Stochastik · Österreichische Matura

Wahrscheinlichkeitsverteilungen für die Matura

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung beschreibt nicht nur, welche Ergebnisse möglich sind, sondern auch, wie wahrscheinlich sie sind. Hier lernst du, Binomial- und Normalverteilungen auszuwählen, richtig zu berechnen und Ergebnisse im Kontext der österreichischen Matura zu deuten.

Von Heinz Mayr · Aktualisiert am 12. August 2026

Was ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung?

Bei einem Zufallsversuch ist das einzelne Ergebnis nicht vorhersagbar. Trotzdem kann ein mathematisches Modell angeben, mit welchen Wahrscheinlichkeiten bestimmte Werte auftreten. Dazu ordnet eine Zufallsvariable X jedem Versuchsausgang eine Zahl zu. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung beschreibt anschließend, wie sich die Gesamtwahrscheinlichkeit auf diese Zahlen verteilt.

Bei einer diskreten Zufallsvariable sind die möglichen Werte abzählbar, zum Beispiel 0, 1, 2, … fehlerhafte Teile in einer Stichprobe. Bei einer stetigen Zufallsvariable kann jeder Wert in einem Intervall auftreten, etwa eine Füllmenge oder eine Messdauer. Für diskrete Modelle werden Einzelwahrscheinlichkeiten addiert. Bei stetigen Modellen entsprechen Wahrscheinlichkeiten Flächen unter einer Dichtefunktion.

Begriff	Bedeutung	Worauf du achten musst
Zufallsvariable X	Ordnet jedem Ausgang einen Zahlenwert zu	Immer mit Einheit oder Sachbedeutung angeben
Verteilung	Gibt die Wahrscheinlichkeiten der möglichen Werte an	Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist 1
Erwartungswert μ	Langfristig zu erwartender Mittelwert	Nicht zwingend ein tatsächlich möglicher Einzelwert
Standardabweichung σ	Beschreibt die typische Streuung um den Erwartungswert	Hat dieselbe Einheit wie die Zufallsvariable

Modell zuerst, Rechnung danach: Prüfe vor jedem Tastendruck, ob die Voraussetzungen der gewählten Verteilung erfüllt sind. Ein korrekt berechneter Wert ist keine sinnvolle Antwort, wenn das Modell nicht zum Sachverhalt passt.

Binomialverteilung

Die Binomialverteilung zählt, wie oft ein festgelegtes Ereignis bei n gleichartigen Versuchen eintritt. Ein einzelner Versuch hat genau zwei für das Modell relevante Ausgänge, zum Beispiel „Bauteil beanstandet“ und „Bauteil nicht beanstandet“. Die Trefferwahrscheinlichkeit p bleibt konstant, und die Versuche werden als unabhängig modelliert.

Für X ∼ B(n; p) gilt:

P(X = k) = (n über k) · p^k · (1 − p)^{n − k} E(X) = n · p und σ = √(n · p · (1 − p))

In Aufgaben entscheidet oft ein einziges Wort darüber, welche Wahrscheinlichkeit gesucht ist:

genau k: P(X = k)
höchstens k: P(X ≤ k)
mindestens k: P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1)
mehr als k: P(X > k) = 1 − P(X ≤ k)

Die Binomialverteilung ist kein Automatismus für jede Zählaufgabe. Ändert sich die Trefferwahrscheinlichkeit von Versuch zu Versuch deutlich oder beeinflussen sich die Versuche gegenseitig, muss die Modellannahme begründet oder ein anderes Modell gewählt werden.

Normalverteilung

Die Normalverteilung ist ein stetiges Modell mit einer symmetrischen, glockenförmigen Dichtekurve. Sie wird vollständig durch den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ bestimmt. Der Erwartungswert legt die Mitte fest; eine größere Standardabweichung macht die Kurve breiter und niedriger.

Für eine normalverteilte Zufallsvariable schreibt man X ∼ N(μ; σ). Wahrscheinlichkeiten werden als Flächen interpretiert:

P(a ≤ X ≤ b) = Fläche unter der Dichtekurve zwischen a und b

Da das Modell stetig ist, hat ein einzelner exakter Wert die Wahrscheinlichkeit 0. Deshalb gilt etwa P(X < 500) = P(X ≤ 500). Das bedeutet nicht, dass 500 unmöglich wäre; es bedeutet, dass ein einzelner Punkt keine Fläche besitzt.

Durch Standardisieren lässt sich ein Wert x in seine Entfernung vom Mittelwert, gemessen in Standardabweichungen, übersetzen:

z = (x − μ) / σ

Ein Wert mit z = 1,5 liegt also 1,5 Standardabweichungen über dem Erwartungswert. Diese Deutung ist oft wichtiger als die bloße Dezimalzahl aus dem Rechner.

Umkehraufgaben zur Normalverteilung

Bei einer direkten Aufgabe sind μ, σ und die Intervallgrenzen bekannt; gesucht ist eine Wahrscheinlichkeit. Bei einer Umkehraufgabe ist eine dieser Größen unbekannt. Typische Varianten sind:

Zu einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit wird eine Grenze beziehungsweise ein Quantil gesucht.
Aus einer bekannten Intervallwahrscheinlichkeit und bekannten Grenzen wird μ oder σ bestimmt.
Ein symmetrisches Intervall um μ soll eine vorgegebene Wahrscheinlichkeit enthalten.

Übersetze zuerst den Text in eine Skizze: Wo liegt der Erwartungswert? Ist eine linke Fläche, eine rechte Fläche oder ein mittlerer Bereich gegeben? Erst danach setzt du die passende Technologie-Funktion ein. Bei einer rechten Restfläche von 5 % liegt links von der gesuchten Grenze beispielsweise eine kumulierte Wahrscheinlichkeit von 95 %.

Symmetrie nutzen: Soll ein symmetrischer Bereich 90 % der Werte enthalten, bleiben insgesamt 10 % außerhalb. Wegen der Symmetrie liegen 5 % links und 5 % rechts. Für die obere Grenze wird daher das 95-%-Quantil benötigt.

Zufallsstreubereich und Konfidenzintervall unterscheiden

Ein Zufallsstreubereich wird vor einer Beobachtung für eine Zufallsgröße festgelegt. Er beschreibt einen Bereich, in dem der zufällige Wert mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit erwartet wird. Bei einer Normalverteilung kann ein symmetrischer 95-%-Bereich näherungsweise mit μ ± 1,96 · σ angegeben werden.

Ein Konfidenzintervall verfolgt die umgekehrte Blickrichtung: Aus beobachteten Stichprobendaten wird ein Bereich für einen unbekannten Parameter geschätzt. Die beiden Begriffe dürfen daher nicht vertauscht werden. In einer Lösung sollte immer klar stehen, ob ein zukünftiger Zufallswert eingegrenzt oder ein unbekannter Modellparameter geschätzt wird.

Bei diskreten Verteilungen müssen die ganzzahligen Grenzen so gewählt werden, dass die geforderte Wahrscheinlichkeit tatsächlich erreicht wird. Ein Rechner kann Quantile liefern; die sachgerechte Wahl und Interpretation der beiden Randwerte bleibt Teil der Lösung.

Zwei selbst entwickelte Beispiele

Beispiel 1: Beanstandete Sensoren

Bei einem Prüfverfahren wird jeder Sensor mit einer Wahrscheinlichkeit von 8 % beanstandet. Für zwölf zufällig ausgewählte Sensoren wird Unabhängigkeit angenommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau zwei Sensoren beanstandet werden?

Modell: Zwei Ausgänge pro Sensor, konstantes p = 0,08, zwölf modellierte unabhängige Versuche. Also gilt X ∼ B(12; 0,08).

P(X = 2) = (12 über 2) · 0,08² · 0,92¹⁰ ≈ 0,1835

Antwort: Mit dem gewählten Modell beträgt die Wahrscheinlichkeit rund 18,4 %. Die Aussage „zwei Sensoren“ muss in der Antwort stehen; eine alleinstehende Dezimalzahl ist keine vollständige Interpretation.

Beispiel 2: Abfüllmenge

Die Füllmenge eines Getränks wird durch X ∼ N(500 ml; 6 ml) modelliert. Welcher Anteil der Flaschen liegt zwischen 491 ml und 509 ml?

Beide Grenzen sind 9 ml vom Erwartungswert entfernt. Standardisiert ergeben sich z = −1,5 und z = 1,5.

P(491 ≤ X ≤ 509) = P(−1,5 ≤ Z ≤ 1,5) ≈ 0,8664

Antwort: Nach dem Normalverteilungsmodell liegen etwa 86,6 % der Füllmengen in diesem Intervall. Das Ergebnis beschreibt einen langfristigen Anteil, nicht eine Garantie für eine konkrete Lieferung.

Ein symmetrischer 95-%-Zufallsstreubereich wäre näherungsweise:

500 ± 1,96 · 6 = [488,24; 511,76] ml

Typische Fehler

P(X ≥ k) wird fälschlich als 1 − P(X ≤ k) gerechnet. Richtig ist 1 − P(X ≤ k − 1).
Bei der Binomialverteilung werden Prozent und Dezimalzahl verwechselt: 8 % entsprechen p = 0,08.
Bei einer stetigen Verteilung wird eine Dichtehöhe als Wahrscheinlichkeit gelesen. Wahrscheinlichkeiten sind Flächen.
Bei einer Umkehraufgabe wird die rechte Restwahrscheinlichkeit direkt als linke kumulierte Wahrscheinlichkeit eingegeben.
Ein Konfidenzintervall wird als Bereich für einzelne Messwerte interpretiert.

Technologie sinnvoll dokumentieren

Grafikrechner, CAS oder Tabellenkalkulation können Binomialwahrscheinlichkeiten, Normalverteilungsflächen und Quantile berechnen. Notiere in einer offenen Antwort trotzdem das Modell, die eingesetzten Parameter und die verwendete Funktion, zum Beispiel n = 12, p = 0,08, gesucht P(X = 2). Bei Umkehraufgaben gehört zusätzlich eine Skizze oder eine eindeutige Beschreibung der eingegebenen Fläche zur nachvollziehbaren Dokumentation.

Die offizielle Korrekturanleitung verlangt bei offenen Antworten einen nachvollziehbaren Rechenansatz beziehungsweise eine Dokumentation des Technologieeinsatzes. Ein kommentarloser Rechnerwert genügt daher nicht.

Prüfungsrelevanz in Österreich

Die österreichischen Prüfungsgebiete Mathematik (AHS) und Angewandte Mathematik (BHS sowie Berufsreifeprüfung) haben unterschiedliche Kompetenzkataloge. Bei BHS und BRP kommt zusätzlich zur gemeinsamen Basis ein schulformspezifischer Teil hinzu. Deshalb ist nicht jeder Abschnitt dieser Seite für jede Schulform im selben Umfang Prüfungsstoff.

Prüfungsweg	Offiziell ausgewiesener Bezug
AHS	Zufallsvariablen, Erwartungswert, Standardabweichung und Binomialverteilung sind im Grundkompetenzkatalog enthalten. Normalverteilung, Quantile und symmetrische Intervalle gelten laut aktuellem Dokument ab dem Haupttermin 2026/27 (Mai 2027).
P: BAfEP/BASOP/BRP	Der clusterspezifische Teil nennt diskrete Zufallsvariablen, Verteilungsfunktion, Erwartungswert und Varianz. Für die BRP ist der offizielle Cluster P maßgeblich; Inhalte anderer BHS-Cluster sind nicht automatisch BRP-Prüfungsstoff.
HTL 1 und HTL 2	Die Clusterkataloge führen Normalverteilung, das Bestimmen unbekannter Parameter, die Verteilung des Stichprobenmittelwerts und Konfidenzintervalle an. „Zufallsstreubereich“ ist dort ein ausdrücklich verwendeter Begriff.
W1: HLFS/HUM und W2: HAK	Beide Wirtschaft-Cluster verlangen das Bestimmen von Erwartungswert oder Standardabweichung einer normalverteilten Zufallsvariablen aus bekannten Bedingungen. Umfang und Kontext richten sich nach dem jeweiligen Clusterkatalog.

Für die Vorbereitung zählt immer der Kompetenzkatalog, der zum eigenen Prüfungstermin und zur eigenen Schulform gehört. Die Aufgabenstellungen verbinden Berechnung regelmäßig mit Interpretation, Modellwahl und Technologieeinsatz.

Offizielle Grundlagen

Grundlagen wie Ereignisse, Baumdiagramme und statistische Kennzahlen findest du auf der Seite Wahrscheinlichkeit und Statistik für die Matura. Passende Original-Prüfungen kannst du in der Matura-Sammlung und im Mathematik-Aufgabenpool durchsuchen.

Verteilungen selbst üben

Trainiere Modellwahl, Rechnerbefehle und Interpretation gemeinsam – genau diese Verbindung ist bei österreichischen Matura-Aufgaben entscheidend.

In der App üben Matura-Aufgaben durchsuchen