Mathematik-Aufgabenpool: PDF-Seiten 501–550

Definition der Winkelfunktionen*
Aufgabennummer: 1_344 Aufgabentyp : Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: Multiple Choice (2 aus 5) Grundkompetenz: AG 4.1
Die nachstehende Abbildung zeigt ein rechtwinkeliges Dreieck PQR .
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Gleichungen an, die für das dargestellte Dreieck gelten!
sin( α ) =
p
r
sin( α ) =
q
r
tan( β ) =
p
q
tan( α ) =
r
p
cos( β ) =
p
r
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 9. Mai 2014
R
p
Q
r
P
q
α
β

Intervalle / Haupttermin 2022 / 1_1184 / Typ 1 S. 1/2
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
S. 8 /36 3. Mai 2022 / AHS / Mathematik
Aufgabe 6
Intervalle
Gegeben sind sechs verschiedene Intervalle.
Für alle Winkel α aus einem dieser Intervalle gilt: sin( α ) ≥ 0 und sin( α ) ≠ 1.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie das zutreffende Intervall an. [1 aus 6]
[270°; 360°)
[90°; 180°]
(0°; 180°)
[0°; 90°)
(90°; 270°]
[180°; 270°]
[0 / 1 P.]

Winkel mit gleichem Sinuswert*
Aufgabennummer: 1_715 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: Multiple Choice (1 aus 6) Grundkompetenz: AG 4.2
Gegeben sei eine reelle Zahl c mit 0 < c < 1. Für die zwei unterschiedlichen Winkel α und
β soll gelten: sin( α ) = sin( β ) = c .
Dabei soll α ein spitzer Winkel und β ein Winkel aus dem Intervall (0°; 360°) sein.
Aufgabenstellung:
Welche Beziehung besteht zwischen den Winkeln α und β ?
Kreuzen Sie die zutreffende Beziehung an.
α + β = 90°
α + β = 180°
α + β = 270°
α + β = 360°
β – α = 270°
β – α = 180°
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturat ermin: 20. September 2019

Sinus und Cosinus*
Aufgabennummer: 1_619 Aufgabentyp: Typ 1 7 Typ 2 …
Aufgabenformat: Konstruktionsformat Grundkompetenz: AG 4.2
Die nachstehende Abbildung zeigt einen Kreis mit dem Mittelpunkt O und dem Radius 1.
Die Punkte A = (1|0) und P liegen auf der Kreislinie. Der eingezeichnete Winkel ʩ wird vom
Schenkel OA zum Schenkel OP gegen den Uhrzeigersinn gemessen.
y
x
P
A
O
ʩ
1
–1
1 –1
Ein Punkt Q auf der Kreislinie soll in analoger Weise einen Winkel ʪ festlegen, für den fol-
gende Beziehungen gelten:
sin( ʪ ) = –sin( ʩ ) und cos( ʪ ) = cos( ʩ )
Aufgabenstellung:
Zeichnen Sie in der oben stehenden Abbildung den Punkt Q ein!
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 9. Mai 2018

Winkel im Einheitskreis*
Aufgabennummer: 1_595 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: Konstruktionsformat Grundkompetenz: AG 4.2
In der nachstehenden Grafik ist ein Winkel α im Einheitskreis dargestellt.
Aufgabenstellung:
Zeichnen Sie in der Grafik denjenigen Winkel β aus dem Intervall [0°; 360°] mit β ≠ α ein,
für den cos( β ) = cos( α ) gilt!
y
x
–1
1 0 –1
1
α
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 16. Jänner 2018

Koordinaten eines Punktes*
Aufgabennummer: 1_560 Aufgabentyp : Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: offenes Format Grundkompetenz: AG 4.2
In der unten stehenden Abbildung ist der Punkt P = (–3 | –2) dargestellt.
Die Lage des Punktes P kann auch durch die Angabe des Abstands r = OP und die
Größe des Winkels φ eindeutig festgelegt werden.
y
x
P
r
φ
O
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Größe des Winkels φ !
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 10. Mai 2017

Winkel bestimmen*
Aufgabennummer: 1_512 Aufgabentyp : Typ 1 T Typ 2 £
Aufgabenformat: offenes Format Grundkompetenz: AG 4.2
Für einen Winkel α ∈ [0°; 360°) gilt:
sin( α ) = 0,4 und cos( α ) < 0
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie den Winkel α !
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 20. September 2016

Blutgefäß
Aufgabennummer: 2_FT002 Typ 1  Typ 2 T technologiefrei 
Ein Blutgefäß kann wie in der nachstehenden schematischen Darstellung mit kreisförmiger
Querschnittsfläche angenommen werden.
M r
x
Bildquelle: http://www.gefaesschirurgie-klinik.de/patienteninformationen/arterienverkalkung.php [05.06.2013] (adaptiert).
Die Funktion v mit v ( x ) = v
m
∙
(
1 –
x
2
r
2 )
beschreibt modellhaft den Zusammenhang zwischen
der Geschwindigkeit v des Blutteilchens und seinem Abstand x zum Mittelpunkt M der
Querschnittsfläche des Blutgefäßes.
Dabei gilt:
M … Mittelpunkt der Querschnittsfläche des Blutgefäßes
r … Innenradius der Querschnittsfläche des Blutgefäßes (in mm)
v
m
… maximale Geschwindigkeit des Blutteilchens in M (in cm/s)
x … Abstand des Blutteilchens von M (in mm)
v ( x ) … Geschwindigkeit des Blutteilchens bei x (in cm/s)
Aufgabenstellung:
a) 1) Geben Sie einen sinnvollen Definitionsbereich für v an.
D = [ ; )
b) Bei einem bestimmten Abstand x
1
des Blutteilchens von M beträgt seine Geschwindig-
keit 75 % von v
m
.
1) Berechnen Sie x
1
.
c) 1) Stellen Sie eine Funktionsgleichung für x ( v ) auf.
x ( v ) = mit v ∈ (0; v
m
]
2) Berechnen Sie in Abhängigkeit von r denjenigen Abstand vom Mittelpunkt des Blut-
gefäßes, bei dem die Geschwindigkeit des Blutteilchens auf die Hälfte der Maximal-
geschwindigkeit abnimmt.
d) 1) Geben Sie die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit v beim Abstand x an.
2) Beschreiben Sie die Bedeutung des Vorzeichens der momentanen Änderungsrate
von v ( x ) im gegebenen Sachzusammenhang.
2 Blutgefäß

Polynomfunktion dritten Grades*
Aufgabennummer: 2_041 Aufgabentyp: Typ 1  Typ 2 T
Grundkompetenz: AG 1.2, FA 1.5, FA 4.3, AN 2.1, AN 3.3, AN 4.3
Gegeben ist eine Polynomfunktion dritten Grades f
t
mit f
t
( x ) =
1
t
∙ x
3
– 2 · x
2
+ t · x . Für den
Parameter t gilt: t ∈ ℝ und t ≠ 0.
Aufgabenstellung:
a) Geben Sie die lokalen Extremstellen von f
t
in Abhängigkeit von t an!
An der Stelle x = t gelten für die Funktion f
t
die Gleichungen f
t
( t ) = 0, f
t
′ ( t ) = 0 und
f
t
″ ( t ) = 2.
Beschreiben Sie den Verlauf des Graphen von f
t
bei x = t !
b) Geben Sie diejenige Stelle x
0
in Abhängigkeit von t an, an der sich das Krümmungsver-
halten von f
t
ändert!
Weisen Sie rechnerisch nach, dass das Krümmungsverhalten des Graphen von f
t
an
der Stelle x = 0 unabhängig von der Wahl des Parameters t ist!
c) Die Funktion A beschreibt in Abhängigkeit von t mit t > 0 den Flächeninhalt derjenigen
Fläche, die vom Graphen der Funktion f
t
und von der x -Achse im Intervall [0; t ] begrenzt
wird. Die Funktion A : ℝ
+
→ ℝ
0
+
, t ↦ A ( t ), ist eine Polynom funktion.
Geben Sie den Funktionsterm und den Grad von A an!
Geben Sie das Verhältnis A ( t ) : A (2 ∙ t ) an!
d) Zeigen Sie rechnerisch, dass f
–1
( x ) = f
1
(– x ) für alle x ∈ ℝ gilt!
Erläutern Sie, wie der Graph der Funktion f
–1
aus dem Graphen der Funktion f
1
hervor-
geht!
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 15. Jänner 2019

Passwörter / Wintertermin 2024 / 2_134 / Typ2 S. 1/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 29 /35
Aufgabe 26 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Passwörter
Passwörter bestehen aus Zeichen, die in einer festgelegten Reihenfolge angeordnet sind. Es ist
erlaubt, dass in einem Passwort Zeichen mehrfach vorkommen.
Die Anzahl der Stellen eines Passworts wird als Passwortlänge k bezeichnet ( k ∈ ℕ , k ≥ 2).
Für jede dieser Stellen wird ein Zeichen aus jeweils n verschiedenen Zeichen gewählt ( n ∈ ℕ ,
n ≥ 2).
Die Anzahl A aller möglichen Passwörter kann mithilfe der Formel A = n
k
berechnet werden.
Aufgabenstellung:
a) Ein bestimmter Computer kann 1 Milliarde Passwörter pro Sekunde überprüfen.
Für die Überprüfung von n
k
Passwörtern benötigt der Computer t Stunden.
1) Stellen Sie mithilfe von k und n eine Formel zur Berechnung von t auf.
t = [0 / 1 P.]
Diese Formel zur Berechnung von t kann als Funktion in Abhängigkeit von k und n aufgefasst
werden.
2) Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutref-
fenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht. [0 / ½ / 1 P.]
Ist k konstant, so ist t in Abhängigkeit von n eine
1
; ist n konstant, so ist
t in Abhängigkeit von k eine
2
.
1
lineare Funktion
Potenzfunktion
Exponentialfunktion
2
lineare Funktion
Potenzfunktion
Exponentialfunktion
Passwörter / Wintertermin 2024 / 2_134 / Typ2 S. 2/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 30 /35
b) Das Passwort für den Zugang auf eine bestimmte Website wird automatisch von einem Zu-
fallsgenerator erzeugt. Der Zufallsgenerator wählt jedes Zeichen unabhängig von den anderen
Zeichen und mit gleicher Wahrscheinlichkeit aus 26 Buchstaben und 10 Ziffern aus ( n = 36).
Die Passwortlänge beträgt 8 Zeichen ( k = 8).
1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Passwort nur aus Buchstaben besteht.
[0 / 1 P.]
2) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Passwort höchstens 1 Ziffer enthält.
[0 / 1 P.]

Wachstum von Tierpopulationen / Wintertermin 2024 / 2_136 / Typ2 S. 1/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 34 /35
Aufgabe 28 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Wachstum von Tierpopulationen
Aufgabenstellung:
a) Die Populationsgröße (Anzahl der Individuen) einer bestimmten Tierart kann modellhaft durch
die Funktion N : ℝ
0
+
→ ℝ
+
in Abhängigkeit von der Zeit t beschrieben werden.
Dabei gilt:
N ( t ) =
500
1 + 4 ∙ ℯ
–0,2 ∙ t
t ... Zeit in Wochen
N ( t ) ... Populationsgröße zum Zeitpunkt t
Zum Zeitpunkt t
v
ist die Population auf das Doppelte ihrer Größe zum Zeitpunkt t = 0 ange-
wachsen.
1) Berechnen Sie t
v
. [0 / 1 P.]
Wachstum von Tierpopulationen / Wintertermin 2024 / 2_136 / Typ2 S. 2/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 35 /35
b) Die Wachstumsgeschwindigkeit einer anderen Tierpopulation lässt sich durch die Polynom-
funktion f mit f ( t ) = a ∙ t
2
+ b ∙ t + c mit a , b , c ∈ ℝ und a ≠ 0 modellieren. Dabei gibt f ( t ) die
momentane Änderungsrate der Anzahl der Individuen in Abhängigkeit von der Zeit t an ( t in
Wochen, f ( t ) in Individuen pro Woche).
Die Wachstumsgeschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 0 beträgt 15 Individuen pro Woche und
erreicht nach 7 Wochen ihr Maximum. Nach 35 Wochen beträgt die Wachstumsgeschwindig-
keit 0 Individuen pro Woche.
1) Stellen Sie eine Funktionsgleichung von f auf.
f ( t ) = [0 / 1 P.]
Es wird angenommen, dass die Tierpopulation zu Beginn der Beobachtungen aus 50 Individuen
besteht.
2) Interpretieren Sie 50 +
∫
7
0
f ( t ) d t im gegebenen Sachzusammenhang. [0 / 1 P.]
Einer der nachstehenden Ausdrücke beschreibt die mittlere Änderungsrate der Größe der
Tierpopulation im Zeitintervall [ t
1
; t
2
] mit t
1
< t
2
.
3) Kreuzen Sie den jedenfalls zutreffenden Ausdruck an. [1 aus 6] [0 / 1 P.]
f ( t 2) – f ( t 1)
t 2 – t 1
∫
t 2
t 1
f ( t ) d t
t
2
– t
1
∫
t 1
0
f ( t ) d t –
∫
t 2
0
f ( t ) d t
f ( t 2) – f ( t 1)
t 2
f ( t 2 ) – f ( t 1 )
f ( t 2) – f ( t 1)
f ( t
1
)

Bienenhaltung / Herbsttermin 2023 / 2_131 / Typ 2 S. 1/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
19. September 2023 / AHS / Mathematik S. 31 /34
Aufgabe 27 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Bienenhaltung in Österreich
Die nachstehende Tabelle gibt Auskunft über die Anzahl der Imker/innen und ihrer Bienenvölker in
Österreich im Zeitraum von 2015 bis 2019.
Jahr Anzahl der Imker/innen Anzahl der Bienenvölker
2015 26 063 347 128
2016 26 609 354 080
2017 27 580 353 267
2018 28 432 373 412
2019 30 237 390 607
Quelle: https://www.biene-oesterreich.at/daten-und-zahlen+2500++1000247 [10.08.2020].
Aufgabenstellung:
a) Maja führt mit Werten aus der obigen Tabelle die folgende Berechnung durch:
353 267
27 580
≈ 13
1) Interpretieren Sie das Ergebnis dieser Berechnung im gegebenen Sachzusammenhang.
[0 / 1 P.]
b) Die Anzahl der Imker/innen in Österreich wird in Abhängigkeit von der Zeit t durch die quadra-
tische Funk tion f der Form f ( t ) = c ∙ t
2
+ d mit c , d ∈ ℝ modelliert ( t in Jahren mit t = 0 für
das Jahr 2015).
Die entsprechenden Funktionswerte von f stimmen für die Jahre 2015 und 2019 mit den
Werten aus der obigen Tabelle überein.
1) Berechnen Sie c und d . [0 / 1 P.]
Bienenhaltung / Herbsttermin 2023 / 2_131 / Typ 2 S. 2/3
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
19. September 2023 / AHS / Mathematik S. 32 /34
c) Niedrige Temperaturen führen zu einer Wintersterblichkeit von Bienenvölkern. Die Anzahl der
Bienenvölker würde ohne eine erneute Aufzucht durch die Imker/innen jährlich um durch-
schnittlich 16 % abnehmen.
Die Anzahl der Bienenvölker in Österreich, die es ohne eine erneute Aufzucht geben würde,
wird durch die Exponentialfunktion g beschrieben.
Es gilt:
t ... Zeit in Jahren mit t = 0 für das Jahr 2015
g ( t ) ... Anzahl der Bienenvölker in Österreich zur Zeit t
1) Stellen Sie eine Funktionsgleichung von g auf.
g ( t ) = [0 / 1 P.]
2) Berechnen Sie, nach welcher Zeitdauer sich die Anzahl der Bienenvölker in Österreich ge-
mäß der Exponentialfunktion g halbiert. [0 / 1 P.]

Fitnessuhren / Haupttermin 2023 / 2_126 / Typ 2 / adaptierte Prüfungsaufgabe S. 1/4
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
Fitnessuhren
Fitnessuhren sind Armbanduhren, die bei sportlichen Aktivitäten verwendet werden können.
Aufgabenstellung:
a) Eine 3,1 km lange Bergtour führt vom Start auf 680 m Seehöhe zu einem Gipfelhaus auf
1 820 m Seehöhe. Der dabei zurückgelegte Weg wird modellhaft als geradlinig mit konstanter
Steigung angenommen und ist in der nachstehenden Skizze (nicht maßstabgetreu) darge-
stellt.
Start
3,1 km
Gipfelhaus
1) Ermitteln Sie die Steigung des Weges.
Steigung: % [0 / 1 P.]
b) Die Fitnessuhr Sporty ist besonders beliebt.
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person in Österreich eine Fitnessuhr
Sporty besitzt, beträgt p .
Im Rahmen einer Studie werden 160 zufällig ausgewählte Personen in Österreich befragt.
Die binomialverteilte Zufallsvariable X gibt die Anzahl derjenigen Personen unter den 160 Be-
fragten an, die eine Fitnessuhr Sporty besitzen.
1) Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutref-
fenden Satzteils so, dass jedenfalls eine richtige Aussage entsteht. [0 / ½ / 1 P.]
Die Wahrscheinlichkeit, dass von den 160 Befragten niemand eine Fitnessuhr Sporty be-
sitzt, beträgt
1
; mit
2
wird die Wahrscheinlichkeit berech-
net, dass von den 160 Befragten mindestens 2 eine Fitnessuhr Sporty besitzen.
1
1 – p
p
160
(1 – p )
160
2
1 – [(
160
0
)
∙ p
0
∙ (1 – p )
160
+
(
160
1
)
∙ p ∙ (1 – p )
159
]
(
160
0
)
∙ p
0
∙ (1 – p )
160
+
(
160
1
)
∙ p ∙ (1 – p )
159
(
160
2
)
∙ p
2
∙ (1 – p )
158
Fitnessuhren / Haupttermin 2023 / 2_126 / Typ 2 / adaptierte Prüfungsaufgabe S. 2/4
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
S. 30 /36 3. Mai 2023 / AHS / Mathematik
c) Fitnessuhren zeigen unter anderem den Kalorienverbrauch bei einer sportlichen Aktivität an.
Im Rahmen einer Studie wird bei 60 Personen die prozentuelle Abweichung des tatsächlichen
Kalorienverbrauchs bei einer sportlichen Aktivität vom jeweiligen Messergebnis ihrer Fitness-
uhren untersucht.
Diese Abweichungen mit den jeweils zugehörigen absoluten Häufigkeiten sind in der nach-
stehenden Tabelle nach Klassen zusammengefasst.
Abweichung in % absolute Häufigkeit
[0; 20) 24
[20; 30) 30
[30; 50] 6
1) Erstellen Sie ein Histogramm, in dem für die drei oben angegebenen Klassen die relativen
Häufigkeiten als Flächeninhalte von Rechtecken dargestellt sind. [0 / 1 P.]
Abweichung in %
0,04
0,03
0,02
0,01
0
0,05
45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 50
2) Begründen Sie, warum der Median der Datenliste (die der obigen Tabelle zugrunde liegt) im
Intervall [20; 30) liegen muss. [0 / 1 P.]

Sauerstoffverbrauch von Säugetieren / Haupttermin 2023 / 2_127 / Typ 2 S. 1/4
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
3. Mai 2023 / AHS / Mathematik S. 31 /36
Aufgabe 27 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Sauerstoffverbrauch von Säugetieren
Bei Säugetieren gibt es einen Zusammenhang zwischen der Körpermasse und dem Sauerstoff-
verbrauch.
Aufgabenstellung:
a) Für ein Säugetier, das sich im Beobachtungszeitraum nicht bewegt, kann der Sauerstoffver-
brauch in Abhängigkeit von der Körpermasse m näherungsweise durch eine Funktion
S : ℝ
+
→ ℝ
+
, m ↦ S ( m ) beschrieben werden ( m in kg, S ( m ) in L/h).
Für Katzen und Hunde mit einer Körpermasse m in kg gilt annähernd:
S ( m ) = a ∙ m
0,75
a ... positive Konstante
Die Körpermasse eines bestimmten Hundes ist doppelt so groß wie die einer bestimmten
Katze.
1) Berechnen Sie, um wie viel Prozent der Sauerstoffverbrauch dieses Hundes höher als der
dieser Katze ist. [0 / 1 P.]
Sauerstoffverbrauch von Säugetieren / Haupttermin 2023 / 2_127 / Typ 2 S. 2/4
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
S. 32 /36 3. Mai 2023 / AHS / Mathematik
b) Die Funktion I : ℝ
+
→ ℝ
+
beschreibt die Stoffwechselintensität von Säugetieren in Abhängig-
keit von ihrer Körpermasse m
(
m in kg, I ( m ) in
L
h · kg
)
.
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph von I dargestellt.
7 6 5 4 3 2 1 0
0
1,6
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
1,8
I
m in kg
Ratte
Katze
m
R
m
K
I ( m ) in
L
h · kg
Quelle: Sadava, David E., David M. Hillis et al.: Purves Biologie . Herausgegeben von Jürgen Markl. 10. Auflage. Berlin u. a.: Springer
2019, S. 1 201 (adaptiert).
Die Körpermasse einer Ratte wird mit m
R
und die einer Katze mit m
K
bezeichnet.
Für eine bestimmte Körpermasse m
1
ist I ′ ( m
1
) gleich der mittleren Änderungsrate von I im
Intervall [ m
R
; m
K
].
1) Ermitteln Sie m
1
mithilfe der obigen Abbildung.
m
1
= kg [0 / 1 P.]
Sauerstoffverbrauch von Säugetieren / Haupttermin 2023 / 2_127 / Typ 2 S. 3/4
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
3. Mai 2023 / AHS / Mathematik S. 33 /36
c) Für ein Säugetier, das sich bewegt, wird die momentane Änderungsrate des Sauerstoffver-
brauchs in Abhängigkeit von der Zeit t näherungsweise durch die lineare Funktion u : [0; t
1
] → ℝ
mit t
1
∈ ℝ
+
beschrieben ( t in min, u ( t ) in L/min).
Es gilt: u (0) = d mit d ∈ ℝ
+
Der Graph von u ist in der nachstehenden Abbildung dargestellt.
0
0
u ( t ) in L/min
t in min
t
1
u
d
1) Stellen Sie eine Formel zur Berechnung von
∫
t 1
0
u ( t ) d t auf. Verwenden Sie dabei t
1
, u ( t
1
)
und d .
∫
t 1
0
u ( t ) d t = [0 / 1 P.]
2) Interpretieren Sie
∫
t 1
0
u ( t ) d t im gegebenen Sachzusammenhang unter Angabe der zugehö-
rigen Einheit. [0 / 1 P.]

Auslastung von Flügen / Wintertermin 2022 / 2_111 / Typ 2 S. 1/2
Standardisierte
Reife- und Diplomprüfung
SRDP
12. Jänner 2022 / AHS / Mathematik S. 30 /32
Aufgabe 27 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Auslastung von Flügen
Für Fluggesellschaften ist eine hohe Auslastung ihrer Flüge wichtig.
Aufgabenstellung:
a) Häufig werden bei Flügen nicht alle verkauften Tickets in Anspruch genommen. Daher werden
üblicherweise mehr Tickets verkauft, als Plätze zur Verfügung stehen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person (unabhängig von den anderen Personen) ihr Ticket
in Anspruch nimmt, beträgt 90 %.
Für einen bestimmten Flug werden 6 % mehr Tickets verkauft, als Plätze zur Verfügung stehen.
Es stehen m Plätze zur Verfügung.
Es werden n Tickets verkauft.
Bei n verkauften Tickets beträgt der Erwartungswert für die in Anspruch genommenen
Tickets 477.
1) Berechnen Sie n und m .
n =
m = [0 / 1 P.]
Folgendes Ereignis E wird betrachtet:
E ... „für mindestens 1 Person, die ihr Ticket in Anspruch nehmen möchte, steht kein Platz zur
Verfügung“
2) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P ( E ). [0 / 1 P.]
b) Für einen bestimmten Flug eines voll besetzten Flugzeugs kann der Zusammenhang
zwischen der Flug distanz s und dem Treibstoffverbrauch V ( s ) näherungsweise durch die
Funktion V : [2 000; 10 000] → ℝ
+
beschrieben werden.
V ( s ) = 4 +
(
s
128 000
–
1
4
)
∙
s
1 000
∙ ℯ
– s
4 000 mit 2 000 ≤ s ≤ 10 000
s ... Flugdistanz in km
V ( s ) ... Treibstoffverbrauch bei der Flugdistanz s in Litern pro Fluggast pro 100 km
1) Ermitteln Sie die Flugdistanz d (in km), bei der der Treibstoffverbrauch am geringsten ist.
[0 / 1 P.]
2) Berechnen Sie die Menge an Treibstoff (in L), die dieses Flugzeug für die Flugdistanz d
benötigt, wenn es mit 271 Fluggästen voll besetzt ist. [0 / 1 P.]

Satelliten und ihre Umlaufbahnen*
Aufgabennummer: 2_107 Aufgabentyp: Typ 1  Typ 2 T
Ein Satellit bewegt sich auf einer annähernd kreisförmigen Umlaufbahn mit dem Radius r um
die Erde. Die Erde wird als kugelförmig mit dem Radius R angenommen.
Dieses Modell ist in der nachstehenden Abbildung dargestellt.
Satellit
Umlaufbahn
Erde
R r
Aufgabenstellung:
a) Ein bestimmter Satellit bewegt sich mit der Geschwindigkeit v = 7 500 m/s auf seiner
Umlaufbahn. Der Zusammenhang zwischen seiner Geschwindigkeit und dem Radius seiner
Umlaufbahn wird durch die nachstehende Gleichung angegeben.
v =
G ∙ M
r

v ... Geschwindigkeit des Satelliten in m/s
G = 6,67 ∙ 10
–11
... allgemeine Gravitationskonstante in
m
3
kg ∙ s
2
M = 5,97 ∙ 10
24
... Masse der Erde in kg
r ... Radius der Umlaufbahn des Satelliten in m
1) Berechnen Sie den Radius r der Umlaufbahn dieses Satelliten.
r = m
2) Berechnen Sie die Zeit (in s), die dieser Satellit für einen Umlauf um die Erde benötigt.
t = s
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 17. September 2021
b) Die Satellitenschüssel einer Forschungsstation wird auf einen bestimmten Satelliten ausge-
richtet.
In der nachstehenden nicht maßstabgetreuen Abbildung ist diese Situation dargestellt.
Forschungsstation
Erde
81,32°
Satellit
R
r
Der Erdradius R wird mit R = 6,37 ∙ 10
6
m angenommen.
1) Berechnen Sie den Radius r der Umlaufbahn dieses Satelliten.
r = m
Die Geschwindigkeit von Funksignalen wird mit 3 ∙ 10
8
m/s angenommen.
2) Berechnen Sie die Zeit (in s), die ein Funksignal für seinen Weg von der Forschungsstati-
on zu diesem Satelliten benötigt. Geben Sie das Ergebnis mit 3 Nachkommastellen an.
2 Satelliten und ihre Umlaufbahnen

CO2 und Klimaschutz*
Aufgabennummer: 2_102 Aufgabentyp: Typ 1  Typ 2 T
In den letzten Jahrzehnten hat der CO
2
-Gehalt in der Erdatmosphäre unter anderem durch
den Straßenverkehr zugenommen.
Aufgabenstellung:
a) Für jeden PKW mit Benzinantrieb wird angenommen, dass pro Liter verbrauchten
Benzins 2,32 kg CO
2
ausgestoßen werden.
PKW A fährt eine Strecke von s km mit einem durchschnittlichen Benzinverbrauch von
7,9 Litern pro 100 km.
Um dessen CO
2
-Ausstoß auszugleichen, sollen b Bäume gepflanzt werden. Dabei
nimmt man an, dass jeder dieser Bäume in seiner gesamten Lebenszeit 500 kg CO
2
aufnimmt.
1) Stellen Sie unter Verwendung von s eine Formel zur Berechnung der Anzahl b der zu
pflanzenden Bäume auf.
b =
PKW B legt eine Strecke von 15 000 km zurück. Um dessen CO
2
-Ausstoß auszuglei-
chen, werden 5 Bäume gepflanzt.
2) Berechnen Sie den durchschnittlichen Benzinverbrauch (in Litern pro 100 km) von
PKW B auf dieser Strecke.
* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 21. Mai 2021
b) Neben CO
2
verstärken auch andere Gase die Klimaerwärmung. Die Emission von die-
sen Gasen wird in sogenannte CO
2
-Äquivalente umgerechnet.
Die nachstehende Tabelle gibt für einige Staaten der EU Auskunft über die jeweilige Ein-
wohnerzahl (in Millionen) im Jahr 2015 und die zugehörigen CO
2
-Äquivalente (in Tonnen
pro Person).
Einwohnerzahl in Millionen CO
2
-Äquivalente in Tonnen pro Person
Belgien 11,2 11,9
Frankreich 66,4 6,8
Italien 60,8 7,0
Luxemburg 0,6 18,5
Niederlande 16,9 12,3
Datenquellen: https://ec.europa.eu/eurostat/statistics-explained/index.php?title=Population_and_population_change_stati-
stics/de&oldid=320539 [24.07.2020],
https://de.wikipedia.org/wiki/Liste_der_Länder_nach_Treibhausgas-Emissionen [24.07.2020].
1) Berechnen Sie die durchschnittlichen CO
2
-Äquivalente e (in Tonnen pro Person) für
den gesamten in der obigen Tabelle angeführten Teil der EU.
e = Tonnen pro Person
Lukas sind nur die in der obigen Tabelle angeführten Werte der CO
2
-Äquivalente der
einzelnen Staaten bekannt, nicht aber die jeweils zugehörige Einwohnerzahl.
Er berechnet das arithmetische Mittel x der CO
2
-Äquivalente: x = 11,3.
2) Erklären Sie ohne Verwendung des berechneten Wertes von e , warum x größer als e
sein muss.
2 CO2 und Klimaschutz

Unter Wasser
Aufgabennummer: 2_079 Aufgabentyp: Typ 1  Typ 2 T
Grundkompetenz: AG 2.1, FA 1.4, FA 5.1
a) Direkt unter der Wasseroberfläche beträgt der Druck 1 Bar. Der Druck nimmt mit zuneh
mender Wassertiefe gleichmäßig zu, und zwar um 1 Bar je 10 Meter Wassertiefe.
1) Berechnen Sie, in welcher Wassertiefe ein Druck von 3,9 Bar herrscht.
b) Die Abnahme der Beleuchtungsstärke erfolgt unter Wasser exponentiell und kann nähe
rungsweise durch die Funktion f beschrieben werden. Der Graph von f ist in der nach
stehenden Abbildung dargestellt.
Lichtintensität f ( x ) in Lux
f
32 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 34
Wassertiefe x in Metern
0
40 000
30 000
20 000
50 000
10 000
1) Lesen Sie aus der obigen Abbildung ab, in welcher Tiefe die Beleuchtungsstärke nur
mehr 10 % ihres Anfangswerts beträgt.
2) Erstellen Sie eine Gleichung der Funktion f .
c) Durch eine bestimmte Tauchermaske werden alle Gegenstände unter Wasser um ein
Drittel größer wahrgenommen, als sie tatsächlich sind.
1) Ermitteln Sie, um wie viel Prozent die tatsächliche Größe kleiner als die wahrgenom
mene Größe ist.

Skatepark
Aufgabennummer: 2_082 Aufgabentyp: Typ 1  Typ 2 T
Grundkompetenz: AG 2.1, AN 1.3, AN 3.3, AN 4.3
a) Folgende Grafik zeigt den Entwurf einer Halfpipe im Querschnitt:
Kreisbogen
Gerade
Kreisbogen
b a a
h
r r
1) Erstellen Sie eine Formel für die Berechnung des Flächeninhalts A der grauen Fläche
(Querschnittsfläche) aus a , b , h und r .
A =
b) Die Geschwindigkeit einer Skaterin in Abhängigkeit von der Zeit lässt sich näherungsweise
mithilfe der Funktion v beschreiben. Der Graph dieser Funktion ist in der nachstehenden
Abbildung dargestellt.
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5
t in s
v ( t ) in m/s
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
v
1) Veranschaulichen Sie in der obigen Abbildung denjenigen Weg, den die Skaterin
zwischen t = 0,5 s und t = 1 s zurücklegt.
2) Beschreiben Sie die Bedeutung von v ′ (0,3) im gegebenen Sachzusammenhang.

Riesenpizza
Aufgabennummer: 2_085 Aufgabentyp: Typ 1  Typ 2 T
Grundkompetenz: AG 2.1, AN 3.3, WS 1.1, WS 1.2
In den USA wird die Größe einer Pizza durch ihren Durchmesser (in Inches) angegeben.
Im Folgenden werden Pizzen immer als kreisrund angenommen.
a) Bei 30-Inch-Pizzen verschiedener Lieferanten wurde der tatsächliche Durchmesser be-
stimmt. Die Messergebnisse sind im folgenden Boxplot zusammengefasst:
30,5 30 29,5 29 28,5 28 31
Durchmesser in Inches
1) Lesen Sie die Spannweite ab.
Der Interquartilsabstand ist die Differenz von 3. und 1. Quartil.
In der Fachliteratur wird ein Wert oft als „Ausreißer nach oben“ bezeichnet, wenn dieser
Wert weiter als das 1,5-Fache des Interquartilsabstands rechts vom 3. Quartil liegt.
Solche Ausreißer sind im obigen Boxplot nicht berücksichtigt.
2) Geben Sie an, ab welchem Durchmesser eine Pizza als „Ausreißer nach oben“ be-
zeichnet wird.
b) 1) Zeigen Sie allgemein, dass der Flächeninhalt einer (kreisrunden) Pizza vervierfacht wird,
wenn ihr Durchmesser verdoppelt wird.
c) Für eine bestimmte Pizzasorte wird der Preis pro Flächeneinheit in Abhängigkeit vom
Durchmesser modellhaft durch folgende quadratische Funktion P beschrieben:
P ( d ) = 0,0003 ∙ d
2
– 0,015 ∙ d + 0,2619 mit 8 ≤ d ≤ 30
d ... Durchmesser der Pizza in Inches
P ( d ) ... Preis pro Flächeneinheit einer Pizza mit Durchmesser d in US-Dollar
1) Ermitteln Sie, für welchen Durchmesser der Preis pro Flächeneinheit am niedrigsten ist.