Wahrscheinlichkeit und Statistik: Überblick für die Matura
Statistik beschreibt vorhandene Daten. Wahrscheinlichkeitsrechnung modelliert zufällige Vorgänge. Dieser Überblick zeigt die zentralen Kennzahlen und Verteilungen, die du in der Matura berechnen und richtig deuten musst.
Mittelwert, Median und Streuung
| Kennzahl | Bedeutung |
|---|---|
| Arithmetisches Mittel | Summe aller Werte geteilt durch ihre Anzahl; empfindlich gegenüber Ausreißern |
| Median | Mittlerer Wert der sortierten Daten; robust gegenüber Ausreißern |
| Spannweite | Maximum minus Minimum |
| Standardabweichung | Typische Entfernung der Werte vom Mittelwert |
Bei stark schiefen Daten oder einzelnen extremen Werten beschreibt der Median die typische Lage oft besser als der Mittelwert. Genau diese Begründung ist in Interpretationsaufgaben wichtig.
Einen Boxplot lesen
Ein Boxplot verwendet Minimum, erstes Quartil, Median, drittes Quartil und Maximum. In der Box liegen die mittleren 50 % der Daten. Ihre Länge ist der Interquartilsabstand IQR = Q₃ − Q₁.
Achtung: Ein längerer Abschnitt im Boxplot bedeutet eine stärkere Streuung der Werte in diesem Bereich, nicht automatisch mehr Datenpunkte.
Binomialverteilung
Die Binomialverteilung passt, wenn eine feste Anzahl unabhängiger Versuche durchgeführt wird, jeder Versuch genau Erfolg oder Misserfolg hat und die Erfolgswahrscheinlichkeit p gleich bleibt.
P(X = k) = (n über k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏBeispiel: Ein Bauteil ist mit Wahrscheinlichkeit 20 % fehlerhaft. Wie wahrscheinlich sind bei 10 Bauteilen genau 2 fehlerhafte?
P(X = 2) = (10 über 2) · 0,2² · 0,8⁸ ≈ 0,302Die Wahrscheinlichkeit beträgt ungefähr 30,2 %.
Normalverteilung
Eine Normalverteilung ist symmetrisch um den Mittelwert μ. Die Standardabweichung σ bestimmt die Breite: kleines σ bedeutet schmal und hoch, großes σ breit und flach. Wahrscheinlichkeiten entsprechen Flächen unter der Dichtekurve.
Bei einer Standardisierung wird ein Wert x in einen z-Wert umgerechnet:
z = (x − μ) / σTypische Matura-Aufgaben
- Kennzahlen berechnen und Veränderungen nach Ergänzen eines Datenwertes begründen.
- Boxplots vergleichen und Aussagen über Lage oder Streuung prüfen.
- „Genau“, „höchstens“, „mindestens“ und Gegenwahrscheinlichkeiten unterscheiden.
- Parameter einer Binomial- oder Normalverteilung deuten.
- Ein Ergebnis im Sachzusammenhang mit Einheit formulieren.
Verteilungen und Boxplots visualisieren
Verändere Mittelwert, Standardabweichung oder Boxplot-Marker interaktiv und übe danach passende Aufgaben in Pi Mal Daumen.