Ableitungen
Die Ableitung gibt an, wie schnell sich eine Funktion an einer Stelle ändert. Geometrisch ist f′(x₀) die Steigung der Tangente an den Graphen im Punkt (x₀ | f(x₀)).
Was die Ableitung bedeutet
Der Differenzenquotient beschreibt die mittlere Änderungsrate zwischen zwei Stellen:
( f(x) − f(x₀) ) / ( x − x₀ )Lässt man x gegen x₀ laufen, wird daraus die momentane Änderungsrate – die Ableitung:
f′(x₀) = limx → x₀ ( f(x) − f(x₀) ) / ( x − x₀ )In Anwendungsaufgaben steht die Ableitung fast immer für eine Geschwindigkeit im weiteren Sinn: Weg nach Zeit ergibt Geschwindigkeit, Kosten nach Stückzahl ergeben Grenzkosten, Bestand nach Zeit ergibt Zuwachs.
Die Ableitungsregeln
| Regel | Funktion | Ableitung |
|---|---|---|
| Potenzregel | xⁿ | n · xⁿ⁻¹ |
| Konstante | c | 0 |
| Faktorregel | c · f(x) | c · f′(x) |
| Summenregel | f(x) + g(x) | f′(x) + g′(x) |
| Produktregel | f(x) · g(x) | f′(x) · g(x) + f(x) · g′(x) |
| Quotientenregel | f(x) / g(x) | ( f′(x) · g(x) − f(x) · g′(x) ) / g(x)² |
| Kettenregel | f( g(x) ) | f′( g(x) ) · g′(x) |
Wichtige Grundableitungen
| f(x) | f′(x) |
|---|---|
| eˣ | eˣ |
| ln(x) | 1 / x |
| sin(x) | cos(x) |
| cos(x) | −sin(x) |
| √x | 1 / (2 · √x) |
Wozu man die Ableitung braucht
| Frage | Kriterium |
|---|---|
| Wo steigt der Graph? | f′(x) > 0 auf dem Intervall |
| Wo fällt der Graph? | f′(x) < 0 auf dem Intervall |
| Hochpunkt | f′(x₀) = 0 und f″(x₀) < 0 |
| Tiefpunkt | f′(x₀) = 0 und f″(x₀) > 0 |
| Wendepunkt | f″(x₀) = 0 und f‴(x₀) ≠ 0 |
| Tangente in x₀ | t(x) = f(x₀) + f′(x₀) · (x − x₀) |
Häufiger Fehler: f′(x₀) = 0 allein genügt nicht für einen Extrempunkt. Bei f(x) = x³ ist f′(0) = 0, der Graph hat dort aber nur einen Sattelpunkt.
Durchgerechnetes Beispiel
Gegeben ist die Funktion
f(x) = x³ − 3x² + 21. Ableitungen bilden
f′(x) = 3x² − 6x = 3x · (x − 2) f″(x) = 6x − 62. Kandidaten für Extremstellen
f′(x) = 0 ergibt x = 0 und x = 2.
3. Art der Extremstellen prüfen
f″(0) = −6 < 0 → Hochpunkt H(0 | 2)
f″(2) = 6 > 0 → Tiefpunkt T(2 | −2)
4. Wendepunkt
f″(x) = 0 ergibt x = 1. Wegen f‴(x) = 6 ≠ 0 liegt dort ein Wendepunkt: W(1 | 0).
5. Monotonie
steigend für x < 0 und x > 2, fallend für 0 < x < 2.
6. Tangente an der Stelle x₀ = 3
f(3) = 2 und f′(3) = 9, also
t(x) = 2 + 9 · (x − 3) = 9x − 25Typische Aufgabenstellungen in der Matura
- Ableitung bilden und Nullstellen der Ableitung bestimmen.
- Aus dem Graphen von f′ auf den Verlauf von f schließen.
- Extremwertaufgaben: größtes Volumen, kleinste Kosten, kürzester Weg.
- Momentane Änderungsrate im Sachzusammenhang deuten und die Einheit angeben.
- Tangenten- oder Normalengleichung aufstellen.
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