Mathematik-Matura Jänner 2024 · AHS – Lösungen

AHS
10. Jänner 2024
Mathematik
Korrekturheft
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reifeprüfung

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 2 /31
Beurteilung der Klausurarbeit
Beurteilungsschlüssel
erreichte Punkte Note
32 – 36 Punkte Sehr gut
27 – 31,5 Punkte Gut
22 – 26,5 Punkte Befriedigend
17 – 21,5 Punkte Genügend
0 – 16,5 Punkte Nicht genügend
Best-of-Wertung: Für die Aufgaben 26, 27 und 28 gilt eine Best-of-Wertung. Von diesen drei
Teil-2-Aufgaben wird diejenige Aufgabe, bei der die niedrigste Punkteanzahl erreicht worden ist,
nicht gewertet.
Jahresnoteneinrechnung: Damit die Leistungen der letzten Schulstufe in die Beurteilung des
Prüfungsgebiets einbezogen werden können, muss die Kandidatin / der Kandidat mindestens
11 Punkte erreichen.
Den Prüferinnen und Prüfern steht während der Korrekturfrist ein Helpdesk des BMBWF
beratend zur Verfügung. Die Erreichbarkeit des Helpdesks wird für jeden Prüfungstermin auf
https://www.matura.gv.at/srdp/ablauf gesondert bekanntgegeben.

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 3 /31
Handreichung zur Korrektur
Für die Korrektur und die Bewertung sind die am Prüfungstag auf https://korrektur.srdp.at ver
öffentlichten Unterlagen zu verwenden.
1. In der Lösungserwartung ist ein möglicher Lösungsweg angegeben. Andere richtige
Lösungswege sind als gleichwertig anzusehen. Im Zweifelsfall kann die Auskunft des
Helpdesks in Anspruch genommen werden. Ausschließlich bei ausgewiesenen Aufgaben
(Kennzeichnung durch: [0 / ½ / 1 P.] ) können für Teilleistungen halbe Punkte vergeben
werden.
2. Der Lösungsschlüssel ist verbindlich unter Beachtung folgender Vorgangsweisen anzuwenden:
a. Bei offenen Aufgabenformaten steht für die Punktevergabe der Nachweis der jeweiligen
Grundkompetenz im Vordergrund. Die dabei fokussierte Grundkompetenz wird im
Korrektur heft ausgewiesen. Punkte sind zu vergeben, wenn die Bearbeitung zeigt, dass
die fokussierte Grundkompetenz in der Bearbeitung erfüllt ist.
b. Werden zu einer Teilaufgabe mehrere Lösungen von der Kandidatin / vom Kandidaten
angeboten und nicht alle diese Lösungen sind richtig, so ist diese Tei laufgabe mit null
Punkten zu bewerten, sofern die richtige Lösung nicht klar als solche hervorgehoben
ist.
c. Bei abhängiger Punktevergabe gilt das Prinzip des Folgefehlers. Wird von der Kandidatin / vom Kandidaten beispielsweise zu einem Kontext ein falsches Modell aufgestellt,
mit diesem Modell aber eine richtige Berechnung durchgeführt, so ist der Berechnungspunkt zu ver geben, wenn das falsch aufgestellte Modell die Berechnung nicht vereinfacht.
d. Wird von der Kandidatin / vom Kandidaten die richtige Lösung ohne Angabe von
Zwischenschritten angeführt, so sind alle Punkte zu vergeben, auch wenn der Lösungsschlüssel Einzelschritte vorgibt.
e. Abschreibfehler, die aufgrund der Dokumentation der Kandidatin / des Kandidaten als
solche identifizierbar sind, sind ohne Punkteabzug zu bewerten, wenn sie zu keiner
Vereinfachung der Aufgabenstellung führen.
f. Rundungsfehler sind zu vernachlässigen, wenn die Rundung nicht explizit eingefordert
ist.
g. Die Angabe von Einheiten ist bei der Punktevergabe zu vernachlässigen, sofern sie
nicht explizit eingefordert ist.

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 4 /31
Aufgabe 1
Lineare Gleichung
... , –4, –2, 0, 2, 4, ... (alle geraden ganzen Zahlen)
Ein Punkt für das Angeben der richtigen Zahlen.
Grundkompetenz: AG 1.2

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 5 /31
Aufgabe 2
Spenden
G =
3 ∙ a + 5 ∙ ( a + 10)
8
Euro
oder:
G = a + 6,25 Euro
Ein Punkt für das Angeben des richtigen Geldbetrags.

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 6 /31
Aufgabe 3
Kraft und Beschleunigung
F 1 = m ∙ a 1
F 2 = m ∙ a 2
F 2 =
a 2
a 1
∙ F 1
F 2 = 4 N
Ein Punkt für das richtige Berechnen von F 2 .
Grundkompetenz: AG 2.5

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 7 /31
Aufgabe 4
Position eines Schiffes
s =
(
2
0,5 )
Ein Punkt für das Angeben der richtigen Komponenten.

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 8 /31
Aufgabe 5
Paralleler Vektor
möglicher Vektor:
b =
(
4
–2
6
)
Der Vektor b muss ein Vielfaches des Vektors a sein, der Betrag des Proportionalitätsfaktors
muss größer als 1 sein. Jeder Vektor b der Form b = k ∙
(
2
–1
3
)
mit | k | > 1 ist daher richtig.
Ein Punkt für das Angeben der richtigen Komponenten.

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 9 /31
Aufgabe 6
Segelboot
α = arctan
(
b
h – d
)
oder α = arcsin
(

b
2
+ ( h – d )
2
b
)
oder α = arccos
(

b
2
+ ( h – d )
2
h – d
)
Auch die Schreibweisen mit „tan
–1
“ oder „sin
–1
“ oder „cos
–1
“ sind als richtig zu werten.
Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Formel.

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 10 /31
Aufgabe 7
Monotonie- und Krümmungsverhalten einer Polynomfunktion
1
(–∞; –2)
2
x = –1
Ein Punkt für das Ankreuzen der beiden richtigen Satzteile, ein halber Punkt, wenn nur ein richtiger
Satzteil angekreuzt ist.

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 11 /31
Aufgabe 8
Swimmingpool
180: Zum Zeitpunkt t = 0 beträgt die Höhe der Wasseroberfläche 180 cm.
–30: Die Höhe der Wasseroberfläche sinkt um 30 cm pro h.
Ein Punkt für das richtige Interpretieren der beiden Koeffizienten im gegebenen Sachzusammen
hang unter Angabe der zugehörigen Einheiten, ein halber Punkt für nur eine richtige derartige
Inter pretation unter Angabe der zugehörigen Einheit.

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 12 /31
Aufgabe 9
Graph einer quadratischen Funktion
f ( x ), g ( x )
f
x
O
g
Ein Punkt für das richtige Skizzieren des Graphen von g . Für die Punktvergabe ist erforderlich,
dass der Graph von g eine nach unten geöffnete Parabel ist, deren Scheitel auf der senkrechten
Achse oberhalb des Scheitels von f liegt und klar erkennbar schmäler als der Graph von f ist.

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 13 /31
Aufgabe 10
Anzahl von Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen
Die Funktion f kann 0 reelle Nullstellen, 1 lokale Extrem
stelle und 0 Wendestellen haben.
Die Funktion f kann 1 reelle Nullstelle, 3 lokale Extrem
stellen und 2 Wendestellen haben.
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 14 /31
Aufgabe 11
Aufrufe eines Videos
t 1 = 8,99...
Ein Punkt für das richtige Berechnen von t 1 .
Grundkompetenz: FA 5.2

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 15 /31
Aufgabe 12
Sinusfunktionen
A a < 0 und b < 1
B a < 0 und b > 1
C 0 < a < 1 und b < 1
D 0 < a < 1 und b > 1
E a > 1 und b < 1
F a > 1 und b > 1
f ( x )
x
0 π 2π
0
1
2
–1
–2
–
π
2
π
2
3π
2
f
B
f ( x )
x
0 π
0
1
2
–1
–2
π
2
π
2
f
2π
3π
2
–
E
f ( x )
x
0 π
0
1
2
–1
–2
π
2
π
2
f
2π
3π
2
–
D
f ( x )
x
0 π
0
1
2
–1
–2
π
2
π
2
f
2π
3π
2
–
F
Ein Punkt für vier richtige Zuordnungen, ein halber Punkt für zwei oder drei richtige Zuordnungen.

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 16 /31
Aufgabe 13
Staffelmarathon
Person: B
prozentuelle Änderung: –9,375 %
Ein halber Punkt für das Angeben der richtigen Person und ein halber Punkt für das richtige
Berechnen der prozentuellen Änderung.

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 17 /31
Aufgabe 14
Graph und Sekante
1
der Differenzialquotient an der
Stelle b
2
Tangentensteigung in ( b | f ( b ))
Ein Punkt für das Ankreuzen der beiden richtigen Satzteile.

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 18 /31
Aufgabe 15
Luftdruck
Der Ausdruck beschreibt die durchschnittliche Änderung des Luftdrucks in hPa/m bei einer Ände
rung der Seehöhe von 300 m auf 500 m.
Ein Punkt für das richtige Interpretieren im gegebenen Sachzusammenhang unter Angabe der
zugehörigen Einheit.
Grundkompetenz: AN 1.3

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 19 /31
Aufgabe 16
Graph einer Ableitungsfunktion
f ist im Intervall [2; 3] linksgekrümmt (positiv gekrümmt).
f hat genau 2 Wendestellen.
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 20 /31
Aufgabe 17
Polynomfunktion dritten Grades
1
Wendestelle
2
Extremstelle
Ein Punkt für das Ankreuzen der beiden richtigen Satzteile, ein halber Punkt, wenn nur ein richtiger
Satzteil angekreuzt ist.

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 21 /31
Aufgabe 18
Grenzkosten und Gesamtkosten
K (110) – K (100) =
∫
110
100
K ′ ( x ) d x = 115 505,233...
Die Gesamtkosten steigen um € 115.505,23.
Ein Punkt für das richtige Berechnen.
Grundkompetenz: AN 4.3

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 22 /31
Aufgabe 19
Stängel-Blatt-Diagramm
31 A
32 B
37 D
49 F
A Median
B Modus
C arithmetisches Mittel
D Spannweite
E Standardabweichung
F Maximum
Ein Punkt für vier richtige Zuordnungen, ein halber Punkt für zwei oder drei richtige Zuordnungen.

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 23 /31
Aufgabe 20
Vorzeichen statistischer Kennzahlen
Spannweite
Standardabweichung
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 24 /31
Aufgabe 21
Kopf oder Zahl
E = { KZK , KZZ , ZZK , ZZZ }
Ein Punkt für das Angeben der richtigen Teilmenge.

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 25 /31
Aufgabe 22
Kugeln
p =
n
n + 5
∙
n – 1
n + 4
∙
5
n + 3
∙ 3
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 26 /31
Aufgabe 23
Elfmetertraining
P ( X > 3) = 1 – (0,001 + 0,008 + 0,131 + 0,31) = 0,55
Ein Punkt für das richtige Berechnen der Wahrscheinlichkeit.

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 27 /31
Aufgabe 24
Therapie
Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit den Parametern n = 30 und p = 0,9:
E ( X ) = 27
P ( X ≥ 28) = 0,4113...
Ein Punkt für das richtige Berechnen der Wahrscheinlichkeit.
Grundkompetenz: WS 3.2

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 28 /31
Aufgabe 25 (Teil 2)
Flugreisen
a1)
147 – 54
54
= 1,72
∙
Die Parkgebühren am Flughafen Innsbruck waren um rund 172 % höher als die Parkgebüh
ren am Flughafen Salzburg.
a2) G = 6 ∙ D – K – 54 – L – W – 147
a1) Ein Punkt für das richtige Berechnen des Prozentsatzes.
a2) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Formel für G .
b1) 32 ·
70
2
= 1 120
Die Länge des bis zum Abheben zurückgelegten Weges beträgt 1 120 m.
b1) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Länge des zurückgelegten Weges.
c1)
1
höchstens
2
122
c1) Ein Punkt für das Ankreuzen der beiden richtigen Satzteile.

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 29 /31
Aufgabe 26 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Passwörter
a1) t =
n
k
60 ∙ 60 ∙ 10
9 (
=
n
k
3,6 ∙ 10
12 )
a2)
1
Potenzfunktion
2
Exponentialfunktion
a1) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Formel.
a2) Ein Punkt für das Ankreuzen der beiden richtigen Satzteile, ein halber Punkt, wenn nur ein
richtiger Satzteil angekreuzt ist.
b1)
(
26
36
)
8
= 0,0740...
Die Wahrscheinlichkeit, dass das Passwort nur aus Buchstaben besteht, beträgt rund 7,4 %.
b2)
(
26
36
)
8
+ 8 ∙
(
26
36
)
7
∙
10
36
= 0,3017...
Die Wahrscheinlichkeit, dass das Passwort höchstens 1 Ziffer enthält, beträgt rund 30,2 %.
b1) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Wahrscheinlichkeit, dass das Passwort nur aus
Buchstaben besteht.
b2) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Wahrscheinlichkeit, dass das Passwort höchstens
1 Ziffer enthält.

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 30 /31
Aufgabe 27 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Hunde in Österreich
a1) Oberösterreich
a1) Ein Punkt für das richtige Ermitteln des Bundeslands.
b1) „Große Hunde“ haben im Alter von 4 Monaten eine Masse von rund 30 kg.
Toleranzintervall: [28 kg; 31 kg]
„Sehr große Hunde“ haben im Alter von rund 9,5 Monaten eine Masse von 80 kg.
Toleranzintervall: [9 Monate; 10 Monate]
b1) Ein Punkt für das richtige Vervollständigen der beiden Sätze, ein halber Punkt für nur einen
richtigen Wert.
c1) minimale Masse im Alter von 2 Monaten: 7 kg
3
7
= 0,428... = 42,8... %
Die minimale Masse von Labradorhündinnen im Alter von 2 bis 3 Monaten nimmt um rund
43 % zu.
c2) m (7) = 20
k = 0,228...
m (12) = 23,40...
24 – m (12) = 0,59...
Die Abweichung beträgt rund 0,6 kg.
c1) Ein Punkt für das richtige Berechnen des Prozentsatzes.
c2) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Abweichung, wobei –0,6 ebenfalls richtig ist.

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 31 /31
Aufgabe 28 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Wachstum von Tierpopulationen
a1) N (0) = 100
N ( t v ) = 2 ∙ N (0)
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
t v = 4,9...
a1) Ein Punkt für das richtige Berechnen von t v .
b1) f ( t ) = a ∙ t
2
+ b ∙ t + c
f (0) = 15, f (35) = 0, f ′ (7) = 0
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
f ( t ) = –
1
49
∙ t
2
+
2
7
∙ t + 15
b2) Der Ausdruck gibt die Größe der Tierpopulation (Anzahl der Individuen) nach 7 Wochen an.
b3)
∫
t 2
t 1
f ( t ) d t
t 2 – t 1
b1) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Funktionsgleichung von f .
b2) Ein Punkt für das richtige Interpretieren im gegebenen Sachzusammenhang.
b3) Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.