegte Weg nicht mit der
Formel „Weg = Geschwindigkeit mal Zeit“ berechnet werden kann!
Saturn-V-Rakete 2
c) Berechnen Sie denjenigen Zeitpunkt t 1, für den gilt: v ( t 1) =
v (0) + v (160)
2
.
Interpretieren Sie t 1 und v ( t 1) im gegebenen Kontext!
d) Beschreiben Sie die Abhängigkeit der Treibstoffmasse m T (in Tonnen) der Saturn V von der
Flugzeit t während der Brenndauer der ersten Stufe durch eine Funktionsgleichung!
Geben Sie die prozentuelle Abnahme der Gesamtmasse einer Saturn V für diesen Zeit-
raum an!
e) Nach dem Gravitationsgesetz wirkt auf eine im Abstand r vom Erdmittelpunkt befindliche
Masse m die Gravitationskraft F = G ·
m · M
r
2
, wobei G die Gravitationskonstante und M die
Masse der Erde ist.
Deuten Sie das bestimmte Integral F
r 2
r 1
( r ) d r im Hinblick auf die Beförderung der Raum-
station Skylab in die Erdumlaufbahn und beschreiben Sie, welche Werte dabei für die
Grenzen r 1 und r 2 einzusetzen sind!
Begründen Sie anhand der Formel für die Gravitationskraft, um welchen Faktor sich das
bestimmte Integral F
r 2
r 1
( r ) d r ändert, wenn ein Objekt mit einem Zehntel der Masse von
Skylab in eine Umlaufbahn derselben Höhe gebracht wird!

Hohlspiegel
Aufgabennummer: 2_023 Prüfungsteil: Typ 1  Typ 2

Grundkompetenzen: a) AG 2.1, FA 1.8 b) FA 1.7, FA 1.8 c) AG 2.1, FA 1.2


keine Hilfsmittel
erforderlich


gewohnte Hilfsmittel
möglich

besondere Technologie
erforderlich
In der Physik spricht man von einem kugelförmigen Hohlspiegel, wenn er Teil einer innenver-
spiegelten Kugel ist. Charakteristische Punkte beim Hohlspiegel sind der Mittelpunkt M der
Kugel, der Scheitelpunkt S und der Brennpunkt F des Spiegels.
Es gelten folgende Relationen (siehe untenstehende Abbildungen):
Brennweite f des Spiegels: f = FS =
MS
2
( f > 0)
Radius der Kugel: MS = 2 · f
Die Entfernung eines Gegenstands G (mit der Höhe G ) vom Scheitelpunkt S wird mit g ( g > 0)
bezeichnet, die Entfernung des nach Reflexion der Strahlen am Spiegel entstehenden Bildes B
(mit der Höhe B ) vom Scheitel S mit b .
Das Vorzeichen von b hat dabei die folgenden Bedeutungen:
• b > 0: Es entsteht ein reelles Bild „vor“ dem Spiegel, das auf einem Schirm aufgefangen
werden kann.
• b < 0: Es entsteht ein virtuelles Bild „hinter“ dem Spiegel.
Skizzen des Querschnitts:
• linke Grafik: reelles Bild B eines Gegenstandes G ( b > 0)
• rechte Grafik: virtuelles Bild B eines Gegenstandes G ( b < 0)
Hohlspiegel 2
Aufgrund physikalischer Überlegungen gelten unter bestimmten Bedingungen die
Beziehungen
G
B
=
g
b
und
G
B
=
g – f
f
. Daraus ergibt sich der Zusammenhang
1
g
+
1
b
=
1
f

.
Der Quotient
B
G
bestimmt den Vergrößerungsfaktor; er ist bei einem reellen Bild positiv
( g > 0 und b > 0) und bei einem virtuellen Bild negativ ( g > 0 und b < 0).
Aufgabenstellung:
a) Geben Sie den Vergrößerungsfaktor
B
G
für f = 40 cm und g = 50 cm an!
Geben Sie ein Intervall für die Gegenstandsweite g an, damit ein virtuelles Bild entsteht!
Begründen Sie Ihre Antwort durch eine mathematische Argumentation!
b) Stellen Sie die Bildweite b als Funktion der Gegenstandsweite g bei konstanter Brennweite f
dar! Betrachten Sie die Fälle g = 2 f sowie g = f und geben Sie die jeweilige Auswirkung für
b an!
Was kann mithilfe dieser Funktion über den Grenzwert von b ausgesagt werden, wenn
g > f ist und sich g der Brennweite f annähert? Tätigen Sie eine entsprechende Aussage
und begründen Sie diese durch Betrachtung von Zähler und Nenner!
c) Leiten Sie aus den gegebenen Beziehungen
G
B
die oben angeführte Formel
1
g
+
1
b
=
1
f
her!
Geben Sie die notwendigen Umformungsschritte an!
Der Ausdruck
1
b
kann als Funktion in Abhängigkeit von g der Form
1
b
( g ) = a · g
k
+ c
betrachtet werden. Geben Sie die Werte der Parameter a und c sowie des Exponenten k
für diesen Fall an!

Treibstoffverbrauch
Aufgabennummer: 2_015 Prüfungsteil: Typ 1  Typ 2

Grundkompetenzen: AG 2.1, FA 1.5, FA 2.3, FA 2.5

keine Hilfsmittel
erforderlich


gewohnte Hilfsmittel
möglich

besondere Technologie
erforderlich
Fast vier Fünftel aller Güter werden zumindest auf einem Teil ihres Weges vom Erzeuger zum
Konsumenten mit dem Schiff transportiert.
In der Schifffahrt werden Entfernungen in Seemeilen (1 sm = 1,852 km) und Geschwindigkeiten
in Knoten (1 K = 1 sm/h) angegeben.
Der stündliche Treibstoffverbrauch y (in Tonnen pro Stunde) des Schiffs Ozeanexpress kann in
Abhängigkeit von der Geschwindigkeit x (in Knoten) durch die Gleichung y = 0,00002 x
4
+ 0,6
beschrieben werden. Dieses Schiff hat noch einen Treibstoffvorrat von 600 Tonnen.
Aufgabenstellung:
a) Geben Sie eine Formel für die Zeit t (in Stunden) an, die das Schiff mit einer konstanten
Geschwindigkeit x unterwegs sein kann, bis dieser Treibstoffvorrat aufgebraucht ist.
Die Funktion f soll den Weg f ( x ) beschreiben, den das Schiff mit diesem Treibstoffvorrat
bei einer konstanten Geschwindigkeit x zurücklegen kann. Geben Sie den Term der Funk-
tion f an!
Die Funktion f hat in H (10 | 7 500) ein Maximum. Interpretieren Sie die Koordinaten dieses
Punktes im vorliegenden Kontext!
b) Der Chef eines Schifffahrtsunternehmens stellte fest, dass sich der Treibstoffverbrauch um
rund 50 % verringert, wenn Schiffe statt mit 25 nur noch mit 20 Knoten unterwegs sind.
In der nachstehenden Grafik wird der Treibstoffverbrauch in Abhängigkeit vom zurückge-
legten Weg bei einer Geschwindigkeit von 25 Knoten dargestellt.
Überlegen Sie, wie sich diese Grafik ändert, wenn die Geschwindigkeit nur 20 Knoten be-
trägt, und zeichnen Sie den entsprechenden Graphen ein!
Interpretieren Sie, was die 50%ige Treibstoffreduktion für die Steigung der Geraden be-
deutet!
Treibstoffverbrauch 2
c) Eine Reederei hat den Auftrag erhalten, in einem vorgegebenen Zeitraum eine bestimmte
Warenmenge zu transportieren. Ursprünglich plante sie, dafür acht Schiffe einzusetzen.
Geben Sie an, wie viele zusätzliche Schiffe gleichen Typs bei einer Drosselung der Ge-
schwindigkeit von 25 auf 20 Knoten erforderlich sind, damit der Auftrag zeitgerecht ausge-
führt werden kann! (Die Stehzeiten der Schiffe sind dabei zu vernachlässigen.)
Geben Sie eine Formel an, mit der die erforderliche Anzahl der Schiffe in Abhängigkeit von
der Geschwindigkeit x ermittelt werden kann!

Teich / Herbsttermin 2023 / 2_132 / Typ 2 S. 1/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
19. September 2023 / AHS / Mathematik S. 33 /34
Aufgabe 28 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Teich
In einem künstlich angelegten Teich befinden sich 129 m
3
Wasser.
Aufgabenstellung:
a) Der Teich kann über zwei Abflüsse vollständig entleert werden.
Wird nur der eine Abfluss geöffnet, so dauert die vollständige Entleerung 10 h.
Wird nur der andere Abfluss geöffnet, so dauert die vollständige Entleerung 6 h.
Die jeweilige Abflussgeschwindigkeit ist dabei im gesamten Zeitraum konstant.
Die Zeitdauer, die zur vollständigen Entleerung benötigt wird, wenn beide Abflüsse gleichzeitig
geöffnet sind, wird mit T bezeichnet.
1) Berechnen Sie T . [0 / 1 P.]
b) Der vollständig entleerte Teich wird wieder mit 129 m
3
Wasser befüllt.
Die Funktion d : ℝ
+
→ ℝ
+
gibt die Fülldauer d ( z ) in Abhängigkeit von der konstanten Zufluss-
geschwindigkeit z an ( z in m
3
/h, d ( z ) in h).
1) Stellen Sie eine Funktionsgleichung von d auf.
d ( z ) = [0 / 1 P.]
Die Funktion h beschreibt in Abhängigkeit von der Zeit t die Höhe der Wasseroberfläche über
dem tiefsten Punkt des Teiches bei der konstanten Zuflussgeschwindigkeit z = 6 m
3
/h ( t in h,
h ( t ) in m).
Für die momentane Änderungsrate der Höhe der Wasseroberfläche gilt:
h ′ ( t ) =
15

2 738 · π · t
mit t > 0
2) Ermitteln Sie, um wie viele Meter die Höhe der Wasseroberfläche in den letzten 10 h der
Befüllung ansteigt. [0 / 1 P.]
Teich / Herbsttermin 2023 / 2_132 / Typ 2 S. 2/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
19. September 2023 / AHS / Mathematik S. 34 /34
c) Durch Regen und Verdunstung ändert sich die Wassermenge im Teich.
Die Funktion w : [0;12] → ℝ beschreibt näherungsweise die momentane Änderungsrate der
Wassermenge im Teich in Abhängigkeit von der Zeit t ( t in h, w ( t ) in L/h).
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph von w dargestellt.
w ( t ) in L/h
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
–10
–20
–30
–40
–50
130
0 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 12
t in h
w
1) Ordnen Sie den vier Aussagen jeweils das passende größtmögliche Zeitintervall aus A bis F
zu. [0 / ½ / 1 P.]
Die Wassermenge im Teich nimmt
ab.
Die Wassermenge im Teich
nimmt immer schneller zu.
Die momentane Änderungsrate der
Wassermenge im Teich nimmt ab.
Die Wassermenge im Teich nimmt
zu.
A (0; 3)
B (3; 10)
C (8; 12)
D (3; 12)
E (8; 10)
F (0; 8)

Biathlon / Haupttermin 2022 / 2_114 / Typ 2 S. 1/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
S. 28 /36 3. Mai 2022 / AHS / Mathematik
Aufgabe 26 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Biathlon
Biathlon ist eine Wintersportart, die Skilanglauf und Schießen kombiniert.
Bei einem bestimmten Wettbewerb müssen drei Runden zu je 2 500 m absolviert werden.
Dabei gilt:
• Nach der ersten und nach der zweiten absolvierten Runde findet jeweils ein Schießen statt.
Bei jedem Schießen werden fünf Schüsse abgegeben.
• Für jeden Fehlschuss muss eine 150 m lange Strafrunde absolviert werden, wodurch es zu
einem Zeitverlust kommt.
Quelle: https://www.sport1.de/wintersport/biathlon/2018/11/biathlon-im-ueberblick-regeln-disziplinen-wissenswertes [15.04.2021].
Aufgabenstellung:
a) Lisa absolviert die drei Runden mit folgenden durchschnittlichen Geschwindigkeiten ( v
1
, v
2
, v
3
in m/s):
• v
1
für die erste Runde
• v
2
für die zweite Runde
• v
3
für die dritte Runde
Für das Schießen benötigt Lisa jeweils die Zeitdauer t * ( t * in s).
Nach der ersten absolvierten Runde macht sie beim Schießen keinen Fehler.
Nach der zweiten absolvierten Runde macht sie beim Schießen genau 2 Fehler.
Die 2 Strafrunden absolviert sie mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von v
S
( v
S
in m/s).
Unter der Laufzeit b ( b in s) versteht man diejenige Zeit, die Lisa insgesamt für die absolvierten
Runden inklusive Strafrunden und für das Schießen benötigt.
1) Stellen Sie mithilfe von v
1
, v
2
, v
3
, t * und v
S
eine Formel zur Berechnung von b auf.
b = [0 / 1 P.]
Biathlon / Haupttermin 2022 / 2_114 / Typ 2 S. 2/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
3. Mai 2022 / AHS / Mathematik S. 29 /36
b) Die Geschwindigkeit von Hanna in der ersten Runde kann modellhaft durch die
Funktion v : [0; 440] → ℝ , t ↦ v ( t ) beschrieben werden ( t in s, v ( t ) in m/s).
1) Interpretieren Sie
1
T
∙
∫
T
0
v ( t ) d t mit T ∈ (0 s; 440 s] im gegebenen Sachzusammenhang.
[0 / 1 P.]
Es gibt genau zwei Zeitpunkte t
1
, t
2
∈ (0 s; 440 s) mit t
1
< t
2
, für die gilt:
v ′ ( t
1
) = 0 und v ″ ( t
1
) < 0
v ′ ( t
2
) = 0 und v ″ ( t
2
) < 0
2) Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils
zutreffenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht.
Die Zeitpunkte t
1
und t
2
sind
1
der Funktion v und der Wert
von
v ( t 2 ) – v ( t 1 )
t 2 – t 1
entspricht dabei der
2
im Zeitintervall [ t
1
; t
2
]. [0 / ½ / 1 P.]
1
lokale Minimumstellen
lokale Maximumstellen
Wendestellen
2
durchschnittlichen Geschwindigkeit
Länge der zurückgelegten Strecke
durchschnittlichen Beschleunigung
c) Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer von Daria beim Schießen an und wird als
binomialverteilt angenommen. Bei jedem der 5 Schüsse ist p die Trefferwahrscheinlichkeit.
1) Stellen Sie unter Verwendung von p eine Formel zur Berechnung der nachstehenden
Wahrscheinlichkeit auf.
P ( X ≥ 4) = [0 / 1 P.]

Müsliriegel*
Aufgabennummer: 2_100 Aufgabentyp: Typ 1  Typ 2 T
Grundkompetenz: AG 2.2, AN 1.1, WS 3.1, WS 2.3, WS 3.2, WS 3.3
Ein neuer Müsliriegel steht vor der Markteinführung. Der Hersteller dieses Müsliriegels pro-
duziert 100 000 Stück davon.
Auf allen Verpackungen der Müsliriegel wird die Möglichkeit von Sofortgewinnen angekün-
digt. Die jeweilige Höhe des Sofortgewinns kann man nach dem Öffnen der Verpackung
auf deren Innenseite ablesen. Der Hersteller des Müsliriegels gibt an:
Es werden
• 9 000 Sofortgewinne zu je € 2
• 900 Sofortgewinne zu je € 5
• 100 Sofortgewinne zu je € 65
ausgezahlt.
Alle produzierten Müsliriegel werden an Geschäfte geliefert. Die Verteilung der Müsliriegel
erfolgt nach dem Zufallsprinzip.
Aufgabenstellung:
a) Unter Berücksichtigung aller Produktionskosten kostet jeder der 100 000 Müsliriegel in
der Produktion durchschnittlich € 1.
Der Verkaufspreis eines Müsliriegels soll so festgelegt werden, dass für den Hersteller
ein Gewinn von mindestens € 80.000 erzielt wird, wenn nach dem Verkauf aller Müsli-
riegel alle Sofort gewinne ausgezahlt werden müssen.
Alle Müsliriegel haben den gleichen Verkaufspreis.
1) Ermitteln Sie den unter diesen Voraussetzungen kleinstmöglichen Verkaufspreis p
des Müsliriegels.
2) Geben Sie an, um wie viel Prozent der kleinstmögliche Verkaufspreis p gesenkt
werden kann, wenn man die Müsliriegel ohne Gewinnspiel verkauft und der Gewinn
trotzdem mindestens € 80.000 ausmachen soll.
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 12. Jänner 2021
b) Die Zufallsvariable X beschreibt die Höhe des ausgezahlten Sofortgewinns pro gekauf-
ten Müsliriegel.
1) Ermitteln Sie den Erwartungswert E ( X ).
Ein Kunde kauft 4 Müsliriegel.
2) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der der Kunde mindestens einen Sofort-
gewinn erzielt.
c) Aus Erfahrung weiß man, dass 95 % der Müsliriegel eine vorgegebene Mindestmasse
haben.
Eine Zufallsstichprobe von 1 000 Müsliriegeln wird ausgewählt. Die binomialverteilte Zu-
fallsvariable Y beschreibt dabei die Anzahl der Müsliriegel in dieser Zufallsstichprobe, die
die vor gegebene Mindestmasse haben.
1) Ermitteln Sie die Standardabweichung σ ( Y ) der Zufallsvariablen Y .
σ ( Y ) =
2) Interpretieren Sie das Ergebnis der nachstehenden Berechnung im gegebenen Kon-
text.
P ( Y ≥ 933) ≈ 0,99
2 Müsliriegel