Mathematik-Matura Jänner 2024 · AHS – Aufgaben

AHS
10. Jänner 2024
Mathematik
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reifeprüfung
Name:
Klasse:

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 2 /35
Hinweise zur Aufgabenbearbeitung
Sehr geehrte Kandidatin! Sehr geehrter Kandidat!
Beurteilungsschlüssel
erreichte Punkte Note
32 – 36 Punkte Sehr gut
27 – 31,5 Punkte Gut
22 – 26,5 Punkte Befriedigend
17 – 21,5 Punkte Genügend
0 – 16,5 Punkte Nicht genügend
Best-of-Wertung: Für die Aufgaben 26, 27 und 28 gilt eine Best-of-Wertung. Von diesen drei Teil-2-Aufgaben
wird diejenige Aufgabe, bei der die niedrigste Punkteanzahl erreicht worden ist, nicht gewertet.
Viel Erfolg!
Das vorliegende Aufgabenheft enthält Teil-1-Aufgaben
und Teil-2-Aufgaben (bestehend aus Teilaufgaben).
Die Aufgaben bzw. Teilaufgaben sind unabhängig voneinander bearbeitbar. Ihnen stehen 270 Minuten an
Arbeitszeit zur Verfügung.
Verwenden Sie für die Bearbeitung ausschließlich
dieses Aufgabenheft und das Ihnen zur Verfügung gestellte Arbeitspapier. Schreiben Sie Ihren Namen und
Ihre Klasse in die dafür vorgesehenen Felder auf dem
Deckblatt des Aufgabenhefts sowie Ihren Namen und
die fortlaufende Seitenzahl auf jedes verwendete Blatt
Arbeitspapier. Geben Sie bei der Beantwortung jeder
Handlungsanweisung deren Bezeichnung (z. B.: 25a1)
auf dem Arbeitspapier an.
In die Beurteilung wird alles einbezogen, was nicht
durchgestrichen ist.
Die Verwendung der vom zuständigen Regierungs mitglied für die Klausurarbeit freigegebenen Formel sammlung für die SRP in Mathematik ist erlaubt.
Weiters ist die Verwendung von elektronischen Hilfs mitteln (z. B. grafik fähiger Taschenrechner oder andere
entsprechende Technologie) erlaubt, sofern keine
Kommunikationsmöglichkeit (z. B. via Internet, Intranet,
Bluetooth, Mobilfunknetzwerke etc.) gegeben ist und
der Zugriff auf Eigendateien im elektronischen Hilfs mittel nicht möglich ist.
Eine Erläuterung der Antwortformate liegt im Prüfungsraum zur Durchsicht auf.
Handreichung für die Bearbeitung
– Lösungen müssen jedenfalls eindeutig als solche
erkennbar sein.
– Lösungen müssen jedenfalls mit zugehörigen
Einheiten angegeben werden, wenn dazu in der
Handlungsanweisung explizit aufgefordert wird.
Bei offenen Antwortformaten steht für die Punktevergabe der Nachweis der jeweiligen Grundkompetenz im Vordergrund. Für die Bearbeitung offener
Antwortformate wird empfohlen:
– den Lösungsweg, auch im Fall von Technologieeinsatz, nachvollziehbar zu dokumentieren,
– selbst gewählte Variablen zu erklären und gegebenenfalls mit den zugehörigen Einheiten anzugeben,
– frühzeitiges Runden zu vermeiden,
– Diagramme oder Skizzen zu beschriften.
So ändern Sie Ihre Antwort bei Aufgaben zum Ankreuzen:
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr
gültigen Antwort.
2. Kreuzen Sie dann das gewünschte Kästchen an.
Hier wurde zuerst die Antwort „5 + 5 = 9“ gewählt
und dann auf „2 + 2 = 4“ geändert.
1 + 1 = 3 
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 5 
4 + 4 = 4 
5 + 5 = 9 
6 + 6 = 10 
So wählen Sie eine bereits übermalte Antwort:
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr
gültigen Antwort.
2. Kreisen Sie das gewünschte übermalte Kästchen
ein.
Hier wurde zuerst die Antwort „2 + 2 = 4“ übermalt
und dann wieder gewählt.
1 + 1 = 3 
2 + 2 = 4
3 + 3 = 5 
4 + 4 = 4 
5 + 5 = 9 
6 + 6 = 10 

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 3 /35
Aufgabe 1
Lineare Gleichung
Gegeben ist die folgende Gleichung in der Variablen x ∈ ℤ :
2 · x – c = 0 mit c ∈ ℝ
Aufgabenstellung:
Geben Sie alle reellen Zahlen c an, für die diese Gleichung eine Lösung in ℤ hat.
[0 / 1 P.]

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 4 /35
Aufgabe 2
Spenden
Anton spendet an 3 Forschungseinrichtungen jeweils einen Geldbetrag von a Euro und an 5 Tierschutzvereine jeweils einen Geldbetrag von ( a + 10) Euro.
Aufgabenstellung:
Geben Sie den durchschnittlichen Geldbetrag G (in Euro), den Anton gespendet hat, in Abhängigkeit von a an.
G = Euro
[0 / 1 P.]

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 5 /35
Aufgabe 3
Kraft und Beschleunigung
Wirkt eine Kraft auf einen ruhenden Körper, so wird dieser Körper in Richtung der Kraft beschleunigt. Für den Betrag der Kraft gilt F = m ∙ a , wobei mit m die Masse und mit a die Beschleunigung des Körpers bezeichnet wird ( F in Newton (N), m in kg, a in m/s²).
Auf eine bestimmte ruhende Kugel wirkt eine Kraft von F 1 = 5 N. Dadurch wird diese Kugel mit
a 1 = 0,625 m/s
2
beschleunigt. Auf eine zweite ruhende Kugel gleicher Masse soll eine Kraft F 2 so
wirken, dass diese Kugel mit a 2 = 0,5 m/s
2
beschleunigt wird.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie F 2 in N.
[0 / 1 P.]

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 6 /35
Aufgabe 4
Position eines Schiffes
Ein Schiff fährt an einem bestimmten Tag von 8:10 Uhr bis 8:30 Uhr mit konstanter Geschwindigkeit einen gerad linigen Kurs.
In einem kartesischen Koordinatensystem wird die Position dieses Schiffes um 8:10 Uhr durch
den Punkt A = (2 | 3) festgelegt, die Position um 8:30 Uhr durch den Punkt B = (10 | 5).
Der Vektor s beschreibt die Veränderung der Position dieses Schiffes in einem Zeitintervall von
5 min.
Aufgabenstellung:
Geben Sie die Komponenten des Vektors s an.
s =
( )
[0 / 1 P.]

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 7 /35
Aufgabe 5
Paralleler Vektor
Gegeben ist der Vektor a =
(
2
–1
3
)
.
Ein Vektor b soll zum Vektor a parallel sein und eine größere Länge als a haben.
Aufgabenstellung:
Geben Sie die Komponenten eines möglichen Vektors b an.
b =
( )
[0 / 1 P.]

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 8 /35
Aufgabe 6
Segelboot
In der nachstehenden Abbildung ist ein Modell eines Segelboots dargestellt.
α
d
h
b
Aufgabenstellung:
Stellen Sie eine Formel zur Berechnung des Winkels α auf. Verwenden Sie dabei h , d und b .
α =
[0 / 1 P.]

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 9 /35
Aufgabe 7
Monotonie- und Krümmungsverhalten einer Polynomfunktion
Nachstehend ist der Graph der Polynomfunktion 3. Grades f dargestellt. Alle charakteristischen
Punkte dieses Graphen (Schnittpunkte mit den Achsen, Extrempunkte, Wendepunkte) haben
ganzzahlige Koordinaten.
0 1 2 –2 –1 –3
–1
0
3
2
1
4
f ( x )
x
f
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden
Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht.
Die Funktion f ist im Intervall
1
streng monoton steigend und ändert ihr
Krümmungs ver halten an der Stelle
2
.
1
(–∞; –2)
(–1; 1)
(–2; 0)
2
x = –2
x = –1
x = 0
[0 / ½ / 1 P.]

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 10 /35
Aufgabe 8
Swimmingpool
Aus einem Swimmingpool wird Wasser abgelassen.
Die Funktion h : [0; 6] → ℝ mit h ( t ) = 180 – 30 · t beschreibt modellhaft die Höhe der Wasseroberfläche in Abhängigkeit von der Zeit t ( t in h, h ( t ) in cm).
Aufgabenstellung:
Interpretieren Sie die Koeffizienten 180 und –30 im gegebenen Sachzusammenhang unter An gabe der zuge hörigen Einheiten.
180:
–30:
[0 / ½ / 1 P.]

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 11 /35
Aufgabe 9
Graph einer quadratischen Funktion
Gegeben ist der Graph einer Funktion f : ℝ → ℝ der Form f ( x ) = a ∙ x
2
+ b mit a , b ∈ ℝ .
Für eine Funktion g : ℝ → ℝ der Form g ( x ) = c ∙ x
2
+ d mit c , d ∈ ℝ gilt: c < – a und d > b
Aufgabenstellung:
Skizzieren Sie in der nachstehenden Abbildung den Graphen einer solchen Funktion g .
f ( x ), g ( x )
f
x
O
[0 / 1 P.]

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 12 /35
Aufgabe 10
Anzahl von Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen
Gegeben ist eine Polynomfunktion 4. Grades f .
Im Folgenden sind Aussagen über die genaue Anzahl von verschiedenen reellen Nullstellen, lokalen
Extremstellen und Wendestellen angeführt.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Aussagen an, die auf f zutreffen können. [2 aus 5]
Die Funktion f kann 0 reelle Nullstellen, 1 lokale Extrem stelle und 0 Wendestellen haben.
Die Funktion f kann 1 reelle Nullstelle, 3 lokale Extremstellen und 2 Wendestellen haben.
Die Funktion f kann 2 verschiedene reelle Nullstellen,
2 lokale Extremstellen und 2 Wendestellen haben.
Die Funktion f kann 3 verschiedene reelle Nullstellen,
2 lokale Extremstellen und 0 Wendestellen haben.
Die Funktion f kann 4 verschiedene reelle Nullstellen,
3 lokale Extremstellen und 1 Wendestelle haben.
[0 / 1 P.]

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 13 /35
Aufgabe 11
Aufrufe eines Videos
Ein Video wurde auf eine Internetplattform hochgeladen. Zu Beginn der Beobachtung waren
500 Aufrufe zu verzeichnen. Im Zeitintervall [0; t 1 ] wird die Anzahl der bisher erfolgten Aufrufe
durch eine Exponentialfunktion beschrieben.
In der nachstehenden Tabelle sind Wertepaare dieser Exponentialfunktion angegeben.
Zeit nach Beginn der
Beobachtung in h
Anzahl der Aufrufe
0 500
1 700
2 980
3 1 372
t
1 10 330
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie t 1 .
[0 / 1 P.]

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 14 /35
Aufgabe 12
Sinusfunktionen
Vier Graphen von Funktionen der Form f ( x ) = a · sin( b · x ) mit a ∈ ℝ und b ∈ ℝ
+
sind in den
unten stehenden Abbildungen dargestellt.
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den vier Graphen jeweils die passende Bedingung für a und b aus A bis F zu.
A a < 0 und b < 1
B a < 0 und b > 1
C 0 < a < 1 und b < 1
D 0 < a < 1 und b > 1
E a > 1 und b < 1
F a > 1 und b > 1
f ( x )
x
0 π 2π
0
1
2
–1
–2
–
π
2
π
2
3π
2
f
f ( x )
x
0 π
0
1
2
–1
–2
π
2
π
2
f
2π
3π
2
–
f ( x )
x
0 π
0
1
2
–1
–2
π
2
π
2
f
2π
3π
2
–
f ( x )
x
0 π
0
1
2
–1
–2
π
2
π
2
f
2π
3π
2
–
[0 / ½ / 1 P.]

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 15 /35
Aufgabe 13
Staffelmarathon
Alljährlich treten Teams zu je vier Personen beim Staffelmarathon in Linz an. Dabei wird in auf vier
auf einanderfolgenden Streckenabschnitten insgesamt ein Marathon (ca. 42,2 km) absolviert.
Ein bestimmtes Team besteht aus den Personen A , B , C und D . Die nachstehende Tabelle zeigt
die erreichten Laufzeiten in den Jahren 2017 und 2018 für die jeweiligen Streckenabschnitte.
1. Streckenabschnitt 2. Streckenabschnitt 3. Streckenabschnitt 4. Streckenabschnitt
Jahr Person A Person B Person C Person D
2017 43 min 1 h 4 min 41 min 1 h 8 min
2018 41 min 58 min 42 min 1 h 2 min
Aufgabenstellung:
Geben Sie diejenige Person an, deren Laufzeit sich prozentuell am meisten verändert hat, und
berechnen Sie diese prozentuelle Änderung.
Person:
prozentuelle Änderung: %
[0 / ½ / 1 P.]

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 16 /35
Aufgabe 14
Graph und Sekante
In der nachstehenden Abbildung sind der Graph der differenzierbaren Funktion f sowie die
Sekante durch die Punkte ( a | f ( a )) und ( b | f ( b )) dargestellt.
f ( x )
x
f
a b
O
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden
Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht.
Der Ausdruck
a → b
lim
f ( b ) – f ( a )
b – a
ist
1
und entspricht der
2
.
1
der Differenzenquotient im
Intervall [ a ; b ]
der Differenzialquotient an der
Stelle b
die mittlere Änderungsrate im
Intervall [ a ; b ]
2
Sekantensteigung im Intervall [ a ; b ]
Tangentensteigung in ( a | f ( a ))
Tangentensteigung in ( b | f ( b ))
[0 / 1 P.]

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 17 /35
Aufgabe 15
Luftdruck
Der Luftdruck nimmt mit zunehmender Seehöhe ab.
Die Funktion p : ℝ 0
+
→ ℝ
+
beschreibt modellhaft den Luftdruck p in Abhängigkeit von der
Seehöhe h ( h in m, p ( h ) in Hektopascal (hPa)).
Es gilt: h 1 = 300 m und h 2 = 500 m
Aufgabenstellung:
Interpretieren Sie den Ausdruck
p ( h 2 ) – p ( h 1 )
h
2
– h
1
im gegebenen Sachzusammenhang unter Angabe
der zugehörigen Einheit.
[0 / 1 P.]

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 18 /35
Aufgabe 16
Graph einer Ableitungsfunktion
Nachstehend ist der Graph der Ableitungsfunktion f ′ einer Polynomfunktion f dargestellt. Die Ableitungsfunktion f ′ ist eine Polynomfunktion 3. Grades und hat 3 ganzzahlige Nullstellen.
f ′ ( x )
x
f ′
2 1 0
0
1
–2
–1
–3
2
3 –2 –3 –1
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Aussagen an, die auf die Polynomfunktion f jedenfalls zutreffen. [2 aus 5]
f ist im Intervall [2; 3] streng monoton steigend.
f ist im Intervall [2; 3] linksgekrümmt (positiv gekrümmt).
Es gilt: f (–3) ≤ f (3)
f hat genau 2 Wendestellen.
f hat genau 2 lokale Maximumstellen.
[0 / 1 P.]

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 19 /35
Aufgabe 17
Polynomfunktion dritten Grades
Gegeben ist eine Polynomfunktion 3. Grades f mit f ( x ) = a · x
3
+ b · x
2
+ c · x + d mit
a , b , c , d ∈ ℝ , a ≠ 0 und d ≠ 0.
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden
Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht.
Die Stelle x = 0 ist für b = 0 und c ≠ 0 jedenfalls eine
1
und für c = 0 und
b ≠ 0 jedenfalls eine
2
.
1
Nullstelle
Extremstelle
Wendestelle
2
Nullstelle
Extremstelle
Wendestelle
[0 / ½ / 1 P.]

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 20 /35
Aufgabe 18
Grenzkosten und Gesamtkosten
Die Grenzkosten für die Produktion eines bestimmten Produkts werden durch die Funktion K ′
modelliert. Es gilt:
K ′ ( x ) =
1
100
∙
(
x
3
–
x
2
2
+ 3 ∙ x + 4
)
x ... Produktionsmenge in Stück
K ′ ( x ) ... Grenzkosten bei der Produktionsmenge x in Euro pro Stück
Die Gesamtkosten werden in Euro angegeben.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie denjenigen Betrag, um den die Gesamtkosten steigen, wenn man von diesem
Produkt 110 Stück statt 100 Stück produziert.
[0 / 1 P.]

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 21 /35
Aufgabe 19
Stängel-Blatt-Diagramm
Nachstehend sind Daten in einem Stängel-Blatt-Diagramm dargestellt.
1 2 2 5 5 6
2 2 3 7 7
3 1 1 1 2 2 2 2
4 1 2 7 7 9 9
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den vier angegebenen Werten jeweils die entsprechende statistische Kennzahl aus
A bis F zu.
31
32
37
49
A Median
B Modus
C arithmetisches Mittel
D Spannweite
E Standardabweichung
F Maximum
[0 / ½ / 1 P.]

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 22 /35
Aufgabe 20
Vorzeichen statistischer Kennzahlen
Gegeben ist eine Datenliste mit den Werten x 1 < ... < xn mit x 1 < 0 und xn > 0.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden statistischen Kennzahlen an, die bei der oben beschriebenen Datenliste
jedenfalls positiv sind. [2 aus 5]
Spannweite
arithmetisches Mittel
Standardabweichung
Minimum
Median
[0 / 1 P.]

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 23 /35
Aufgabe 21
Kopf oder Zahl
Eine Münze hat eine Kopfseite K und eine Zahlseite Z .
Diese Münze wird 3-mal geworfen. Dabei ist zum Beispiel ZKK ein möglicher Ausgang dieses
Zufallsversuchs.
Dabei bedeutet der 1. Buchstabe das Ergebnis des 1. Wurfes, der 2. Buchstabe das Ergebnis
des 2. Wurfes und der 3. Buchstabe das Ergebnis des 3. Wurfes.
Mit E wird das Ereignis bezeichnet, dass der 2. Wurf das Ergebnis Z hat.
Aufgabenstellung:
Geben Sie das Ereignis E als Teilmenge des zugehörigen Grundraums dieses Zufallsversuchs an.
E = { }
[0 / 1 P.]

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 24 /35
Aufgabe 22
Kugeln
In einem Gefäß befinden sich 5 rote und n grüne Kugeln ( n ≥ 2).
Es werden 3 Kugeln ohne Zurücklegen aus dem Gefäß gezogen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass genau 2 grüne Kugeln gezogen werden, wird mit p bezeichnet.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende Aussage an. [1 aus 6]
p =
n
n + 5
∙
n – 1
n + 5
∙
5
n + 5
∙ 3
p =
(
n
n + 5
)
2
∙
5
n + 5
p =
n
n + 5
∙
n – 1
n + 4
∙
5
n + 3
∙ 3
p =
5
n + 5
∙
(
n
n + 5
)
2
∙ 3
p =
5
n + 5
∙
n
n + 4
∙
n – 1
n + 3
p =
5
n + 5
∙
n
n + 5
∙
n – 1
n + 5
[0 / 1 P.]

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 25 /35
Aufgabe 23
Elfmetertraining
Johanna trainiert regelmäßig mit ihrer Fußballmannschaft Elfmeterschießen.
Sie hat 5 Versuche. Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der dabei erzielten Tore k an.
In der nachstehenden Tabelle ist die auf Erfahrungswerten basierende Wahrscheinlichkeitsverteilung von X dargestellt.
k 0 1 2 3 4 5
P ( X = k ) 0,001 0,008 0,131 0,310 0,372 P ( X = 5)
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Johanna bei 5 Versuchen mehr als 3 Tore erzielt.
P ( X > 3) =
[0 / 1 P.]

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 26 /35
Aufgabe 24
Therapie
Die Anwendung einer bestimmten Therapie ist bei 90 % der Personen erfolgreich.
Ein Facharzt wendet diese Therapie bei 30 Personen an.
Die als binomialverteilt angenommene Zufallsvariable X gibt die Anzahl derjenigen Personen an,
bei denen die Therapie erfolgreich ist.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl derjenigen Personen, bei denen die
Therapie erfolgreich ist, größer als der Erwartungswert E ( X ) ist.
[0 / 1 P.]

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 27 /35
Aufgabe 25 (Teil 2)
Flugreisen
Aufgabenstellung:
a) In Österreich waren im Jahr 2018 die Parkgebühren in der Nähe der unten angeführten Flughäfen unterschiedlich hoch.
Flughafen
Parkgebühren pro
Woche in Euro
Klagenfurt K
Salzburg 54
Linz L
Graz G
Wien-Schwechat W
Innsbruck 147
Quelle: https://www.derstandard.at/story/2000079383984/ranking-wo-das-parken-teurer-ist-als-der-flug [09.08.2022].
1) Berechnen Sie, um wie viel Prozent die Parkgebühren pro Woche am Flughafen Innsbruck
höher als am Flughafen Salzburg waren. [0 / 1 P.]
Das arithmetische Mittel dieser 6 Parkgebühren beträgt D (in Euro).
2) Stellen Sie eine Formel zur Berechnung der Parkgebühren G am Flughafen Graz auf. Verwenden Sie dabei D und die Einträge der obigen Tabelle.
G = [0 / 1 P.]

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 28 /35
b) Ein Flugzeug beschleunigt auf der Startbahn und hebt nach 32 s ab. Die Geschwindigkeit des
Flugzeugs wird als lineare Funktion v in Abhängigkeit von der Zeit t modelliert. In der nach stehenden Abbildung ist der Graph der Funktion v dargestellt.
t in s
v
30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 32
v ( t ) in m/s
70
60
50
40
30
20
10
0
80
1) Berechnen Sie die Länge desjenigen Weges, den das Flugzeug bis zum Abheben zurücklegt, in Metern. [0 / 1 P.]
c) Für einen bestimmten Flug haben 124 Personen jeweils einen Platz gebucht.
Modellhaft wird angenommen: Die für einen Flug gebuchten Plätze werden unabhängig von einander jeweils mit der Wahrscheinlichkeit p in Anspruch genommen.
Für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E gilt:
P ( E ) = 1 –
(
124
123
)
∙ p
123
∙ (1 – p ) –
(
124
124
)
∙ p
124
1) Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden Satzteils so, dass jedenfalls eine richtige Aussage entsteht. [0 / 1 P.]
Das Ereignis E ist: „Es werden
1 2
der gebuchten Plätze
in Anspruch genommen.“
1
höchstens
genau
mindestens
2
122
123
124

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 29 /35
Aufgabe 26 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Passwörter
Passwörter bestehen aus Zeichen, die in einer festgelegten Reihenfolge angeordnet sind. Es ist
erlaubt, dass in einem Passwort Zeichen mehrfach vorkommen.
Die Anzahl der Stellen eines Passworts wird als Passwortlänge k bezeichnet ( k ∈ ℕ , k ≥ 2).
Für jede dieser Stellen wird ein Zeichen aus jeweils n verschiedenen Zeichen gewählt ( n ∈ ℕ ,
n ≥ 2).
Die Anzahl A aller möglichen Passwörter kann mithilfe der Formel A = n
k
berechnet werden.
Aufgabenstellung:
a) Ein bestimmter Computer kann 1 Milliarde Passwörter pro Sekunde überprüfen.
Für die Überprüfung von n
k
Passwörtern benötigt der Computer t Stunden.
1) Stellen Sie mithilfe von k und n eine Formel zur Berechnung von t auf.
t = [0 / 1 P.]
Diese Formel zur Berechnung von t kann als Funktion in Abhängigkeit von k und n aufgefasst
werden.
2) Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht. [0 / ½ / 1 P.]
Ist k konstant, so ist t in Abhängigkeit von n eine
1
; ist n konstant, so ist
t in Abhängigkeit von k eine
2
.
1
lineare Funktion
Potenzfunktion
Exponentialfunktion
2
lineare Funktion
Potenzfunktion
Exponentialfunktion

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 30 /35
b) Das Passwort für den Zugang auf eine bestimmte Website wird automatisch von einem Zufallsgenerator er zeugt. Der Zufallsgenerator wählt jedes Zeichen unabhängig von den anderen
Zeichen und mit gleicher Wahrscheinlichkeit aus 26 Buchstaben und 10 Ziffern aus ( n = 36).
Die Passwortlänge beträgt 8 Zeichen ( k = 8).
1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Passwort nur aus Buchstaben besteht.
[0 / 1 P.]
2) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Passwort höchstens 1 Ziffer enthält.
[0 / 1 P.]

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 31 /35
Aufgabe 27 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Hunde in Österreich
Hunde sind in Österreich als Haustiere sehr beliebt.
Aufgabenstellung:
a) Die nachstehende Abbildung zeigt die Verteilung der Anzahl der Hunde in Österreich im Jahr
2018 nach Bundesländern.
Bildquelle: https://kurier.at/chronik/oesterreich/plus-14-prozent-hunde-liegen-voll-im-trend/400573877 [16.03.2021].
Der Median der Anzahl der Hunde pro tausend Einwohner/innen in den 9 Bundesländern ist
gleich der Anzahl der Hunde pro tausend Einwohner/innen in einem bestimmten Bundesland.
1) Ermitteln Sie dieses Bundesland. [0 / 1 P.]

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 32 /35
b) Die nachstehende Abbildung zeigt die Entwicklung der Masse von Hunden verschiedener
Größe in den ersten 17 Lebensmonaten.
16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 17
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
100
Alter in Monaten
Masse in kg
große Hunde
mittelgroße Hunde
kleine Hunde
sehr große Hunde
Quelle: https://www.dasgesundetier.de/magazin/artikel/welpenerziehung-teil-2 [15.03.2021] (adaptiert).
1) Vervollständigen Sie die zwei nachstehenden Sätze mithilfe der Daten aus der obigen Abbildung so, dass richtige Aussagen entstehen. [0 / ½ / 1 P.]
„Große Hunde“ haben im Alter von 4 Monaten eine Masse von rund kg.
„Sehr große Hunde“ haben im Alter von rund Monaten eine Masse von 80 kg.

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 33 /35
c) Der Labrador ist eine Hunderasse.
Als minimale Masse wird die Masse bezeichnet, die eine gesunde Labradorhündin abhängig
von ihrem Alter mindestens haben soll.
Die nachstehende Tabelle zeigt die minimale Masse von Labradorhündinnen in Abhängigkeit
vom Alter.
Alter in Monaten 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
minimale Masse in kg 10 13 16 18 20 22 22 23 24 24
Datenquelle: https://tierpal.de/labrador-wachstum/ [06.09.2022].
Es wird angenommen, dass sich die minimale Masse von Labradorhündinnen im Alter von
1 bis 5 Monaten linear entwickelt.
1) Berechnen Sie, um wie viel Prozent die minimale Masse von Labradorhündinnen im Alter
von 2 bis 3 Monaten zunimmt. [0 / 1 P.]
Die minimale Masse von Labradorhündinnen kann für das Alter von 7 bis 15 Monaten durch
die Funktion m : [7; 15] → ℝ
+
modelliert werden.
m ( t ) = 25 – 24,7 ∙ ℯ
– k ∙ t
mit k ∈ ℝ
+
t ... Alter in Monaten
m ( t ) ... minimale Masse im Alter t in kg
Für das Alter von 7 Monaten stimmt der Wert der Funktion m mit dem entsprechenden Wert
in der Tabelle überein.
Für das Alter von 12 Monaten weicht der Wert der Funktion m vom entsprechenden Wert in
der Tabelle ab.
2) Berechnen Sie diese Abweichung in kg. [0 / 1 P.]

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 34 /35
Aufgabe 28 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Wachstum von Tierpopulationen
Aufgabenstellung:
a) Die Populationsgröße (Anzahl der Individuen) einer bestimmten Tierart kann modellhaft durch
die Funktion N : ℝ 0
+
→ ℝ
+
in Abhängigkeit von der Zeit t beschrieben werden.
Dabei gilt:
N ( t ) =
500
1 + 4 ∙ ℯ
–0,2 ∙ t
t ... Zeit in Wochen
N ( t ) ... Populationsgröße zum Zeitpunkt t
Zum Zeitpunkt t v ist die Population auf das Doppelte ihrer Größe zum Zeitpunkt t = 0 angewachsen.
1) Berechnen Sie t v . [0 / 1 P.]

10. Jänner 2024 / AHS / Mathematik S. 35 /35
b) Die Wachstumsgeschwindigkeit einer anderen Tierpopulation lässt sich durch die Polynomfunktion f mit f ( t ) = a ∙ t
2
+ b ∙ t + c mit a , b , c ∈ ℝ und a ≠ 0 modellieren. Dabei gibt f ( t ) die
momentane Änderungsrate der Anzahl der Individuen in Abhängigkeit von der Zeit t an ( t in
Wochen, f ( t ) in Individuen pro Woche).
Die Wachstumsgeschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 0 beträgt 15 Individuen pro Woche und
erreicht nach 7 Wochen ihr Maximum. Nach 35 Wochen beträgt die Wachstumsgeschwindigkeit 0 Individuen pro Woche.
1) Stellen Sie eine Funktionsgleichung von f auf.
f ( t ) = [0 / 1 P.]
Es wird angenommen, dass die Tierpopulation zu Beginn der Beobachtungen aus 50 Individuen
besteht.
2) Interpretieren Sie 50 +
∫
7
0
f ( t ) d t im gegebenen Sachzusammenhang. [0 / 1 P.]
Einer der nachstehenden Ausdrücke beschreibt die mittlere Änderungsrate der Größe der
Tier population im Zeitintervall [ t
1
; t
2
] mit t
1
< t
2
.
3) Kreuzen Sie den jedenfalls zutreffenden Ausdruck an. [1 aus 6] [0 / 1 P.]
f ( t 2) – f ( t 1)
t
2
– t
1
∫
t 2
t 1
f ( t ) d t
t
2
– t
1
∫
t 1
0
f ( t ) d t –
∫
t 2
0
f ( t ) d t
f ( t 2) – f ( t 1)
t 2
f ( t
2
) – f ( t
1
)
f ( t 2) – f ( t 1)
f ( t
1
)