Mathematik-Matura Jänner 2024 · HAK Cluster W2 – Lösungen

Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reife- und Diplomprüfung
BHS
10. Jänner 2024
Angewandte Mathematik
Korrekturheft
HAK

10. Jänner 2024 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 2 /17
Beurteilung der Klausurarbeit
Beurteilungsschlüssel
erreichte Punkte Note
44 – 48 Punkte Sehr gut
38 – 43 Punkte Gut
31 – 37 Punkte Befriedigend
23 – 30 Punkte Genügend
0 – 22 Punkte Nicht genügend
Jahresnoteneinrechnung: Damit die Leistungen der letzten Schulstufe in die Beurteilung des
Prüfungsgebiets einbezogen werden können, muss die Kandidatin / der Kandidat mindestens
14 Punkte erreichen.
Den Prüferinnen und Prüfern steht während der Korrekturfrist ein Helpdesk des BMBWF
beratend zur Verfügung. Die Erreichbarkeit des Helpdesks wird für jeden Prüfungstermin auf
https://www.matura.gv.at/srdp/ablauf gesondert bekanntgegeben.

10. Jänner 2024 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 3 /17
Handreichung zur Korrektur
Für die Korrektur und die Bewertung sind die am Prüfungstag auf https://korrektur.srdp.at ver öffentlichten Unterlagen zu verwenden.
1. In der Lösungserwartung ist ein möglicher Lösungsweg angegeben. Andere richtige
Lösungswege sind als gleichwertig anzusehen. Im Zweifelsfall kann die Auskunft des Helpdesks in Anspruch genommen werden.
2. Der Lösungsschlüssel ist verbindlich unter Beachtung folgender Vorgangsweisen anzuwenden:
a. Punkte sind zu vergeben, wenn die jeweilige Handlungsanweisung in der Bearbeitung
richtig umgesetzt ist.
b. Berechnungen im offenen Antwortformat ohne nachvollziehbaren Rechenansatz
bzw. ohne nachvollziehbare Dokumentation des Technologieeinsatzes (verwendete
Ausgangsparameter und die verwendete Technologiefunktion müssen angegeben sein)
sind mit null Punkten zu bewerten.
c. Werden zu einer Teilaufgabe mehrere Lösungen von der Kandidatin / vom Kandidaten
angeboten und nicht alle diese Lösungen sind richtig, so ist diese Teilaufgabe mit null
Punkten zu bewerten, sofern die richtige Lösung nicht klar als solche hervorgehoben
ist.
d. Bei abhängiger Punktevergabe gilt das Prinzip des Folgefehlers. Wird von der Kandidatin / vom Kandidaten beispielsweise zu einem Kontext ein falsches Modell aufgestellt,
mit diesem Modell aber eine richtige Berechnung durchgeführt, so ist der Berechnungspunkt zu vergeben, wenn das falsch aufgestellte Modell die Berechnung nicht vereinfacht.
e. Werden von der Kandidatin / vom Kandidaten kombinierte Handlungsanweisungen in
einem Lösungsschritt erbracht, so sind alle Punkte zu vergeben, auch wenn der
Lösungsschlüssel Einzelschritte vorgibt.
f. Abschreibfehler, die aufgrund der Dokumentation der Kandidatin / des Kandidaten als
solche identifizierbar sind, sind ohne Punkteabzug zu bewerten, wenn sie zu keiner
Vereinfachung der Aufgabenstellung führen.
g. Rundungsfehler sind zu vernachlässigen, wenn die Rundung nicht explizit eingefordert
ist.
h. Die Angabe von Einheiten ist bei der Punktevergabe zu vernachlässigen, sofern sie
nicht explizit eingefordert ist.

10. Jänner 2024 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 4 /17
Aufgabe 1
Straßenrad-WM
a1) tan(40,4°) = 0,851... > 0,25
a2) Steigungswinkel α auf diesem Teilabschnitt:
α = arctan(0,057) = 3,26...°
Höhenunterschied ∆ h auf diesem Teilabschnitt:
∆ h = 7 900 ∙ sin( α ) = 449,57...
Der Höhenunterschied auf diesem Teilabschnitt beträgt rund 449,6 m.
Da sin(arctan(0,057)) ≈ 0,057 gilt, ist auch folgende Berechnung als richtig zu werten:
7 900 ∙ 0,057 = 450,3
a1) Ein Punkt für das richtige nachweisliche Überprüfen.
a2) Ein Punkt für das richtige Berechnen des Höhenunterschieds in Metern.
b1)
500
0
600
700
800
900
1 000
1 100
0 5 10 15 20 25 30 35
h ( x ) in m
x in km
h
P
b1) Ein Punkt für das Kennzeichnen des richtigen Punktes.

10. Jänner 2024 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 5 /17
c1)
R
1
R
2
Geschwindigkeit in Metern pro Sekunde
0
0
Zeit in Sekunden
D
R
1
R
2
Weg in Metern
Zeit in Sekunden
0
0
A
A
R
1
und R
2
fahren mit der
gleichen Geschwindigkeit.
B
R
1
befindet sich im
Stillstand und R
2
beschleunigt.
C
Die Geschwindigkeit von
R
1
ist zu jedem Zeitpunkt
höher als jene von R
2
.
D
Die Geschwindigkeit von
R
1
ist konstant und R
2
beschleunigt.
c1) Ein Punkt für das richtige Zuordnen.

10. Jänner 2024 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 6 /17
Aufgabe 2
Käse
a1) f ( t ) = a ∙ b
t
a = 0,19
f (15) = 0,06 oder 0,19 ∙ b
15
= 0,06
b =

15 0,06
0,19
= 0,926...
f ( t ) = 0,19 ∙ 0,926...
t
oder:
f ( t ) = 0,19 ∙ ℯ
–0,0768... ∙ t
a2)
14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 15
0
0,18
0,16
0,14
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,2
0,02
Masse in μg
t in Wochen
f
a3) Da das Volumen zuerst abnimmt, aber zwischen der 2. und 15. Woche wieder zunimmt,
kann der Zusammenhang nicht durch ein lineares Modell beschrieben werden.
Auch eine rechnerische Überprüfung (z. B. mittels Geradengleichung oder Berechnung der
Differenzenquotienten) ist als richtig zu werten.
a1) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Gleichung von f .
a2) Ein Punkt für das richtige Einzeichnen des Graphen von f .
a3) Ein Punkt für das richtige Begründen.
b1) E ( t ) = –0,5 ∙ t + 35
t ... Reifedauer in Wochen
E ( t ) ... Eiweißgehalt bei der Reifedauer t in Prozent
b1) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Gleichung von E .

10. Jänner 2024 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 7 /17
c1)
Der Fettanteil an der Gesamtmasse beträgt 26 %.
c1) Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

10. Jänner 2024 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 8 /17
Aufgabe 3
Bremsvorgänge
a1) v L ( t ) = s L ′ ( t ) = 12 – 2 ∙ t
v L (0) = 12
12 m/s = 43,2 km/h
Die Geschwindigkeit des LKW zu Beginn des Bremsvorgangs beträgt 43,2 km/h.
a2) v L ( t ) = 0 oder 12 – 2 ∙ t = 0
t = 6
Nach 6 s kommt der LKW zum Stillstand.
a1) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Geschwindigkeit in km/h.
a2) Ein Punkt für das richtige Berechnen des Zeitpunkts.
b1) Die momentane Geschwindigkeit des Zuges zur Zeit t = 20 beträgt 5 m/s.
Toleranzbereich: [4; 6]
b1) Ein Punkt für das richtige Ermitteln der momentanen Geschwindigkeit.

10. Jänner 2024 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 9 /17
c1)
Weg-Zeit-Funktion
des Motorboots
D
Beschleunigung-
Zeit-Funktion des
Motorboots
B
A
t in s
O
B
t in s
O
C
t in s
O
D
t in s
O
c1) Ein Punkt für das richtige Zuordnen.

10. Jänner 2024 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 10 /17
Aufgabe 4
Ruderboot
a1) g ( x ) = a ∙ x
2
+ b ∙ x + c
g ′ ( x ) = 2 ∙ a ∙ x + b
I : g (1,05) = 0,35
II : g (1) = 0
III : g ′ (1) = f ′ (1) = 1,7
oder:
I : a ∙ 1,05
2
+ b ∙ 1,05 + c = 0,35
II : a ∙ 1
2
+ b ∙ 1 + c = 0
III : 2 ∙ a ∙ 1 + b = 1,7
a2) Berechnung mittels Technologieeinsatz:
a = 106
b = –210,3
c = 104,3
a1) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Gleichungen mithilfe der Punktkoordinaten.
Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Gleichung mithilfe der 1. Ableitung.
a2) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Koeffizienten von g .
b1) f ″ ( x ) = 0 oder 9,6 ∙ x – 4,8 = 0
x = 0,5
s = 2 ∙ 0,5 m = 1 m
b1) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Länge von s .
c1)
α = arccos
(
1,05 – 0,5 ∙ d
b
)
c1) Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

10. Jänner 2024 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 11 /17
Aufgabe 5
Fluggepäck
a1) x =
H 1 + 2 ∙ H 2
H 0 + H 1 + H 2
a2)

(0 – x )
2
∙ H 0
+ (1 – x )
2
∙ H 1
+ (2 – x )
2
∙ H 2
H 0 + H 1 + H 2
a3)
Anzahl i der Gepäckstücke pro Fluggast 0 1 2
Anzahl der Fluggäste mit i Gepäckstücken 5 0 7
a1) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Formel.
a2) Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.
a3) Ein Punkt für das richtige Vervollständigen der Tabelle.
b1) X ... Masse in kg
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
P ( X ≥ 25) = 0,0062...
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gepäckstück eine Masse von mindestens 25 kg hat, beträgt
rund 0,6 %.
b2)
Wendepunkt
Erwartungswert
Masse in kg
b1) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Wahrscheinlichkeit.
b2) Ein Punkt für das richtige Veranschaulichen der Wahrscheinlichkeit.

10. Jänner 2024 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 12 /17
c1) Binomialverteilung mit n = 300, p = 0,007
X ... Anzahl der Gepäckstücke, die beim Transport beschädigt worden sind
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
P ( X ≤ 2) = 0,649...
Die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 2 dieser Gepäckstücke beim Transport beschädigt
worden sind, beträgt rund 65 %.
c2) Mindestens 1 dieser Gepäckstücke ist beim Transport beschädigt worden.
c1) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Wahrscheinlichkeit.
c2) Ein Punkt für das richtige Beschreiben im gegebenen Sachzusammenhang.

10. Jänner 2024 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 13 /17
Aufgabe 6 (Teil B)
Bauteile
a1)
Der Graph der Grenzkostenfunktion
und der Graph der Stückkostenfunktion
schneiden einander bei 10 ME.
A
Die Stückkosten bei einer Produktion
von 10 ME betragen 10 GE/ME.
D
A
K (10)
10
= K ′ (10)
B
K ′ (10)
10
= 10
C K ″ (10) = 0
D K (10) = 100
a1) Ein Punkt für das richtige Zuordnen.
b1) K ′ ( x ) = 700 oder 6 ∙ x
2
– 120 ∙ x + 700 = 700
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
x
1
= 0
x
2
= 20
Im Intervall [0; 20] betragen die Grenzkosten maximal 700 GE/ME.
Die Angabe in Intervallschreibweise ist für die Punktevergabe nicht erforderlich.
b2)
4 · x – 60 = 0
b3) G ′ ( x ) = 0 oder –80 ∙ x + 1 200 = 0
x = 15
G (15) = 3 000
15 ME = 150 000 Stück
3 000 GE = 300.000 Euro
300.000 Euro
150 000 Stück
= 2 Euro / Stück

10. Jänner 2024 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 14 /17
b4) a = 2
b = –100
c = 1 900
b1) Ein Punkt für das richtige Ermitteln des Intervalls.
b2) Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.
b3) Ein Punkt für das richtige Berechnen des Gewinns pro Stück in der Einheit Euro/Stück.
b4) Ein Punkt für das richtige Ermitteln der Parameter a , b und c .
c1)
0 8 7 6 5 4 3 2 1 9
0
60
Kosten, Gewinn, Erlös in GE
Menge in ME
c2)
60
2
= 30
Der Preis beträgt 30 GE/ME.
c1) Ein Punkt für das richtige Einzeichnen des Graphen der Erlösfunktion.
c2) Ein Punkt für das richtige Ermitteln des Preises.

10. Jänner 2024 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 15 /17
d1) 300 = p
H
– 20 ∙ 5
p
H
= 400 GE/ME
d2) Die Steigung –20 gibt an, dass eine Preissenkung um 20 GE/ME zu einer Absatzsteigerung
um 1 ME führt.
oder:
Soll die abgesetzte Menge um 1 ME gesteigert werden, so muss der Preis um 20 GE/ME
gesenkt werden.
d1) Ein Punkt für das richtige Berechnen des Höchstpreises p
H
.
d2) Ein Punkt für das richtige Interpretieren im gegebenen Sachzusammenhang.

10. Jänner 2024 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 16 /17
Aufgabe 7 (Teil B)
Swimmingpool
a1) i = 1,02 % p. a.
a2) Z ∙ (1 + 1,0102
2
+ 1,0102
4
+ 1,0102
5
) = 2 468,39
Z = 599,999...
Die Höhe von Z beträgt € 600,00.
a1) Ein Punkt für das Ablesen des richtigen Jahreszinssatzes i .
a2) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Höhe von Z .
b1)
Wert aller Einzahlungen
zum Zeitpunkt 1
A
Wert aller Einzahlungen
zum Zeitpunkt 3
B
A X + X ∙ q +
X
q
2 +
X
q
4
B X + X ∙ q
2
+ X ∙ q
3
+
X
q
2
C X ∙ q + X ∙ q
3
+ X ∙ q
4
+
X
q
D X +
X
q
+
X
q
3
+
X
q
5
b1) Ein Punkt für das richtige Zuordnen.
c1) 20 000 = 198,71 ∙
(1 + i 12)
120
– 1
i
12
∙
1
(1 + i
12
)
120
Berechnung mittels Technologieeinsatz: i 12 = 0,0030...
Der Monatszinssatz beträgt rund 0,3 %.
c1) Ein Punkt für das richtige Berechnen des Monatszinssatzes.
d1) Der Tilgungsanteil im Monat 14 beträgt € 0, weil die Restschuld am Ende des Monats 14
gleich groß wie am Ende des Monats 13 ist.
d2) A
15
= 6 492,13 – 6 217,55 + 6 492,13 ∙ i
12
oder:
A
15
= 274,58 + 6 492,13 ∙ i
12
d1) Ein Punkt für das Angeben des richtigen Monats und das richtige Begründen.
d2) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Formel.

10. Jänner 2024 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 17 /17
Aufgabe 8 (Teil B)
Kraftfahrzeug-Bestand
a1) Der Kraftfahrzeug-Bestand ist im Zeitraum vom Ende des Jahres 2012 bis zum Ende des
Jahres 2018 um rund 9,5 % gestiegen.
a2) Ermittlung mittels Technologieeinsatz:
K ( t ) = 0,1 ∙ t + 5,88
a3) Gemäß diesem Modell steigt der Kraftfahrzeug-Bestand um 100 000 Stück pro Jahr.
a4) K (10) = 6,88
absolute Abweichung vom Tabellenwert: 6,9 – 6,88 = 0,02
Auch die Angabe von –0,02 ist als richtig zu werten.
a1) Ein Punkt für das richtige Interpretieren im gegebenen Sachzusammenhang.
a2) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Gleichung von K .
a3) Ein Punkt für das richtige Interpretieren im gegebenen Sachzusammenhang.
a4) Ein Punkt für das richtige Berechnen der absoluten Abweichung.
b1) 2,817... Millionen Stück
b2)
a
b
b1) Ein Punkt für das richtige Ermitteln des prognostizierten Wertes für den Diesel-PKW-
Bestand am Ende des Jahres 2025.
b2) Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.
c1)

4
1,49 ∙ 1,8 ∙ 1,61 ∙ 1,43 – 1 = 0,5763...
Die mittlere jährliche prozentuelle Änderung beträgt rund 57,6 %.
c2) X =
E
1,43
c1) Ein Punkt für das richtige Berechnen der mittleren jährlichen prozentuellen Änderung.
c2) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Formel.