Funktionen für die Matura
Funktionen beschreiben, wie eine Größe von einer anderen abhängt. Für die Mathe-Matura musst du Darstellungen verbinden, Parameter deuten und passende Modelle auswählen können.
Was ist eine Funktion?
Eine Funktion ordnet jedem zulässigen Wert x genau einen Funktionswert f(x) zu. Du kannst sie als Formel, Wertetabelle, Graph oder Textbeschreibung erhalten. In Prüfungsaufgaben ist gerade der Wechsel zwischen diesen Darstellungen wichtig.
Merke: Eine Nullstelle erfüllt f(x) = 0. Der y-Achsenabschnitt ist f(0). Steigen die Funktionswerte, ist die Funktion im betrachteten Bereich monoton steigend.
Die wichtigsten Funktionstypen
| Typ | Grundform | Typische Bedeutung |
|---|---|---|
| Linear | f(x) = k · x + d | Konstante Änderung; k ist die Steigung |
| Quadratisch | f(x) = a · x² + b · x + c | Parabel mit Hoch- oder Tiefpunkt |
| Polynom | f(x) = aₙxⁿ + … + a₀ | Flexible Modelle mit mehreren Extremstellen |
| Exponentiell | f(x) = a · bˣ | Gleicher prozentueller Zu- oder Abnahmefaktor |
Bei linearen Funktionen kommt in gleichen Schritten immer derselbe absolute Betrag hinzu. Bei Exponentialfunktionen wird in gleichen Schritten immer mit demselben Faktor multipliziert. Diese Unterscheidung ist eine häufige Prüfungsfrage.
Durchgerechnetes Beispiel
Ein Taxi verlangt eine Grundgebühr von 4 Euro und zusätzlich 2,40 Euro pro gefahrenem Kilometer.
Funktionsgleichung:
K(x) = 2,40 · x + 4Die Steigung 2,40 ist der Preis pro Kilometer. Der y-Achsenabschnitt 4 ist die Grundgebühr. Für 12 km gilt:
K(12) = 2,40 · 12 + 4 = 32,80 €Umgekehrt kostet eine Fahrt mit 25 Euro:
25 = 2,40 · x + 4 ⇒ x = 8,75 kmTypische Aufgaben in der Mathematik-Matura
- Parameter einer Funktion aus zwei Punkten bestimmen.
- Steigung oder Wachstumsfaktor im Sachzusammenhang deuten.
- Nullstellen, Schnittpunkte und Extremstellen mit Ableitungen berechnen.
- Aus Tabelle oder Graph den passenden Funktionstyp erkennen.
- Ein Modell aufstellen und seine Grenzen begründen.
Häufiger Fehler: Ein Wachstumsfaktor von 1,03 bedeutet eine Zunahme um 3 %, nicht um 103 %. Bei einer Abnahme um 3 % lautet der Faktor 0,97.
Funktionen selbst üben
In Pi Mal Daumen findest du Lernpfade zu linearen, polynomialen und exponentiellen Funktionen sowie echte Matura-Aufgaben mit Lösungsweg.