Mathematik-Matura Mai 2024 · AHS – Aufgaben

AHS
7. Mai 2024
Mathematik
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reifeprüfung
Name:
Klasse:

S. 2 /36 7. Mai 2024 / AHS / Mathematik
Hinweise zur Aufgabenbearbeitung
Sehr geehrte Kandidatin! Sehr geehrter Kandidat!
Beurteilungsschlüssel
erreichte Punkte Note
32 – 36 Punkte Sehr gut
27 – 31,5 Punkte Gut
22 – 26,5 Punkte Befriedigend
17 – 21,5 Punkte Genügend
0 – 16,5 Punkte Nicht genügend
Best-of-Wertung: Für die Aufgaben 26, 27 und 28 gilt eine Best-of-Wertung. Von diesen drei Teil-2-Aufgaben
wird diejenige Aufgabe, bei der die niedrigste Punkteanzahl erreicht worden ist, nicht gewertet.
Viel Erfolg!
Das vorliegende Aufgabenheft enthält Teil-1-Aufgaben
und Teil-2-Aufgaben (bestehend aus Teilaufgaben).
Die Aufgaben bzw. Teilaufgaben sind unabhängig voneinander bearbeitbar. Ihnen stehen 270 Minuten an
Arbeitszeit zur Verfügung.
Verwenden Sie für die Bearbeitung ausschließlich
dieses Aufgabenheft und das Ihnen zur Verfügung gestellte Arbeitspapier. Schreiben Sie Ihren Namen und
Ihre Klasse in die dafür vorgesehenen Felder auf dem
Deckblatt des Aufgabenhefts sowie Ihren Namen und
die fortlaufende Seitenzahl auf jedes verwendete Blatt
Arbeitspapier. Geben Sie bei der Beantwortung jeder
Handlungsanweisung deren Bezeichnung (z. B.: 25a1)
auf dem Arbeitspapier an.
In die Beurteilung wird alles einbezogen, was nicht
durchgestrichen ist.
Die Verwendung der vom zuständigen Regierungs mitglied für die Klausurarbeit freigegebenen Formel sammlung für die SRP in Mathematik ist erlaubt.
Weiters ist die Verwendung von elektronischen Hilfs mitteln (z. B. grafik fähiger Taschenrechner oder andere
entsprechende Technologie) erlaubt, sofern keine
Kommunikationsmöglichkeit (z. B. via Internet, Intranet,
Bluetooth, Mobilfunknetzwerke etc.) gegeben ist und
der Zugriff auf Eigendateien im elektronischen Hilfs mittel nicht möglich ist.
Eine Erläuterung der Antwortformate liegt im Prüfungsraum zur Durchsicht auf.
Handreichung für die Bearbeitung
– Lösungen müssen jedenfalls eindeutig als solche
erkennbar sein.
– Lösungen müssen jedenfalls mit zugehörigen
Einheiten angegeben werden, wenn dazu in der
Handlungsanweisung explizit aufgefordert wird.
Bei offenen Antwortformaten steht für die Punktevergabe der Nachweis der jeweiligen Grundkompetenz im Vordergrund. Für die Bearbeitung offener
Antwortformate wird empfohlen:
– den Lösungsweg, auch im Fall von Technologieeinsatz, nachvollziehbar zu dokumentieren,
– selbst gewählte Variablen zu erklären und gegebenenfalls mit den zugehörigen Einheiten anzugeben,
– frühzeitiges Runden zu vermeiden,
– Diagramme oder Skizzen zu beschriften.
So ändern Sie Ihre Antwort bei Aufgaben zum Ankreuzen:
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr
gültigen Antwort.
2. Kreuzen Sie dann das gewünschte Kästchen an.
Hier wurde zuerst die Antwort „5 + 5 = 9“ gewählt
und dann auf „2 + 2 = 4“ geändert.
1 + 1 = 3 
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 5 
4 + 4 = 4 
5 + 5 = 9 
6 + 6 = 10 
So wählen Sie eine bereits übermalte Antwort:
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr
gültigen Antwort.
2. Kreisen Sie das gewünschte übermalte Kästchen
ein.
Hier wurde zuerst die Antwort „2 + 2 = 4“ übermalt
und dann wieder gewählt.
1 + 1 = 3 
2 + 2 = 4
3 + 3 = 5 
4 + 4 = 4 
5 + 5 = 9 
6 + 6 = 10 

7. Mai 2024 / AHS / Mathematik S. 3 /36
Aufgabe 1
Vergleich zweier Mengen
Die Menge A = { x ∈ ℕ | 1 < x < 8} ist eine Teilmenge der natürlichen Zahlen und
die Menge B = { x ∈ ℚ | 1 < x < 8} ist eine Teilmenge der rationalen Zahlen.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5]
Beide Mengen A und B enthalten rationale
Zahlen.
Die Menge B ist eine Teilmenge der Menge A .
Die zwei Mengen A und B enthalten gleich
viele Zahlen.
Die Menge A enthält genau 6 Zahlen, die
auch in der Menge B enthalten sind.
Beide Mengen A und B enthalten Zahlen, die
größer als 7 sind.
[0 / 1 P.]

S. 4 /36 7. Mai 2024 / AHS / Mathematik
Aufgabe 2
Äpfel und Marillen
Ein bestimmter Obsthändler verkauft Äpfel und Marillen.
Der Preis für 1 kg Äpfel beträgt a Euro, der Preis für 1 kg Marillen beträgt m Euro ( a , m ∈ ℝ
+
).
Es gilt:
• 1 kg Marillen kostet um 80 % mehr als 1 kg Äpfel.
• 1 kg Marillen kostet um 1,40 Euro mehr als 1 kg Äpfel.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Gleichungen an. [2 aus 5]
a ∙ 0,8 = m
a + 1,8 = m
a = m – 1,4
a =
m
1,4
m
a
= 1,8
[0 / 1 P.]

7. Mai 2024 / AHS / Mathematik S. 5 /36
Aufgabe 3
Gleichungssystem
Gegeben ist ein Gleichungssystem in x und y mit a , c ∈ ℝ .
I : 2 · x – y = 3
II : a · x + 2 · y = c
Dieses Gleichungssystem hat keine Lösung.
Aufgabenstellung:
Geben Sie jeweils einen Wert von a und c an.
a =
c =
[0 / 1 P.]

S. 6 /36 7. Mai 2024 / AHS / Mathematik
Aufgabe 4
Vektoren
Gegeben sind zwei Vektoren a , b ∈ ℝ
2
.
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den vier Abbildungen jeweils diejenige Aussage aus A bis F zu, die auf die dargestellten
Vektoren a und b zutrifft.
a
b
a
b
a
b
a
b
A ( a – b ) ⊥ b
B a ∙ b = 0
C b =
3
2
∙ a
D a = –2 ∙ b
E ( a – b ) ⊥ a
F b =
2
3
∙ a
[0 / ½ / 1 P.]

7. Mai 2024 / AHS / Mathematik S. 7 /36
Aufgabe 5
Parameterdarstellung einer Geraden
Unten stehend sind die sechs Geraden g 1 , g 2 , ... , g 6 grafisch dargestellt. Die gekennzeichneten
Punkte der Geraden haben ganzzahlige Koordinaten.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die Darstellung derjenigen Geraden an, die eine Parameterdarstellung der Form
X = (
a
1
a
2
) + t ∙ (
3
1
) mit t ∈ ℝ und a 1 , a 2 ∈ ℤ hat. [1 aus 6]
0 2 3 4 1 –3 –2 –1 –4 –5
0
3
2
1
4
–2
–1
–3
g
1
y
x
0 2 3 4 1 –3 –2 –1 –4 –5
0
3
2
1
4
–2
–1
–3
g
2
y
x
0 2 3 4 1 –3 –2 –1 –4 –5
0
3
2
1
4
–2
–1
–3
g
3
y
x
0 2 3 4 1 –3 –2 –1 –4 –5
0
3
2
1
4
–2
–1
–3
g
4
y
x
0 2 3 4 1 –3 –2 –1 –4 –5
0
3
2
1
4
–2
–1
–3
g
5
y
x
0 2 3 4 1 –3 –2 –1 –4 –5
0
3
2
1
4
–2
–1
–3
g
6
y
x
[0 / 1 P.]

S. 8 /36 7. Mai 2024 / AHS / Mathematik
Aufgabe 6
Einheitskreis
Für den Winkel α ∈ [0°; 360°) gilt:
sin( α ) = –0,5 und cos( α ) < 0
Im unten stehenden Koordinatensystem ist ein Einheitskreis dargestellt.
Aufgabenstellung:
Zeichnen Sie in diesem Koordinatensystem den Punkt P = (cos( α ) | sin( α )) ein.
0
y
x
0 1 –1
–1
1
[0 / 1 P.]

7. Mai 2024 / AHS / Mathematik S. 9 /36
Aufgabe 7
Beschleunigung
Ein Körper bewegt sich im Zeitintervall [0; 5] geradlinig mit einer konstanten Beschleunigung und
kommt zum Zeitpunkt t = 5 zum Stillstand.
Für die Beschleunigung gilt: a ( t ) = –0,4
t ... Zeit in s
a ( t ) ... Beschleunigung zum Zeitpunkt t in m/s
2
v ( t ) ... Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t in m/s
s ( t ) ... zurückgelegter Weg zum Zeitpunkt t in m
In zwei der unten stehenden Abbildungen wird die Bewegung des Körpers richtig dargestellt.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Abbildungen an. [2 aus 5]
t in s
v ( t ) in m/s
0
1
2
–1
0 1 3 4 5 2
v
s
s ( t ) in m
0
1
2
–1
0 1 3 4 5 2
t in s
a ( t ) in m/s 2
0
1
2
–1
0 1 3 4 5 2
t in s
a
a
a ( t ) in m/s 2
0
1
2
–1
0 1 3 4 5 2
t in s
v
v ( t ) in m/s
0
1
2
–1
0 1 3 4 5 2
t in s
[0 / 1 P.]

S. 10 /36 7. Mai 2024 / AHS / Mathematik
Aufgabe 8
Rennrad
Im Handbuch zu einem Rennrad sind folgende Werte angegeben:
Anzahl der Kurbelumdrehungen pro Minute Geschwindigkeit in km/h
60 28,8
85 40,8
Die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Anzahl der Kurbelumdrehungen kann durch die
lineare Funktion v modelliert werden.
x ... Anzahl der Kurbelumdrehungen pro Minute
v ( x ) ... Geschwindigkeit bei x Kurbelumdrehungen pro Minute in km/h
Aufgabenstellung:
Stellen Sie eine Gleichung von v auf.
v ( x ) =
[0 / 1 P.]

7. Mai 2024 / AHS / Mathematik S. 11 /36
Aufgabe 9
Potenzfunktion
Gegeben ist eine Potenzfunktion f : ℝ \{0} → ℝ mit f ( x ) = a ∙ x
z
mit a ∈ ℝ \{0} und z ∈ ℤ .
Es gilt:
• Verdoppelt man den Wert des Arguments x , so verringert sich der zugehörige Funktionswert
auf ein Viertel des ursprünglichen Funktionswerts.
• Der Punkt (2 | 2) liegt auf dem Graphen von f .
Aufgabenstellung:
Geben Sie die Werte von a und z an.
z =
a =
[0 / 1 P.]

S. 12 /36 7. Mai 2024 / AHS / Mathematik
Aufgabe 10
Befüllen eines Wasserbeckens
Ein leeres Wasserbecken wird vollständig mit Wasser befüllt.
Die Funktion d : ℝ
+
→ ℝ
+
beschreibt die Dauer des Befüllens in Abhängigkeit von der
Zuflussrate z ( z in m
3
/h, d ( z ) in h).
Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen von d .
13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 14 16 15 17
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
14
d ( z ) in h
z in m
3
/h
d
Aufgabenstellung:
Geben Sie das Volumen V des Wasserbeckens an.
V = m
3
[0 / 1 P.]

7. Mai 2024 / AHS / Mathematik S. 13 /36
Aufgabe 11
Halbwertszeit
Die Masse einer radioaktiven Substanz in Abhängigkeit von der Zeit t kann durch eine Exponentialfunktion beschrieben werden. Dabei gilt:
N ( t ) = N 0 ∙ ℯ
– k ∙ t
N ( t ) ... vorhandene Masse der radioaktiven Substanz zum Zeitpunkt t
N 0 ... vorhandene Masse der radioaktiven Substanz zum Zeitpunkt t = 0
k ∈ ℝ
+
... Zerfallskonstante
Mit τ wird die Halbwertszeit der radioaktiven Substanz bezeichnet.
Mit t * wird ein beliebiger Zeitpunkt bezeichnet.
Es gilt: t * ≠ τ und t * > 0
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie den zu N ( t * + τ ) äquivalenten Ausdruck an. [1 aus 6]
2 ∙ N
0
N ( τ )
N
(
1
2
∙ t *
)
2 ∙ N ( τ )
N (2 ∙ t *)
1
2
∙ N ( t *)
[0 / 1 P.]

S. 14 /36 7. Mai 2024 / AHS / Mathematik
Aufgabe 12
Sinusfunktion
Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen der Funktion f mit f ( x ) = a ∙ sin( b ∙ x ) mit a , b ∈ ℝ
+
.
f ( x )
x
f
P
1
P
2 0
0
Die Punkte P 1 = ( x 1 | 0) und P 2 = ( x 2 | 0) mit x 1 =
3 ∙ π
4
und x 2 = π liegen auf dem Graphen von f .
Es gilt: f
(
x 1 + x 2
2
)
= –3
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie a und b .
a =
b =
[0 / ½ / 1 P.]

7. Mai 2024 / AHS / Mathematik S. 15 /36
Aufgabe 13
CO2-Emissionen
Die nachstehende Tabelle zeigt die Höhe der CO2-Emissionen in Österreich für ausgewählte
Jahre.
Jahr 1990 2005 2017 2018
CO2-Emissionen in Millionen Tonnen 78,5 92,5 82,0 79,0
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Werte der nachstehend angegebenen Größen.
absolute Änderung der CO2-Emissionen von 2017 auf 2018: Millionen Tonnen
relative Änderung der CO2-Emissionen von 1990 auf 2005:
[0 / ½ / 1 P.]

S. 16 /36 7. Mai 2024 / AHS / Mathematik
Aufgabe 14
Bewegung eines Radfahrers
Die Polynomfunktion s beschreibt näherungsweise den zurückgelegten Weg eines Radfahrers in
Abhängigkeit von der Zeit t ( t in h, s ( t ) in km).
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden
Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht.
Der Ausdruck
t → 2
lim
s ′ ( t ) – s ′ (2)
t – 2
beschreibt
1
und der Ausdruck
s ( t
2
) – s ( t
1
)
t
2
– t
1
beschreibt
2
.
1
die momentane Beschleunigung
zum Zeitpunkt t = 2
die momentane Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 2
den bis zum Zeitpunkt t = 2
zurückgelegten Weg
2
die durchschnittliche Beschleunigung im Zeitintervall [ t
1
; t
2
]
die durchschnittliche Geschwindigkeit im Zeitintervall [ t
1
; t
2
]
den im Zeitintervall [ t
1
; t
2
] zurückgelegten Weg
[0 / ½ / 1 P.]

7. Mai 2024 / AHS / Mathematik S. 17 /36
Aufgabe 15
Fallschirmsprung
Die Geschwindigkeit einer Fallschirmspringerin bei einem bestimmten Fallschirmsprung in
Abhängigkeit von der Zeit t lässt sich für das Intervall [0; 14] durch die differenzierbare Funktion v
modellieren ( t in s, v ( t ) in m/s). Die unten stehende Abbildung zeigt den Graphen von v .
Aufgabenstellung:
Kennzeichnen Sie in der Abbildung den Zeitpunkt t 1 , zu dem die Beschleunigung der Fallschirm springerin 5 m/s
2
beträgt.
v ( t ) in m/s
t in s
13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 14
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
50
v
[0 / 1 P.]

S. 18 /36 7. Mai 2024 / AHS / Mathematik
Aufgabe 16
Funktion und Stammfunktion
In der unten stehenden Abbildung sind der Graph der Funktion f und der Graph einer ihrer
Stamm funktionen F dargestellt.
Im Intervall [ x 1 ; x 2 ] ist unter dem Graphen der Funktion f ein Flächenstück grau gekennzeichnet.
Unter dem Graphen von F ist die Strecke mit der Länge s gekennzeichnet.
O
F
s
f
x
1
x
2
x
f ( x ), F ( x )
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie diejenige Gleichung an, die den Zusammenhang zwischen s und dem Inhalt des
grau gekenn zeichneten Flächenstücks richtig beschreibt. [1 aus 6]
s = F ( x
1
) – F ( x
2
)
s = f ( x
2
) – f ( x
1
)
s =
F ( x 1 ) + F ( x 2 )
2
s =
∫
x 2
x 1
f ( x ) d x
s =
∫
x 1
x 2
f ( x ) d x
s =
∫
x 2
x 1
F ( x ) d x
[0 / 1 P.]

7. Mai 2024 / AHS / Mathematik S. 19 /36
Aufgabe 17
Eigenschaften von quadratischen Funktionen
Gegeben sind zwei quadratische Funktionen f und h .
Für alle x ∈ ℝ gilt: f ′ ( x ) = h ′ ( x ) und f ( x ), h ( x ) > 0
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden auf jeden Fall zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5]
Für alle x ∈ ℝ gilt: h ″ ( x ) < 0
h ′ ist streng monoton fallend.
Es gibt eine Zahl c ∈ ℝ so, dass für alle
x ∈ ℝ gilt: f ( x ) – h ( x ) = c
h ′ ist eine lineare Funktion, deren Graph durch
den Punkt (0 | 0) verläuft.
f ′ hat eine Nullstelle.
[0 / 1 P.]

S. 20 /36 7. Mai 2024 / AHS / Mathematik
Aufgabe 18
Flächeninhalt zwischen zwei Funktionsgraphen
In Abbildung 1 sind die Graphen der quadratischen Funktion f und der linearen Funktion g dargestellt.
In Abbildung 2 sind die Graphen der Funktionen F und G dargestellt.
Es gilt:
F ist eine Stammfunktion von f .
G ist eine Stammfunktion von g .
f ( x ), g ( x )
g
x
f
8 7 6 5 4 3 2 1 0 –1 9
Abbildung 1
F ( x ), G ( x )
F
x
G
8 7 6 5 4 3 2 1 0 –1 9
0
–2
–4
12
10
8
6
4
2
Abbildung 2
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie mithilfe der Abbildungen den Flächeninhalt A der grau markierten Fläche.
[0 / 1 P.]

7. Mai 2024 / AHS / Mathematik S. 21 /36
Aufgabe 19
Vergleich zweier Diagramme
In den nachstehenden Abbildungen ist die Datenliste A in einem Stängel-Blatt-Diagramm und die
Datenliste B als Boxplot dargestellt.
2 1 7 7 9
3 1 3 6 6
4 3
21 27 33 44 36
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden statistischen Kennzahlen an, bei denen sich die Datenlisten A und B
unterscheiden. [2 aus 5]
1. Quartil
Spannweite
3. Quartil
Minimum
Median
[0 / 1 P.]

S. 22 /36 7. Mai 2024 / AHS / Mathematik
Aufgabe 20
Arithmetisches Mittel
Eine bestimmte Datenliste enthält 20 Werte und hat das arithmetische Mittel x = 15,5.
Aus dieser Datenliste werden die Werte 4, 6, 13 und 27 entfernt. Die verbleibende Datenliste mit
16 Werten hat das arithmetische Mittel x 1 .
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie das arithmetische Mittel x 1 .
[0 / 1 P.]

7. Mai 2024 / AHS / Mathematik S. 23 /36
Aufgabe 21
Lösungszeiten für Sudoku
Bei einem Online-Sudoku werden 6 Spiele durchgeführt. In der nachstehenden Tabelle sind die
Lösungszeiten der ersten 5 Spiele gegeben.
Spiel
Lösungszeit
in s
1 356
2 321
3 378
4 450
5 298
6 t
Der Median aller 6 Lösungszeiten beträgt 350 s.
Aufgabenstellung:
Geben Sie t an.
t = s
[0 / 1 P.]

S. 24 /36 7. Mai 2024 / AHS / Mathematik
Aufgabe 22
Ziehen von Kugeln
In einer Urne befinden sich n Kugeln. Von den n Kugeln sind 6 Kugeln rot, die restlichen Kugeln
sind weiß. Aus dieser Urne werden nach dem Zufallsprinzip hintereinander 2 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.
Die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten sind im nachstehenden Baumdiagramm dargestellt.
6
n
5
n – 1
n – 6
n – 1
6
n – 1
n – 7
n – 1
n – 6
n
rot weiß
rot weiß rot weiß
Die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden gezogenen Kugeln rot sind, beträgt p .
Aufgabenstellung:
Stellen Sie unter Verwendung von n eine Gleichung zur Berechnung von p auf.
p =
[0 / 1 P.]

7. Mai 2024 / AHS / Mathematik S. 25 /36
Aufgabe 23
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Ein fairer 6-seitiger Würfel mit den Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 wird 2-mal geworfen.
Die Zufallsvariable X gibt an, wie oft bei diesen 2 Würfen die Augenzahl 6 auftritt.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie diejenige Abbildung an, die die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X richtig darstellt.
[1 aus 6]
k
1 0 2
P ( X = k )
k
1 0 2
P ( X = k )
k
1 0 2
P ( X = k )
k
1 0 2
P ( X = k )
k
1 0 2
P ( X = k )
k
1 0 2
P ( X = k )
[0 / 1 P.]

S. 26 /36 7. Mai 2024 / AHS / Mathematik
Aufgabe 24
Computerspiel
Ein bestimmtes Computerspiel besteht aus mehreren Spielrunden.
Bei einer Spielrunde gibt es jeweils 5 Fragen mit jeweils 4 Antwortmöglichkeiten, von denen
immer nur 1 Antwortmöglichkeit richtig ist.
Eine Spielrunde gilt als gewonnen, wenn mehr als die Hälfte der Fragen richtig beantwortet wird.
Die 4 Antwortmöglichkeiten sind bei jeder Frage nach dem Zufallsprinzip angeordnet.
Gerhard wählt, ohne die Fragen zu lesen, bei einer bestimmten Spielrunde jedes Mal die erste
Antwortmöglichkeit aus.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Gerhard diese Spielrunde gewinnt.
[0 / 1 P.]

7. Mai 2024 / AHS / Mathematik S. 27 /36
Aufgabe 25 (Teil 2)
Bogenschießen
Auf dem Gelände einer bestimmten 3-D-Bogenschießanlage wird mit Pfeil und Bogen auf Figuren
geschossen.
Aufgabenstellung:
a) Paul schießt einen Pfeil auf eine Figur. Die Flugbahn der Pfeilspitze vom Start im Punkt S zum
Ziel im Punkt Z kann durch die Gerade g modelliert werden.
Es gilt: S = (0 | 0 | 1,8), Z = (–5 | 7 | 8,5)
1) Stellen Sie eine Gleichung von g in Parameterdarstellung auf.
g : X = [0 / 1 P.]
b) Lara sieht eine bestimmte Figur unter dem Sehwinkel α . In der nachstehenden nicht maßstabgetreuen Abbildung ist der Zusammenhang zwischen dem Sehwinkel α , der Entfernung r und
der Größe h dargestellt.
r
h α
2
α
Auge
1) Stellen Sie unter Verwendung von α und r eine Formel zur Berechnung von h auf.
h = [0 / 1 P.]

S. 28 /36 7. Mai 2024 / AHS / Mathematik
c) Paul schießt beim Training auf die 3 Ziele A, B und C. Er trifft diese bei jedem Schuss unabhängig von jedem anderen Schuss mit den in der nachstehenden Tabelle angeführten Wahrscheinlichkeiten.
Ziel A B C
Wahrscheinlichkeit
2
5
7
10
1
4
Paul schießt nacheinander jeweils 1-mal auf die 3 Ziele A, B und C.
1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Paul mindestens 1 dieser 3 Ziele trifft. [0 / 1 P.]
Paul schießt 10-mal auf das Ziel A. Die binomialverteilte Zufallsvariable X gibt dabei die Anzahl
der Treffer an.
2) Ermitteln Sie den Erwartungswert E ( X ). [0 / 1 P.]

7. Mai 2024 / AHS / Mathematik S. 29 /36
Aufgabe 26 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Bungee-Jumping
Bungee-Jumping ist eine Extremsportart, bei der man von einer Absprungplattform in großer
Höhe an einem elastischen Seil befestigt in die Tiefe springt.
Aufgabenstellung:
a) Sabine unternimmt einen Bungeesprung. Dabei schwingt sie am Seil mehrmals auf und ab.
Ihre Höhe über dem Boden in Abhängigkeit von der Zeit t wird modellhaft durch die Funktion
h : ℝ 0
+
→ ℝ
+
beschrieben.
h ( t ) = a ·
(
ℯ
–0,03 · t
· cos
(
π · t
6
)
+ 1
)
t ... Zeit nach dem Absprung in s
h ( t ) ... Höhe über dem Boden zum Zeitpunkt t in m
a ... positiver Parameter
Zum Zeitpunkt t = 0 springt Sabine von der Absprungplattform in 90 m Höhe über dem
Boden in die Tiefe.
1) Berechnen Sie den Parameter a . [0 / 1 P.]
Die gesamte Zeitdauer, in der sich Sabine während des Bungeesprungs in einer Höhe von
mehr als 70 m über dem Boden befindet, wird mit d bezeichnet.
2) Ermitteln Sie d in Sekunden. [0 / 1 P.]
Nach Erreichen des tiefsten Punktes wird Sabine vom Seil wieder nach oben gezogen, bevor
sie erneut fällt.
3) Berechnen Sie, wie viele Meter Sabine dabei nach oben gezogen wird. [0 / 1 P.]

S. 30 /36 7. Mai 2024 / AHS / Mathematik
Zum Zeitpunkt t
1
ist Sabines (vertikale) Fallgeschwindigkeit maximal.
4) Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht. [0 / ½ / 1 P.]
Für den Zeitpunkt t
1
gilt
1
;
die Fallgeschwindigkeit kann mit
2
berechnet werden.
1
h ״ ( t 1 ) > 0
h ״ ( t 1 ) < 0
h ״ ( t 1 ) = 0
2
h ( t
1
)
| h ′ ( t 1 ) |
∫
t 1
0
h ( t ) d t

7. Mai 2024 / AHS / Mathematik S. 31 /36
Aufgabe 27 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Taschenlampen
Ein Betrieb produziert und verkauft Taschenlampen.
Aufgabenstellung:
a) Der vordere Teil einer bestimmten Taschenlampe besteht aus der punktförmigen Lichtquelle L
und einem Reflektor, der die Lichtquelle umgibt.
Der Querschnitt des vorderen Teiles dieser Taschenlampe ist in der nachstehenden nicht maßstabgetreuen Abbildung in einem Koordinatensystem modellhaft dargestellt.
y in cm
x in cm
n
m
B
A
Q
P
L
0
Reflektor Wand
20
Zwei geradlinige Lichtstrahlen gehen von der Lichtquelle L aus und werden in den Punkten P
und Q vom Reflektor parallel zur x -Achse auf eine Wand umgelenkt. Dort treffen sie in den
Punkten A und B auf.
L = (2,5 | 0)
LP = 3 cm und LQ = 4,1 cm
A = (20 | yA ) und B = (20 | yB )
m = 19,5 cm
Es gilt: LP + m = LQ + n
1) Berechnen Sie yB . [0 / 1 P.]

S. 32 /36 7. Mai 2024 / AHS / Mathematik
b) Bei der Kontrolle einer Lieferung werden Taschenlampen auf die Fehler F1, F2 und F3 hin überprüft. Diese 3 Fehler treten unabhängig voneinander auf.
In der nachstehenden Tabelle sind diese Fehler und die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten
angegeben.
Fehler Beschreibung Wahrscheinlichkeit
F1 Die Taschenlampe ist defekt. p 1
F2 Die Taschenlampe hat die falsche Farbe. 0,02
F3 Die Taschenlampe hat keine Aufbewahrungstasche. 0,01
Eine Taschenlampe wird nach dem Zufallsprinzip ausgewählt und überprüft.
1) Ordnen Sie den vier Ereignissen jeweils die auf jeden Fall zutreffende Wahrscheinlichkeit
aus A bis F zu. [0 / ½ / 1 P.]
Die Taschenlampe ist defekt und
hat die falsche Farbe.
Die Taschenlampe hat die richtige
Farbe.
Die Taschenlampe ist nicht defekt,
sie hat die richtige Farbe und sie
hat keine Aufbewahrungstasche.
Die Taschenlampe weist mindestens 1 dieser 3 Fehler auf.
A 0,98
B 1 – (1 – p 1 ) · 0,98 · 0,99
C p
1
· 0,02
D 1 – p
1
· 0,02 · 0,01
E p
1
· 0,02 · 0,01
F (1 – p
1
) · 0,98 · 0,01

7. Mai 2024 / AHS / Mathematik S. 33 /36
c) Die Gesamtkosten für die Herstellung der Taschenlampen in Abhängigkeit von der Produktionsmenge x können durch die differenzierbare Kostenfunktion K modelliert werden.
x ... Produktionsmenge in Mengeneinheiten (ME)
K ( x ) ... Gesamtkosten bei der Produktionsmenge x in Geldeinheiten (GE)
Die zugehörige Grenzkostenfunktion K ′ hat die Funktionsgleichung
K ′ ( x ) = 0,33 · x
2
– 1,8 · x + 3.
Es gilt: K (1) = 44,21
1) Stellen Sie eine Funktionsgleichung von K auf.
K ( x ) = [0 / 1 P.]
Im Folgenden wird angenommen, dass jede produzierte Taschenlampe auch verkauft wird.
Der Erlös aus dem Verkauf dieser Taschenlampen in Abhängigkeit von der Produktions menge x kann durch die Funktion E modelliert werden.
E ( x ) = a ∙ x
x ... Produktionsmenge in ME
E ( x ) ... Erlös bei der Produktionsmenge x in GE
a ... Preis in GE/ME
Der Gewinn wird durch die Gewinnfunktion G modelliert ( x in ME, G ( x ) in GE).
Das Betriebsziel ist, bei einer Produktion und einem Verkauf von 5 ME Taschenlampen einen
Gewinn von mindestens 100 GE zu erzielen.
2) Berechnen Sie den kleinstmöglichen Preis, mit dem dieses Betriebsziel erreicht wird.
[0 / 1 P.]

S. 34 /36 7. Mai 2024 / AHS / Mathematik
Aufgabe 28 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Belastungstests
Laktat ist ein Stoffwechselprodukt. Bei zunehmender körperlicher Belastung wird mehr Laktat im
Körper produziert.
Bei Belastungstests werden unter anderem die Herzfrequenz und die Laktatkonzentration im Blut
(in mmol/L) gemessen.
Aufgabenstellung:
a) Katharina unterzieht sich einem Belastungstest. Die Belastung wird bei diesem Test schrittweise erhöht, bis Katharina den Test nach 43 min abbricht.
Die Funktion P : [0; 43] → ℝ
+
, t ↦ P ( t ) beschreibt modellhaft die von Katharina erbrachte
Leistung in Abhängigkeit von der Zeit t ab Beginn des Belastungstests ( t in min, P ( t ) in Watt).
Der Graph von P ist in der nachstehenden Abbildung dargestellt.
43 42 39 36 33 30 27 24 21 18 15 12 9 6 3 0
t in min
400
380
360
340
320
300
280
260
240
220
200
180
160
140
120
100
0
P ( t ) in Watt
P
Für die im Zeitintervall [ tA ; tB ] (in min) verrichtete Arbeit W (in Joule) gilt:
W = 60 ∙
∫
tB
tA
P ( t ) d t
1) Berechnen Sie die von Katharina im Zeitintervall [30; 43] verrichtete Arbeit in Joule.
[0 / 1 P.]

7. Mai 2024 / AHS / Mathematik S. 35 /36
Im Rahmen dieses Belastungstests wird die Laktatkonzentration in Katharinas Blut gemessen.
Die Funktion c
1
: [0; 43] → ℝ
+
mit c
1
( t ) = 1,13 + 4 ∙ 10
–8
∙ t
5
beschreibt modellhaft die
Laktatkonzentration in Abhängigkeit von der Zeit t ab Beginn des Belastungstests ( t in min,
c
1
( t ) in mmol/L).
2) Ermitteln Sie diejenige Leistung (in Watt) während dieses Belastungstests, bei der eine
Laktat konzentration von 1,95 mmol/L erreicht wird. [0 / 1 P.]
Bei diesem Belastungstest wird auch Katharinas Herzfrequenz gemessen.
Die Funktion H : [0; 43] → ℝ
+
mit H ( t ) = 2 ∙ t + 85 beschreibt modellhaft die Herzfrequenz in
Abhängigkeit von der Zeit t ab Beginn des Belastungstests ( t in min, H ( t ) in Schlägen/min).
3) Beschreiben Sie die Bedeutung der Zahlen 2 und 85 im gegebenen Sachzusammenhang.
Geben Sie dabei jeweils die zugehörigen Einheiten an.
Bedeutung der Zahl 2:
Bedeutung der Zahl 85:
[0 / ½ / 1 P.]
b) Katharina unterzieht sich einem anderen Belastungstest. Dabei wird die Laktatkonzentration in
ihrem Blut zu Beginn, während und nach einer intensiven Belastung gemessen.
Die Funktion c
2
: [0; 30] → ℝ
+
mit c
2
( t ) = 31,2 ∙ ( ℯ
–0,066 ∙ t
– ℯ
–0,325 ∙ t
) + 1,13 beschreibt modell haft die Laktatkonzentration in Abhängigkeit von der Zeit t ab Beginn des Belastungstests
( t in min, c
2
( t ) in mmol/L).
Zum Zeitpunkt t
1
ist die Laktatkonzentration wieder auf die Hälfte des maximal erreichten
Wertes abgesunken.
1) Ermitteln Sie t
1
. [0 / 1 P.]

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