Geometrie und Trigonometrie für die Matura
Trigonometrie verbindet Seitenlängen und Winkel. Bevor du eine Formel wählst, kläre immer: Ist das Dreieck rechtwinklig, welche Größen sind gegeben und welche wird gesucht?
Rechtwinklige Dreiecke
Im rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse die Seite gegenüber dem rechten Winkel. Für die Katheten a, b und Hypotenuse c gilt:
a² + b² = c²Bezogen auf einen Winkel α verbinden die Winkelfunktionen Gegenkathete, Ankathete und Hypotenuse:
| sin(α) | Gegenkathete / Hypotenuse |
| cos(α) | Ankathete / Hypotenuse |
| tan(α) | Gegenkathete / Ankathete |
Sinussatz und Cosinussatz
In einem beliebigen Dreieck mit gegenüberliegenden Seiten-Winkel-Paaren a/α, b/β und c/γ gilt der Sinussatz:
a / sin(α) = b / sin(β) = c / sin(γ)Der Cosinussatz verallgemeinert den Satz des Pythagoras:
c² = a² + b² − 2ab · cos(γ)Entscheidungshilfe: Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sprechen für den Cosinussatz. Ein bekanntes gegenüberliegendes Seiten-Winkel-Paar spricht meist für den Sinussatz.
Flächen und Kreise
Zur ebenen Geometrie gehören auch Flächen und Kreise. Für ein Dreieck gilt A = g · h / 2; sind zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel bekannt, verwendest du A = a · b · sin(γ) / 2. Beim Kreis berechnest du den Umfang mit U = 2πr und die Fläche mit A = πr². Achte bei zusammengesetzten Figuren darauf, Teilflächen nachvollziehbar zu addieren oder abzuziehen.
Alle weiteren Formeln findest du im durchsuchbaren Mathematik-Formelheft.
Durchgerechnetes Beispiel
Eine 5 m lange Leiter lehnt an einer Wand. Ihr Fuß steht 1,2 m von der Wand entfernt. Wie hoch reicht sie und welchen Winkel bildet sie mit dem Boden?
Höhe mit Pythagoras:
h = √(5² − 1,2²) = √23,56 ≈ 4,85 mWinkel mit Cosinus:
cos(α) = 1,2 / 5 ⇒ α = arccos(0,24) ≈ 76,1°Die Leiter reicht etwa 4,85 m hoch und bildet mit dem Boden einen Winkel von ungefähr 76,1°.
Typische Aufgaben in der Mathematik-Matura
- Höhen, Entfernungen oder Neigungswinkel aus einer Skizze bestimmen.
- Sinus-, Cosinus- oder Tangenswert im Kontext deuten.
- Zwischen Gradmaß und Bogenmaß umrechnen.
- Fläche eines Dreiecks mit A = a · b · sin(γ) / 2 berechnen.
- Prüfen, ob ein Ergebnis geometrisch sinnvoll ist.
Häufiger Fehler: Kontrolliere vor dem Rechnen den Winkelmodus des Taschenrechners. Bei einer Aufgabe in Grad muss er auf DEG stehen; beim Bogenmaß auf RAD.
Geometrie gezielt üben
Pi Mal Daumen enthält Lernpfade zu Pythagoras, Winkelfunktionen, Sinus- und Cosinussatz sowie Matura-Aufgaben mit Lösungsweg.