Wahrscheinlichkeit und Statistik für die Matura
Statistik beschreibt vorhandene Daten. Wahrscheinlichkeitsrechnung modelliert zufällige Vorgänge. Hier lernst du, Kennzahlen und Diagramme zu deuten, mehrstufige Zufallsexperimente zu strukturieren und Ergebnisse verständlich zu begründen.
Mittelwert, Median und Streuung
| Kennzahl | Bedeutung |
|---|---|
| Arithmetisches Mittel | Summe aller Werte geteilt durch ihre Anzahl; empfindlich gegenüber Ausreißern |
| Median | Mittlerer Wert der sortierten Daten; robust gegenüber Ausreißern |
| Spannweite | Maximum minus Minimum |
| Standardabweichung | Typische Entfernung der Werte vom Mittelwert |
Bei stark schiefen Daten oder einzelnen extremen Werten beschreibt der Median die typische Lage oft besser als der Mittelwert. Genau diese Begründung ist in Interpretationsaufgaben wichtig.
Einen Boxplot lesen
Ein Boxplot verwendet Minimum, erstes Quartil, Median, drittes Quartil und Maximum. In der Box liegen die mittleren 50 % der Daten. Ihre Länge ist der Interquartilsabstand IQR = Q₃ − Q₁.
Achtung: Ein längerer Abschnitt im Boxplot bedeutet eine stärkere Streuung der Werte in diesem Bereich, nicht automatisch mehr Datenpunkte.
Regression: ein Modell an Daten anpassen
Eine Regressionsfunktion beschreibt einen Trend in Daten, nicht automatisch einen ursächlichen Zusammenhang. Ein Korrelationskoeffizient nahe 1 oder −1 spricht für einen starken linearen Zusammenhang; ein Wert nahe 0 nur gegen einen linearen Zusammenhang.
Eigenes Beispiel: Zu den Lerntagen t = 1, 2, 3, 4, 5 wurden 55, 60, 62, 68, 72 Punkte erreicht. Die lineare Regression lautet gerundet P(t) = 4,2t + 50,8.
Die Steigung 4,2 bedeutet im Modell durchschnittlich 4,2 zusätzliche Punkte pro Lerntag. Für fünf Tage liefert es P(5) = 71,8 Punkte. Der Achsenabschnitt 50,8 ist der modellierte Wert bei t = 0. Eine Prognose weit außerhalb der fünf beobachteten Tage wäre eine unsichere Extrapolation.
Wahrscheinlichkeit und Baumdiagramme
Wahrscheinlichkeiten liegen zwischen 0 und 1. In einem Baumdiagramm werden Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades multipliziert und alternative, einander ausschließende Pfade addiert. Das Gegenereignis ist oft der kürzeste Weg:
P(mindestens ein Treffer) = 1 − P(kein Treffer)Formuliere zuerst das Ereignis in Worten und erst danach die Rechnung. So werden „höchstens“, „mindestens“ und „genau“ nicht verwechselt.
Bedingte Wahrscheinlichkeit und Venn-Diagramme
Die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A | B) betrachtet nur jene Fälle, in denen B bereits eingetreten ist. Sie ist für P(B) > 0 definiert:
P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)Ein Venn-Diagramm macht Schnittmenge, Vereinigung und Gegenereignis sichtbar. Für zwei Ereignisse gilt P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Bedingte Wahrscheinlichkeit und bestimmte Mengendarstellungen sind in Österreich teilweise schulformspezifisch; der aktuelle Katalog des eigenen Prüfungswegs entscheidet.
Zufallsvariablen und Verteilungen
Wenn möglichen Ergebnissen Zahlenwerte zugeordnet werden, entsteht eine Zufallsvariable. Binomialverteilung, Normalverteilung, Quantile und Zufallsstreubereiche werden auf der eigenen Seite Wahrscheinlichkeitsverteilungen für die Matura ausführlich erklärt.
Typische Matura-Aufgaben
- Kennzahlen berechnen und Veränderungen nach Ergänzen eines Datenwertes begründen.
- Boxplots vergleichen und Aussagen über Lage oder Streuung prüfen.
- „Genau“, „höchstens“, „mindestens“ und Gegenwahrscheinlichkeiten unterscheiden.
- Parameter einer Binomial- oder Normalverteilung deuten.
- Ein Ergebnis im Sachzusammenhang mit Einheit formulieren.
Österreichischer Prüfungsbezug: Datenanalyse sowie Wahrscheinlichkeit und Statistik bilden einen eigenen AHS-Grundkompetenzbereich und gehören auch zum gemeinsamen BHS-/BRP-Kern. Regression, bedingte Wahrscheinlichkeit und einzelne Verteilungsmodelle können je nach Prüfungsweg unterschiedlich gewichtet oder erst ab einem bestimmten Termin verbindlich sein.
Verteilungen und Boxplots visualisieren
Verändere Mittelwert, Standardabweichung oder Boxplot-Marker interaktiv und übe danach passende Aufgaben in Pi Mal Daumen.