Geometrie und Trigonometrie für die Matura
Trigonometrie verbindet Seitenlängen und Winkel. Bevor du eine Formel wählst, kläre immer: Ist das Dreieck rechtwinklig, welche Größen sind gegeben und welche wird gesucht?
Rechtwinklige Dreiecke
Im rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse die Seite gegenüber dem rechten Winkel. Für die Katheten a, b und Hypotenuse c gilt:
a² + b² = c²Bezogen auf einen Winkel α verbinden die Winkelfunktionen Gegenkathete, Ankathete und Hypotenuse:
| sin(α) | Gegenkathete / Hypotenuse |
| cos(α) | Ankathete / Hypotenuse |
| tan(α) | Gegenkathete / Ankathete |
Sinussatz und Cosinussatz
In einem beliebigen Dreieck mit gegenüberliegenden Seiten-Winkel-Paaren a/α, b/β und c/γ gilt der Sinussatz:
a / sin(α) = b / sin(β) = c / sin(γ)Der Cosinussatz verallgemeinert den Satz des Pythagoras:
c² = a² + b² − 2ab · cos(γ)Entscheidungshilfe: Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sprechen für den Cosinussatz. Ein bekanntes gegenüberliegendes Seiten-Winkel-Paar spricht meist für den Sinussatz.
Bogenmaß und trigonometrische Funktionen
Das Bogenmaß misst einen Winkel über die Länge des zugehörigen Kreisbogens bei Radius 1. Eine volle Umdrehung entspricht 2π, ein gestreckter Winkel π und ein rechter Winkel π/2. Für die Umrechnung gilt:
αrad = αgrad · π / 180Sinus und Cosinus werden damit zu periodischen Funktionen. Ein Modell f(t) = a · sin(ωt + φ) + d besitzt Amplitude |a|, Mittellinie d und Periode T = 2π/|ω|. Solche Modelle beschreiben etwa Schwingungen oder jahreszeitliche Schwankungen.
Eigenes Beispiel: Ein Messwert schwankt nach h(t) = 2,5 · sin(πt/6) + 8.
Die Amplitude beträgt 2,5, die Mittellinie 8 und wegen ω = π/6 ist die Periode T = 2π/(π/6) = 12 Zeiteinheiten. Nach 12 Einheiten wiederholt sich der Verlauf.
Flächen und Kreise
Zur ebenen Geometrie gehören auch Flächen und Kreise. Für ein Dreieck gilt A = g · h / 2; sind zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel bekannt, verwendest du A = a · b · sin(γ) / 2. Beim Kreis berechnest du den Umfang mit U = 2πr und die Fläche mit A = πr². Achte bei zusammengesetzten Figuren darauf, Teilflächen nachvollziehbar zu addieren oder abzuziehen.
Alle weiteren Formeln findest du im durchsuchbaren Mathematik-Formelheft.
Durchgerechnetes Beispiel
Eine 5 m lange Leiter lehnt an einer Wand. Ihr Fuß steht 1,2 m von der Wand entfernt. Wie hoch reicht sie und welchen Winkel bildet sie mit dem Boden?
Höhe mit Pythagoras:
h = √(5² − 1,2²) = √23,56 ≈ 4,85 mWinkel mit Cosinus:
cos(α) = 1,2 / 5 ⇒ α = arccos(0,24) ≈ 76,1°Die Leiter reicht etwa 4,85 m hoch und bildet mit dem Boden einen Winkel von ungefähr 76,1°.
Typische Aufgaben in der Mathematik-Matura
- Höhen, Entfernungen oder Neigungswinkel aus einer Skizze bestimmen.
- Sinus-, Cosinus- oder Tangenswert im Kontext deuten.
- Zwischen Gradmaß und Bogenmaß umrechnen.
- Fläche eines Dreiecks mit A = a · b · sin(γ) / 2 berechnen.
- Prüfen, ob ein Ergebnis geometrisch sinnvoll ist.
Häufiger Fehler: Kontrolliere vor dem Rechnen den Winkelmodus des Taschenrechners. Bei einer Aufgabe in Grad muss er auf DEG stehen; beim Bogenmaß auf RAD.
Richtungen, Geraden und Lagebeziehungen in zwei oder drei Dimensionen werden auf der eigenen Seite Vektoren für die Matura erklärt.
Österreichischer Prüfungsbezug: Rechtwinklige Dreiecke und das Deuten trigonometrischer Zusammenhänge gehören zum grundlegenden Stoff. Sinus- und Cosinussatz sowie weiterführende Modelle sind je nach BHS-/BRP-Cluster unterschiedlich relevant und werden im aktuellen AHS-Grundkompetenzkatalog nicht pauschal verlangt.
Geometrie gezielt üben
Pi Mal Daumen enthält Lernpfade zu Pythagoras, Winkelfunktionen, Sinus- und Cosinussatz sowie Matura-Aufgaben mit Lösungsweg.