Mathematik-Matura September 2024 · AHS – Lösungen

AHS
18. September 2024
Mathematik
Korrekturheft
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reifeprüfung

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 2 /31
Beurteilung der Klausurarbeit
Beurteilungsschlüssel
erreichte Punkte Note
32 – 36 Punkte Sehr gut
27 – 31,5 Punkte Gut
22 – 26,5 Punkte Befriedigend
17 – 21,5 Punkte Genügend
0 – 16,5 Punkte Nicht genügend
Best-of-Wertung: Für die Aufgaben 26, 27 und 28 gilt eine Best-of-Wertung. Von diesen drei
Teil-2-Aufgaben wird diejenige Aufgabe, bei der die niedrigste Punkteanzahl erreicht worden ist,
nicht gewertet.
Jahresnoteneinrechnung: Damit die Leistungen der letzten Schulstufe in die Beurteilung des
Prüfungsgebiets einbezogen werden können, muss die Kandidatin / der Kandidat mindestens
11 Punkte erreichen.
Den Prüferinnen und Prüfern steht während der Korrekturfrist ein Helpdesk des BMBWF
beratend zur Verfügung. Die Erreichbarkeit des Helpdesks wird für jeden Prüfungstermin auf
https://www.matura.gv.at/srdp/ablauf gesondert bekanntgegeben.

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 3 /31
Handreichung zur Korrektur
Für die Korrektur und die Bewertung sind die am Prüfungstag auf https://korrektur.srdp.at ver
öffentlichten Unterlagen zu verwenden.
1. In der Lösungserwartung ist ein möglicher Lösungsweg angegeben. Andere richtige
Lösungswege sind als gleichwertig anzusehen. Im Zweifelsfall kann die Auskunft des
Helpdesks in Anspruch genommen werden. Ausschließlich bei ausgewiesenen Aufgaben
(Kennzeichnung durch: [0 / ½ / 1 P.] ) können für Teilleistungen halbe Punkte vergeben
werden.
2. Der Lösungsschlüssel ist verbindlich unter Beachtung folgender Vorgangsweisen anzuwenden:
a. Bei offenen Aufgabenformaten steht für die Punktevergabe der Nachweis der jeweiligen
Grundkompetenz im Vordergrund. Die dabei fokussierte Grundkompetenz wird im
Korrektur heft ausgewiesen. Punkte sind zu vergeben, wenn die Bearbeitung zeigt, dass
die fokussierte Grundkompetenz in der Bearbeitung erfüllt ist.
b. Werden zu einer Teilaufgabe mehrere Lösungen von der Kandidatin / vom Kandidaten
angeboten und nicht alle diese Lösungen sind richtig, so ist diese Tei laufgabe mit null
Punkten zu bewerten, sofern die richtige Lösung nicht klar als solche hervorgehoben
ist.
c. Bei abhängiger Punktevergabe gilt das Prinzip des Folgefehlers. Wird von der Kandidatin / vom Kandidaten beispielsweise zu einem Kontext ein falsches Modell aufgestellt,
mit diesem Modell aber eine richtige Berechnung durchgeführt, so ist der Berechnungspunkt zu ver geben, wenn das falsch aufgestellte Modell die Berechnung nicht vereinfacht.
d. Wird von der Kandidatin / vom Kandidaten die richtige Lösung ohne Angabe von
Zwischenschritten angeführt, so sind alle Punkte zu vergeben, auch wenn der Lösungsschlüssel Einzelschritte vorgibt.
e. Abschreibfehler, die aufgrund der Dokumentation der Kandidatin / des Kandidaten als
solche identifizierbar sind, sind ohne Punkteabzug zu bewerten, wenn sie zu keiner
Vereinfachung der Aufgabenstellung führen.
f. Rundungsfehler sind zu vernachlässigen, wenn die Rundung nicht explizit eingefordert
ist.
g. Die Angabe von Einheiten ist bei der Punktevergabe zu vernachlässigen, sofern sie
nicht explizit eingefordert ist.

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 4 /31
Aufgabe 1
Wissen über Zahlenmengen
1
rationale, aber keine
natürliche Zahl
2
natürliche Zahl
Ein Punkt für das Ankreuzen der beiden richtigen Satzteile, ein halber Punkt, wenn nur ein richtiger
Satzteil angekreuzt ist.

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 5 /31
Aufgabe 2
Kugelvolumen
k = 8
Ein Punkt für das richtige Ermitteln von k .

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 6 /31
Aufgabe 3
Sprachreise
U + O ≥ 5 · B
Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Ungleichung.
Grundkompetenz: AG 2.4

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 7 /31
Aufgabe 4
Vektoren in ℝ
3
( a + b ) ∙ n = 0
a 1 ∙ n 1 + a 2 ∙ n 2 + a 3 ∙ n 3 = 0
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 8 /31
Aufgabe 5
Wegbeschreibung
a = (
2
–3
)
Alle positiven Vielfachen des Vektors a sind als richtig zu werten.
Ein Punkt für das Angeben des richtigen Vektors.

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 9 /31
Aufgabe 6
Sinus und Cosinus
α ∈ [45°; 225°]
Ein Punkt für das Angeben des richtigen Intervalls.

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 10 /31
Aufgabe 7
Gewinn
x 1 = 100 Mengeneinheiten
x 2 = 250 Mengeneinheiten
Toleranzbereich für x 1 : [90; 110]
Toleranzbereich für x 2 : [225; 275]
Ein Punkt für das richtige Ermitteln der beiden Werte, ein halber Punkt für nur einen richtigen
Wert.

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 11 /31
Aufgabe 8
Parameter einer linearen Funktion
1
k =
1
2
2
d =
a
2
Ein Punkt für das Ankreuzen der beiden richtigen Satzteile.

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 12 /31
Aufgabe 9
Wassermenge in einem Swimmingpool
Pro Minute verringert sich die Wassermenge um 10 L.
Die Angabe des Zeitintervalls ist für die Punktevergabe nicht erforderlich.
Ein Punkt für das richtige Interpretieren im gegebenen Sachzusammenhang unter Angabe der
zugehörigen Einheiten.
Grundkompetenz: FA 2.4

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 13 /31
Aufgabe 10
Sauerstoff
S (0) = 14,6
S (20) = 9,1
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
S ( T ) = 14,6 · 0,9766...
T
S ( T 1 ) =
S (0)
2
T 1 = 29,3... °C
Ein Punkt für das richtige Berechnen von T 1 .
Grundkompetenz: FA 5.5

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 14 /31
Aufgabe 11
Gammastrahlung
Im Intervall [2; 5] wird pro cm mit dem Faktor

3 9,46
38,94
= 0,62397... multipliziert.
Im Intervall [5; 7] wird pro cm mit dem Faktor

2 3,69
9,46
= 0,62455... multipliziert.
Damit nimmt in beiden Intervallen die Intensität um rund 38 % pro cm ab.
Andere richtige Berechnungen (z. B. mithilfe der entsprechenden Exponentialfunktion) sind
ebenfalls als richtig zu werten.
Ein Punkt für das richtige rechnerische Nachweisen.
Grundkompetenz: FA 5.6

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 15 /31
Aufgabe 12
Periodenlängen
1
pg
= 2 · π · a
2
pf
pg
=
1
a
2
Ein Punkt für das Ankreuzen der beiden richtigen Satzteile.

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 16 /31
Aufgabe 13
Preisunterschied
h =
x – y
y
Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Formel zur Berechnung von h .

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 17 /31
Aufgabe 14
Differenzen- und Differenzialquotient
f ( b ) – f ( a )
b – a
> 0
f ′ ( d ) < f ′ ( c )
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 18 /31
Aufgabe 15
Funktionswerte einer Stammfunktion
F (4) =
16
3
F (6) = 0
Ein Punkt für das Angeben der beiden richtigen Werte, ein halber Punkt für nur einen richtigen
Wert.

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 19 /31
Aufgabe 16
Ableitungen zweier Funktionen
f ′ (3) > g ′ (3)
f ″ (3) > g ″ (3)
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 20 /31
Aufgabe 17
Bestimmtes Integral
x 1 = 4 ∙ a
Ein Punkt für das Eintragen der richtigen Zahl.

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 21 /31
Aufgabe 18
Geometrische Deutung der Summenregel
g ( x ), f ( x )
f
x
b a 0
4
3
2
1
0
5 g
g ( x )
x
b a 0
4
3
2
1
0
5 g
Ein Punkt für das richtige Einzeichnen einer Teilfläche mit dem Flächeninhalt A .
oder:

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 22 /31
Aufgabe 19
Mailadressen
p = 0,43 (= 43 %)
q = 0,59 (= 59 %)
Ein Punkt für das richtige Ermitteln von p und q , ein halber Punkt für nur einen richtigen Wert.

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 23 /31
Aufgabe 20
Statistische Kennzahlen
Die Zahl x 3 ist das 1. Quartil q 1 der Datenliste.
Die Summe der Zahlen x
1
, ... , x
10
ist 10-mal so groß wie
das arithmetische Mittel der Datenliste.
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 24 /31
Aufgabe 21
Fußballmannschaft
Der Median der erhobenen Daten ist größer als 1,70 m.
Mehr als 60 % der Spieler sind größer als 1,70 m.
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 25 /31
Aufgabe 22
Kugeln in einem Gefäß
Es wird mindestens 1 rote Kugel gezogen.
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 26 /31
Aufgabe 23
Erwartungswerte und Standardabweichungen
1
E ( X ) < E ( Y )
2
σ ( X ) < σ ( Y )
Ein Punkt für das Ankreuzen der beiden richtigen Satzteile, ein halber Punkt, wenn nur ein richtiger
Satzteil angekreuzt ist.

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 27 /31
Aufgabe 24
Experiment
P 1 = b
n
+ (
n
1
) ∙ a ∙ b
n – 1
+ (
n
2
) ∙ a
2
∙ b
n – 2
Ein Punkt für das Angeben des richtigen Terms.

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 28 /31
Aufgabe 25 (Teil 2)
Containerschiffe
a1) y in kn
x in kn
k
a
0 –5 5 10 15
0
15
10
5
20
s
a1) Ein Punkt für das richtige Einzeichnen des Vektors s .
b1) tan( α ) =
11
133
tan( α ) =
BW
39
BW = 471,54... m
b1) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Länge der Strecke BW .
c1) f (10) = 90
f (25) = 260
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
a = 0,0116...
b = 78,3760...
c1) Ein Punkt für das richtige Berechnen von a und b .
d1) c = 7 400
d = 1 100
d1) Ein Punkt für das richtige Ermitteln von c und d , ein halber Punkt für nur einen richtigen Wert.

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 29 /31
Aufgabe 26 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Slackline
a1)
1
direkt proportionalen
2
indirekt proportionalen
a2) d =
6
tan(80°)
= 1,057...
F =
10 ∙ 12 ∙ 80
4 ∙ 1,057...
F = 2 268,5... N
a3) 1 – (1 – p )
10
– 10 ∙ p ∙ (1 – p )
9
= 0,99
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
p = 0,504...
a1) Ein Punkt für das Ankreuzen der beiden richtigen Satzteile, ein halber Punkt, wenn nur ein
richtiger Satzteil angekreuzt ist.
a2) Ein Punkt für das richtige Ermitteln der Größe der auftretenden Kraft F .
a3) Ein Punkt für das richtige Ermitteln von p .
b1) tan(90° – φ ) = f ′ (6)
oder :
tan( φ ) =
1
f ′ (6)
b1) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Gleichung.

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 30 /31
Aufgabe 27 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Tauchen im Grundlsee
a1) p ( d ) = 98 ∙ d + 930
a1) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Funktionsgleichung von p .
b1) Der Flächeninhalt des grau markierten Bereichs entspricht der Tauchtiefe, die 1,5 Minuten ab
Beginn des Abtauchens erreicht wurde.
oder:
Der Flächeninhalt des grau markierten Bereichs entspricht dem 1,5 Minuten ab Beginn des
Abtauchens in vertikaler Richtung zurückgelegten Weg.
Eine Interpretation als „Länge des zurückgelegten Weges“ ist nicht als richtig zu werten.
b2) 16 =
∫
2
0
v ( t ) d t =
∫
2
0
c ∙ t ∙ ( t – 2) d t = c ∙
∫
2
0
t ∙ ( t – 2) d t = c ∙
(
–
4
3
)
c = –12
b3) v ( t ) = 9
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
t
1
= 0,5
t
2
= 1,5
Im Zeitintervall [0,5; 1,5] beträgt Laurins Geschwindigkeit in vertikaler Richtung mindestens
9 m/min.
b1) Ein Punkt für das richtige Interpretieren im gegebenen Sachzusammenhang.
b2) Ein Punkt für das richtige Ermitteln von c .
b3) Ein Punkt für das richtige Ermitteln des Zeitintervalls.

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 31 /31
Aufgabe 28 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Hausdach
a1) Mit dem Ausdruck kann man die gesamte Wassermenge in L berechnen, die sich 6 Stunden
nach Beginn des Regens in der Regenwassertonne befindet.
a2)
F ist streng monoton steigend.
Der Graph von F ändert bei t
1
= 1,4 das Krümmungsverhalten.
a1) Ein Punkt für das richtige Interpretieren im gegebenen Sachzusammenhang unter Angabe
der zugehörigen Einheit.
a2) Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.
b1) e : X =
(
0
12
3
)
+ r ∙
(
5
0
–3
)
mit r ∈ ℝ
Die Angabe von „r ∈ ℝ “ ist für die Punktevergabe nicht erforderlich.
b2)
1
zueinander windschief
2
h verläuft parallel zur y -Achse
b1) Ein Punkt für das Angeben der richtigen Parameterdarstellung von e .
b2) Ein Punkt für das Ankreuzen der beiden richtigen Satzteile, ein halber Punkt, wenn nur ein
richtiger Satzteil angekreuzt ist.