Mathematik-Matura September 2024 · AHS – Aufgaben

AHS
18. September 2024
Mathematik
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reifeprüfung
Name:
Klasse:

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 2 /36
Hinweise zur Aufgabenbearbeitung
Sehr geehrte Kandidatin! Sehr geehrter Kandidat!
Beurteilungsschlüssel
erreichte Punkte Note
32 – 36 Punkte Sehr gut
27 – 31,5 Punkte Gut
22 – 26,5 Punkte Befriedigend
17 – 21,5 Punkte Genügend
0 – 16,5 Punkte Nicht genügend
Best-of-Wertung: Für die Aufgaben 26, 27 und 28 gilt eine Best-of-Wertung. Von diesen drei Teil-2-Aufgaben
wird diejenige Aufgabe, bei der die niedrigste Punkteanzahl erreicht worden ist, nicht gewertet.
Viel Erfolg!
Das vorliegende Aufgabenheft enthält Teil-1-Aufgaben
und Teil-2-Aufgaben (bestehend aus Teilaufgaben).
Die Aufgaben bzw. Teilaufgaben sind unabhängig voneinander bearbeitbar. Ihnen stehen 270 Minuten an
Arbeitszeit zur Verfügung.
Verwenden Sie für die Bearbeitung ausschließlich
dieses Aufgabenheft und das Ihnen zur Verfügung gestellte Arbeitspapier. Schreiben Sie Ihren Namen und
Ihre Klasse in die dafür vorgesehenen Felder auf dem
Deckblatt des Aufgabenhefts sowie Ihren Namen und
die fortlaufende Seitenzahl auf jedes verwendete Blatt
Arbeitspapier. Geben Sie bei der Beantwortung jeder
Handlungsanweisung deren Bezeichnung (z. B.: 25a1)
auf dem Arbeitspapier an.
In die Beurteilung wird alles einbezogen, was nicht
durchgestrichen ist.
Die Verwendung der vom zuständigen Regierungs mitglied für die Klausurarbeit freigegebenen Formel sammlung für die SRP in Mathematik ist erlaubt.
Weiters ist die Verwendung von elektronischen Hilfs mitteln (z. B. grafik fähiger Taschenrechner oder andere
entsprechende Technologie) erlaubt, sofern keine
Kommunikationsmöglichkeit (z. B. via Internet, Intranet,
Bluetooth, Mobilfunknetzwerke etc.) gegeben ist und
der Zugriff auf Eigendateien im elektronischen Hilfs mittel nicht möglich ist.
Eine Erläuterung der Antwortformate liegt im Prüfungsraum zur Durchsicht auf.
Handreichung für die Bearbeitung
– Lösungen müssen jedenfalls eindeutig als solche
erkennbar sein.
– Lösungen müssen jedenfalls mit zugehörigen
Einheiten angegeben werden, wenn dazu in der
Handlungsanweisung explizit aufgefordert wird.
Bei offenen Antwortformaten steht für die Punktevergabe der Nachweis der jeweiligen Grundkompetenz im Vordergrund. Für die Bearbeitung offener
Antwortformate wird empfohlen:
– den Lösungsweg, auch im Fall von Technologieeinsatz, nachvollziehbar zu dokumentieren,
– selbst gewählte Variablen zu erklären und gegebenenfalls mit den zugehörigen Einheiten anzugeben,
– frühzeitiges Runden zu vermeiden,
– Diagramme oder Skizzen zu beschriften.
So ändern Sie Ihre Antwort bei Aufgaben zum Ankreuzen:
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr
gültigen Antwort.
2. Kreuzen Sie dann das gewünschte Kästchen an.
Hier wurde zuerst die Antwort „5 + 5 = 9“ gewählt
und dann auf „2 + 2 = 4“ geändert.
1 + 1 = 3 
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 5 
4 + 4 = 4 
5 + 5 = 9 
6 + 6 = 10 
So wählen Sie eine bereits übermalte Antwort:
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr
gültigen Antwort.
2. Kreisen Sie das gewünschte übermalte Kästchen
ein.
Hier wurde zuerst die Antwort „2 + 2 = 4“ übermalt
und dann wieder gewählt.
1 + 1 = 3 
2 + 2 = 4
3 + 3 = 5 
4 + 4 = 4 
5 + 5 = 9 
6 + 6 = 10 

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 3 /36
Aufgabe 1
Wissen über Zahlenmengen
Gegeben sind zwei natürliche Zahlen, a und b , mit b > a .
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden
Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht.
In jedem Fall ist a – b eine
1
und b – a eine
2
.
1
natürliche Zahl
rationale, aber keine
natürliche Zahl
rationale, aber keine
ganze Zahl
2
natürliche Zahl
ganze, aber keine
natürliche Zahl
rationale, aber keine
natürliche Zahl
[0 / ½ / 1 P.]

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 4 /36
Aufgabe 2
Kugelvolumen
Eine bestimmte Kugel hat den Radius r und das Volumen V , wobei r , V ∈ ℝ
+
.
Eine andere Kugel hat den Radius 2 · r und das Volumen k · V .
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie k .
k =
[0 / 1 P.]

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 5 /36
Aufgabe 3
Sprachreise
An einer Sprachreise nehmen U Schüler/innen der Unterstufe, O Schüler/innen der Oberstufe
und B Begleitpersonen teil. Die Gesamtanzahl der Schüler/innen (Unterstufe und Oberstufe) ist
mindestens so groß wie das 5-Fache der Anzahl der Begleitpersonen.
Aufgabenstellung:
Stellen Sie eine Ungleichung auf, die den oben angegebenen Zusammenhang zwischen U , O und
B beschreibt.
[0 / 1 P.]

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 6 /36
Aufgabe 4
Vektoren in ℝ
3
Gegeben sind die drei Vektoren a =
(
a 1
a 2
a 3
)
, b =
(
b 1
b 2
b 3
)
und n =
(
n 1
n 2
n 3
)
in ℝ
3
, die sich vom
Null vektor unterscheiden.
Es gilt:
Der Vektor n steht sowohl auf den Vektor a als auch auf den Vektor b normal.
Die Vektoren a und b stehen nicht aufeinander normal.
Die Vektoren a und b sind nicht zueinander parallel.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Aussagen an, die auf jeden Fall zutreffen. [2 aus 5]
a ∙ b = b ∙ n
( a + b ) ∙ n = 0
a
1
∙ n
1
+ a
2
∙ n
2
+ a
3
∙ n
3
= 0
Es gibt eine Zahl k ∈ ℝ so,
dass gilt: a + b = k ∙ n
Es gibt eine Zahl k ∈ ℝ so,
dass gilt: a = k ∙ b
[0 / 1 P.]

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 7 /36
Aufgabe 5
Wegbeschreibung
Ein Weg geht von einem Punkt A über einen Punkt B zu einem Punkt C . Im Punkt B zweigt der
Weg im rechten Winkel nach rechts ab. Zwischen den Punkten B und C verläuft der Weg gerad linig.
Der Weg AB ist im nachstehenden Koordinatensystem modellhaft dargestellt.
A
B
y
x
8 7 6 5 4 3 2 9 1 –1 –2 –3 –4 –5 0
5
4
3
2
1
0
–1
–2
6
Aufgabenstellung:
Geben Sie einen Vektor a an, der die Richtung des Weges BC beschreibt.
a =
( )
[0 / 1 P.]

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 8 /36
Aufgabe 6
Sinus und Cosinus
Für bestimmte Winkel α ∈ [0°; 360°) gilt die Beziehung sin( α ) ≥ cos( α ).
Aufgabenstellung:
Geben Sie das größtmögliche Intervall für α an, in dem diese Beziehung gilt.
α ∈ [ °; °]
[0 / 1 P.]

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 9 /36
Aufgabe 7
Gewinn
Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen der Kostenfunktion K : x ↦ K ( x ) und den
Graphen der Erlösfunktion E : x ↦ E ( x ) für ein bestimmtes Produkt ( x in Mengeneinheiten,
E ( x ), K ( x ) in Geldeinheiten).
E
K
350 325 300 275 250 225 200 175 150 125 100 75 50 25 0
140
130
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
150
x in Mengeneinheiten
E ( x ), K ( x ) in Geldeinheiten
Im Folgenden wird angenommen, dass alle produzierten Mengeneinheiten dieses Produkts auch
verkauft werden.
Ein positiver Gewinn wird erstmals bei mehr als x 1 produzierten und verkauften Mengeneinheiten
dieses Produkts erzielt.
Der Gewinn ist bei x 2 produzierten und verkauften Mengeneinheiten dieses Produkts maximal.
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie mithilfe der obigen Abbildung x 1 und x 2 .
x 1 = Mengeneinheiten
x 2 = Mengeneinheiten
[0 / ½ / 1 P.]

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 10 /36
Aufgabe 8
Parameter einer linearen Funktion
Gegeben ist eine lineare Funktion f : ℝ → ℝ mit f ( x ) = k ∙ x + d mit k , d ∈ ℝ . Der Graph dieser
linearen Funktion verläuft durch die Punkte A = ( a | a ) und B = (3 ∙ a | 2 ∙ a ), wobei a ∈ ℝ \{0}.
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden
Satzteils so, dass in jedem Fall eine richtige Aussage entsteht.
Für den Parameter k gilt
1
und für den Parameter d gilt
2
.
1
k =
a
2
k =
1
2
k = 2 ∙ a
2
d =
a
2
d =
1
2
d = 2 ∙ a
[0 / 1 P.]

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 11 /36
Aufgabe 9
Wassermenge in einem Swimmingpool
Die lineare Funktion V : [0; 10] → ℝ 0
+
beschreibt modellhaft die Wassermenge in einem Swimmingpool in Abhängigkeit von der Zeit t ( t in min, V ( t ) in L).
Für alle t ∈ [0; 9] gilt:
V ( t + 1) – V ( t ) = –10
Aufgabenstellung:
Interpretieren Sie die obige Gleichung im gegebenen Sachzusammenhang unter Angabe der zu gehörigen Einheiten.
[0 / 1 P.]

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 12 /36
Aufgabe 10
Sauerstoff
Die Funktion S ordnet der Temperatur T von Wasser die maximale Aufnahmefähigkeit S ( T ) von
reinem Sauerstoff zu ( T in °C, S ( T ) in mg/L). Nachstehend ist eine Wertetabelle von S gegeben.
Temperatur T
(in °C)
maximale Aufnahmefähigkeit S ( T )
(in mg/L)
0 14,6
20 9,1
Es wird angenommen, dass S eine Exponentialfunktion ist.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Temperatur T 1 , bei der S ( T 1 ) nur mehr halb so groß wie S (0) ist.
[0 / 1 P.]

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 13 /36
Aufgabe 11
Gammastrahlung
Bei einem Experiment mit einem radioaktiven Präparat wurde die Intensität der Gammastrahlung
nach der Durchdringung durch drei Bleiplatten unterschiedlicher Dicke (2 cm, 5 cm bzw. 7 cm)
gemessen. Die Ergebnisse sind in der nachstehenden Tabelle ersichtlich.
Plattendicke (in cm) 2 5 7
Intensität (in %) 38,94 9,46 3,69
Julian behauptet: „Die Daten lassen darauf schließen, dass die Intensität in Abhängigkeit von der
Plattendicke annähernd exponentiell abnimmt.“
Aufgabenstellung:
Weisen Sie rechnerisch nach, dass Julians Behauptung richtig ist.
[0 / 1 P.]

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 14 /36
Aufgabe 12
Periodenlängen
Gegeben sind die Funktionen f : ℝ → ℝ mit f ( x ) = sin( a · x ) und g : ℝ → ℝ mit g ( x ) = sin (
1
a
· x ) .
Dabei gilt: a ∈ ℝ und a > 1
Die (kleinste) Periodenlänge von f wird mit pf bezeichnet, die (kleinste) Periodenlänge von g wird
mit pg bezeichnet.
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden
Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht.
Für pg gilt:
1
; für
pf
pg
gilt:
2
.
1
pg
= 2 · π
pg =
2 ∙ π
a
pg
= 2 · π · a
2
pf
pg
= a
2
pf
pg
=
1
a
2
pf
pg
= 2 · π · a
2
[0 / 1 P.]

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 15 /36
Aufgabe 13
Preisunterschied
Ein bestimmtes Produkt kostet im örtlichen Geschäft x Euro, im Onlinehandel kostet es y Euro.
Es gilt: x > y > 0
Der relative Anteil, um den das Produkt im örtlichen Geschäft teurer als im Onlinehandel ist, wird
mit h bezeichnet.
Aufgabenstellung:
Stellen Sie mithilfe von x und y eine Formel zur Berechnung von h auf.
h =
[0 / 1 P.]

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 16 /36
Aufgabe 14
Differenzen- und Differenzialquotient
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph einer Polynomfunktion 3. Grades f dargestellt.
f ( x )
x
f
O
c d
a b
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden auf die Funktion f zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5]
f ( b ) – f ( a )
b – a
> 0
f ( d ) – f ( c )
d – c
> f ′ ( c )
f ′ ( b ) < 0
f ( c ) – f ( b )
c – b
< 0
f ′ ( d ) < f ′ ( c )
[0 / 1 P.]

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 17 /36
Aufgabe 15
Funktionswerte einer Stammfunktion
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Polynomfunktion f dargestellt.
1 0 2 3 4 5 6
–6
–5
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
6
0
A
1
x
f
A
2
f ( x )
A 1 ... Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von f und der x -Achse im Intervall [0; 4]
A 2 ... Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von f und der x -Achse im Intervall [4; 6]
Es gilt: A 1 = A 2 =
16
3
Für eine Stammfunktion F von f gilt: F (0) = 0
Aufgabenstellung:
Geben Sie die Werte von F (4) und F (6) an.
F (4) =
F (6) =
[0 / ½ / 1 P.]

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 18 /36
Aufgabe 16
Ableitungen zweier Funktionen
Nachstehend sind die Graphen der zwei zweimal differenzierbaren reellen Funktionen f und g
dargestellt.
f ( x ), g ( x )
f
g
x
2
1
–1
–2
0
–3
3
0 7 6 5 4 3 2 1
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5]
g ′ (1) > 1
f ′ (3) > g ′ (3)
f ′ (5) > g ′ (5)
f ″ (1) > g ″ (1)
f ″ (3) > g ″ (3)
[0 / 1 P.]

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 19 /36
Aufgabe 17
Bestimmtes Integral
Gegeben ist die lineare Funktion f mit f ( x ) = –0,5 ∙ x + a mit a > 0.
Es gilt:
∫
x 1
0
f ( x ) d x = 0 mit x 1 > 0
Aufgabenstellung:
Tragen Sie in der nachstehenden Gleichung die fehlende Zahl in das dafür vorgesehene Kästchen
ein.
x 1 = ∙ a
[0 / 1 P.]

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 20 /36
Aufgabe 18
Geometrische Deutung der Summenregel
Gegeben sind die Polynomfunktionen f und g mit g ( x ) = f ( x ) + 2 mit x ∈ [ a ; b ].
Die Fläche zwischen dem Graphen von g und der x -Achse im Intervall [ a ; b ] teilt sich in eine Teilfläche mit dem Flächeninhalt A und eine Teilfläche mit dem Flächeninhalt B .
Es gilt:
A =
∫
b
a
f ( x ) d x und B =
∫
b
a
2 d x
Aufgabenstellung:
Zeichnen Sie in der nachstehenden Abbildung die Teilfläche mit dem Flächeninhalt A ein.
g ( x )
g
x
b a 0
4
3
2
1
0
5
[0 / 1 P.]

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 21 /36
Aufgabe 19
Mailadressen
Bei einer Umfrage wurden Jugendliche und Erwachsene dazu befragt, wie viele Mailadressen sie
verwenden. Die Antworten sind in der nachstehenden Tabelle zusammengefasst.
höchstens 2 Mailadressen mehr als 2 Mailadressen
Jugendliche 205 295
Erwachsene 935 565
Der relative Anteil aller befragten Personen (Jugendliche und Erwachsene), die mehr als 2 Mail adressen verwenden, wird mit p bezeichnet.
Der relative Anteil der befragten Jugendlichen, die mehr als 2 Mailadressen verwenden, wird mit q
bezeichnet.
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie p und q .
p =
q =
[0 / ½ / 1 P.]

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 22 /36
Aufgabe 20
Statistische Kennzahlen
Die Datenliste x 1 , x 2 , ... , x 10 besteht aus 10 verschiedenen Zahlen und ist aufsteigend geordnet.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5]
Die Zahl x
7
ist das 3. Quartil q
3
der Datenliste.
Die Zahl x
3
ist das 1. Quartil q
1
der Datenliste.
Die Summe der Zahlen x 1 , ... , x 10 ist 10-mal so groß wie
das arithmetische Mittel der Datenliste.
Das arithmetische Mittel der Datenliste ist in jedem Fall
kleiner als x 9 .
Die Zahl x
5
ist der Median der Datenliste.
[0 / 1 P.]

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 23 /36
Aufgabe 21
Fußballmannschaft
Die Körpergrößen der 11 Spieler der Fußballmannschaft einer Schule werden erhoben.
Die erhobenen Daten werden der Größe nach geordnet.
• Der kleinste Spieler ist 1,40 m groß.
• Genau 2 Spieler sind 1,45 m groß.
• Die übrigen Spieler sind größer als 1,70 m.
• Der größte Spieler ist 1,80 m groß.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5]
Die Spannweite der erhobenen Daten beträgt 0,5 m.
Der Median der erhobenen Daten ist größer als 1,70 m.
Das arithmetische Mittel der erhobenen Daten ist größer als 1,75 m.
Mehr als 60 % der Spieler sind größer als 1,70 m.
Weniger als 20 % der Spieler sind kleiner als 1,50 m.
[0 / 1 P.]

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 24 /36
Aufgabe 22
Kugeln in einem Gefäß
In einem Gefäß befinden sich 12 rote und 15 weiße Kugeln. Aus diesem Gefäß werden 3 Kugeln
ohne Zurücklegen nach dem Zufallsprinzip gezogen.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie das Ereignis E an, dessen Wahrscheinlichkeit durch P ( E ) = 1 –
15
27
∙
14
26
∙
13
25
gegeben
ist. [1 aus 6]
Es wird höchstens 1 weiße Kugel gezogen.
Es wird mindestens 1 rote Kugel gezogen.
Es wird mindestens 1 weiße Kugel gezogen.
Es wird keine weiße Kugel gezogen.
Es wird höchstens 1 rote Kugel gezogen.
Es werden mindestens 2 weiße Kugeln gezogen.
[0 / 1 P.]

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 25 /36
Aufgabe 23
Erwartungswerte und Standardabweichungen
Die nachstehenden Tabellen geben die jeweilige Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen X und Y mit a ∈ ℝ an.
Zufallsvariable X :
k a – 2 a a + 2
P ( X = k ) 0,1 0,8 0,1
Zufallsvariable Y :
k a a + 2 a + 4
P ( Y = k ) 0,4 0,2 0,4
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden
Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht.
Für die Erwartungswerte gilt
1
und für die Standardabweichungen gilt
2
.
1
E ( X ) < E ( Y )
E ( X ) = E ( Y )
E ( X ) > E ( Y )
2
σ ( X ) < σ ( Y )
σ ( X ) = σ ( Y )
σ ( X ) > σ ( Y )
[0 / ½ / 1 P.]

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 26 /36
Aufgabe 24
Experiment
Ein Experiment besteht aus n unabhängigen Durchführungen eines bestimmten Versuchs
( n ∈ ℕ , n ≥ 2). Jede Durchführung dieses Versuchs läuft unter den gleichen Bedingungen ab und
hat ausschließlich die zwei möglichen Versuchsausgänge A und B mit den Wahrscheinlichkeiten
P ( A ) = a und P ( B ) = b .
Die Wahrscheinlichkeit P 1 gibt an, dass der Versuchsausgang A dabei höchstens 2-mal eintritt.
Aufgabenstellung:
Geben Sie einen Term zur Berechnung von P 1 an.
P 1 =
[0 / 1 P.]

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 27 /36
Aufgabe 25 (Teil 2)
Containerschiffe
Containerschiffe ermöglichen den kostengünstigen Transport großer Mengen verschiedenster
Güter auf dem Seeweg.
In der Schifffahrt werden Entfernungen in Seemeilen (sm) und Geschwindigkeiten in Knoten (kn)
angegeben.
Aufgabenstellung:
a) Der Kurs eines Containerschiffs wird modellhaft durch die Geschwindigkeitsvektoren k , a und
s beschrieben.
Der Zielkurs k ergibt sich aus dem angesteuerten Kurs s und der sogenannten Abdrift a .
Es gilt: k = s + a
Für einen bestimmten Zeitpunkt sind die Geschwindigkeitsvektoren k und a in der nach stehenden Abbildung dargestellt.
y in kn
x in kn
k
a
0 –5 5 10 15
0
15
10
5
20
1) Zeichnen Sie in der obigen Abbildung den Vektor s als Pfeil ausgehend vom Koordinatenursprung ein. [0 / 1 P.]

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 28 /36
b) In der nachstehenden Abbildung ist ein bestimmtes Containerschiff modellhaft in der Ansicht
von der Seite dargestellt. Die Sicht vom Punkt S auf die Wasseroberfläche ist durch Container
eingeschränkt.
11 m
133 m
W B
C
S
α
39 m
α
1) Berechnen Sie die Länge der Strecke BW . [0 / 1 P.]
c) Für Geschwindigkeiten von 10 kn bis 30 kn kann der Treibstoffverbrauch eines bestimmten
Containerschiffs in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit durch die Funktion f modelliert
werden.
f ( v ) = a · v
3
+ b
v ... Geschwindigkeit in kn
f ( v ) ... Treibstoffverbrauch bei der Geschwindigkeit v in kg/sm
a , b ... reelle Parameter
Es gilt:
• Bei einer Geschwindigkeit von 10 kn beträgt der Treibstoffverbrauch 90 kg/sm.
• Bei einer Geschwindigkeit von 25 kn beträgt der Treibstoffverbrauch 260 kg/sm.
1) Berechnen Sie die Koeffizienten a und b . [0 / 1 P.]

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 29 /36
d) Bei jeder Fahrt eines bestimmten Containerschiffs werden sowohl befüllte als auch leere Container transportiert.
Die jeweilige Anzahl an befüllten sowie leeren Containern ist für 10 bestimmte Fahrten in der
nachstehenden Tabelle angegeben.
Fahrt 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
befüllte Container 6 800 7 100 7 600 6 900 7 000 6 800 6 600 7 800 8 000 c
leere Container 1 200 1 000 500 1 200 1 500 1 300 1 100 300 200 d
Das arithmetische Mittel der Anzahl an befüllten Containern dieser 10 Fahrten zusammen
beträgt 7 200.
Der Median der Anzahl an leeren Containern dieser 10 Fahrten ist gleich dem Median der
Anzahl an leeren Containern der ersten 9 dieser 10 Fahrten.
1) Ermitteln Sie c und d .
c =
d = [0 / ½ / 1 P.]

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 30 /36
Aufgabe 26 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Slackline
Slacklinen ist eine Sportart, bei der man auf einem Band balanciert.
Zwei für diese Sportart geeignete vertikale Masten stehen 12 m voneinander entfernt. Das Band
wird an zwei Aufhängungspunkten dieser Masten, A und B , befestigt, die sich auf gleicher Höhe
befinden (siehe unten stehende Abbildungen).
Aufgabenstellung:
a) Beim Slacklinen wird ein elastisches Band horizontal über dem Boden befestigt.
Theo steht exakt in der Mitte des Bandes, wodurch ein bestimmter Durchhang d entsteht.
Die Situation ist in der nachstehenden Abbildung dargestellt.
B
d
A
Mast 1 Mast 2
β
Für die Größe der auftretenden Kraft F (in N) in einem Aufhängungspunkt gilt:
F =
10 ∙ e ∙ m
4 ∙ d
e ... horizontale Entfernung der Aufhängungspunkte A und B (in m)
m ... Körpermasse (in kg)
d ... Durchhang (in m)
Die Funktion d : ℝ
+
→ ℝ
+
, m ↦ d ( m ) bei konstantem F und e sowie
die Funktion F : ℝ
+
→ ℝ
+
, d ↦ F ( d ) bei konstantem m und konstantem e beschreiben jeweils
einen bestimmten Zusammenhang.

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 31 /36
1) Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht. [0 / ½ / 1 P.]
Die Funktion d beschreibt einen
1
Zusammenhang, die Funktion F beschreibt einen
2
Zusammenhang.
1
direkt proportionalen
indirekt proportionalen
nicht proportionalen
2
direkt proportionalen
indirekt proportionalen
nicht proportionalen
Theo hat eine Körpermasse m von m = 80 kg.
2) Ermitteln Sie für β = 160° die Größe der auftretenden Kraft F (in N) in einem Aufhängungspunkt. [0 / 1 P.]
Theo versucht mehrfach, das Band zu überqueren. Er schafft die Überquerung jeweils mit der
Wahrscheinlichkeit p .
Es wird modellhaft angenommen, dass die Versuche voneinander unabhängig sind und die
Erfolgswahrscheinlichkeit p bei jedem Versuch gleich hoch ist.
Die Wahrscheinlichkeit, dass Theo bei 10 Versuchen mindestens 2-mal das Band erfolgreich
überquert, beträgt 99 %.
3) Ermitteln Sie p . [0 / 1 P.]

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 32 /36
b) Eine Variante des Slacklinens ist das Rodeolinen , bei dem das Band nicht gespannt ist.
Die Funktion f : [–6; 6] → ℝ
+
, x ↦ f ( x ) gibt modellhaft die Höhe des Bandes über dem Boden
an der Stelle x an ( x in m, f ( x ) in m).
Der Graph von f ist in der nachstehenden Abbildung dargestellt.
φ
f ( x ) in m
x in m
Mast 2 Mast 1
0
6 5 4 3 2 1 0 7 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –1
A = (–6 | f (–6))
B = (6 | f (6))
t
f
Der Mast 2 schließt mit der Tangente t an den Graphen von f im Aufhängungspunkt B den
Winkel φ ein.
1) Stellen Sie eine Gleichung auf, die den Zusammenhang zwischen f ′ (6) und φ beschreibt.
[0 / 1 P.]

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 33 /36
Aufgabe 27 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Tauchen im Grundlsee
Mia und Laurin machen Urlaub am Grundlsee, um im See zu tauchen.
Aufgabenstellung:
a) Der auf eine Taucherin bzw. einen Taucher einwirkende Gesamtdruck ist die Summe des Luftdrucks an der Wasseroberfläche und des Wasserdrucks.
Mia macht einen Tauchgang. Der dabei auf Mia einwirkende Gesamtdruck in Abhängigkeit
von der Tauchtiefe d wird modellhaft durch die lineare Funktion p beschrieben.
d ... Tauchtiefe in m
p ( d ) ... Gesamtdruck bei der Tauchtiefe d in Millibar (mbar)
Es gilt:
• Der auf Mia einwirkende Gesamtdruck nimmt pro Meter Tauchtiefe um 98 mbar zu.
• Der Luftdruck an der Wasseroberfläche des Grundlsees beträgt 930 mbar.
1) Stellen Sie eine Funktionsgleichung von p auf.
p ( d ) = [0 / 1 P.]

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 34 /36
b) Laurin macht einen Tauchgang und taucht dabei schräg nach unten. Seine Geschwindigkeit
in vertikaler Richtung beim Abtauchen wird dabei modellhaft durch die quadratische
Funktion v : [0; 2] → ℝ beschrieben.
Dabei gilt: v ( t ) = c ∙ t ∙ ( t – 2) mit c ∈ ℝ \{0}
t ... Zeit ab Beginn des Abtauchens in min
v ( t ) ... Geschwindigkeit in vertikaler Richtung zum Zeitpunkt t in m/min
Der Graph von v ist in der nachstehenden Abbildung dargestellt.
v ( t ) in m/min
t in min
0
0 1,5 2
v
1) Interpretieren Sie den Flächeninhalt des in der obigen Abbildung grau markierten Bereichs
im gegebenen Sachzusammenhang. [0 / 1 P.]
Laurin erreicht 2 min nach Beginn des Abtauchens eine Tauchtiefe von 16 m.
2) Ermitteln Sie c . [0 / 1 P.]
3) Ermitteln Sie dasjenige Zeitintervall, in dem Laurins Geschwindigkeit in vertikaler Richtung
mindestens 9 m/min beträgt. [0 / 1 P.]

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 35 /36
Aufgabe 28 (Teil 2 , Best-of-Wertung )
Hausdach
Aufgabenstellung:
a) Eine Regenwassertonne fängt das von einem Hausdach herabfließende Regenwasser auf.
Ab Beginn eines mehrstündigen Regens kann die momentane Änderungsrate der Wassermenge in der Regenwassertonne modellhaft durch die Funktion f : [0; 6] → ℝ 0
+
, t ↦ f ( t ) beschrieben werden ( t seit Beginn des Regens in h, f ( t ) in L/h). Zu Beginn des Regens sind
bereits 400 L Wasser in der Regenwassertonne.
1) Interpretieren Sie 400 +
∫
6
0
f ( t ) d t im gegebenen Sachzusammenhang unter Angabe der
zugehörigen Einheit. [0 / 1 P.]
Der Graph der Funktion f ist in der nachstehenden Abbildung dargestellt. Die Funktion f hat
bei t 1 = 1,4 eine lokale Maximumstelle und bei t 2 = 2,9 eine Wendestelle.
f ( t ) in L/h
f
t in h
5 4 3 2 1 0 6
400
350
300
250
200
150
100
50
0
450
Die Funktion F : [0; 6] → ℝ 0
+
, t ↦ F ( t ) mit F (0) = 400 ist eine Stammfunktion von f
( t in h, F ( t ) in L).
2) Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5] [0 / 1 P.]
F ist streng monoton steigend.
F hat bei t
1
= 1,4 den Funktionswert 370.
Der Graph von F ändert bei t 1 = 1,4 das Krümmungsverhalten.
Der Graph von F hat bei t
1
= 1,4 eine horizontale Tangente.
F hat bei t 2 = 2,9 eine lokale Maximumstelle.

18. September 2024 / AHS / Mathematik S. 36 /36
b) In der nachstehenden Abbildung ist ein Hausdach modellhaft in einem kartesischen Koordinatensystem dargestellt. Das Dach wird durch Dachkanten begrenzt.
12 m
y in m
B
e
A
O
z in m
x in m
5 m
3 m
Die Dachkante AB liegt auf der Geraden e .
Der Punkt A liegt in der xy -Ebene, der Punkt B liegt in der yz -Ebene.
1) Geben Sie eine Parameterdarstellung von e an. [0 / 1 P.]
Zwei andere Dachkanten liegen auf den Geraden g und h . Es gilt:
g : X =
(
5
0
0
)
+ s ∙
(
–5
0
3
)
und h : X =
(
–5
12
0
)
+ t ∙
(
0
1
0
)
mit s , t ∈ ℝ
2) Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht. [0 / ½ / 1 P.]
Die beiden Geraden sind
1
und
2
.
1
zueinander parallel
schneidend
zueinander windschief
2
g verläuft parallel zur x -Achse
h verläuft parallel zur y -Achse
h verläuft durch den Punkt (0 | 0 | 3)