Mathematik-Matura Jänner 2026 · AHS – Aufgaben

AHS
13. Jänner 2026
Mathematik
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reifeprüfung
Name:
Klasse:

13. Jänner 2026 / AHS / Mathematik S. 2 /34
Hinweise zur Aufgabenbearbeitung
Sehr geehrte Kandidatin! Sehr geehrter Kandidat!
Beurteilungsschlüssel
erreichte Punkte Note
32 – 36 Punkte Sehr gut
27 – 31,5 Punkte Gut
22 – 26,5 Punkte Befriedigend
17 – 21,5 Punkte Genügend
0 – 16,5 Punkte Nicht genügend
Best-of-Wertung: Für die Aufgaben 26, 27 und 28 gilt eine Best-of-Wertung. Von diesen drei Teil-2-Aufgaben
wird diejenige Aufgabe, bei der die niedrigste Punkteanzahl erreicht worden ist, nicht gewertet.
Viel Erfolg!
Das vorliegende Aufgabenheft enthält Teil-1-Aufgaben
und Teil-2-Aufgaben (bestehend aus Teilaufgaben).
Die Aufgaben bzw. Teilaufgaben sind unabhängig voneinander bearbeitbar. Ihnen stehen 270 Minuten an
Arbeitszeit zur Verfügung.
Verwenden Sie für die Bearbeitung ausschließlich
dieses Aufgabenheft und das Ihnen zur Verfügung gestellte Arbeitspapier. Schreiben Sie Ihren Namen und
Ihre Klasse in die dafür vorgesehenen Felder auf dem
Deckblatt des Aufgabenhefts sowie Ihren Namen und
die fortlaufende Seitenzahl auf jedes verwendete Blatt
Arbeitspapier. Geben Sie bei der Beantwortung jeder
Handlungsanweisung deren Bezeichnung (z. B.: 25a1)
auf dem Arbeitspapier an.
In die Beurteilung wird alles einbezogen, was nicht
durchgestrichen ist.
Die Verwendung der vom zuständigen Regierungs mitglied für die Klausurarbeit freigegebenen Formel sammlung für die SRP in Mathematik ist erlaubt.
Weiters ist die Verwendung von elektronischen Hilfs mitteln (z. B. grafik fähiger Taschenrechner oder andere
entsprechende Technologie) erlaubt, sofern keine
Kommunikationsmöglichkeit (z. B. via Internet, Intranet,
Bluetooth, Mobilfunknetzwerke etc.) gegeben ist und
der Zugriff auf Eigendateien im elektronischen Hilfs mittel nicht möglich ist.
Eine Erläuterung der Antwortformate liegt im Prüfungsraum zur Durchsicht auf.
Handreichung für die Bearbeitung
– Lösungen müssen jedenfalls eindeutig als solche
erkennbar sein.
– Lösungen müssen jedenfalls mit zugehörigen
Einheiten angegeben werden, wenn dazu in der
Handlungsanweisung explizit aufgefordert wird.
Bei offenen Antwortformaten steht für die Punktevergabe der Nachweis der jeweiligen Grundkompetenz im Vordergrund. Für die Bearbeitung offener
Antwortformate wird empfohlen:
– den Lösungsweg, auch im Fall von Technologieeinsatz, nachvollziehbar zu dokumentieren,
– selbst gewählte Variablen zu erklären und gegebenenfalls mit den zugehörigen Einheiten anzugeben,
– frühzeitiges Runden zu vermeiden,
– Diagramme oder Skizzen zu beschriften.
So ändern Sie Ihre Antwort bei Aufgaben zum Ankreuzen:
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr
gültigen Antwort.
2. Kreuzen Sie dann das gewünschte Kästchen an.
Hier wurde zuerst die Antwort „5 + 5 = 9“ gewählt
und dann auf „2 + 2 = 4“ geändert.
1 + 1 = 3 
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 5 
4 + 4 = 4 
5 + 5 = 9 
6 + 6 = 10 
So wählen Sie eine bereits übermalte Antwort:
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr
gültigen Antwort.
2. Kreisen Sie das gewünschte übermalte Kästchen
ein.
Hier wurde zuerst die Antwort „2 + 2 = 4“ übermalt
und dann wieder gewählt.
1 + 1 = 3 
2 + 2 = 4
3 + 3 = 5 
4 + 4 = 4 
5 + 5 = 9 
6 + 6 = 10 

13. Jänner 2026 / AHS / Mathematik S. 3 /34
Aufgabe 1
Zahlenmengen
Im Folgenden sind vier Zahlenmengen und sechs Zahlen angegeben.
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den vier Zahlenmengen jeweils diejenige Zahl aus A bis F zu, die in dieser Zahlen menge enthalten ist.
ℕ
ℤ \ ℕ
ℚ \ ℤ
ℂ \ ℝ
A

7
B
π
4
C
20
5
D –

169
E 2 ∙ i
F 1,4
∙
[0 / ½ / 1 P.]

13. Jänner 2026 / AHS / Mathematik S. 4 /34
Aufgabe 2
Küchenaktion
Im Rahmen einer Küchenaktion verringert ein Möbelhaus den Nettopreis N einer bestimmten
Einbauküche um 25 %.
Der Verkaufspreis P setzt sich aus dem verringerten Nettopreis und einer Mehrwertsteuer von
20 % auf diesen verringerten Nettopreis zusammen.
Aufgabenstellung:
Stellen Sie mithilfe von P eine Formel zur Berechnung von N auf.
N =
[0 / 1 P.]

13. Jänner 2026 / AHS / Mathematik S. 5 /34
Aufgabe 3
Lineares Gleichungssystem mit unendlich vielen Lösungen
Gegeben ist das nachstehende lineare Gleichungssystem in den Variablen x und y mit a , c ∈ ℝ .
a · x + 4 · y = 8
7 · x – 2 · y = c
Das Gleichungssystem hat unendlich viele reelle Lösungen.
Aufgabenstellung:
Geben Sie a und c an.
a =
c =
[0 / 1 P.]

13. Jänner 2026 / AHS / Mathematik S. 6 /34
Aufgabe 4
Vektoren in der Ebene
In der unten stehenden Abbildung sind die Vektoren u und v mit u , v ∈ ℝ
2
sowie der Punkt A
dargestellt.
Es gilt: w = 3 ∙ u – 2 ∙ v
Aufgabenstellung:
Zeichnen Sie in der nachstehenden Abbildung den Vektor w ausgehend vom Punkt A ein.
u
v
y
x
14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 15
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
11
A
[0 / 1 P.]

13. Jänner 2026 / AHS / Mathematik S. 7 /34
Aufgabe 5
Lagebeziehung von Geraden
Gegeben sind Parameterdarstellungen der Geraden g und h .
g : X = (
0
2
) + r ∙ (
1
–3
) mit r ∈ ℝ
h : X = (
0
–2
) + s ∙ (
–2
6
) mit s ∈ ℝ
Aufgabenstellung:
Begründen Sie mathematisch, warum g und h parallel, aber nicht identisch sind.
[0 / 1 P.]

13. Jänner 2026 / AHS / Mathematik S. 8 /34
Aufgabe 6
Sendemast
Die Punkte A , B und T liegen in einer horizontalen Ebene auf einer Geraden. Im Punkt T steht ein
Sendemast mit der Spitze S . Die Spitze S ist unter anderem durch straff gespannte Seile mit den
Punkten A und B verbunden. Die Seile werden durch die Strecken AS und BS modelliert. (Siehe
nachstehende nicht maßstabgetreue Abbildung.)
55°
23°
S
T B A
Die Strecke mit der Länge x kann mithilfe der nachstehenden Formel berechnet werden.
AT ∙ tan(55°) = x ∙ cos(23°)
Aufgabenstellung:
Markieren Sie die Strecke x in der obigen Abbildung.
[0 / 1 P.]

13. Jänner 2026 / AHS / Mathematik S. 9 /34
Aufgabe 7
Längenausdehnung
Stäbe aus verschiedenen Materialien, die bei einer Temperatur von 0 °C jeweils eine Länge von
1 m haben, werden von 0 °C auf 100 °C erwärmt. Dabei vergrößert sich die Länge der Stäbe
(Längenausdehnung).
Die nachstehende Abbildung zeigt modellhaft diese Längenausdehnung ∆ l in mm.
80 60 40 20 0 100
1
0,5
0
1,5
2,5
2
Temperatur in °C
∆ l in mm
Aluminium
Kupfer
Eisen
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5]
Der Stab aus Aluminium dehnt sich bei einer Erwärmung von 20 °C auf
100 °C um rund 1,9 mm aus.
Der Stab aus Eisen dehnt sich bei einer Erwärmung von 0 °C auf 100 °C auf
eine Länge von rund 1,2 m aus.
Werden der Stab aus Kupfer und der Stab aus Eisen von 0 °C auf 40 °C
erwärmt, so ist bei dieser Erwärmung die Längenausdehnung des Stabs aus
Kupfer doppelt so groß wie die Längenausdehnung des Stabs aus Eisen.
Der Stab aus Aluminium dehnt sich bei einer Erwärmung um 10 °C um
rund 0,24 mm aus.
Werden der Stab aus Aluminium und der Stab aus Eisen von 0 °C auf 100 °C
erwärmt, so ist der Stab aus Aluminium nach der Erwärmung doppelt so lang
wie der Stab aus Eisen.
[0 / 1 P.]

13. Jänner 2026 / AHS / Mathematik S. 10 /34
Aufgabe 8
Kostenfunktion
Gegeben ist die Kostenfunktion K : [0; a ] → ℝ
+
mit K ( x ) = K v ( x ) + F .
x ... produzierte Menge in ME
K ( x ) ... Gesamtkosten für die produzierte Menge x in GE
K v ( x ) ... variable Kosten für die produzierte Menge x in GE
F ... Fixkosten in GE
In der nachstehenden Abbildung sind F und der Graph von K v dargestellt.
K
v
( x ), K ( x ) in GE
x in ME
K
v
F
0 a
0
Aufgabenstellung:
Skizzieren Sie in der obigen Abbildung den Graphen der Kostenfunktion K im Intervall [0; a ].
[0 / 1 P.]

13. Jänner 2026 / AHS / Mathematik S. 11 /34
Aufgabe 9
Erdgas
Die Kosten eines Haushalts für den Verbrauch von Erdgas setzen sich aus einer Grundgebühr
und einem Geldbetrag für die Anzahl der verbrauchten Kilowattstunden (kWh) zusammen. Pro
verbrauchter kWh ist jeweils der gleiche Geldbetrag zu zahlen.
In der nachstehenden Tabelle sind die jährlichen Kosten für zwei verschiedene Verbrauchswerte
angegeben.
Verbrauch (in kWh) jährliche Kosten (in Euro)
12 500 598
15 000 708
Aufgabenstellung:
Geben Sie die Grundgebühr (in Euro) und den Geldbetrag pro verbrauchter kWh (in Cent) an.
Grundgebühr: Euro
Geldbetrag pro verbrauchter kWh: Cent
[0 / 1 P.]

13. Jänner 2026 / AHS / Mathematik S. 12 /34
Aufgabe 10
Weintank
Ein bestimmter Weintank wird ausgepumpt.
Die Funktion D : ℝ
+
→ ℝ
+
ordnet der konstanten Auspumprate v die Dauer D ( v ), die für das vollständige Auspumpen dieses Weintanks benötigt wird, zu ( v in L/h, D ( v ) in h).
Bei der Auspumprate v = 200 L/h werden 10 h für das vollständige Auspumpen dieses Weintanks benötigt.
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden
Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht.
Die Funktion D beschreibt
1
Proportionalität und es gilt:
2
.
1
eine direkte
keine
eine indirekte
2
D ( v ) =
2 000
v
D ( v ) =
1
2 000 + v
D ( v ) = 2 000 ∙ v
[0 / 1 P.]

13. Jänner 2026 / AHS / Mathematik S. 13 /34
Aufgabe 11
Wirkstoff
Lisa nimmt eine Tablette mit einem bestimmten Wirkstoff ein. Es wird angenommen, dass der
Wirkstoff in Lisas Körper ab Beobachtungsbeginn exponentiell abgebaut wird.
Die Menge dieses Wirkstoffs in Lisas Körper in Abhängigkeit von der Zeit t kann modellhaft durch
die Funktion d beschrieben werden.
Es gilt:
d ( t ) = a ∙ ℯ
λ ∙ t
mit a ∈ ℝ und λ ∈ ℝ \{0}
t ... Zeit in h mit t = 0 für den Beobachtungsbeginn
d ( t ) ... Menge des Wirkstoffs in Lisas Körper zum Zeitpunkt t in Mikrogramm
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden
Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht.
Es gilt
1
und
2
.
1
a < 0
a = 0
a > 0
2
λ < 0
λ ∈ (0; 1)
λ > 1
[0 / ½ / 1 P.]

13. Jänner 2026 / AHS / Mathematik S. 14 /34
Aufgabe 12
Sinusfunktion
Gegeben ist eine Sinusfunktion f mit f ( x ) = 5 ∙ sin( b ∙ x ) mit b ∈ ℝ
+
. Die (kleinste) Periodenlänge
von f wird mit T bezeichnet.
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie den Funktionswert f
(
3 ∙ T
4
)
.
f
(
3 ∙ T
4
)
=
[0 / 1 P.]

13. Jänner 2026 / AHS / Mathematik S. 15 /34
Aufgabe 13
Differenzen- und Differenzialquotient
Gegeben sind der Graph einer Polynomfunktion f sowie die Punkte A = ( xA | f ( xA )) und
B = ( xB | f ( xB )).
f ( x )
x
B
A
O
x
A
x
B
f
Für den Punkt P = ( xP | f ( xP )) gilt: f ′ ( xP ) =
f ( xB ) – f ( xA )
xB
– xA
Aufgabenstellung:
Markieren Sie in der obigen Abbildung den Punkt P .
[0 / 1 P.]

13. Jänner 2026 / AHS / Mathematik S. 16 /34
Aufgabe 14
Temperaturverlauf
An einem bestimmten Tag wurde bei einer Messstation von 0 Uhr bis 24 Uhr die Temperatur der
Luft gemessen.
Der Temperaturverlauf im Zeitraum von 0 Uhr bis 24 Uhr kann durch die Funktion T modelliert
werden.
t ... Zeit in h mit t = 0 für 0 Uhr
T ( t ) ... Temperatur zum Zeitpunkt t in °C
Um 12 Uhr war die Temperatur um 9 °C höher als um 0 Uhr.
Der Differenzenquotient von T im gesamten Zeitintervall [0 h; 24 h] betrug 0,1 °C/h.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie den Differenzenquotienten von T für das Zeitintervall [12 h; 24 h].
_____________ °C/h
[0 / 1 P.]

13. Jänner 2026 / AHS / Mathematik S. 17 /34
Aufgabe 15
Stammfunktion
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph einer quadratischen Funktion f dargestellt.
f ( x )
f
– a a O
x
Die Funktion F ist eine Stammfunktion von f .
Im dargestellten Bereich liegen genau eine Maximumstelle x max und genau eine Wendestelle x W
der Funktion F .
Aufgabenstellung:
Geben Sie x max und x W an.
x max =
x W =
[0 / ½ / 1 P.]

13. Jänner 2026 / AHS / Mathematik S. 18 /34
Aufgabe 16
Ableitungen
Nachstehend ist ein Ausschnitt des Graphen der Polynomfunktion f dargestellt.
f ( x )
f
x
0 2 1 3 –2 –3 –5 –4 –1
1
2
–2
–3
–1
0
Die unten angeführten Aussagen betreffen Werte der 1. und 2. Ableitung von f .
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5]
Für alle x aus dem Intervall [–5; –3] ist f ′ ( x ) negativ.
Für alle x aus dem Intervall [–5; –3] ist f ″ ( x ) negativ.
Es gibt ein x aus dem Intervall [–1; 1], für das f ′ ( x ) = 0 gilt.
Es gibt ein x aus dem Intervall [–1; 1], für das f ″ ( x ) = 0 gilt.
f ′ (1) ist negativ.
[0 / 1 P.]

13. Jänner 2026 / AHS / Mathematik S. 19 /34
Aufgabe 17
Abschätzung eines bestimmten Integrals
Nachstehend ist eine Wertetabelle der Polynomfunktion f gegeben.
x f ( x )
0 1
1 3
2 5
3 8
4 9
5 11
Im Intervall [0; 5] ist f streng monoton steigend.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5]
0 <
∫
5
0
f ( x ) d x < 5
∫
5
0
f ( x ) d x < 5 ∙ f (5)
3 ∙ f (3) + 2 ∙ f (5) <
∫
5
0
f ( x ) d x
1 <
∫
5
0
f ( x ) d x < 11
1 ∙ ( f (0) + f (1) + f (2) + f (3) + f (4)) <
∫
5
0
f ( x ) d x
[0 / 1 P.]

13. Jänner 2026 / AHS / Mathematik S. 20 /34
Aufgabe 18
Zurückgelegter Weg
Die Geschwindigkeit eines bestimmten Fahrzeugs wird durch die Funktion v modelliert.
Es gilt:
v ( t ) = 0,0008 · t
3
– 0,108 · t
2
+ 2,7 · t mit 0 ≤ t ≤ 33
t ... Zeit in s
v ( t ) ... Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t in m/s
Nach 15 s erreicht das Fahrzeug seine Höchstgeschwindigkeit.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Länge des Weges, den das Fahrzeug bis zum Erreichen der Höchstgeschwindigkeit zurückgelegt hat, in Metern.
[0 / 1 P.]

13. Jänner 2026 / AHS / Mathematik S. 21 /34
Aufgabe 19
Körpergröße
Von 200 Kindern wurden die Körpergrößen auf Zentimeter genau ermittelt. Die ermittelten Messdaten sind im nachstehenden Boxplot dargestellt.
Körpergröße in cm
134 133 132 131 130 129 128 127 126 125 124 123 122 121 120 119 118 117 135
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Aussagen an, die auf jeden Fall zutreffen. [2 aus 5]
Mindestens 25 % der Kinder haben eine ermittelte
Körpergröße von genau 118 cm.
Mindestens 75 % der Kinder haben eine ermittelte
Körpergröße von höchstens 127 cm.
Mindestens 75 % der Kinder haben eine ermittelte
Körpergröße von mindestens 120 cm.
Es gibt genau ein Kind, das eine ermittelte Körpergröße
von 135 cm hat.
Es gibt Kinder, die eine ermittelte Körpergröße von genau
125 cm haben.
[0 / 1 P.]

13. Jänner 2026 / AHS / Mathematik S. 22 /34
Aufgabe 20
Statistische Kennzahlen
Gegeben ist eine geordnete Datenliste mit 6 Zahlen ( n > 3).
n n + 1 n + 2 n + 3 2 ∙ n 3 ∙ n
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen der jeweils zutreffenden
Satzteile so, dass eine richtige Aussage entsteht.
Das arithmetische Mittel der Datenliste beträgt
1
; die Spannweite der Datenliste
beträgt
2
.
1
9 ∙ n + 6
9 ∙ n
6
9 ∙ n + 6
6
2
n
2 ∙ n
3 ∙ n
[0 / ½ / 1 P.]

13. Jänner 2026 / AHS / Mathematik S. 23 /34
Aufgabe 21
Vogelzählung
In einem bestimmten Gebiet wird von einer Tierschutzorganisation eine Vogelzählung durchgeführt.
Die bis zu einem bestimmten Zeitpunkt erhobenen Ergebnisse dieser Vogelzählung sind in der
nachstehenden Tabelle angegeben.
Vogelart Anzahl
Kohlmeise 17 427
Amsel 9 958
sonstige Vögel 83 580
Mithilfe der in der obigen Tabelle angegebenen Werte wird der Schätzwert p für die Wahrscheinlichkeit ermittelt, dass der nächste gesichtete Vogel eine Kohlmeise ist.
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie p .
p =
[0 / 1 P.]

13. Jänner 2026 / AHS / Mathematik S. 24 /34
Aufgabe 22
Brettspiel
Lisa spielt gegen Peter ein bestimmtes Brettspiel, bei dem man entweder gewinnt oder verliert.
Erfahrungsgemäß gewinnt Lisa jede Partie unabhängig von den anderen Partien mit einer Wahrscheinlichkeit von 60 %.
An einem bestimmten Tag spielt Lisa n Partien dieses Brettspiels gegen Peter ( n > 2).
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den vier Wahrscheinlichkeiten jeweils das mit dieser Wahrscheinlichkeit eintretende
Ereignis aus A bis F zu.
1 – 0,6
n
1 – 0,4
n
n ∙ 0,6
n – 1
∙ 0,4 + 0,6
n
0,4
n
A Lisa gewinnt alle Partien.
B Lisa verliert alle Partien.
C Lisa gewinnt mindestens 1 Partie.
D Lisa verliert höchstens 1 Partie.
E Lisa gewinnt höchstens 1 Partie.
F Lisa verliert mindestens 1 Partie.
[0 / ½ / 1 P.]

13. Jänner 2026 / AHS / Mathematik S. 25 /34
Aufgabe 23
Glücksrad
In der Mitte des unten abgebildeten Glücksrads ist ein drehbarer Zeiger montiert. Für jede Drehung
des Zeigers gilt:
• Der Zeiger bleibt in jedem Sektor mit der Wahrscheinlichkeit
1
6
stehen.
• Man gewinnt € 1, wenn der Zeiger nach dem Drehen in einem weißen Sektor stehen bleibt.
• Man verliert € 5, wenn der Zeiger nach dem Drehen im grauen Sektor stehen bleibt.
Die möglichen Gewinne bei 1-maligem Drehen sind im nachstehend abgebildeten Glücksrad
dargestellt.
€ 1 € 1
€ 1 € 1
€ 1 € –5
Der Zeiger wird 2-mal gedreht. Die beiden Drehungen sind unabhängig voneinander. Die Zufallsvariable X gibt den gesamten Gewinn bei diesen beiden Drehungen an.
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden
Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht.
Die Menge
1
besteht ausschließlich aus allen möglichen Werten, die die Zufalls variable X annehmen kann; für den Erwartungswert E ( X ) gilt:
2
.
1
{–10; –4; 2}
{–10; –5; –4; 1; 2}
{–10; 2}
2
E ( X ) = 0
E ( X ) < 0
E ( X ) > 0
[0 / 1 P.]

13. Jänner 2026 / AHS / Mathematik S. 26 /34
Aufgabe 24
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Gegeben sind die zwei binomialverteilten Zufallsvariablen X und Y .
Die unten stehenden Abbildungen zeigen die Wahrscheinlichkeitsverteilungen von X und Y . Zu
jedem Wert von X gibt es einen Wert von Y , der die gleiche Wahrscheinlichkeit hat wie X , und
umgekehrt.
Es gilt:
P ( X = k ) = P ( Y = 12 – k ) für alle k = 0, 1, 2, ... ,12
P ( X = k )
k
20 %
15 %
10 %
5 %
0 %
25 %
10 8 6 4 2 0 12
P ( Y = k )
k
20 %
15 %
10 %
5 %
0 %
25 %
10 8 6 4 2 0 12
Der Erwartungswert von X wird mit E ( X ) und die Standardabweichung von X mit σ ( X ) bezeichnet.
Der Erwartungswert von Y wird mit E ( Y ) und die Standardabweichung von Y mit σ ( Y ) bezeichnet.
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden
Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht.
Bei den beiden binomialverteilten Zufallsvariablen gilt für die Erwartungswerte
1
und für die Standardabweichungen
2
.
1
E ( X ) < E ( Y )
E ( X ) = E ( Y )
E ( X ) > E ( Y )
2
σ ( X ) < σ ( Y )
σ ( X ) = σ ( Y )
σ ( X ) > σ ( Y )
[0 / ½ / 1 P.]

13. Jänner 2026 / AHS / Mathematik S. 27 /34
Aufgabe 25 (Teil 2)
Hallenbad
Ein neues Hallenbad wurde eröffnet.
Aufgabenstellung:
a) In diesem Hallenbad werden nur Tageskarten und Abendkarten für Erwachsene sowie Kinder
verkauft.
Die Tageskarte für Erwachsene kostet p Euro.
Die Abendkarte für Erwachsene kostet um 30 % weniger als die Tageskarte für Erwachsene.
Die Tages- bzw. Abendkarte für Kinder kostet jeweils nur 60 % der Tages- bzw. Abendkarte
für Erwachsene.
In der nachstehenden Tabelle sind die Anzahlen der an einem bestimmten Tag verkauften
Tageskarten und Abendkarten angegeben.
Anzahl der
Tageskarten
Anzahl der
Abendkarten
Erwachsene e
1
e
2
Kinder k
1
k
2
1) Stellen Sie eine Formel zur Berechnung der Einnahmen E des Hallenbads an diesem Tag
auf. Verwenden Sie dabei e
1
, e
2
, k
1
, k
2
und p .
E = [0 / 1 P.]

13. Jänner 2026 / AHS / Mathematik S. 28 /34
b) In der nachstehenden Abbildung ist der Querschnitt des Schwimmbeckens im neuen Hallenbad modellhaft dargestellt.
x
x
h
1
h
2
a
α
1) Stellen Sie eine Formel zur Berechnung des Winkels α auf.
Verwenden Sie dabei a , x , h
1
und h
2
.
α = [0 / 1 P.]
Das leere Schwimmbecken wird mit Wasser befüllt. Der Wasserstand nach 3 Stunden beträgt
W
3
, der Wasserstand nach 7 Stunden beträgt W
7
( W
3
, W
7
in cm).
2) Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden Satzteils so, dass in jedem Fall eine richtige Aussage entsteht. [0 / ½ / 1 P.]
Der Term
1
gibt die relative Änderung des Wasserstands im Zeitintervall [3 h; 7 h] an; der Term
2
gibt die absolute Änderung des Wasserstands
im Zeitintervall [3 h; 7 h] an.
1
W
7
W 3
W
7
W 3
– 1
1 –
W
3
W 7
2
W
3
W 7
W
7
– W
3
4
W
7
– W
3

13. Jänner 2026 / AHS / Mathematik S. 29 /34
c) In diesem Hallenbad gibt es auch einen Whirlpool. In der nachstehenden Abbildung ist die
Grundfläche dieses Whirlpools als grau markierte Fläche modellhaft dargestellt.
f ( x ) in m
x in m
f
4
0
6 0
Die grau markierte Fläche wird durch zwei achsenparallele Seiten und durch den Graphen der
Funktion f : [0; 6] → ℝ mit f ( x ) = –4 · ( x – 1) · ℯ
– x
begrenzt ( x in m, f ( x ) in m).
1) Berechnen Sie den Flächeninhalt der grau markierten Fläche. [0 / 1 P.]

13. Jänner 2026 / AHS / Mathematik S. 30 /34
Aufgabe 26 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Polynomfunktionen dritten Grades
Aufgabenstellung:
Gegeben ist eine Polynomfunktion 3. Grades f mit f ( x ) = a ∙ x
3
+ b ∙ x
2
+ c ∙ x + d mit
a , b , c , d ∈ ℝ und a ≠ 0.
Der Graph der Funktion f hat den Wendepunkt W . Die Tangente an den Graphen von f im Wendepunkt W wird mit tW bezeichnet.
Es gilt:
tW : 7 ∙ x + y = 2
a) Die Tangente tW schließt mit der x -Achse den Winkel α mit 0° < α < 90° ein.
1) Berechnen Sie α . [0 / 1 P.]
Die Tangente an den Graphen von f im Punkt P wird mit tP bezeichnet.
Das Skalarprodukt eines Richtungsvektors der Tangente tP mit einem Richtungsvektor der
Tangente tW ergibt 0.
2) Tragen Sie in der nachstehenden Parameterdarstellung die fehlenden Zahlen in die dafür
vorgesehenen Kästchen ein.
tP : X = P + λ ∙
( )
mit λ ∈ ℝ [0 / 1 P.]
b) Für die 2. Ableitungsfunktion f ″ der Funktion f gilt:
f ″ ( x ) = 18 ∙ x – 18
1) Ermitteln Sie die Koordinaten des Wendepunkts W des Graphen von f . [0 / 1 P.]

13. Jänner 2026 / AHS / Mathematik S. 31 /34
c) Gegeben ist eine Polynomfunktion 3. Grades g mit g ( x ) = a
1
∙ x
3
+ b
1
∙ x
2
+ c
1
∙ x + d
1
mit
a
1
, b
1
, c
1
, d
1
∈ ℝ und a
1
≠ 0.
1) Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht. [0 / ½ / 1 P.]
Die Polynomfunktion 3. Grades g hat
1
; das Krümmungsverhalten des
Graphen von g ist unabhängig von der Wahl der Parameter
2
.
1
entweder keine oder genau eine Extremstelle
entweder keine oder genau zwei Extremstellen
in jedem Fall genau zwei Extremstellen
2
a
1
und c
1
b
1
und c
1
c
1
und d
1

13. Jänner 2026 / AHS / Mathematik S. 32 /34
Aufgabe 27 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Siebenkampf der Frauen
Aufgabenstellung:
Beim Siebenkampf der Frauen müssen Sportlerinnen die sieben Disziplinen Kugelstoßen, Speerwurf, Hochsprung, Weitsprung, 100-m-Hürdenlauf, 200-m-Lauf und 800-m-Lauf absolvieren.
Die Leistung einer Sportlerin wird in jeder Disziplin mit Punkten bewertet. Diese Punkte werden mit
einer für die jeweilige Disziplin entwickelten Formel berechnet und auf ganze Zahlen abgerundet.
Die Gesamtpunktzahl für eine Sportlerin ergibt sich als Summe der auf ganze Zahlen abgerundeten
erhaltenen Punkte aus allen sieben Disziplinen.
a) Die Verteilung der Gesamtpunktzahlen der Sportlerinnen im Finale des Siebenkampfs der
Frauen bei den Leichtathletik-Weltmeisterschaften 2022 ist im nachstehenden Boxplot dargestellt.
Gesamtpunktzahl
6 900 6 800 6 700 6 600 6 500 6 400 6 300 6 200 6 100 6 000 5 900 7 000
6 713,5 6 452 6 143,5 5 959 6 947
1) Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5] [0 / 1 P.]
Die Gesamtpunktzahl der Sportlerin mit den wenigsten Punkten ist um 20 %
niedriger als die Gesamtpunktzahl der Sportlerin mit den meisten Punkten.
Die Spannweite der Gesamtpunktzahlen beträgt mehr als 1 000.
Es gibt zumindest eine Sportlerin, die eine Gesamtpunktzahl von 6 947
erreicht hat.
Mehr als 50 % der Sportlerinnen haben eine Gesamtpunktzahl von mehr
als 6 713,5 erreicht.
Mindestens 75 % der Sportlerinnen haben eine Gesamtpunktzahl von
mindestens 6 143,5 erreicht.

13. Jänner 2026 / AHS / Mathematik S. 33 /34
b) Die Punkte, die eine Sportlerin beim Speerwurf erhält, hängen von der Wurfweite x (in m) ab.
Um die Punkte zu ermitteln, wird die Wurfweite x in die nachstehende Funktion S eingesetzt
und der Funktionswert S ( x ) auf eine ganze Zahl abgerundet.
S ( x ) = 15,9803 · ( x – 3,8)
b
mit x ≥ 3,8 und b ∈ ℝ
+
Für die Wurfweite 58,29 m ergibt sich der Funktionswert S (58,29) = 1 021,77.
1) Berechnen Sie mithilfe des obigen Verfahrens die Punkte für die Wurfweite 43,80 m.
[0 / 1 P.]
Die Geschwindigkeit eines Speers beim Abwurf kann durch
den Vektor v =
(
vx
vy
)
mit vx
, vy
> 0 beschrieben werden (siehe
nebenstehende Abbildung).
v
y
v
x
α
v
2) Stellen Sie mithilfe von vx
und vy
eine Formel zur Berechnung von α auf.
α = [0 / 1 P.]
c) Die Laufbewerbe werden auf einer sogenannten 400-m-Bahn ausgetragen, die aus mehreren
nebeneinander liegenden und unterschiedlich langen Laufbahnen besteht (siehe nachstehende
Abbildung).
84,39 m
1,12 m
73,60 m
A
2
A
1
z
B
1
C
B
2
Um die unterschiedlichen Längen der Laufbahnen auszugleichen, starten die Sportlerinnen an
verschiedenen Stellen.
Sportlerin 1 startet im Punkt A
1
und läuft entlang des inneren Halbkreises nach B
1
und weiter
zu C .
Sportlerin 2 startet im Punkt A
2
und läuft entlang des benachbarten Halbkreises nach B
2
und
weiter zu C .
Die dabei von den beiden Sportlerinnen zurückgelegten Wege sind gleich lang.
1) Berechnen Sie mithilfe der obigen Abbildung die Länge des Kreisbogens z . [0 / 1 P.]

13. Jänner 2026 / AHS / Mathematik S. 34 /34
Aufgabe 28 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Bevölkerungsentwicklung der USA
Die nachstehende Tabelle beschreibt die Bevölkerungsentwicklung der USA im Zeitraum von
1900 bis 2000.
Jahr Einwohnerzahl der USA in Mio.
1900 76
1920 106
1940 132
1960 179
1980 227
2000 281
Aufgabenstellung:
a) Für den Zeitraum von 1900 bis 2000 soll die Bevölkerungsentwicklung der USA durch eine
Exponentialfunktion f mit f ( t ) = a ∙ b
t
in Abhängigkeit von der Zeit t modelliert werden.
t ... Zeit in Jahren mit t = 0 für das Jahr 1900
f ( t ) ... Einwohnerzahl der USA zur Zeit t in Mio.
a , b ∈ ℝ
+
1) Stellen Sie eine Funktionsgleichung von f auf. Verwenden Sie dafür die in der obigen Tabelle
angegebenen Werte für 1900 und 1940. [0 / 1 P.]
2) Berechnen Sie, um wie viel Prozent f (100) von dem zugehörigen Wert in der Tabelle abweicht. [0 / 1 P.]
b) Der belgische Mathematiker Pierre-François Verhulst hat im Jahr 1845 ein Modell zur Berechnung der Bevölkerungsentwicklung der USA erstellt.
Nach diesem Modell gilt:
B ( t ) =
3,9
0,01977 + 0,98023 ∙ ℯ
– 0,03134 ∙ t
t ... Zeit in Jahren mit t = 0 für das Jahr 1790
B ( t ) ... Einwohnerzahl der USA zur Zeit t in Mio.
1) Ermitteln Sie, wie viele Jahre nach 1790 die momentane Änderungsrate der Einwohnerzahl
in diesem Modell am größten war. [0 / 1 P.]
2) Ermitteln Sie, wie viele Jahre nach 1790 erstmals die momentane Änderungsrate der Einwohnerzahl in diesem Modell halb so groß wie jene im Jahr 1910 war. [0 / 1 P.]