Mathematik-Matura Jänner 2025 · AHS – Aufgaben

AHS
10. Jänner 2025
Mathematik
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reifeprüfung
Name:
Klasse:

10. Jänner 2025 / AHS / Mathematik S. 2 /35
Hinweise zur Aufgabenbearbeitung
Sehr geehrte Kandidatin! Sehr geehrter Kandidat!
Beurteilungsschlüssel
erreichte Punkte Note
32 – 36 Punkte Sehr gut
27 – 31,5 Punkte Gut
22 – 26,5 Punkte Befriedigend
17 – 21,5 Punkte Genügend
0 – 16,5 Punkte Nicht genügend
Best-of-Wertung: Für die Aufgaben 26, 27 und 28 gilt eine Best-of-Wertung. Von diesen drei Teil-2-Aufgaben
wird diejenige Aufgabe, bei der die niedrigste Punkteanzahl erreicht worden ist, nicht gewertet.
Viel Erfolg!
Das vorliegende Aufgabenheft enthält Teil-1-Aufgaben
und Teil-2-Aufgaben (bestehend aus Teilaufgaben).
Die Aufgaben bzw. Teilaufgaben sind unabhängig voneinander bearbeitbar. Ihnen stehen 270 Minuten an
Arbeitszeit zur Verfügung.
Verwenden Sie für die Bearbeitung ausschließlich
dieses Aufgabenheft und das Ihnen zur Verfügung gestellte Arbeitspapier. Schreiben Sie Ihren Namen und
Ihre Klasse in die dafür vorgesehenen Felder auf dem
Deckblatt des Aufgabenhefts sowie Ihren Namen und
die fortlaufende Seitenzahl auf jedes verwendete Blatt
Arbeitspapier. Geben Sie bei der Beantwortung jeder
Handlungsanweisung deren Bezeichnung (z. B.: 25a1)
auf dem Arbeitspapier an.
In die Beurteilung wird alles einbezogen, was nicht
durchgestrichen ist.
Die Verwendung der vom zuständigen Regierungs mitglied für die Klausurarbeit freigegebenen Formel sammlung für die SRP in Mathematik ist erlaubt.
Weiters ist die Verwendung von elektronischen Hilfs mitteln (z. B. grafik fähiger Taschenrechner oder andere
entsprechende Technologie) erlaubt, sofern keine
Kommunikationsmöglichkeit (z. B. via Internet, Intranet,
Bluetooth, Mobilfunknetzwerke etc.) gegeben ist und
der Zugriff auf Eigendateien im elektronischen Hilfs mittel nicht möglich ist.
Eine Erläuterung der Antwortformate liegt im Prüfungsraum zur Durchsicht auf.
Handreichung für die Bearbeitung
– Lösungen müssen jedenfalls eindeutig als solche
erkennbar sein.
– Lösungen müssen jedenfalls mit zugehörigen
Einheiten angegeben werden, wenn dazu in der
Handlungsanweisung explizit aufgefordert wird.
Bei offenen Antwortformaten steht für die Punktevergabe der Nachweis der jeweiligen Grundkompetenz im Vordergrund. Für die Bearbeitung offener
Antwortformate wird empfohlen:
– den Lösungsweg, auch im Fall von Technologieeinsatz, nachvollziehbar zu dokumentieren,
– selbst gewählte Variablen zu erklären und gegebenenfalls mit den zugehörigen Einheiten anzugeben,
– frühzeitiges Runden zu vermeiden,
– Diagramme oder Skizzen zu beschriften.
So ändern Sie Ihre Antwort bei Aufgaben zum Ankreuzen:
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr
gültigen Antwort.
2. Kreuzen Sie dann das gewünschte Kästchen an.
Hier wurde zuerst die Antwort „5 + 5 = 9“ gewählt
und dann auf „2 + 2 = 4“ geändert.
1 + 1 = 3 
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 5 
4 + 4 = 4 
5 + 5 = 9 
6 + 6 = 10 
So wählen Sie eine bereits übermalte Antwort:
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr
gültigen Antwort.
2. Kreisen Sie das gewünschte übermalte Kästchen
ein.
Hier wurde zuerst die Antwort „2 + 2 = 4“ übermalt
und dann wieder gewählt.
1 + 1 = 3 
2 + 2 = 4
3 + 3 = 5 
4 + 4 = 4 
5 + 5 = 9 
6 + 6 = 10 

10. Jänner 2025 / AHS / Mathematik S. 3 /35
Aufgabe 1
Zahlenmengen
Gegeben sind die Mengen A = { x ∈ ℝ | –1 < x < 0} und B = { y ∈ ℚ | –1 < y < 0}.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5]
A und B enthalten jeweils ganze Zahlen.
Die Summe zweier Elemente aus B liegt in jedem Fall in A .
Jedes Element von B ist auch Element von A .
Das Produkt zweier Elemente aus B liegt in jedem Fall in A .
A und B sind jeweils eine Teilmenge der komplexen Zahlen.
[0 / 1 P.]

10. Jänner 2025 / AHS / Mathematik S. 4 /35
Aufgabe 2
Kasten kippen
Ein Kasten mit der Höhe h (in cm) und einer Tiefe von 50 cm soll in einem Zimmer mit der Raumhöhe H (in cm) durch Hochkippen aufgestellt werden (siehe unten stehende Abbildung).
Beim Kippen des Kastens soll ein Abstand zur Zimmerdecke von 2 cm eingehalten werden.
H
h
50 cm
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie einen Term, mit dem die maximale Höhe h des Kastens für jede Raumhöhe H mit
H ≥ 52 cm berechnet werden kann.
h =
[0 / 1 P.]

10. Jänner 2025 / AHS / Mathematik S. 5 /35
Aufgabe 3
Vektoren im Drehzylinder
Gegeben ist ein 6 cm hoher Drehzylinder. Der Durchmesser der Grundfläche dieses Drehzylinders
beträgt 4 cm, der Mittelpunkt dieser Grundfläche liegt im Koordinatenursprung. Die Grundfläche
liegt in der xy -Ebene.
Die nachstehende Abbildung zeigt diesen Drehzylinder und den Vektor AB .
z in cm
y in cm
x in cm
A
B
O
1
1 1
Aufgabenstellung:
Tragen Sie die fehlenden Zahlen in die dafür vorgesehenen Kästchen ein.
AB =
( )
[0 / 1 P.]

10. Jänner 2025 / AHS / Mathematik S. 6 /35
Aufgabe 4
Koordinaten zweier Punkte
Gegeben sind die zwei Punkte A = ( x | 3) und B = (–2 | y ) mit x , y ∈ ℝ sowie der
Vektor AB = (
5
6
) .
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie x und y .
x =
y =
[0 / 1 P.]

10. Jänner 2025 / AHS / Mathematik S. 7 /35
Aufgabe 5
Geradengleichungen
Gegeben sind die zwei Geraden g und h in ℝ
3
.
g : X =
(
2
5
1
)
+ t ∙
(
6
0
–4
)
mit t ∈ ℝ
h : X = B + u ∙ h mit u ∈ ℝ
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden
Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht.
Für
1
und
2
sind g und h ident.
1
B =
(
8
6
–3
)
B =
(
3
0
–2
)
B =
(
–10
5
9
)
2
h =
(
–9
0
6
)
h =
(
3
1
–2
)
h =
(
4
0
6
)
[0 / 1 P.]

10. Jänner 2025 / AHS / Mathematik S. 8 /35
Aufgabe 6
Hochstein
Die Skipiste am Hochstein in Lienz führt von der Talstation T des Hochsteinlifts (Meereshöhe
673 m) bis zur Hochsteinhütte H (Meereshöhe 2 023 m).
Die 4 000 m lange, geradlinige Skipiste ist in der nachstehenden (nicht maßstabgetreuen) Abbildung modellhaft als Strecke dargestellt.
H
F T
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie denjenigen Steigungswinkel der Skipiste, der sich aus diesem Modell ergibt.
[0 / 1 P.]

10. Jänner 2025 / AHS / Mathematik S. 9 /35
Aufgabe 7
Leistung von Windkraftanlagen
Die Leistung P von Windkraftanlagen hängt von der Dichte ϱ der Luft, vom Radius r der Rotorblätter und von der Windgeschwindigkeit v ab. Es gilt:
P =
ϱ ∙ r
2
· π · v
3
2
mit ϱ , r , v ∈ ℝ
+
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5]
Bei einer Zunahme der Windgeschwindigkeit von 6 m/s auf 18 m/s wird
die Leistung bei gleichem Radius und gleicher Dichte 27-mal so hoch.
Bei einer Zunahme der Dichte nimmt die Leistung bei gleichem Radius
und gleicher Windgeschwindigkeit ab.
Bei doppeltem Radius und doppelter Windgeschwindigkeit ist die
Leistung bei gleicher Dichte 6-mal so hoch.
Bei einer um 25 % geringeren Dichte und doppelt so hoher Wind geschwindigkeit ist die Leistung bei gleichem Radius 6-mal so hoch.
Bei halb so hoher Windgeschwindigkeit und 3-fachem Radius ist die
Leistung bei gleicher Dichte gleich hoch.
[0 / 1 P.]

10. Jänner 2025 / AHS / Mathematik S. 10 /35
Aufgabe 8
Eigenschaften von Funktionen
Gegeben sind eine Zahl a > 1 und vier Funktionsgleichungen.
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den vier Funktionsgleichungen jeweils die für alle x , h ∈ ℝ geltende Gleichung aus
A bis F zu.
f ( x ) = x + a
f ( x ) = a
x
f ( x ) = a ∙ x
f ( x ) = a
A f ( x + h ) = f ( x )
B f ( x + h ) = f ( x ) + h
C f ( x + h ) = f ( x ) ∙ h
D f ( x + h ) = f ( x ) + a
E f ( x + h ) = f ( x ) + a ∙ h
F f ( x + h ) = f ( x ) ∙ a
h
[0 / ½ / 1 P.]

10. Jänner 2025 / AHS / Mathematik S. 11 /35
Aufgabe 9
Eigenschaften linearer Funktionen
Im nachstehenden Koordinatensystem ist der Graph der linearen Funktion f dargestellt.
Für eine lineare Funktion g soll folgender Zusammenhang mit f gelten:
g ( x + 1) – g ( x ) > 2 ∙ [ f ( x + 1) – f ( x )] für alle x ∈ ℝ
x
f
0 6 5 4 3 2 1 –2 –3 –4 –5 –6 –1 –7 7
0
4
3
2
1
5
–2
–3
–4
–1
–5
f ( x ), g ( x )
Aufgabenstellung:
Zeichnen Sie im obigen Koordinatensystem den Graphen einer solchen Funktion g ein.
[0 / 1 P.]

10. Jänner 2025 / AHS / Mathematik S. 12 /35
Aufgabe 10
Nullstellen und Extremstellen von Polynomfunktionen
Die mögliche Anzahl der Nullstellen und die mögliche Anzahl der Extremstellen einer reellen
Polynomfunktion hängen vom Grad dieser Polynomfunktion ab.
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden
Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht.
Eine Polynomfunktion 3. Grades kann
1
haben, eine Polynomfunktion 4. Grades
kann
2
haben.
1
genau 3 verschiedene Nullstellen
und 0 Extremstellen
genau 2 verschiedene Nullstellen
und genau 1 Extremstelle
genau 1 Nullstelle und genau
2 Extremstellen
2
genau 3 verschiedene Nullstellen
und 0 Extremstellen
genau 2 verschiedene Nullstellen
und genau 1 Extremstelle
genau 1 Nullstelle und genau
2 Extremstellen
[0 / ½ / 1 P.]

10. Jänner 2025 / AHS / Mathematik S. 13 /35
Aufgabe 11
Anzahl an Brutpaaren
In einem Naturschutzgebiet wird eine bestimmte Vogelart beobachtet. Im Verlauf von 15 Jahren
hat sich die Anzahl an Brutpaaren dieser Vogelart von ursprünglich 3 auf 24 erhöht.
Es wird angenommen, dass die Anzahl an Brutpaaren mit den Jahren exponentiell zunimmt.
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie die Anzahl der Jahre, in denen sich die Anzahl an Brutpaaren verdoppelt.
[0 / 1 P.]

10. Jänner 2025 / AHS / Mathematik S. 14 /35
Aufgabe 12
Parameter einer Winkelfunktion
Nachstehend ist der Graph der Funktion f : ℝ → ℝ mit f ( x ) = a · sin( b · x ) und a ∈ ℝ , b ∈ ℝ
+
abgebildet.
f ( x )
x
f
0 π 5π 3π –3π –5π –π
0
2
1
–1
–2
3
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden
Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht.
Für den Parameter a gilt
1
; für den Parameter b gilt
2
.
1
a < 0
a ∈ [0; 1]
a > 1
2
b < 1
b = 1
b > 1
[0 / ½ / 1 P.]

10. Jänner 2025 / AHS / Mathematik S. 15 /35
Aufgabe 13
Kontostand
Der Kontostand eines bestimmten Kontos beträgt € 187,50.
Von diesem Konto wird eine Rechnung in der Höhe von € 37,50 bezahlt.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie, um wie viel Prozent sich der Kontostand dieses Kontos durch Bezahlung der
Rechnung vermindert.
[0 / 1 P.]

10. Jänner 2025 / AHS / Mathematik S. 16 /35
Aufgabe 14
Differenzenquotient
In der unten stehenden Abbildung sind der Graph der Funktion f und der Punkt P = (0 | 1) dargestellt. Für den Punkt Q = ( x 1 | y 1 ) auf dem Graphen von f gilt:
Der Differenzenquotient von f im Intervall [0; x 1 ] hat den Wert 2.
Aufgabenstellung:
Zeichnen Sie auf dem Graphen von f den Punkt Q ein.
f ( x )
f
x
2,5 2 1,5 1 0,5 0 3
4
3
2
1
0
5
P
[0 / 1 P.]

10. Jänner 2025 / AHS / Mathematik S. 17 /35
Aufgabe 15
Differenzieren
Gegeben sind die Polynomfunktionen f , g und h .
Es gilt für alle x ∈ ℝ :
h ( x ) = f ( x ) + 2 ∙ g ( x )
f (2) = 1, f ′ (2) = 3
g (2) = 1, g ′ (2) = –2
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie h ′ (2).
[0 / 1 P.]

10. Jänner 2025 / AHS / Mathematik S. 18 /35
Aufgabe 16
Ableitungsfunktion und Stammfunktion
Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen der differenzierbaren Funktion f : ℝ → ℝ , den
Graphen ihrer Ableitungsfunktion f ′ und den Graphen einer Stammfunktion F von f .
f ( x ), f ׳ ( x ), F ( x )
x
O
Aufgabenstellung:
Tragen Sie in der obigen Abbildung f , f ′ und F in die dafür vorgesehenen Kästchen ein.
[0 / 1 P.]

10. Jänner 2025 / AHS / Mathematik S. 19 /35
Aufgabe 17
Ableitungsfunktion
Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion f ′ einer Polynomfunktion f .
f ′ ( x )
x
f ′
0
1
2
3
–3
–2
–1
–5
–4
0 1 2 3 4 –4 –3 –2 –1
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5]
Die Funktion f hat im Intervall [–4; 3] mindestens
3 lokale Extremstellen.
Die Funktion f ist im Intervall (–4; 0) streng monoton
fallend.
Die Funktion f hat mindestens 3 Wendestellen.
Die Funktion f hat im Intervall [–4; 3] mindestens
3 Nullstellen.
Die Funktion f hat an der Stelle x = 0 eine lokale
Maximumstelle.
[0 / 1 P.]

10. Jänner 2025 / AHS / Mathematik S. 20 /35
Aufgabe 18
Zeichnen eines Funktionsgraphen
Die abschnittsweise lineare Funktion f ist auf dem Intervall [–4; 4] definiert.
Im unten stehenden Koordinatensystem ist im Intervall [–4; 0] der Graph von f eingezeichnet.
Es gilt:
∫
4
–4
f ( x ) d x = 2,5
Aufgabenstellung:
Vervollständigen Sie im Intervall [0; 4] einen möglichen Graphen von f .
0
3
2
1
4
–2
–3
–4
–1
f ( x )
x
0 3 2 1 4 –2 –3 –4 –1
f
[0 / 1 P.]

10. Jänner 2025 / AHS / Mathematik S. 21 /35
Aufgabe 19
Produktbeurteilung
Im Zuge der Einführung eines neuen Produkts wurden in Wien und Linz Personen im Alter von
20 bis 60 Jahren über ihre Meinung zu diesem Produkt befragt.
Die Aufteilung der befragten Personen in Bezug auf Alter und Ort ist in Tabelle 1 angegeben.
20- bis unter 40-Jährige 40- bis 60-Jährige
Wien 26 % 25 %
Linz 27 % 22 %
Tabelle 1
Die Anteile derjenigen Personen, die das Produkt mit „Sehr gut“ beurteilt haben, sind in Tabelle 2
angegeben. Beispiel: Der Wert 15 % in der Tabelle 2 bedeutet, dass 15 % aller befragten 20- bis
unter 40-Jährigen aus Wien das Produkt mit „Sehr gut“ beurteilt haben.
20- bis unter 40-Jährige 40- bis 60-Jährige
Wien 15 % 12 %
Linz 18 % 32 %
Tabelle 2
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie, wie viel Prozent aller befragten Personen das Produkt mit „Sehr gut“ beurteilt
haben.
[0 / 1 P.]

10. Jänner 2025 / AHS / Mathematik S. 22 /35
Aufgabe 20
Statistische Kennzahlen
Gegeben ist eine geordnete Datenliste mit 11 Werten mit a , b ∈ ℝ
+
und b > a + 3.
a a a + 3 a + 3 a + 3 b b b + 1 b + 2 b + 2 b + 6
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den vier Kennzahlen jeweils den in jedem Fall zugehörigen Term aus A bis F zu.
Median
Modus
Spannweite
arithmetisches Mittel
A a
B b
C a + 3
D
5 ∙ a + 6 ∙ b + 20
11
E b + 6 – a
F
a + b + 6
2
[0 / ½ / 1 P.]

10. Jänner 2025 / AHS / Mathematik S. 23 /35
Aufgabe 21
Pizzatemperatur
Ein Pizzalieferant hat die Temperaturen seiner zugestellten Pizzen gemessen.
• Mindestens 75 % der zugestellten Pizzen hatten eine Temperatur von 50 °C oder mehr.
• Mindestens 25 % der zugestellten Pizzen hatten eine Temperatur von 50 °C oder weniger.
• Der Median liegt bei 60 °C.
• Das Temperaturminimum beträgt 40 °C.
• Das Temperaturmaximum beträgt 90 °C und ist gleich dem 3. Quartil q 3 .
Aufgabenstellung:
Zeichnen Sie in der nachstehenden Abbildung den zugehörigen Boxplot ein.
Temperatur in °C
90 80 70 60 50 40 30
[0 / 1 P.]

10. Jänner 2025 / AHS / Mathematik S. 24 /35
Aufgabe 22
Lieblingslied
Taylor hat 20 verschiedene Lieder auf ihrem Smartphone gespeichert. Eines dieser Lieder ist ihr
Lieblingslied.
Aus allen 20 Liedern wird 1 Lied nach dem Zufallsprinzip ausgewählt und abgespielt. Wenn ein
Lied endet, wird mit jeweils gleicher Wahrscheinlichkeit von diesen 20 Liedern wieder 1 Lied nach
dem Zufalls prinzip ausgewählt und abgespielt.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Taylors Lieblingslied genau als 5. Lied erstmals abgespielt wird.
[0 / 1 P.]

10. Jänner 2025 / AHS / Mathematik S. 25 /35
Aufgabe 23
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Mika behauptet, dass die nachstehende Abbildung die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer
Zufallsvariablen Y darstellt.
P ( Y = y
i
)
y
4
y
3
y
2
y
1
y
5
0,4
0,3
0,2
0,5
0,1
Aufgabenstellung:
Begründen Sie, warum Mikas Behauptung nicht richtig ist.
[0 / 1 P.]

10. Jänner 2025 / AHS / Mathematik S. 26 /35
Aufgabe 24
Medikament
Erfahrungsgemäß treten bei 75 % aller Personen, die ein bestimmtes Medikament eingenommen
haben, Nebenwirkungen auf.
10 Personen, die dieses Medikament eingenommen haben, werden nach dem Zufallsprinzip
ausgewählt.
Aufgabenstellung:
Beschreiben Sie ein Ereignis E im gegebenen Sachzusammenhang, für dessen Wahrscheinlichkeit gilt:
P ( E ) = 1 – (0,25 ∙ 0,75
9
∙ 10 + 0,75
10
)
[0 / 1 P.]

10. Jänner 2025 / AHS / Mathematik S. 27 /35
Aufgabe 25 (Teil 2)
Heizen mit Erdgas
Erdgas ist ein weit verbreiteter Energieträger für Heizungen.
Aufgabenstellung:
a) In der nachstehenden Tabelle sind die durchschnittlichen Erdgaspreise beim Import in Cent
pro Kilowattstunde (Cent/kWh) für einige Monate aus dem Zeitraum von September 2020 bis
August 2021 angeführt.
Monat Erdgaspreis (Cent/kWh)
September 2020 1,085
Dezember 2020 1,364
April 2021 1,707
Juni 2021 2,247
August 2021 3,243
Für den Zeitraum von September 2020 bis April 2021 kann der Erdgaspreis in Abhängigkeit
von der Zeit t durch eine lineare Funktion f : [0; 7] → ℝ
+
modelliert werden ( t in Monaten mit
t = 0 für September 2020, f ( t ) in Cent/kWh).
1) Stellen Sie eine Gleichung der linearen Funktion f auf. Verwenden Sie dabei die Werte für
September 2020 und April 2021. [0 / 1 P.]

10. Jänner 2025 / AHS / Mathematik S. 28 /35
b) Die Funktion r : [0; 12] → ℝ 0
+
beschreibt modellhaft die Energieverbrauchsrate des Heizbedarfs eines bestimmten Haushalts in Abhängigkeit von der Zeit t für ein bestimmtes Kalenderjahr (siehe nachstehende Abbildung).
t ... Zeit ab Jahresbeginn in Monaten
r ( t ) ... Energieverbrauchsrate des Heizbedarfs zum Zeitpunkt t in kWh/Monat
r ( t ) in kWh/Monat
t in Monaten
r
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 12
0
200
2 600
2 400
2 200
2 000
1 800
1 600
1 400
1 200
1 000
800
600
400
Die im Monat Mai benötigte Energie kann durch
∫
5
4
r ( t ) d t berechnet werden.
1) Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht. [0 / ½ / 1 P.]
Für die benötigte Energie gilt
1
und
2
.
1
∫
5
4
r ( t ) d t <
∫
8
7
r ( t ) d t
∫
5
4
r ( t ) d t >
∫
10
9
r ( t ) d t
∫
5
4
r ( t ) d t >
∫
7
6
r ( t ) d t
2
∫
5
4
r ( t ) d t >
∫
12
0
r ( t ) d t
12
∫
5
4
r ( t ) d t <
∫
6
0
r ( t ) d t
6
∫
5
4
r ( t ) d t <
∫
7
4
r ( t ) d t
3

10. Jänner 2025 / AHS / Mathematik S. 29 /35
c) Ein Lieferant von Erdgas möchte bestehende Lieferverträge umstellen. Sophie führt Telefongespräche durch, um Personen mit bestehenden Lieferverträgen von der Vertragsumstellung zu
überzeugen.
Erfahrungsgemäß gelingt ihr das bei jedem Telefongespräch unabhängig von den anderen
Telefongesprächen mit einer Wahrscheinlichkeit von 35 %.
Sophie führt pro Woche 200 solche Telefongespräche. Sie erhält pro Vertragsumstellung eine
Prämie von € 4.
1) Berechnen Sie die pro Woche zu erwartende Prämie. [0 / 1 P.]
Erfahrungsgemäß haben Medienberichte Einfluss auf die Anzahl der bei Telefongesprächen
erreichten Vertragsumstellungen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine nach dem Zufallsprinzip ausgewählte und angerufene Person Medienberichte verfolgt, beträgt p .
Person verfolgt
Medienberichte
Person verfolgt keine
Medienberichte
Vertragsumstellung
keine
Vertragsumstellung
Vertragsumstellung
keine
Vertragsumstellung
22 % 78 % 64 % 36 %
p 1 – p
Insgesamt beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass eine Vertragsumstellung erreicht wird, 35 %.
2) Berechnen Sie p . [0 / 1 P.]

10. Jänner 2025 / AHS / Mathematik S. 30 /35
Aufgabe 26 (Teil 2, Best-of-Wertung)
E-Bikes
Ein E-Bike ist ein Fahrrad, das mit einem elektrischen Antrieb ausgestattet ist.
Aufgabenstellung:
a) Im Jahr 2018 betrug der weltweite Umsatz aus dem Verkauf von E-Bikes 7,68 Milliarden US-
Dollar (USD). Es wird prognostiziert, dass dieser weltweite Umsatz im Zeitraum von 2018 bis
2026 um jährlich 24,5 % steigen wird.
Die Funktion u beschreibt modellhaft den jährlichen weltweiten Umsatz aus dem Verkauf von
E-Bikes in Abhängigkeit von der Zeit t ( t ab 2018 in Jahren, u ( t ) in Milliarden USD).
1) Stellen Sie eine Funktionsgleichung von u auf.
u ( t ) = mit 0 ≤ t ≤ 8 [0 / 1 P.]
2) Ermitteln Sie mithilfe von u , wie viele Jahre nach 2018 der Umsatz doppelt so hoch wie im
Jahr 2018 ist. [0 / 1 P.]

10. Jänner 2025 / AHS / Mathematik S. 31 /35
b) Durch Fahrten auf einer Teststrecke werden 2 E-Bikes mit unterschiedlicher Leistung verglichen.
Die Funktionen v
1
und v
2
ordnen der Zeit t modellhaft die jeweilige Geschwindigkeit v
1
( t ) bzw. v
2
( t )
des betreffenden E-Bikes zu ( t nach dem Start in s, v
1
( t ) und v
2
( t ) in m/s).
Die nachstehende Abbildung zeigt die Graphen von v
1
und v
2
.
v
1
( t ), v
2
( t ) in m/s
t in s
v
1
v
2
10
8
6
4
2
0
12
18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 20
Aufgrund der unterschiedlichen Geschwindigkeiten der beiden E-Bikes in den ersten 20 s
werden Strecken unterschiedlicher Länge zurückgelegt. Die Differenz der Längen dieser beiden
Strecken soll ermittelt werden.
1) Schätzen Sie diese Differenz mithilfe der obigen Abbildung ab. [0 / 1 P.]
Für die Funktion v
1
: ℝ
0
+
→ ℝ gilt: v
1
( t ) = r ∙ (1 – ℯ
– k ∙ t
)
t ... Zeit in s
v
1
( t ) ... Geschwindigkeit zur Zeit t in m/s
r , k ... positive reelle Parameter
Die Funktion s
1
ist die zu v
1
zugehörige Zeit-Weg-Funktion ( t in s, s
1
( t ) in m).
Es gilt: s
1
(0) = 0
2) Ergänzen Sie die fehlenden Ausdrücke in der nachstehenden Funktionsgleichung.
s
1
( t ) = · t + · ℯ
– k ∙ t
– [0 / 1 P.]

10. Jänner 2025 / AHS / Mathematik S. 32 /35
Aufgabe 27 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Bauernhöfe in Österreich
Auf österreichischen Bauernhöfen werden verschiedene Nutztiere gehalten.
Aufgabenstellung:
a) In der nachstehenden Tabelle ist der durchschnittliche Geflügelbestand pro Bauernhof mit
Geflügelhaltung für die Jahre 1999, 2010 und 2020 angegeben.
Jahr
durchschnittlicher Geflügelbestand
pro Bauernhof mit Geflügelhaltung
1999 171
2010 258
2020 389
Der durchschnittliche Geflügelbestand pro Bauernhof mit Geflügelhaltung in Abhängigkeit von
der Zeit t kann durch die Exponentialfunktion f modelliert werden.
Es gilt:
f ( t ) = a ∙ ℯ
λ ∙ t
t ... Zeit in Jahren mit t = 0 für das Jahr 1999
f ( t ) ... durchschnittlicher Geflügelbestand pro Bauernhof mit Geflügelhaltung zum Zeitpunkt t
a , λ ... positive Parameter
1) Stellen Sie eine Funktionsgleichung von f auf. Verwenden Sie dabei die Werte für die
Jahre 1999 und 2020. [0 / 1 P.]
Sandra behauptet, dass der mithilfe von f errechnete Wert für das Jahr 2010 um weniger als
3 % vom in der obigen Tabelle angegebenen Wert abweicht.
2) Weisen Sie rechnerisch nach, dass Sandras Behauptung richtig ist. [0 / 1 P.]

10. Jänner 2025 / AHS / Mathematik S. 33 /35
b) In der nachstehenden Tabelle ist der durchschnittliche Rinderbestand pro Bauernhof mit Rinderhaltung für die Jahre 1999, 2010 und 2020 angegeben.
Jahr
durchschnittlicher Rinderbestand
pro Bauernhof mit Rinderhaltung
1999 21
2010 28
2020 34
Für den Zeitraum von 2010 bis 2020 gilt:
• Die Anzahl der Bauernhöfe mit Rinderhaltung hat sich in diesem Zeitraum um 17 331
vermindert.
• Der gesamte Rinderbestand auf Bauernhöfen mit Rinderhaltung ist in diesem Zeitraum
um 7,8 % zurückgegangen.
Mithilfe dieser Informationen und der Daten aus der obigen Tabelle soll ein Gleichungssystem
mit 2 Gleichungen in den Variablen b und r erstellt werden.
b ... Anzahl der Bauernhöfe mit Rinderhaltung im Jahr 2010
r ... gesamter Rinderbestand auf Bauernhöfen mit Rinderhaltung im Jahr 2010
1) Vervollständigen Sie die nachstehenden Gleichungen durch Eintragen der fehlenden Werte
in die dafür vorgesehenen Kästchen.
I : r = ∙ b
II : r ∙ = 34 ∙
(
b –
)
[0 / ½ / 1 P.]
c) In der nachstehenden nicht maßstabgetreuen Abbildung ist die trapezförmige Grundfläche
des Stalles eines bestimmten Bio-Bauernhofs dargestellt (Abmessungen in m).
c
15
2 · c
α
Es gilt: tan( α ) = 2,5
1) Berechnen Sie den Inhalt der Grundfläche dieses Stalles in m
2
. [0 / 1 P.]

10. Jänner 2025 / AHS / Mathematik S. 34 /35
Aufgabe 28 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Hotel
In einem bestimmten Hotel gibt es insgesamt 120 Gästezimmer.
Aufgabenstellung:
a) In diesem Hotel gibt es zu Silvester jedes Jahr 120 Reservierungen. Aus Erfahrung weiß die
Hotelleitung, dass im langjährigen Mittel 4 % der Reservierungen storniert werden. Es wird
angenommen, dass die Anzahl der stornierten Reservierungen binomialverteilt ist.
1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass zu Silvester höchstens 1 Reservierung storniert
wird. [0 / 1 P.]
b) In einem bestimmten Jahr gab es in diesem Hotel durchschnittlich 4 100 Nächtigungen pro
Monat.
In den ersten 6 Monaten dieses Jahres (Jänner bis Juni) gab es durchschnittlich 4 000 Nächtigungen pro Monat.
Die nachstehende Tabelle gibt die Anzahl der Nächtigungen für die restlichen Monate dieses
Jahres an ( n , d ∈ ℕ ).
Monat Anzahl der Nächtigungen
Juli 4 870
August 4 915
September 3 680
Oktober 3 600
November n
Dezember d
1) Berechnen Sie n + d . [0 / 1 P.]

10. Jänner 2025 / AHS / Mathematik S. 35 /35
c) Im Wellnessbereich des Hotels befindet sich eine Sauna.
Bei einem sogenannten Aufguss wird Wasser mit einem bestimmten Duftöl vermischt und
auf heiße Steine gegossen. Die Konzentration des Duftöls in der Luft in Abhängigkeit
von der Zeit t nach dem Aufguss kann modellhaft durch die Funktion K : ℝ
0
+
→ ℝ
0
+
mit
K ( t ) = 0,5 ∙ t ∙ ℯ
–0,8 ∙ t
beschrieben werden ( t nach dem Aufguss in min, K ( t ) in ml/m
3
).
Der Duft ist wahrnehmbar, wenn die Konzentration des Duftöls in der Luft mindestens
0,09 ml/m
3
beträgt.
1) Berechnen Sie, wie viele Minuten lang der Duft gemäß diesem Modell wahrnehmbar ist.
[0 / 1 P.]
Die Temperatur in der Sauna in Abhängigkeit von der Zeit t kann durch die
Funktion T : [0; 15] → ℝ
+
, t ↦ T ( t ) modelliert werden ( t in min, T ( t ) in °C).
Für die zwei Zeitpunkte tA , tB
∈ (0; 15) mit tA
< tB
gilt: T ( tA ) > T ( tB )
2) Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht. [0 / ½ / 1 P.]
Der Differenzenquotient der Funktion T im Intervall [ tA ; tB ] gibt in jedem Fall
1
in diesem Intervall an; dieser Differenzenquotient ist in jedem Fall
2
.
1
die mittlere Änderungsrate der Temperatur
in °C/min
die momentane Änderungsrate der
Temperatur in °C/min
die mittlere Temperatur in °C
2
negativ
positiv
gleich null