Funktionen für die Matura
Funktionen beschreiben, wie eine Größe von einer anderen abhängt. Für die Mathe-Matura musst du Darstellungen verbinden, Parameter deuten und passende Modelle auswählen können.
Was ist eine Funktion?
Eine Funktion ordnet jedem zulässigen Wert x genau einen Funktionswert f(x) zu. Du kannst sie als Formel, Wertetabelle, Graph oder Textbeschreibung erhalten. In Prüfungsaufgaben ist gerade der Wechsel zwischen diesen Darstellungen wichtig.
Merke: Eine Nullstelle erfüllt f(x) = 0. Der y-Achsenabschnitt ist f(0). Steigen die Funktionswerte, ist die Funktion im betrachteten Bereich monoton steigend.
Die wichtigsten Funktionstypen
| Typ | Grundform | Typische Bedeutung |
|---|---|---|
| Linear | f(x) = k · x + d | Konstante Änderung; k ist die Steigung |
| Quadratisch | f(x) = a · x² + b · x + c | Parabel mit Hoch- oder Tiefpunkt |
| Polynom | f(x) = aₙxⁿ + … + a₀ | Flexible Modelle mit mehreren Extremstellen |
| Potenz | f(x) = a · xʳ | Proportionalitäten und Skalengesetze |
| Exponentiell | f(x) = a · bˣ | Gleicher prozentueller Zu- oder Abnahmefaktor |
Bei linearen Funktionen kommt in gleichen Schritten immer derselbe absolute Betrag hinzu. Bei Exponentialfunktionen wird in gleichen Schritten immer mit demselben Faktor multipliziert. Diese Unterscheidung ist eine häufige Prüfungsfrage.
Lineare Funktionen
In f(x) = kx + d ist k die Änderung von f(x) pro zusätzlicher x-Einheit und d der Anfangswert bei x = 0. Aus zwei Punkten erhältst du k = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). Einheiten gehören zur Deutung: Aus „Euro pro Stunde“ wird nicht bloß eine einheitenlose Steigung.
Quadratische und polynomiale Funktionen
Quadratische Funktionen besitzen eine Symmetrieachse und – abhängig vom Vorzeichen des Leitkoeffizienten – einen Hoch- oder Tiefpunkt. Bei allgemeinen Polynomfunktionen liefern Nullstellen, Ableitungen und das Verhalten für große Beträge von x ein vollständiges Bild des Graphen. Mehr dazu steht auf der Seite Differentialrechnung.
Potenzfunktionen
Bei f(x) = a · xʳ entscheidet der Exponent über Definitionsbereich und Form. Verdoppelt man x, wird der Funktionswert mit 2ʳ multipliziert. Diese Skalierungsregel hilft, Sachmodelle zu prüfen, ohne jeden Wert einzeln auszurechnen.
Exponentielle Modelle: Wachstum und Zerfall
Ein Modell N(t) = N₀ · aᵗ ist passend, wenn sich ein Bestand in gleichen Zeitabständen um denselben Prozentsatz ändert. Mit einer kontinuierlichen Rate wird häufig N(t) = N₀ · ekt verwendet. Für a > 1 beziehungsweise k > 0 liegt Wachstum vor; Werte zwischen 0 und 1 beziehungsweise ein negatives k beschreiben Zerfall.
Eigenes Beispiel: Eine Kultur startet mit 800 Zellen und wächst stündlich um 12 %.
N(t) = 800 · 1,12ᵗNach 6 Stunden sind es N(6) ≈ 1579 Zellen. Für die Verdopplungszeit löst man 1,12ᵗ = 2 und erhält t = ln(2)/ln(1,12) ≈ 6,12 Stunden.
Beschränktes und logistisches Wachstum
Ein reales Wachstum kann sich einer Grenze annähern. Beim beschränkten Modell nimmt die Differenz zur Sättigungsgrenze exponentiell ab; beim logistischen Modell wächst der Bestand zunächst schneller und später langsamer. Prüfe deshalb nicht nur eine Formel, sondern auch Anfangswert, Grenzwert und die Bedeutung ihrer Parameter.
Folgen, Reihen und Logarithmen
Eine arithmetische Folge hat eine konstante Differenz, eine geometrische Folge einen konstanten Quotienten. Das sind die diskreten Gegenstücke zu linearen und exponentiellen Modellen. Eine Reihe addiert Folgenglieder; ob sie im eigenen Prüfungsweg verlangt wird, hängt bei BHS und BRP vom Kompetenzcluster ab.
Logarithmen als Umkehrung
Der Logarithmus beantwortet die Frage nach einem Exponenten: logb(y) = x bedeutet bˣ = y. Es gelten unter anderem ln(ab) = ln(a) + ln(b) und ln(aʳ) = r · ln(a). Die Summenregel ln(a + b) = ln(a) + ln(b) existiert dagegen nicht.
Bei logarithmischen Skalen steht ein gleicher Abstand für denselben Faktor statt für dieselbe Differenz. Solche Darstellungen sind eine schulformspezifische Vertiefung und müssen immer über Achsenbeschriftung und Einheit gelesen werden.
Durchgerechnetes Beispiel
Ein Taxi verlangt eine Grundgebühr von 4 Euro und zusätzlich 2,40 Euro pro gefahrenem Kilometer.
Funktionsgleichung:
K(x) = 2,40 · x + 4Die Steigung 2,40 ist der Preis pro Kilometer. Der y-Achsenabschnitt 4 ist die Grundgebühr. Für 12 km gilt:
K(12) = 2,40 · 12 + 4 = 32,80 €Umgekehrt kostet eine Fahrt mit 25 Euro:
25 = 2,40 · x + 4 ⇒ x = 8,75 kmTypische Aufgaben in der Mathematik-Matura
- Parameter einer Funktion aus zwei Punkten bestimmen.
- Steigung oder Wachstumsfaktor im Sachzusammenhang deuten.
- Nullstellen, Schnittpunkte und Extremstellen mit Ableitungen berechnen.
- Aus Tabelle oder Graph den passenden Funktionstyp erkennen.
- Ein Modell aufstellen und seine Grenzen begründen.
Häufiger Fehler: Ein Wachstumsfaktor von 1,03 bedeutet eine Zunahme um 3 %, nicht um 103 %. Bei einer Abnahme um 3 % lautet der Faktor 0,97.
Österreichischer Prüfungsbezug: Funktionale Abhängigkeiten gehören zum AHS-Grundkompetenzbereich und zum gemeinsamen Kern der Angewandten Mathematik. Einzelne Modelltypen und logarithmische Darstellungen können bei BHS und BRP je nach Cluster unterschiedlich gewichtet sein. Verbindlich ist der aktuelle Kompetenzkatalog des eigenen Prüfungswegs.
Funktionen selbst üben
In Pi Mal Daumen findest du Lernpfade zu linearen, polynomialen und exponentiellen Funktionen sowie echte Matura-Aufgaben mit Lösungsweg.