Mathematik-Matura Jänner 2024 · HTL Cluster T1 – Lösungen

Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reife- und Diplomprüfung
BHS
10. Jänner 2024
Angewandte Mathematik
Korrekturheft
HTL 1

10. Jänner 2024 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 2 /18
Beurteilung der Klausurarbeit
Beurteilungsschlüssel
erreichte Punkte Note
44 – 48 Punkte Sehr gut
38 – 43 Punkte Gut
31 – 37 Punkte Befriedigend
23 – 30 Punkte Genügend
0 – 22 Punkte Nicht genügend
Jahresnoteneinrechnung: Damit die Leistungen der letzten Schulstufe in die Beurteilung des
Prüfungsgebiets einbezogen werden können, muss die Kandidatin / der Kandidat mindestens
14 Punkte erreichen.
Den Prüferinnen und Prüfern steht während der Korrekturfrist ein Helpdesk des BMBWF
beratend zur Verfügung. Die Erreichbarkeit des Helpdesks wird für jeden Prüfungstermin auf
https://www.matura.gv.at/srdp/ablauf gesondert bekanntgegeben.

10. Jänner 2024 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 3 /18
Handreichung zur Korrektur
Für die Korrektur und die Bewertung sind die am Prüfungstag auf https://korrektur.srdp.at ver öffentlichten Unterlagen zu verwenden.
1. In der Lösungserwartung ist ein möglicher Lösungsweg angegeben. Andere richtige
Lösungswege sind als gleichwertig anzusehen. Im Zweifelsfall kann die Auskunft des Helpdesks in Anspruch genommen werden.
2. Der Lösungsschlüssel ist verbindlich unter Beachtung folgender Vorgangsweisen anzuwenden:
a. Punkte sind zu vergeben, wenn die jeweilige Handlungsanweisung in der Bearbeitung
richtig umgesetzt ist.
b. Berechnungen im offenen Antwortformat ohne nachvollziehbaren Rechenansatz
bzw. ohne nachvollziehbare Dokumentation des Technologieeinsatzes (verwendete
Ausgangsparameter und die verwendete Technologiefunktion müssen angegeben sein)
sind mit null Punkten zu bewerten.
c. Werden zu einer Teilaufgabe mehrere Lösungen von der Kandidatin / vom Kandidaten
angeboten und nicht alle diese Lösungen sind richtig, so ist diese Teilaufgabe mit null
Punkten zu bewerten, sofern die richtige Lösung nicht klar als solche hervorgehoben
ist.
d. Bei abhängiger Punktevergabe gilt das Prinzip des Folgefehlers. Wird von der Kandidatin / vom Kandidaten beispielsweise zu einem Kontext ein falsches Modell aufgestellt,
mit diesem Modell aber eine richtige Berechnung durchgeführt, so ist der Berechnungspunkt zu vergeben, wenn das falsch aufgestellte Modell die Berechnung nicht vereinfacht.
e. Werden von der Kandidatin / vom Kandidaten kombinierte Handlungsanweisungen in
einem Lösungsschritt erbracht, so sind alle Punkte zu vergeben, auch wenn der
Lösungsschlüssel Einzelschritte vorgibt.
f. Abschreibfehler, die aufgrund der Dokumentation der Kandidatin / des Kandidaten als
solche identifizierbar sind, sind ohne Punkteabzug zu bewerten, wenn sie zu keiner
Vereinfachung der Aufgabenstellung führen.
g. Rundungsfehler sind zu vernachlässigen, wenn die Rundung nicht explizit eingefordert
ist.
h. Die Angabe von Einheiten ist bei der Punktevergabe zu vernachlässigen, sofern sie
nicht explizit eingefordert ist.

10. Jänner 2024 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 4 /18
Aufgabe 1
Straßenrad-WM
a1) tan(40,4°) = 0,851... > 0,25
a2) Steigungswinkel α auf diesem Teilabschnitt:
α = arctan(0,057) = 3,26...°
Höhenunterschied ∆ h auf diesem Teilabschnitt:
∆ h = 7 900 ∙ sin( α ) = 449,57...
Der Höhenunterschied auf diesem Teilabschnitt beträgt rund 449,6 m.
Da sin(arctan(0,057)) ≈ 0,057 gilt, ist auch folgende Berechnung als richtig zu werten:
7 900 ∙ 0,057 = 450,3
a1) Ein Punkt für das richtige nachweisliche Überprüfen.
a2) Ein Punkt für das richtige Berechnen des Höhenunterschieds in Metern.
b1)
500
0
600
700
800
900
1 000
1 100
0 5 10 15 20 25 30 35
h ( x ) in m
x in km
h
P
b1) Ein Punkt für das Kennzeichnen des richtigen Punktes.

10. Jänner 2024 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 5 /18
c1)
R
1
R
2
Geschwindigkeit in Metern pro Sekunde
0
0
Zeit in Sekunden
D
R
1
R
2
Weg in Metern
Zeit in Sekunden
0
0
A
A
R
1
und R
2
fahren mit der
gleichen Geschwindigkeit.
B
R
1
befindet sich im
Stillstand und R
2
beschleunigt.
C
Die Geschwindigkeit von
R
1
ist zu jedem Zeitpunkt
höher als jene von R
2
.
D
Die Geschwindigkeit von
R
1
ist konstant und R
2
beschleunigt.
c1) Ein Punkt für das richtige Zuordnen.

10. Jänner 2024 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 6 /18
Aufgabe 2
Käse
a1) f ( t ) = a ∙ b
t
a = 0,19
f (15) = 0,06 oder 0,19 ∙ b
15
= 0,06
b =

15 0,06
0,19
= 0,926...
f ( t ) = 0,19 ∙ 0,926...
t
oder:
f ( t ) = 0,19 ∙ ℯ
–0,0768... ∙ t
a2)
14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 15
0
0,18
0,16
0,14
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,2
0,02
Masse in μg
t in Wochen
f
a3) Da das Volumen zuerst abnimmt, aber zwischen der 2. und 15. Woche wieder zunimmt,
kann der Zusammenhang nicht durch ein lineares Modell beschrieben werden.
Auch eine rechnerische Überprüfung (z. B. mittels Geradengleichung oder Berechnung der
Differenzenquotienten) ist als richtig zu werten.
a1) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Gleichung von f .
a2) Ein Punkt für das richtige Einzeichnen des Graphen von f .
a3) Ein Punkt für das richtige Begründen.
b1) E ( t ) = –0,5 ∙ t + 35
t ... Reifedauer in Wochen
E ( t ) ... Eiweißgehalt bei der Reifedauer t in Prozent
b1) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Gleichung von E .

10. Jänner 2024 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 7 /18
c1)
Der Fettanteil an der Gesamtmasse beträgt 26 %.
c1) Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

10. Jänner 2024 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 8 /18
Aufgabe 3
Bremsvorgänge
a1) v L ( t ) = s L ′ ( t ) = 12 – 2 ∙ t
v L (0) = 12
12 m/s = 43,2 km/h
Die Geschwindigkeit des LKW zu Beginn des Bremsvorgangs beträgt 43,2 km/h.
a2) v L ( t ) = 0 oder 12 – 2 ∙ t = 0
t = 6
Nach 6 s kommt der LKW zum Stillstand.
a1) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Geschwindigkeit in km/h.
a2) Ein Punkt für das richtige Berechnen des Zeitpunkts.
b1) Die momentane Geschwindigkeit des Zuges zur Zeit t = 20 beträgt 5 m/s.
Toleranzbereich: [4; 6]
b1) Ein Punkt für das richtige Ermitteln der momentanen Geschwindigkeit.

10. Jänner 2024 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 9 /18
c1)
Weg-Zeit-Funktion
des Motorboots
D
Beschleunigung-
Zeit-Funktion des
Motorboots
B
A
t in s
O
B
t in s
O
C
t in s
O
D
t in s
O
c1) Ein Punkt für das richtige Zuordnen.

10. Jänner 2024 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 10 /18
Aufgabe 4
Ruderboot
a1) g ( x ) = a ∙ x
2
+ b ∙ x + c
g ′ ( x ) = 2 ∙ a ∙ x + b
I : g (1,05) = 0,35
II : g (1) = 0
III : g ′ (1) = f ′ (1) = 1,7
oder:
I : a ∙ 1,05
2
+ b ∙ 1,05 + c = 0,35
II : a ∙ 1
2
+ b ∙ 1 + c = 0
III : 2 ∙ a ∙ 1 + b = 1,7
a2) Berechnung mittels Technologieeinsatz:
a = 106
b = –210,3
c = 104,3
a1) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Gleichungen mithilfe der Punktkoordinaten.
Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Gleichung mithilfe der 1. Ableitung.
a2) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Koeffizienten von g .
b1) f ″ ( x ) = 0 oder 9,6 ∙ x – 4,8 = 0
x = 0,5
s = 2 ∙ 0,5 m = 1 m
b1) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Länge von s .
c1)
α = arccos
(
1,05 – 0,5 ∙ d
b
)
c1) Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

10. Jänner 2024 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 11 /18
Aufgabe 5
Fluggepäck
a1) x =
H 1 + 2 ∙ H 2
H 0 + H 1 + H 2
a2)

(0 – x )
2
∙ H 0
+ (1 – x )
2
∙ H 1
+ (2 – x )
2
∙ H 2
H 0 + H 1 + H 2
a3)
Anzahl i der Gepäckstücke pro Fluggast 0 1 2
Anzahl der Fluggäste mit i Gepäckstücken 5 0 7
a1) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Formel.
a2) Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.
a3) Ein Punkt für das richtige Vervollständigen der Tabelle.
b1) X ... Masse in kg
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
P ( X ≥ 25) = 0,0062...
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gepäckstück eine Masse von mindestens 25 kg hat, beträgt
rund 0,6 %.
b2)
Wendepunkt
Erwartungswert
Masse in kg
b1) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Wahrscheinlichkeit.
b2) Ein Punkt für das richtige Veranschaulichen der Wahrscheinlichkeit.

10. Jänner 2024 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 12 /18
c1) Binomialverteilung mit n = 300, p = 0,007
X ... Anzahl der Gepäckstücke, die beim Transport beschädigt worden sind
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
P ( X ≤ 2) = 0,649...
Die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 2 dieser Gepäckstücke beim Transport beschädigt
worden sind, beträgt rund 65 %.
c2) Mindestens 1 dieser Gepäckstücke ist beim Transport beschädigt worden.
c1) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Wahrscheinlichkeit.
c2) Ein Punkt für das richtige Beschreiben im gegebenen Sachzusammenhang.

10. Jänner 2024 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 13 /18
Aufgabe 6 (Teil B)
Walnüsse
a1) α = 180° – arccos
(
FA ∙ FB
| FA | ∙ | FB |
)
oder:
α = arccos
(
| FA | ∙ | FB |
FA ∙ FB –
)
a2) eA =
(
5
13
–12
13
)
= (
0,384...
–0,923...
)
a3) FC = – eA ∙ | FC
| = (
–25
60
)
a1) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Formel.
a2) Ein Punkt für das Eintragen der richtigen Zahlen.
a3) Ein Punkt für das Eintragen der richtigen Zahlen.
b1) g ( x ) = 0 oder –0,034 ∙ x
4
– 0,19 ∙ x
2
+ 1,5 = 0
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
x
1
= –2,1... x
2
= 2,1...
L = 4,2... cm
Die Länge der Walnuss ist größer als 4 cm.
b2) a = 1,33 cm
b3)
Innenvolumen der
Walnuss (ohne Schale)
C
Volumen der Walnussschale
A
A π ·
∫
c
– c
g ( x )
2
d x – π ·
∫
b
– b
h ( x )
2
d x
B π ·
∫
c
– c
( g ( x ) – h ( x ))
2
d x
C 2 ∙ π ·
∫
b
0
h ( x )
2
d x
D π ·
∫
b
– b
( g ( x )
2
– h ( x )
2
) d x
b1) Ein Punkt für das richtige Zeigen.
b2) Ein Punkt für das Angeben des richtigen Wertes des Parameters a .
b3) Ein Punkt für das richtige Zuordnen.

10. Jänner 2024 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 14 /18
c1)
V ist monoton steigend.
c2) Flächeninhalt: 195
Toleranzbereich: [185; 205]
c3) Im Zeitintervall [50; 80] hat das Holzvolumen um 195 m
3
zugenommen.
c1) Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.
c2) Ein Punkt für das richtige Ermitteln des Flächeninhalts.
c3) Ein Punkt für das richtige Interpretieren im gegebenen Sachzusammenhang unter Angabe
der zugehörigen Einheit.

10. Jänner 2024 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 15 /18
Aufgabe 7 (Teil B)
Stuttgarter Fernsehturm
a1)
100 m
h
δ γ
e
e
sin( γ )
=
100
sin( δ – γ )
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
e = 293,01…
h = e ∙ sin( δ ) = 216,72...
Der Stuttgarter Fernsehturm hat eine Höhe von rund 216,7 m.
a1) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Höhe h .
b1) a = 48,2
b = 48,2 – 2,6 = 45,6
b2) 36,2 = 48,2 – 45,6 ∙ c
7
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
c = 0,8263…
b3) Weil c < 1, strebt der Term b ∙ c
t
für t → ∞ gegen 0, und damit strebt R ( t ) gegen 48,2.
b1) Ein Punkt für das Angeben der richtigen Werte der Parameter a und b .
b2) Ein Punkt für das richtige Berechnen des Parameters c .
b3) Ein Punkt für das richtige Begründen.

10. Jänner 2024 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 16 /18
c1) Berechnung mittels Technologieeinsatz:
f ( t ) = 21 263 ∙ t + 275 684 (Koeffizienten gerundet)
c2) f (18) = 658 421,0…
Der prognostizierte Wert für die Besucherzahl des Stuttgarter Fernsehturms im Jahr 2025
beträgt gemäß diesem Modell rund 658 000.
c1) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Gleichung von f .
c2) Ein Punkt für das richtige Ermitteln des prognostizierten Wertes der Besucherzahl im
Jahr 2025.

10. Jänner 2024 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 17 /18
Aufgabe 8 (Teil B)
Schwimmbad
a1) A =
∫
8
1
w ( x ) d x +
∫
16
8
f ( x ) d x –
∫
12
4
p ( x ) d x
a2) Steigung der Funktion w im Punkt T : w ′ (8) = 0,25
Steigung der Funktion f :
8 – 6
16 – 8
= 0,25
Die beiden Steigungen sind gleich.
a3)
∫
8
1

(1 + ( w ′ ( x ))
2
) d x +

8
2
+ 2
2
= 15,938...
Die Länge beträgt rund 15,94 m.
a4)
y in m
x in m
f
T
w
p
R
17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 18
7
6
5
4
3
2
1
0
8
q
Q
a1) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Formel.
a2) Ein Punkt für das richtige Zeigen.
a3) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Länge.
a4) Ein Punkt für das richtige Einzeichnen des Graphen der Funktion q .

10. Jänner 2024 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 18 /18
b1)
5 ∙ 10
8
25 ∙ 10 ∙ 1,8 ∙ 1 000
μg/L = 1 111,1... μg/L
Die Verordnung wird eingehalten.
b2)
Der Förderstrom Q wird kleiner, wenn b größer wird.
b1) Ein Punkt für das richtige nachweisliche Überprüfen.
b2) Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.
c1)
5 4 3 2 6
5 4 3 2 6
0,75
0,5
0,25
0
1
F
Wahrscheinlichkeit
Aufenthaltsdauer in Stunden
Aufenthaltsdauer in Stunden
f
Im Hinblick auf die Punktevergabe ist es erforderlich, dass das Maximum an der Stelle 4 liegt
und die Kurve die Form einer Gauß’schen Glockenkurve hat.
c2) X ... Aufenthaltsdauer in Stunden
Normalverteilung mit μ = 5,8 und 
n
σ
= 
9
1,2
= 0,4
P (5 ≤ X ≤ 6) = 0,6687...
Die Wahrscheinlichkeit beträgt rund 66,9 %.
c1) Ein Punkt für das richtige Einzeichnen des Graphen der Dichtefunktion f .
c2) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Wahrscheinlichkeit.