Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 551–600

Wachstum von Holzbeständen
Aufgabennummer: 2_089 Aufgabentyp: Typ 1  Typ 2 T
Grundkompetenz: AG 2.1, FA 5.1, FA 5.2
a) Bauer Waldner weiß, dass sich der Holzbestand seines Waldes um ca. 2,7 % pro Jahr
bezogen auf das jeweilige Vorjahr vermehrt. Zum Zeitpunkt t = 0 beträgt der Holzbestand
36 000 m³.
1) Stellen Sie eine Funktionsgleichung für diejenige Funktion f auf, die den Holzbestand in
Abhängigkeit von der Zeit in Jahren angibt.
b) Der Holzbestand eines anderen Waldes kann näherungsweise mithilfe der Funktion g be-
schrieben werden:
g ( t ) = 31 800 ∙ 1,025
t
t ... Zeit in Jahren
g ( t ) ... Holzbestand zum Zeitpunkt t in Kubikmetern (m³)
Wenn der Holzbestand auf 33 000 m³ angewachsen ist, wird so viel geschlägert, dass
wieder der Holzbestand zum Zeitpunkt t = 0 vorliegt.
Für den Verkauf dieses geschlägerten Holzes betragen die Einnahmen € 96.000.
1) Berechnen Sie den durchschnittlichen Verkaufspreis für 1 m³ Holz.
2) Berechnen Sie, nach welcher Zeit der Holzbestand auf 33 000 m³ angewachsen ist.
c) Ein Student behauptet: „Um die relative Änderung r des Holzbestandes von einem Zeit-
punkt t
1
bis zu einem späteren Zeitpunkt t
2
zu berechnen, subtrahiere ich vom Holzbe-
stand zum Zeitpunkt t
2
den Holzbestand zum Zeitpunkt t
1
und dividiere die Differenz durch
den Holzbestand zum Zeitpunkt t
1
.“
1) Übersetzen Sie die Rechenanleitung des Studenten in eine Formel.

Leistungskurve
Aufgabennummer: 2_094 Aufgabentyp: Typ 1  Typ 2 T
Grundkompetenz: AG 2.1, FA 1.5, AN 1.3, AN 2.1
Die Leistungskurve , auch Arbeitskurve genannt, ist die Darstellung der Arbeitsleistung
einer Arbeitnehmerin/eines Arbeitnehmers in Abhängigkeit von der Tageszeit unter
Berücksich tigung seiner Durchschnittsleistung (100 Prozent). Auf einer Webseite findet
man folgende Grafik:
Quelle: http://wirtschaftslexikon.gabler.de/Archiv/85252/leistungskurve-v9.html [30.05.2014].
a) 1) Lesen Sie ab, in welchen Zeitintervallen die Leistungsbereitschaft abnimmt.
b) Um 9 Uhr beträgt die Leistungsbereitschaft einer Arbeitnehmerin 110 %. Um 12 Uhr
beträgt sie 140 %. Im Zeitintervall von 12 Uhr bis 14 Uhr beträgt die mittlere Ände-
rungsrate der Leistungsbereitschaft –12 % pro Stunde.
1) Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate der Leistungsbereitschaft im Zeitintervall
von 9 Uhr bis 12 Uhr.
2) Berechnen Sie die Leistungsbereitschaft um 14 Uhr.
c) Die Leistungsbereitschaft eines Arbeitnehmers kann im Zeitintervall von 0 Uhr bis 6 Uhr
durch die Funktion f beschrieben werden. Dabei gilt:
f ( t ) =
10
–
3
∙ t
2
– 20 ∙ t + 40
t ... Zeit in Stunden, 0 ≤ t ≤ 6
f ( t ) ... Leistungsbereitschaft zur Zeit t in Prozent
1) Berechnen Sie die 1. Ableitung der Leistungsbereitschaft um 2:30 Uhr.

Münzen
Aufgabennummer: 2_067 Aufgabentyp: Typ 1  Typ 2 T
Grundkompetenz: FA 1.7, WS 2.3, WS 3.2
Susi und Markus spielen mit fairen Münzen. Beim Werfen einer fairen Münze treten die
beiden Ereignisse „Kopf“ und „Zahl“ jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf.
a) Susi hat eine Schachtel mit 3 Ein-Euro-Münzen und 5 Zwei-Euro-Münzen.
Markus hat eine Schachtel mit 2 Ein-Euro-Münzen und 3 Zwei-Euro-Münzen.
Beide ziehen aus ihrer Schachtel zufällig jeweils 1 Münze.
1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass durch die beiden Ziehungen ein Gesamtwert
von € 3 erzielt wird.
b) Markus will eine Zwei-Euro-Münze 10-mal werfen.
Susi stellt die Frage: „Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhalten wir mindestens 3-mal ‚Zahl‘?“
1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei 10 Würfen mindestens 3-mal „Zahl“ ge-
worfen wird.
c) Susi und Markus beschäftigen sich mit der Wahrscheinlichkeit, mit der „Zahl“ beim wieder -
holten Werfen einer Münze auftritt. Dabei stoßen sie auf folgende Gleichung:
P ( X ≥ 1) = 1 − 0,5
n
= 0,9375
X ... Anzahl der Würfe mit dem Ergebnis „Zahl“
1) Berechnen Sie n .
2) Interpretieren Sie die Bedeutung des Wertes n in diesem Zusammenhang.

Pauschalreisen
Aufgabennummer: 2_071 Aufgabentyp: Typ 1  Typ 2 T
Grundkompetenz: AG 2.1, WS 3.2
Ein Reisebüro vermittelt Plätze für Pauschalreisen nach Kroatien.
a) Es wird angenommen, dass die vermittelten Plätze unabhängig voneinander mit einer
Wahrscheinlichkeit von 5 % nicht in Anspruch genommen werden. Alle 100 zur Verfügung
stehenden Plätze werden vermittelt.
1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 4 der vermittelten Plätze nicht
in Anspruch genommen werden.
2) Beschreiben Sie ein mögliches Ereignis E im gegebenen Sachzusammenhang, dessen
Wahrscheinlichkeit folgendermaßen berechnet werden kann:
( )
100
5
· 0,05
5
· 0,95
95
b) Es wird angenommen, dass die vermittelten Plätze unabhängig voneinander mit einer
Wahrscheinlichkeit von 5 % nicht in Anspruch genommen werden. Es werden 102 Plätze
vermittelt, obwohl nur 100 Plätze zur Verfügung stehen.
1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Plätze unter diesen Voraus
setzungen nicht ausreicht.
c) Pro Reisetermin stehen jeweils 100 Plätze zur Verfügung.
Für jeden gebuchten Platz erzielt das Reisebüro einen Gewinn von a Euro.
Für jeden nicht gebuchten Platz macht das Reisebüro einen Verlust von 120 Euro.
Den Gesamtgewinn erhält man, indem man vom Gewinn für alle gebuchten Plätze den
Verlust für alle nicht gebuchten Plätze abzieht.
Bei einem bestimmten Reisetermin werden nur x Plätze gebucht. Der Gesamtgewinn für
diesen Termin beträgt G Euro.
1) Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung von x aus a und G .
x =

Baumkronenpfad
Aufgabennummer: 2_076 Aufgabentyp: Typ 1  Typ 2 T
Grundkompetenz: AG 2.1, AG 4.1, FA 5.1, FA 5.3
Der Baumkronenpfad ist eine Brückenstrecke durch einen Teil des Schönbrunner Tiergartens.
max.
10 Meter Höhe
160 Meter
• Der Baumkronenpfad hat ein sanftes Gefälle von 8 %.
• Der Baumkronenpfad kann schwingen!
• Die maximale Höhe über dem Grund beträgt 10 Meter.
8 %
a) Auf dem Schild zum Baumkronenpfad ist zu lesen:
„Der Baumkronenpfad hat ein sanftes Gefälle von 8 %.“
Dabei wird der Baumkronenpfad vereinfacht als geradlinig angenommen. Die horizontale
Entfernung zwischen Startpunkt und Endpunkt beträgt 160 m.
1) Berechnen Sie den Höhenunterschied zwischen Startpunkt und Endpunkt.
2) Berechnen Sie den Neigungswinkel des Baumkronenpfads.
b) Auf dem Schild zum Baumkronenpfad ist zu lesen: „Der Baumkronenpfad kann schwingen!“
In der nachstehenden Grafik ist das Auf-und-ab-Schwingen des Baumkronenpfads an
einer bestimmten Stelle dargestellt.
Auslenkung in Metern
f
Zeit t in Sekunden
0 8 7 6 5 4 3 2 1 9
0,1
0,15
0,05
0
–0,05
–0,1
0,2
In der obigen Grafik ist die sogenannte „Einhüllende“ strichliert eingezeichnet. Es handelt
sich dabei um eine Funktion f mit f ( t ) = c · a
t
.
1) Lesen Sie aus der Grafik den Parameter c ab.
2) Begründen Sie mathematisch, warum für den Parameter a dieser Funktion f gilt:
0 < a < 1.
Baumkronenpfad 2

Section-Control
Aufgabennummer: 2_086 Aufgabentyp: Typ 1  Typ 2 T
Grundkompetenz: AG 2.1, AN 1.1, AN 1.3
Section-Control bezeichnet ein System zur Überwachung der Einhaltung von Tempolimits
im Straßenverkehr. Dabei wird nicht die Geschwindigkeit an einem bestimmten Punkt
gemessen, sondern die mittlere Geschwindigkeit über eine längere Strecke ermittelt.
a) In einem 6 km langen Baustellenbereich wird eine Section-Control errichtet.
Es gilt eine zulässige Höchstgeschwindigkeit von 60 km/h.
Jemand behauptet: „Wenn ich die zulässige Höchstgeschwindigkeit im gesamten Bau-
stellenbereich um 10 % überschreite, dann verkürzt sich meine Fahrzeit im Baustellenbe-
reich um 10 %.“
1) Weisen Sie nach, dass diese Behauptung falsch ist.
b) Im nachstehenden Weg-Zeit-Diagramm ist die Fahrt eines Fahrzeugs in einem überprüften
Bereich dargestellt.
2 000
1 500
1 000
500
Weg in m
Zeit in s
0 10 20 30 40 50 70 80 90 100 110 120 130 60
1) Ermitteln Sie die mittlere Geschwindigkeit des Fahrzeugs auf der ersten Weghälfte.
2) Argumentieren Sie, dass die mittlere Geschwindigkeit auf der ersten Weghälfte kleiner
als die mittlere Geschwindigkeit auf der zweiten Weghälfte ist.
c) Ein Fahrzeug fährt durch einen Bereich, der durch eine Section-Control überwacht wird.
Seine Geschwindigkeit nimmt auf diesem Streckenabschnitt linear ab.
v
A
v
E
Geschwindigkeit
Zeit
t
s
Die Endgeschwindigkeit v
E
, die Fahrzeit t und der zurückgelegte Weg s sind bekannt.
1) Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung der Anfangsgeschwindigkeit v
A
des Fahrzeugs.
v
A
=
Section-Control 2

Gold
Aufgabennummer: 2_090 Aufgabentyp: Typ 1  Typ 2 T
Grundkompetenz: AG 2.1, FA 1.7, AN 1.1
Das Edelmetall Gold gilt als besonders wertvoll, weil es selten vorkommt, leicht zu
Schmuck verarbeitet werden kann und sehr beständig ist.
a) Der World Gold Council , eine globale Lobby-Organisation der Goldminenindustrie,
schätzt die bis zum Jahr 2012 weltweit geförderte Goldmenge auf
rund 1,713 ∙ 10
8
Kilogramm (kg).
Gold hat eine Dichte von 19,3 Gramm pro Kubikzentimeter (g/cm³). Die Masse ist das
Produkt von Volumen und Dichte.
Stellen Sie sich vor, dass die gesamte weltweit geförderte Goldmenge in einen Würfel
gegossen wird.
1) Berechnen Sie die Kantenlänge dieses Würfels in Metern.
b) Gold kommt in der Natur auch in der Form von Nuggets (Goldklumpen) vor. Es wird in
der Einheit Feinunze (oz. tr.) gehandelt, die einer Masse von 31,1035 Gramm (g) reinen
Goldes entspricht.
Gesucht ist der Wert W eines Nuggets in Euro, wenn folgende Größen bekannt sind:
m ... Masse des Nuggets in Gramm (g)
p ... Preis in Euro für eine Feinunze Gold
1) Erstellen Sie eine Formel für W .
c) Die nachstehende Grafik zeigt die weltweite jährliche Förderung von Gold ab dem Jahr
1900 in Tonnen.
Quelle: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Goldfoerderung.png [29.08.2013] (adaptiert).
1) Lesen Sie aus der obigen Grafik ab, in welchem Jahrzehnt die weltweite Förderung
absolut am stärksten gestiegen ist.
d) In einer Zeitung wird folgende Analyse veröffentlicht: „Der Wert der Ein-Unzen-Kruger-
rand-Goldmünze ist im Jahr 2010 um 20 % gestiegen. Im Jahr 2011 stieg der Wert
nochmals um 10 %. Also ist der Wert der Münze in diesen beiden Jahren insgesamt
um 30 % gestiegen.“
1) Begründen Sie, warum diese Aussage über die Wertentwicklung nicht richtig ist.
Gold 2

Solarthermie-Anlagen*
Aufgabennummer: 2_074 Aufgabentyp: Typ 1  Typ 2 T
Grundkompetenz: AG 2.1, AG 4.1, FA 5.1, AN 4.3
Bei Solarthermie-Anlagen wird die Sonnenstrahlung von sogenannten Solarmodulen in
Wärme umgewandelt. Diese Wärme kann beispielsweise zur Warmwassererzeugung oder
zur Heizung von Gebäuden verwendet werden.
Aufgabenstellung:
a) Ein Solarmodul einer Solarthermie-Anlage mit der Länge l schließt mit dem waagrechten
Erd boden den Winkel φ ein. Dieser Winkel φ wird durch eine Stütze mit variabler Länge s
so verändert, dass das Solar modul mit den Sonnenstrahlen einen rechten Winkel ein-
schließt.
Die Sonnenstrahlen treffen unter dem Winkel ε auf den Erdboden auf.
Die Situation ist in der nachstehenden Abbildung modellhaft dargestellt.
s
l
l
φ ε
Solarmodul
Sonnenstrahlen
1) Geben Sie eine Formel an, mit der s unter Verwendung von l und ε berechnet werden
kann.
s =
Das oben abgebildete Solarmodul hat die Länge l = 1 666 mm. Bei diesem Solarmodul
nimmt der Winkel ε im Laufe eines bestimmten Tages Werte von 14° bis 65° an.
2) Geben Sie den maximalen Wert von s an.
maximaler Wert von s : mm
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 16. September 2020
b) Die Leistung einer bestimmten Solarthermie-Anlage an einem wolkenfreien Tag wird
durch die Funktion P modelliert. Dabei gilt:
P ( t ) = 0,0136 · a
3
· t
4
– 0,272 · a
2
· t
3
+ 1,36 · a · t
2
t ... Zeit in h, die seit dem Sonnenaufgang ( t = 0) vergangen ist
P ( t ) ... Leistung in kW zur Zeit t
a ... Parameter
Beim Sonnenaufgang und beim Sonnenuntergang beträgt die Leistung der Solar-
thermie-Anlage 0 kW. Zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang nimmt die
Funktion P positive Werte an.
1) Ermitteln Sie für diese Solarthermie-Anlage den Wert des Parameters a für einen
bestimmten wolkenfreien Tag, an dem die Sonne um 7:08 Uhr aufgeht und um
18:38 Uhr untergeht.
Die Arbeit, die von der Solarthermie-Anlage zwischen den zwei Zeitpunkten t
1
und t
2
verrichtet wird, ist
∫
t 2
t 1
P ( t ) d t .
2) Berechnen Sie die an diesem Tag von der Solarthermie-Anlage verrichtete Arbeit
(in kWh).
2 Solarthermie-Anlagen

Benzinverbrauch*
Aufgabennummer: 2_075 Aufgabentyp: Typ 1  Typ 2 T
Grundkompetenz: AG 2.1, FA 1.7, FA 2.1, AN 1.1, AN 3.3
Der Benzinverbrauch eines bestimmten Kleinwagens kann in Abhängigkeit von der
Geschwindigkeit modellhaft durch die Funktion B beschrieben werden.
B ( v ) = 0,000483 · v
2
– 0,0326 · v + 2,1714 +
66
v
mit 20 < v < 150
v ... Geschwindigkeit in km/h
B ( v ) ... Benzinverbrauch in Litern pro 100 km (L/100 km) bei der Geschwindigkeit v
Aufgabenstellung:
a) 1) Berechnen Sie, um wie viel Prozent der Benzinverbrauch bei einer Geschwindigkeit
von 90 km/h höher als bei einer Geschwindigkeit von 70 km/h ist.
%
Der Benzinverbrauch bei einer Geschwindigkeit von 40 km/h ist um 25 % geringer als
der Benzinverbrauch bei einer Geschwindigkeit v
1
mit 20 < v
1
< 40.
2) Ermitteln Sie die Geschwindigkeit v
1
.
v
1
= km/h
b) Für hohe Geschwindigkeiten soll die Funktion B durch eine lineare Funktion f mit
f ( v ) = k · v + d mit k , d ∈ ℝ angenähert werden, sodass gilt:
f (100) = B (100)
f (130) = B (130)
1) A Ermitteln Sie einen Funktionsterm der Funktion f .
f ( v ) =
Diese Näherung kann verwendet werden, wenn die Abweichung zwischen den
Funktions werten von f und B höchstens 0,3 L/100 km beträgt.
2) Geben Sie das größtmögliche Intervall für die Geschwindigkeit an, in dem die
Funktion f als Näherung verwendet werden kann.
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 16. September 2020
c) 1) Ermitteln Sie mithilfe der Funktion B diejenige Geschwindigkeit v
min
, bei der der
Benzin verbrauch am geringsten ist, sowie den zugehörigen Benzinverbrauch B
min
.
v
min
= km/h
B
min
= L/100 km
Der Benzinverbrauch hängt auch vom Reifendruck ab.
Die Funktion g beschreibt den Benzinverbrauch in Abhängigkeit von der Geschwindig-
keit v bei einem etwas zu niedrigen Reifendruck.
Dabei gilt: g ( v ) = 1,02 ∙ B ( v )
2) Berechnen Sie mithilfe der Funktion g , bei welchen beiden Geschwindigkeiten der
Benzinverbrauch bei einem etwas zu niedrigen Reifendruck um 2 L/100 km höher
als B
min
ist.
2 Benzinverbrauch

Ozonmessungen*
Aufgabennummer: 2_064 Aufgabentyp: Typ 1  Typ 2 T
Grundkompetenz: AG 2.1, FA 2.2, FA 3.4, FA 4.3, AN 4.3
Das Gas Ozon hat Auswirkungen auf unsere Gesundheit. Aus diesem Grund werden in
Messstationen und mithilfe von Wetterballons die jeweiligen Ozonkonzentrationen in unter-
schiedlichen Atmosphärenschichten gemessen.
Aufgabenstellung:
a) Auf der Hohen Warte in Wien befindet sich in 220 m Seehöhe eine Wetterstation. Hier
wird für eine Messreihe ein Wetterballon mit einem Ozonmessgerät gestartet. Das Ozon-
messgerät beginnt mit seinen Aufzeichnungen, wenn der Wetterballon eine Seehöhe von
2 km erreicht hat.
Nehmen Sie an, dass der Wetterballon (mit der Anfangsgeschwindigkeit 0 m/s) lotrecht
in die Höhe steigt und dabei gleichmäßig mit 0,125 m/s
2
beschleunigt, bis er zu einem
Zeitpunkt t
1
eine Geschwindigkeit von 6 m/s erreicht. Die Zeit wird dabei in Sekunden
und die Seehöhe in Metern gemessen.
1) Ermitteln Sie die Höhe des Wetterballons über der Wetterstation zum Zeitpunkt t
1
.
Ab dem Zeitpunkt t
1
steigt der Wetterballon mit der konstanten Geschwindigkeit von
6 m/s lotrecht weiter.
2) Ermitteln Sie, wie viele Sekunden nach dem Start das Messgerät mit seinen Aufzeich-
nungen beginnt.
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 28. Mai 2020
b) Ein Wetterballon hat bei einem Luftdruck von 1 013,25 hPa ein Volumen von 6,3 m
3
.
Durch die Abnahme des Luftdrucks während des Aufstiegs dehnt sich der Wetterballon
immer weiter aus und wird näherungsweise kugelförmig. Bei einem Durchmesser von
d Metern zerplatzt er.
Der Luftdruck kann in Abhängigkeit von der Seehöhe h durch eine Funktion p modelliert
werden. Dabei ordnet die Funktion p der Seehöhe h den Luftdruck p ( h ) zu.
Es gilt: p ( h ) = 1 013,25 ∙
(
1 –
0,0065 ∙ h
288,15
)
5,255
mit h in m, p ( h ) in hPa
Gehen Sie davon aus, dass der Luftdruck p ( h ) und das Volumen V ( h ) des Wetterballons
in direkt proportional zueinander sind. Dabei ist V ( h ) das Volumen des Wetterballons in
der Seehöhe h .
1) Drücken Sie das Volumen V ( h ) durch die Seehöhe h aus.
V ( h ) = mit h in m, V ( h ) in m
3
Der Wetterballon zerplatzt in einer Seehöhe von h = 27 873,6 m.
2) Berechnen Sie den Durchmesser d des Wetterballons in Metern, bei dem dieser
zerplatzt.
2 Ozonmessungen
c) Das sogenannte Gesamtozon ist ein Maß für die Dicke der Ozonschicht und wird in
sogenannten Dobson-Einheiten (DU) angegeben.
Die von einem Wetterballon aufgezeichneten Messdaten können modellhaft durch eine
qua dratische Funktion f beschrieben werden. Dabei ordnet f der Höhe h die Gesamt-
ozondichte f ( h ) zu ( h in km, f ( h ) in DU/km).
Der höchste Wert von 36 DU/km wird in einer Seehöhe von 22 km gemessen. In einer
See höhe von 37 km beträgt der gemessene Wert 1 DU/km.
1) Ermitteln Sie f ( h ).
f ( h ) =
In der Erdatmosphäre entspricht 1 DU einer 0,01 mm dicken Schicht reinen Ozons an
der Erdoberfläche. Die Dicke derjenigen Schicht reinen Ozons an der Erdober fläche, die
dem Gesamtozon zwischen 7 km und 37 km Seehöhe entspricht, ist
∫
37
7
f ( h ) d h .
2) Berechnen Sie die Dicke dieser Schicht.
Dicke dieser Schicht: mm
3 Ozonmessungen

Tennis*
Aufgabennummer: 2_058 Aufgabentyp: Typ 1  Typ 2 T
Grundkompetenz: AG 2.1, FA 1.7, FA 4.3, WS 1.1
Tennis ist ein Rückschlagspiel zwischen zwei oder vier Personen, bei dem ein Tennisball
über ein Netz geschlagen werden muss. Das Spielfeld ist rechteckig und wird durch ein
Netz in zwei Hälften geteilt (siehe Abbildung 1). Für ein Spiel zwischen zwei Personen ist
der Platz 23,77 m lang und 8,23 m breit. Das Spielfeld wird durch die Grundlinien und die
Seitenlinien begrenzt. Das Netz weist eine maximale Höhe von 1,07 m auf.
Abbildung 1:
23,77 m
8,23 m
Netz Seitenlinie
Grundlinie
Aufgabenstellung:
a) Die Funktion f : ℝ
+
0
→ → ℝ mit f ( x ) = –0,0007 · x
3
+ 0,005 · x
2
+ 0,2 · x + 0,4 beschreibt
eine Bahnkurve eines Tennisballs bis zu derjenigen Stelle, an der der Tennisball erstmals
den Boden berührt. Dabei gibt x die waag rechte Entfernung des Tennisballs vom Ab
schlagpunkt und f ( x ) die Flughöhe des Tennisballs über dem Boden an ( x und f ( x ) in m).
Die Flugbahn des Tennisballs startet zwischen den Seitenlinien an der Grundlinie und
die Ebene, in der die Flugbahn liegt, verläuft parallel zur Seitenlinie des Tennisfelds.
1) Geben Sie an, in welcher waagrechten Entfernung vom Abschlagpunkt der Tennis
ball seine maximale Höhe erreicht.
waagrechte Entfernung vom Abschlagpunkt: m
2) Überprüfen Sie rechnerisch, ob der Tennisball im gegnerischen Spielfeld oder hinter
der Grundlinie landet.
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 14. Jänner 2020
b) Fällt ein Tennisball lotrecht (ohne Drehung) auf den Boden, so springt er wieder lotrecht
zurück. Der Restitutionskoeffizient r ist ein Maß für die Sprungfähigkeit des Tennisballs.
Es gilt: r =
v
2
v
1
, wobei v
1
der Betrag der Geschwindigkeit des Tennisballs vor und
v
2
der Betrag der Geschwindigkeit des Tennisballs nach dem Aufprall ist.
Die Differenz der vertikalen Geschwindigkeiten unmittelbar vor und nach dem Aufprall ist
aufgrund der unterschiedlichen Bewegungsrichtungen des Tennisballs definiert durch:
∆ v = v
2
– (– v
1
).
1) Geben Sie ∆ v in Abhängigkeit von v
1
und r an.
∆ v =
Ein Tennisball trifft mit v
1
= 4,4 m/s lotrecht auf dem Boden auf. Der Restitutions
koeffizient beträgt für diesen Tennisball r = 0,6. Die Kontaktzeit mit dem Boden
beträgt 0,01 s.
2) Berechnen Sie die durchschnittliche Beschleunigung a (in m/s
2
) des Tennisballs in
vertikaler Richtung beim Aufprall (während der Kontaktzeit).
a = m/s
2
2 Tennis
c) Bei einem Fünf Satz Tennismatch gewinnt ein Spieler, sobald er drei Sätze gewonnen
hat. Für einen Satzgewinn müssen in der Regel sechs Games gewonnen werden, wo
bei es für jedes gewonnene Game einen Punkt gibt.
Für unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten p für ein gewonnenes Game wurden die
daraus resultierenden Wahrscheinlichkeiten m für einen Matchgewinn bei einem Fünf
Satz Match ermittelt. In der nachstehenden Tabelle sind diese Wahrscheinlichkeiten
angeführt.
p m
0,5 0,5
0,51 0,6302
0,55 0,9512
0,6 0,9995
0,7 1,000
Für ein bestimmtes Fünf Satz Match gilt:
Die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler A ein Game gewinnt, ist um 2 Prozentpunkte höher
als die Wahrscheinlichkeit, dass sein Gegenspieler B ein Game gewinnt.
1) Geben Sie an, um wie viel Prozentpunkte die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler A
dieses Fünf Satz Match gewinnt, höher ist als jene für seinen Gegenspieler B .
Gegenüber einem anderen, schwächeren Gegenspieler C hat Spieler A einen Vorteil
von 10 Prozentpunkten, ein Game zu gewinnen.
2) Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler A das Fünf Satz Match
gegen Gegenspieler C gewinnt, um 50,94 Prozent höher ist als beim
Fünf Satz Match gegen B .
3 Tennis

Bremsvorgang*
Aufgabennummer: 2_051 Aufgabentyp: Typ 1  Typ 2 T
Grundkompetenz: AG 2.1, AG 2.2, AN 1.1, AN 3.2, AN 4.3
Der Bremsweg s
B
ist die Länge derjenigen Strecke, die ein Fahrzeug ab dem Wirksamwer-
den der Bremsen bis zum Stillstand zurücklegt. Entscheidend für den Bremsweg sind die
Fahrgeschwindigkeit v
0
des Fahrzeugs zu Beginn des Bremsvorgangs und die Bremsverzö-
gerung b . Der Bremsweg s
B
kann mit der Formel s
B
=
v 0
2
2 ∙ b
berechnet werden ( v
0
in m/s,
b in m/s
2
, s
B
in m).
Der Anhalteweg s
A
berücksichtigt zusätzlich zum Bremsweg den während der Reaktions-
zeit t
R
zurückgelegten Weg. Dieser sogenannte Reaktionsweg s
R
kann mit der Formel
s
R
= v
0
∙ t
R
berechnet werden ( v
0
in m/s, t
R
in s, s
R
in m).
Der Anhalteweg s
A
ist gleich der Summe aus Reaktionsweg s
R
und Bremsweg s
B
.
Aufgabenstellung:
a) 1) Stellen Sie eine Formel zur Berechnung der Fahrgeschwindigkeit v
0
in Abhängigkeit
vom Bremsweg s
B
und von der Bremsverzögerung b auf.
v
0
=
2) Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an.
Der Reaktionsweg s R ist direkt proportional zur Fahrgeschwindigkeit v 0 .
Der Bremsweg s
B
ist direkt proportional zur Fahrgeschwindigkeit v
0
.
Der Bremsweg s B ist indirekt proportional zur Bremsverzögerung b .
Der Anhalteweg s
A
ist direkt proportional zur Fahrgeschwindigkeit v
0
.
Der Anhalteweg s A ist direkt proportional zur Reaktionszeit t R .
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 20. September 2019
b) Die oft in Fahrschulen verwendeten Formeln für die näherungsweise Berechnung des
Re aktions- und des Bremswegs (jeweils in m) lauten:
s R =
v 0
10
∙ 3 und s B = (
v 0
10
)
2
mit v 0 in km/h und s R bzw. s B in m
1) Zeigen Sie anhand geeigneter Umformungen, dass die für die näherungsweise Be-
rechnung des Reaktionswegs verwendete Formel für eine Reaktionszeit von etwa
einer Sekunde an nähernd die gleichen Ergebnisse wie die Formel für s R aus der
Einleitung liefert.
2) Berechnen Sie, welcher Wert für die Bremsverzögerung bei der Näherungsformel für
den Bremsweg angenommen wird.
c) Es kann eine Bremsverzögerung b von 8 m/s
2
bei trockener Fahrbahn, von 6 m/s
2
bei
nasser Fahrbahn und von höchstens 4 m/s
2
bei Schneefahrbahn angenommen wer-
den.
1) Geben Sie denjenigen Bruchteil an, um den bei gleicher Fahrgeschwindigkeit der
Bremsweg bei nasser Fahrbahn länger als bei trockener Fahrbahn ist.
Ein Fahrzeug fährt mit einer Geschwindigkeit von v
0
= 20 m/s. Der Anhalteweg ist bei
Schneefahrbahn länger als bei trockener Fahrbahn.
2) Ermitteln Sie unter der Annahme t R = 1 s für diese beiden Fahrbahnzustände den
Mindestwert für die absolute Zunahme des Anhaltewegs.
2 Bremsvorgang
d) Das Wirksamwerden der Bremsen eines Fahrzeugs beginnt zum Zeitpunkt t = 0.
Die Geschwindigkeit v ( t ) des Fahrzeugs kann für das Zeitintervall [0; 3] durch die Funkti-
on v modelliert werden, die Beschleunigung a ( t ) durch die Funktion a und der in diesem
Zeitintervall zurückgelegte Weg s ( t ) durch die Funktion s ( v ( t ) in m/s, a ( t ) in m/s
2
,
s ( t ) in m, t in s).
1) Interpretieren Sie die Bedeutung des bestimmten Integrals ∫
3
0
v ( t )d t im gegebenen
Kontext.
Jede der sechs nachstehenden Abbildungen zeigt – jeweils im Zeitintervall [0; 3] – den
Graphen einer Beschleunigungsfunktion a , den Graphen einer Geschwindigkeitsfunkti-
on v und den Graphen einer Weg funktion s .
2) Kreuzen Sie diejenige Abbildung an, die drei zusammengehörige Graphen eines drei
Sekunden dauernden Bremsvorgangs zeigt.
v
s
0
s ( t ), v ( t ), a ( t )
t
0 2 1 3
a
v
s
0
s ( t ), v ( t ), a ( t )
t
0 2 1 3
a
v
s
0
s ( t ), v ( t ), a ( t )
t
0 2 1 3
a
0
v
s
s ( t ), v ( t ), a ( t )
t
0 2 1 3
a
v
s
0
s ( t ), v ( t ), a ( t )
t
0 2 1 3
a
0
s ( t ), v ( t ), a ( t )
t
a
v
s
0 2 1 3
3 Bremsvorgang

Zuverlässigkeit eines Systems*
Aufgabennummer: 2_045 Aufgabentyp: Typ 1  Typ 2 T
Grundkompetenz: AG 2.1, FA 1.7, AN 1.1, AN 3.3, WS 2.3
Ein System ist im Folgenden eine Maschine, die aus mehreren Bauteilen besteht. Jedes
Bauteil dieses Systems kann mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit korrekt funktionieren
oder ausfallen. Wenn einzelne Bauteile eines Systems ausfallen, hängt es von der Bauart
des Systems ab, ob das gesamte System weiter funktioniert oder ob es ausfällt.
Unter der Zuverlässigkeit eines Bauteils versteht man die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
das Bauteil korrekt funktioniert, also nicht ausfällt. Das gilt jeweils für eine bestimmte Zeit-
dauer und unter bestimmten Bedingungen.
Unter der Zuverlässigkeit eines Systems versteht man die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
das System korrekt funktioniert, also nicht ausfällt. (Es wird modellhaft an genommen, dass
Ausfälle von Bauteilen voneinander unabhängig sind.) Die entsprechende Gegenwahr-
scheinlichkeit heißt Ausfallwahrscheinlichkeit.
Man unterscheidet zwei einfache Typen von Systemen:
• Seriensysteme:
Ein Seriensystem funktioniert genau dann, wenn alle Bauteile funktionieren.
• Parallelsysteme:
Ein Parallelsystem funktioniert genau dann, wenn mindestens ein Bauteil funktioniert.
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 8. Mai 2019
Aufgabenstellung:
a) Gegeben ist das System A :
T
1
T
2
Das Bauteil T
1
hat die Zuverlässigkeit p
1
und das Bauteil T
2
hat die Zuverlässigkeit p
2
.
Betrachten Sie die Zuverlässigkeit des Systems A als Funktion z
A
von p
1
und p
2
.
Geben Sie z
A
( p
1
, p
2
) an!
z
A
( p
1
, p
2
) =
Bei einem anderen System gleicher Bauart haben die Bauteile jeweils die gleiche Zuver-
lässigkeit p
1
= p
2
= 0,7. Die Ausfallwahrscheinlichkeit dieses Systems soll auf ein Viertel
der aktuellen Ausfallwahrscheinlichkeit gesenkt werden.
Geben Sie an, welchen Wert die Zuverlässigkeit p
neu
(für jedes der beiden Bauteile) an-
nehmen muss!
p
neu
=
b) Gegeben ist das System B :
T
1
T
2
Die beiden Bauteile T
1
und T
2
haben jeweils die gleiche Zuverlässigkeit p .
Betrachten Sie die Zuverlässigkeit des Systems B als Funktion z
B
von p .
Geben Sie z
B
( p ) an!
z
B
( p ) =
Zeigen Sie rechnerisch, dass die Funktion z
B
auf dem Intervall (0; 1) streng monoton
steigend ist!
2 Zuverlässigkeit eines Systems
c) Gegeben sind die Systeme C und D :
System C :
T
1
T
3
T
2
T
4
System D :
T
1
T
3
T
2
T
4
Jedes der Bauteile T
1
, T
2
, T
3
und T
4
hat die gleiche Zuverlässigkeit p .
Die Zuverlässigkeit z
C
des Systems C ist eine Funktion von p und wird durch die
Funktionsgleichung z
C
( p ) = p
4
– 4 ∙ p
3
+ 4 ∙ p
2
beschrieben.
Ermitteln Sie den Quotienten
1 – z
C
(0,9)
1 – z
C
(0,8)
und interpretieren Sie diesen Wert für das
System C !
Die Zuverlässigkeit z
D
des Systems D ist eine Funktion von p .
Begründen Sie, warum z
C
( p ) > z
D
( p ) für alle p ∈ (0; 1) gilt!
Verwenden Sie dazu entweder eine Funktionsgleichung von z
D
oder begründen Sie
anhand der Bauart der Systeme C und D .
3 Zuverlässigkeit eines Systems