Mathematik-Matura September 2023 · AHS – Lösungen

AHS
19. September 2023
Mathematik
Korrekturheft
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reifeprüfung

19. September 2023 / AHS / Mathematik S. 2 /31
Beurteilung der Klausurarbeit
Beurteilungsschlüssel
erreichte Punkte Note
32 – 36 Punkte Sehr gut
27 – 31,5 Punkte Gut
22 – 26,5 Punkte Befriedigend
17 – 21,5 Punkte Genügend
0 – 16,5 Punkte Nicht genügend
Best-of-Wertung: Für die Aufgaben 26, 27 und 28 gilt eine Best-of-Wertung. Von diesen drei
Teil-2-Aufgaben wird diejenige Aufgabe, bei der die niedrigste Punkteanzahl erreicht worden ist,
nicht gewertet.
Jahresnoteneinrechnung: Damit die Leistungen der letzten Schulstufe in die Beurteilung des
Prüfungsgebiets einbezogen werden können, muss die Kandidatin / der Kandidat mindestens
11 Punkte erreichen.
Den Prüferinnen und Prüfern steht während der Korrekturfrist ein Helpdesk des BMBWF
beratend zur Verfügung. Die Erreichbarkeit des Helpdesks wird für jeden Prüfungstermin auf
https://www.matura.gv.at/srdp/ablauf gesondert bekanntgegeben.

19. September 2023 / AHS / Mathematik S. 3 /31
Handreichung zur Korrektur
Für die Korrektur und die Bewertung sind die am Prüfungstag auf https://korrektur.srdp.at ver
öffentlichten Unterlagen zu verwenden.
1. In der Lösungserwartung ist ein möglicher Lösungsweg angegeben. Andere richtige
Lösungswege sind als gleichwertig anzusehen. Im Zweifelsfall kann die Auskunft des
Helpdesks in Anspruch genommen werden. Ausschließlich bei ausgewiesenen Aufgaben
(Kennzeichnung durch: [0 / ½ / 1 P.] ) können für Teilleistungen halbe Punkte vergeben
werden.
2. Der Lösungsschlüssel ist verbindlich unter Beachtung folgender Vorgangsweisen anzuwenden:
a. Bei offenen Aufgabenformaten steht für die Punktevergabe der Nachweis der jeweiligen
Grundkompetenz im Vordergrund. Die dabei fokussierte Grundkompetenz wird im
Korrektur heft ausgewiesen. Punkte sind zu vergeben, wenn die Bearbeitung zeigt, dass
die fokussierte Grundkompetenz in der Bearbeitung erfüllt ist.
b. Werden zu einer Teilaufgabe mehrere Lösungen von der Kandidatin / vom Kandidaten
angeboten und nicht alle diese Lösungen sind richtig, so ist diese Tei laufgabe mit null
Punkten zu bewerten, sofern die richtige Lösung nicht klar als solche hervorgehoben
ist.
c. Bei abhängiger Punktevergabe gilt das Prinzip des Folgefehlers. Wird von der Kandidatin / vom Kandidaten beispielsweise zu einem Kontext ein falsches Modell aufgestellt,
mit diesem Modell aber eine richtige Berechnung durchgeführt, so ist der Berechnungspunkt zu ver geben, wenn das falsch aufgestellte Modell die Berechnung nicht vereinfacht.
d. Wird von der Kandidatin / vom Kandidaten die richtige Lösung ohne Angabe von
Zwischenschritten angeführt, so sind alle Punkte zu vergeben, auch wenn der Lösungsschlüssel Einzelschritte vorgibt.
e. Abschreibfehler, die aufgrund der Dokumentation der Kandidatin / des Kandidaten als
solche identifizierbar sind, sind ohne Punkteabzug zu bewerten, wenn sie zu keiner
Vereinfachung der Aufgabenstellung führen.
f. Rundungsfehler sind zu vernachlässigen, wenn die Rundung nicht explizit eingefordert
ist.
g. Die Angabe von Einheiten ist bei der Punktevergabe zu vernachlässigen, sofern sie
nicht explizit eingefordert ist.

19. September 2023 / AHS / Mathematik S. 4 /31
Aufgabe 1
Ganze Zahlen und irrationale Zahlen
negative ganze Zahl C
negative irrationale Zahl A
positive ganze Zahl F
positive irrationale Zahl E
A 2 –

10
B 10
–2
C –

10
2
D 2 : (–10)
E

10 : 2
F (–

10 )
2
Ein Punkt für vier richtige Zuordnungen, ein halber Punkt für zwei oder drei richtige Zuordnungen.

19. September 2023 / AHS / Mathematik S. 5 /31
Aufgabe 2
Taxifahrt
F = 1,3 · ( G + S · K )
Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Gleichung.

19. September 2023 / AHS / Mathematik S. 6 /31
Aufgabe 3
Apfelsaft und Orangensaft
I : a + b = 375
II : 0,80 · a + 1 · b = 339
Ein Punkt für das richtige Erstellen des Gleichungssystems mit zwei Gleichungen, ein halber
Punkt für nur eine richtige Gleichung.

19. September 2023 / AHS / Mathematik S. 7 /31
Aufgabe 4
Quader
DF =
(
2
–3
4
)
Ein Punkt für das Angeben der richtigen Koordinaten.

19. September 2023 / AHS / Mathematik S. 8 /31
Aufgabe 5
Vektor und Gerade
Richtungsvektor von g : g = (
1
1
)
AB = (
5
–1
) – (
–1
5
) = (
6
–6
)
g · AB = (
1
1
) · (
6
–6
) = 6 – 6 = 0
Ein Punkt für das richtige rechnerische Nachweisen.
Grundkompetenz: AG 3.5

19. September 2023 / AHS / Mathematik S. 9 /31
Aufgabe 6
Dreieck
h =
w
tan( α )
∙ sin( α )
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

19. September 2023 / AHS / Mathematik S. 10 /31
Aufgabe 7
Exponentialfunktionen
f hat keine Nullstellen.
Der Graph von f ist positiv gekrümmt (linksgekrümmt).
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

19. September 2023 / AHS / Mathematik S. 11 /31
Aufgabe 8
Beschleunigung
v ( t ) in m/s
t in s
4 3 2 1 0 5
35
30
25
20
15
10
5
40
0
v
Ein Punkt für das richtige Einzeichnen des Graphen.

19. September 2023 / AHS / Mathematik S. 12 /31
Aufgabe 9
Quadratische Funktion
Die Parameter a und b müssen verschiedene Vorzeichen haben.
oder:
a · b < 0
Ein Punkt für das Angeben einer richtigen Bedingung.
Grundkompetenz: FA 3.3

19. September 2023 / AHS / Mathematik S. 13 /31
Aufgabe 10
Anzahl der Nullstellen einer Polynomfunktion
1
dritten
2
mindestens
Ein Punkt für das Ankreuzen der beiden richtigen Satzteile.

19. September 2023 / AHS / Mathematik S. 14 /31
Aufgabe 11
Verdoppelungszeit
Die Anzahl der Bakterien
verdoppelt sich 1 mal
pro Stunde.
C
Die Anzahl der Bakterien
verdoppelt sich 2 mal
pro Stunde.
B
Die Anzahl der Bakterien
verdoppelt sich 3 mal
pro Stunde.
F
Die Anzahl der Bakterien
verdoppelt sich 4 mal
pro Stunde.
D
A N 1 ( t ) = N 1 (0) ∙ 1,5
t
B N
2
( t ) = N
2
(0) ∙ 4
t
C N 3 ( t ) = N 3 (0) ∙ 2
t
D N
4
( t ) = N
4
(0) ∙ 16
t
E N 5 ( t ) = N 5 (0) ∙ 3
t
F N
6
( t ) = N
6
(0) ∙ 8
t
Ein Punkt für vier richtige Zuordnungen, ein halber Punkt für zwei oder drei richtige Zuordnungen.

19. September 2023 / AHS / Mathematik S. 15 /31
Aufgabe 12
Periodenlänge
3
2
=
2 ∙ π
π
c
c =
3
4
Ein Punkt für das richtige Ermitteln von c .
Grundkompetenz: FA 6.4

19. September 2023 / AHS / Mathematik S. 16 /31
Aufgabe 13
Bitcoin
relative Änderung: –0,6034... (≈ –60,3 %)
Ein Punkt für das richtige Berechnen der relativen Änderung.

19. September 2023 / AHS / Mathematik S. 17 /31
Aufgabe 14
Mittlere Geschwindigkeit
s (2) – s (0)
2 – 0
= 10
d · 4
2
= 10
d = 5
Ein Punkt für das richtige Ermitteln von d .
Grundkompetenz: AN 1.3

19. September 2023 / AHS / Mathematik S. 18 /31
Aufgabe 15
Stammfunktion einer Sinusfunktion
F ′ ( x ) = 1,25 · b · sin( b · x ) = 2 · sin( b · x )
1,25 · b = 2
b = 1,6
Ein Punkt für das richtige Ermitteln von b .
Grundkompetenz: AN 2.1

19. September 2023 / AHS / Mathematik S. 19 /31
Aufgabe 16
Wert eines bestimmten Integrals
∫
3
0
f ( x ) d x = 9
Ein Punkt für das Angeben des richtigen Wertes.

19. September 2023 / AHS / Mathematik S. 20 /31
Aufgabe 17
Eigenschaften einer Polynomfunktion
Es gibt genau ein c , für das f ′ ( c ) = 0 gilt.
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

19. September 2023 / AHS / Mathematik S. 21 /31
Aufgabe 18
Integral und Flächeninhalt
∫
c
0
f ( x ) d x A
∫
a
0
f ( x ) d x +
∫
b
a
f ( x ) d x C
∫
a
0
f ( x ) d x –
∫
b
a
f ( x ) d x +
∫
c
b
f ( x ) d x B
∫
c
a
f ( x ) d x + 100 D
A –31
B 69
C –33
D 52
E 67
F 152
Ein Punkt für vier richtige Zuordnungen, ein halber Punkt für zwei oder drei richtige Zuordnungen.

19. September 2023 / AHS / Mathematik S. 22 /31
Aufgabe 19
Datenliste
1
der Median
2
die Standardabweichung
Ein Punkt für das Ankreuzen der beiden richtigen Satzteile, ein halber Punkt, wenn nur ein richtiger
Satzteil angekreuzt ist.

19. September 2023 / AHS / Mathematik S. 23 /31
Aufgabe 20
Geburtenzahl
Die Gesamtzahl der Geburten im Zeitraum von 2015 bis 2018 war
niedriger als die vierfache Anzahl der Geburten im Jahr 2019.
Die Anzahl der Geburten war in höchstens drei Jahren des
Zeitraums von 2015 bis 2018 höher als im Jahr 2019.
Ein Punkt für das Ankreuzen.

19. September 2023 / AHS / Mathematik S. 24 /31
Aufgabe 21
Glücksspiel
p
1
≤ p
p 1 = p
2
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

19. September 2023 / AHS / Mathematik S. 25 /31
Aufgabe 22
Eissalon
(
24
3
) = 2 024
Es gibt 2 024 verschiedene Möglichkeiten.
Ein Punkt für das Angeben der richtigen Anzahl.
Grundkompetenz: WS 2.4

19. September 2023 / AHS / Mathematik S. 26 /31
Aufgabe 23
Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses
P ( X < 9) ≤ 0,65
P ( X ≥ 10) = 0,35
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

19. September 2023 / AHS / Mathematik S. 27 /31
Aufgabe 24
Qualitätssicherung
P ( E ) = 1 – 0,98
n
Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Formel.

19. September 2023 / AHS / Mathematik S. 28 /31
Aufgabe 25 (Teil 2)
Triathlon
a1) B 1 = (0 | 360,5…)
a1) Ein Punkt für das richtige Berechnen der y Koordinate von B 1 .
b1) Es wird die verbliebene Wegstrecke von Tanja bis zum Ziel (des Radbewerbs) in km
berechnet.
b1) Ein Punkt für das richtige Interpretieren im gegebenen Sachzusammenhang.
c1) Zeitdifferenz: 2 h 24 min 18 s = 2,405 h
42,195
2,405
= 17,54...
Michaels Durchschnittsgeschwindigkeit im Laufbewerb beträgt rund 17,5 km/h.
c1) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Durchschnittsgeschwindigkeit.
d1) n =
f (40) – f (0)
40
= 61,425
d1) Ein Punkt für das richtige Berechnen von n .

19. September 2023 / AHS / Mathematik S. 29 /31
Aufgabe 26 (Teil 2, Best-of-Wertung)
„Mensch ärgere Dich nicht“
a1)
4
12
∙
3
11
∙
2
10
∙
1
9
=
1
495
= 0,0020...
Die Wahrscheinlichkeit, dass alle 4 gezogenen Spielfiguren rot sind, beträgt rund 0,2 %.
a2) u =
4
70
=
2
35
v =
35
70
=
1
2
a1) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Wahrscheinlichkeit, dass alle 4 gezogenen Spiel
figuren rot sind.
a2) Ein Punkt für das richtige Berechnen von u und v .
b1)
(
n
n
2
)
∙ 0,6
n
2
∙ 0,4
n
2
A
1 – 0,4
n
– n ∙ 0,6 ∙ 0,4
n – 1
B
1 – 0,6
n
E
n ∙ 0,6
n – 1
∙ 0,4 D
A
Isabella gewinnt genau die
Hälfte der n Partien.
B
Isabella gewinnt mindes
tens 2 der n Partien.
C
Isabella verliert mehr als
die Hälfte der n Partien.
D
Isabella verliert genau
1 der n Partien.
E
Isabella verliert mindestens
1 der n Partien.
F
Isabella gewinnt höchstens
1 der n Partien.
b2) p = 0,6 n = 14
μ = 8,4
σ = 1,83...
[ μ – σ ; μ + σ ] = [6,56...; 10,23...]
P (7 ≤ Y ≤ 10) = 0,7255...
b1) Ein Punkt für vier richtige Zuordnungen, ein halber Punkt für zwei oder drei richtige Zu
ordnungen.
b2) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Wahrscheinlichkeit.

19. September 2023 / AHS / Mathematik S. 30 /31
Aufgabe 27 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Bienenhaltung in Österreich
a1) Im Jahr 2017 betrug die durchschnittliche Anzahl der Bienenvölker pro Imker/in (in Öster
reich) rund 13.
a1) Ein Punkt für das richtige Interpretieren im gegebenen Sachzusammenhang.
b1) I : f (0) = 26 063 = d
II : f (4) = 30 237
16 ∙ c + 26 063 = 30 237
c = 260,875
b1) Ein Punkt für das richtige Berechnen von c und d .
c1) g ( t ) = 347 128 ∙ 0,84
t
c2) 0,5 = 0,84
t
t = 3,9...
Die Zeitdauer beträgt rund 4 Jahre.
c1) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Funktionsgleichung von g .
c2) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Zeitdauer.

19. September 2023 / AHS / Mathematik S. 31 /31
Aufgabe 28 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Teich
a1)
(
129
10
+
129
6
)
∙ T = 129
T = 3,75 h
a1) Ein Punkt für das richtige Berechnen von T .
b1) d ( z ) =
129
z
b2) d (6) = 21,5
∫
21,5
11,5
h ′ ( t ) d t = 0,40...
Die Höhe der Wasseroberfläche steigt in den letzten 10 h der Befüllung um rund 0,4 m an.
b1) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Funktionsgleichung von d .
b2) Ein Punkt für das richtige Ermitteln des Anstiegs der Höhe der Wasseroberfläche.
c1)
Die Wassermenge im Teich nimmt
ab.
C
Die Wassermenge im Teich
nimmt immer schneller zu.
A
Die momentane Änderungsrate der
Wassermenge im Teich nimmt ab.
B
Die Wassermenge im Teich nimmt
zu.
F
A (0; 3)
B (3; 10)
C (8; 12)
D (3; 12)
E (8; 10)
F (0; 8)
c1) Ein Punkt für vier richtige Zuordnungen, ein halber Punkt für zwei oder drei richtige Zu
ordnungen.