Ableitungen für die Matura
Die Ableitung gibt an, wie schnell sich eine Funktion an einer Stelle ändert. Geometrisch ist f′(x₀) die Steigung der Tangente an den Graphen im Punkt (x₀ | f(x₀)).
Was Änderungsmaße und Ableitungen bedeuten
Der Differenzenquotient beschreibt die mittlere Änderungsrate zwischen zwei Stellen:
( f(x) − f(x₀) ) / ( x − x₀ )Lässt man x gegen x₀ laufen, wird daraus die momentane Änderungsrate – die Ableitung:
f′(x₀) = limx → x₀ ( f(x) − f(x₀) ) / ( x − x₀ )In Anwendungsaufgaben steht die Ableitung fast immer für eine Geschwindigkeit im weiteren Sinn: Weg nach Zeit ergibt Geschwindigkeit, Kosten nach Stückzahl ergeben Grenzkosten, Bestand nach Zeit ergibt Zuwachs.
Die Ableitungsregeln
| Regel | Funktion | Ableitung |
|---|---|---|
| Potenzregel | xⁿ | n · xⁿ⁻¹ |
| Konstante | c | 0 |
| Faktorregel | c · f(x) | c · f′(x) |
| Summenregel | f(x) + g(x) | f′(x) + g′(x) |
| Produktregel | f(x) · g(x) | f′(x) · g(x) + f(x) · g′(x) |
| Quotientenregel | f(x) / g(x), g(x) ≠ 0 | ( f′(x) · g(x) − f(x) · g′(x) ) / g(x)² |
| Kettenregel | f( g(x) ) | f′( g(x) ) · g′(x) |
Wichtige Grundableitungen
| f(x) | f′(x) |
|---|---|
| eˣ | eˣ |
| ln(x), x > 0 | 1 / x |
| sin(x) | cos(x) |
| cos(x) | −sin(x) |
| √x, x > 0 | 1 / (2 · √x) |
Wozu man die Ableitung braucht
| Frage | Hinreichender Test |
|---|---|
| Wo steigt der Graph? | f′(x) > 0 auf dem Intervall |
| Wo fällt der Graph? | f′(x) < 0 auf dem Intervall |
| Hochpunkt | f′ wechselt von + zu −; oft gilt f′(x₀) = 0 und f″(x₀) < 0 |
| Tiefpunkt | f′ wechselt von − zu +; oft gilt f′(x₀) = 0 und f″(x₀) > 0 |
| Wendepunkt | Die Krümmung wechselt; f″(x₀) = 0 und f‴(x₀) ≠ 0 genügt |
| Tangente in x₀ | t(x) = f(x₀) + f′(x₀) · (x − x₀) |
Häufiger Fehler: f′(x₀) = 0 allein genügt nicht für einen Extrempunkt. Bei f(x) = x³ ist f′(0) = 0, der Graph hat dort aber nur einen Sattelpunkt. Auch der Test mit der zweiten beziehungsweise dritten Ableitung ist hinreichend, aber nicht notwendig; im Zweifelsfall prüfst du den Vorzeichenwechsel.
Bewegungsaufgaben: Weg, Tempo und Beschleunigung
Beschreibt s(t) einen Weg in Metern, dann ist v(t) = s′(t) die momentane Geschwindigkeit in Metern pro Sekunde und a(t) = s″(t) die Beschleunigung in Metern pro Sekunde zum Quadrat. Die mittlere Geschwindigkeit zwischen zwei Zeitpunkten ist dagegen ein Differenzenquotient.
Eigenes Beispiel: Ein Modellauto fährt nach s(t) = 0,4t³ + 1,2t. Gesucht sind Geschwindigkeit und Beschleunigung nach 3 Sekunden.
v(t) = 1,2t² + 1,2 und a(t) = 2,4t v(3) = 12 m/s und a(3) = 7,2 m/s²Eine vollständige Antwort nennt nicht nur die Zahlen, sondern auch Zeitpunkt, Bedeutung und Einheiten.
Umkehraufgaben der Differentialrechnung
Bei einer Umkehraufgabe sind Eigenschaften einer Funktion vorgegeben und daraus werden Parameter bestimmt. Liegt etwa ein Extrempunkt E(2 | 5) auf f, entstehen zwei Bedingungen: f(2) = 5 und f′(2) = 0. Aus mehreren Bedingungen erhältst du ein Gleichungssystem für die unbekannten Koeffizienten.
Strategie: Übersetze jede Textangabe zuerst in genau eine mathematische Bedingung. „Punkt liegt auf dem Graphen“, „waagrechte Tangente“ und „Wendestelle“ bedeuten unterschiedliche Gleichungen.
Abgrenzung zu Differentialgleichungen
Eine Differentialgleichung verknüpft eine unbekannte Funktion mit ihren Ableitungen, zum Beispiel N′(t) = k · N(t). Das ist keine bloße Ableitungsaufgabe, sondern ein Modellgesetz. In den österreichischen Kompetenzkatalogen ist dieses Thema eine schulformspezifische Vertiefung; für die AHS-Grundkompetenzen wird es nicht pauschal vorausgesetzt.
Durchgerechnetes Beispiel
Gegeben ist die Funktion
f(x) = x³ − 3x² + 21. Ableitungen bilden
f′(x) = 3x² − 6x = 3x · (x − 2) f″(x) = 6x − 62. Kandidaten für Extremstellen
f′(x) = 0 ergibt x = 0 und x = 2.
3. Art der Extremstellen prüfen
f″(0) = −6 < 0 → Hochpunkt H(0 | 2)
f″(2) = 6 > 0 → Tiefpunkt T(2 | −2)
4. Wendepunkt
f″(x) = 0 ergibt x = 1. Wegen f‴(x) = 6 ≠ 0 liegt dort ein Wendepunkt: W(1 | 0).
5. Monotonie
steigend für x < 0 und x > 2, fallend für 0 < x < 2.
6. Tangente an der Stelle x₀ = 3
f(3) = 2 und f′(3) = 9, also
t(x) = 2 + 9 · (x − 3) = 9x − 25Typische Aufgabenstellungen in der Matura
- Ableitung bilden und Nullstellen der Ableitung bestimmen.
- Aus dem Graphen von f′ auf den Verlauf von f schließen.
- Extremwertaufgaben: größtes Volumen, kleinste Kosten, kürzester Weg.
- Momentane Änderungsrate im Sachzusammenhang deuten und die Einheit angeben.
- Tangenten- oder Normalengleichung aufstellen.
Solche Aufgaben findest du in den bisherigen Mathe-Matura-Angaben und Lösungen. Die Steigung einer Tangente und den Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitung kannst du außerdem in den interaktiven Mathe-Visualisierungen direkt verändern und beobachten.
Österreichischer Prüfungsbezug: Änderungsraten, Ableitungen und ihre Deutung gehören zu den zentralen Analysis-Kompetenzen. Welche Modellierungs- und Differentialgleichungsaufgaben hinzukommen, hängt bei BHS und BRP vom jeweiligen Prüfungscluster ab.
Selbst üben
In Pi Mal Daumen gibt es zu Ableitungen einen eigenen Lernpfad sowie Aufgaben mit vollständigem Lösungsweg – kostenlos und ohne Anmeldung zum Ausprobieren.