Mathematik-Matura Mai 2023 · HTL Cluster T1 – Lösungen

Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reife- und Diplomprüfung
BHS
3. Mai 2023
Angewandte Mathematik
Korrekturheft
HTL 1

3. Mai 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 2 /16
Beurteilung der Klausurarbeit
Beurteilungsschlüssel
erreichte Punkte Note
44 – 48 Punkte Sehr gut
38 – 43 Punkte Gut
31 – 37 Punkte Befriedigend
23 – 30 Punkte Genügend
0 – 22 Punkte Nicht genügend
Jahresnoteneinrechnung: Damit die Leistungen der letzten Schulstufe in die Beurteilung des
Prüfungsgebiets einbezogen werden können, muss die Kandidatin / der Kandidat mindestens
14 Punkte erreichen.
Den Prüferinnen und Prüfern steht während der Korrekturfrist ein Helpdesk des BMBWF
beratend zur Verfügung. Die Erreichbarkeit des Helpdesks wird für jeden Prüfungstermin auf
https://www.matura.gv.at/srdp/ablauf gesondert bekanntgegeben.

3. Mai 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 3 /16
Handreichung zur Korrektur
Für die Korrektur und die Bewertung sind die am Prüfungstag auf https://korrektur.srdp.at ver öffentlichten Unterlagen zu verwenden.
1. In der Lösungserwartung ist ein möglicher Lösungsweg angegeben. Andere richtige
Lösungswege sind als gleichwertig anzusehen. Im Zweifelsfall kann die Auskunft des Helpdesks in Anspruch genommen werden.
2. Der Lösungsschlüssel ist verbindlich unter Beachtung folgender Vorgangsweisen anzuwenden:
a. Punkte sind zu vergeben, wenn die jeweilige Handlungsanweisung in der Bearbeitung
richtig umgesetzt ist.
b. Berechnungen im offenen Antwortformat ohne nachvollziehbaren Rechenansatz
bzw. ohne nachvollziehbare Dokumentation des Technologieeinsatzes (verwendete
Ausgangsparameter und die verwendete Technologiefunktion müssen angegeben sein)
sind mit null Punkten zu bewerten.
c. Werden zu einer Teilaufgabe mehrere Lösungen von der Kandidatin / vom Kandidaten
angeboten und nicht alle diese Lösungen sind richtig, so ist diese Teilaufgabe mit null
Punkten zu bewerten, sofern die richtige Lösung nicht klar als solche hervorgehoben
ist.
d. Bei abhängiger Punktevergabe gilt das Prinzip des Folgefehlers. Wird von der Kandidatin / vom Kandidaten beispielsweise zu einem Kontext ein falsches Modell aufgestellt,
mit diesem Modell aber eine richtige Berechnung durchgeführt, so ist der Berechnungspunkt zu vergeben, wenn das falsch aufgestellte Modell die Berechnung nicht vereinfacht.
e. Werden von der Kandidatin / vom Kandidaten kombinierte Handlungsanweisungen in
einem Lösungsschritt erbracht, so sind alle Punkte zu vergeben, auch wenn der
Lösungsschlüssel Einzelschritte vorgibt.
f. Abschreibfehler, die aufgrund der Dokumentation der Kandidatin / des Kandidaten als
solche identifizierbar sind, sind ohne Punkteabzug zu bewerten, wenn sie zu keiner
Vereinfachung der Aufgabenstellung führen.
g. Rundungsfehler sind zu vernachlässigen, wenn die Rundung nicht explizit eingefordert
ist.
h. Die Angabe von Einheiten ist bei der Punktevergabe zu vernachlässigen, sofern sie
nicht explizit eingefordert ist.

3. Mai 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 4 /16
Aufgabe 1
Wandern
a1)
4 ∙ 1,25 + 2 ∙ 2,5
3,75
= 2,66...
Die mittlere Geschwindigkeit beträgt rund 2,7 km/h.
a1) Ein Punkt für das richtige Berechnen der mittleren Geschwindigkeit.
b1) v ′ ( t ) = s ″ ( t ) = 1,92 ∙ t – 4,64
v ′ ( t ) = 0 oder 1,92 ∙ t – 4,64 = 0
t = 2,41...
Lena wandert nach etwa 2,4 h mit der geringsten Geschwindigkeit.
In der Abbildung ist erkennbar, dass die Steigung von s an der Wendestelle minimal ist. Ein
entsprechender Nachweis und eine Überprüfung der Randstellen sind daher nicht erforderlich.
b2) v ( t ) = s ′ ( t ) = 0,96 ∙ t
2
– 4,64 ∙ t + 7,08
v ( t ) = 5 oder 0,96 ∙ t
2
– 4,64 ∙ t + 7,08 = 5
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
t
1
= 0,5 t
2
= 4,33...
Im Zeitintervall [0,5; 4,33...] wandert Lena mit einer Geschwindigkeit von höchstens 5 km/h.
b1) Ein Punkt für das richtige Ermitteln der Zeit, nach der Lena mit der geringsten Geschwindigkeit wandert.
b2) Ein Punkt für das richtige Ermitteln des Zeitintervalls, in dem Lena mit einer Geschwindigkeit
von höchstens 5 km/h wandert.

3. Mai 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 5 /16
c1)
2
1,8
1,6
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
Zeit in s
90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 100
Geschwindigkeit in m/s
B
2
1,8
1,6
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 100
Geschwindigkeit in m/s
Zeit in s
C
A
Die Geschwindigkeit
ist nach etwa
26 Sekunden am
höchsten.
B
Die Beschleunigung
ist nach etwa
50 Sekunden am geringsten.
C
Der zurückgelegte Weg
im Zeitintervall [70; 80]
ist länger als jener im
Zeit intervall [20; 30].
D
Im Zeitintervall [0; 100]
ist die Geschwindigkeit
nach etwa 75 Sekunden am höchsten.
c1) Ein Punkt für das richtige Zuordnen.

3. Mai 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 6 /16
Aufgabe 2
Flächenverbauung
a1) f ( t ) = k ∙ t + d
d = 15
k =
12,4 – 15
4 – 0
= –0,65
f ( t ) = –0,65 ∙ t + 15
a2) f ( t ) = 2 oder –0,65 ∙ t + 15 = 2
t = 20
Die Vorgabe wird nach 20 Jahren (also im Jahr 2033) erfüllt.
a1) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Gleichung der Funktion f .
a2) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Zeit, nach der die Vorgabe erfüllt ist.
b1) 0,95 = 0,995
t
ln(0,95)
ln(0,995)
= 10,2...
Nach etwa 10 Jahren wird die Agrarfläche Österreichs gemäß diesem Modell um 5 % kleiner
als zu Beginn des Jahres 2017 sein.
b2)
0,995
T
– 1
b1) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Zeit, nach der die Agrarfläche Österreichs um 5 %
kleiner als zu Beginn des Jahres 2017 sein wird.
b2) Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.
c1) Flächeninhalt A des Fußballfelds:
A = 68 m ∙ 105 m = 7 140 m
2
= 0,00714 km
2
0,6
0,00714
= 84,0...
Rund 84 solcher Fußballfelder haben insgesamt eine Fläche von 0,6 km
2
.
c1) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Anzahl der Fußballfelder.

3. Mai 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 7 /16
Aufgabe 3
Taxi
a1)
Es werden mindestens 5 Fahrgäste befördert.
a2) Binomialverteilung mit n = 30 und p = 0,31
X ... Anzahl der Taxifahrten, bei denen jeweils genau 1 Fahrgast befördert wird
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
P ( X ≥ 8) = 0,757...
Die Wahrscheinlichkeit beträgt rund 76 %.
a1) Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.
a2) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Wahrscheinlichkeit.
b1) 2 ∙ 0,83 ∙ 0,17 = 0,2822
Die Wahrscheinlichkeit beträgt 28,22 %.
b1) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Wahrscheinlichkeit.

3. Mai 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 8 /16
c1) G = 4 €
p = 2 €/km
c2)
K
1
( x ), K
2
( x ) in €
K
1
x in km
8 7 6 5 4 3 2 1 0 9
15
10
5
0
20
K
2
c1) Ein Punkt für das richtige Ermitteln von G und p .
c2) Ein Punkt für das richtige Einzeichnen des Graphen von K 2 .

3. Mai 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 9 /16
Aufgabe 4
Alpentransit
a1) f ′ ( x ) = 2 ∙ a ∙ x + b
I : f (200) = 0
II : f ′ (0) = 0,1
oder:
I : a ∙ 200
2
+ b ∙ 200 = 0
II : b = 0,1
a2)
g
P
g ( x ) in m
x in m
Im Hinblick auf die Punktevergabe ist es nicht erforderlich, die Koordinatenachsen zu beschriften.
a1) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Gleichung mithilfe der Koordinaten.
Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Gleichung mithilfe der Ableitung.
a2) Ein Punkt für das richtige Einzeichnen der Achsen des Koordinatensystems.
b1) ≈ 9 300 Fahrzeuge
Toleranzbereich: [9 000; 10 000]
b2)
t = 8 B
t = 14 D
A k ′ ( t ) > 0 und k ″ ( t ) > 0
B k ′ ( t ) > 0 und k ″ ( t ) < 0
C k ′ ( t ) < 0 und k ″ ( t ) > 0
D k ′ ( t ) < 0 und k ″ ( t ) < 0
b1) Ein Punkt für das richtige Schätzen der Anzahl der Fahrzeuge.
b2) Ein Punkt für das richtige Zuordnen.
c1)
1,34 ∙ 10
7
0,29
– 3 ∙ 10
6
= 43,20... ∙ 10
6
Der gesamte Gütertransport über den Brennerpass im Jahr 2015 betrug rund 43,2 Mio. t.
c1) Ein Punkt für das richtige Berechnen des gesamten Gütertransports über den Brennerpass
im Jahr 2015.

3. Mai 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 10 /16
Aufgabe 5
Tiefgarage
a1) α = 2 ∙ arcsin
(
a
b
)
a2) α = 2 ∙ arcsin
(
14
135
)
= 11,90...°
tan( α ) = 0,210...
Die Steigung der Rampe beträgt rund 21 %.
a1) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Formel.
a2) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Steigung in Prozent.
b1)
Parkdauer in min
280 260 240 220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 300
b1) Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.
c1) X ... Parkdauer in min
P (60 ≤ X ≤ 120) = 0,6562...
Die Wahrscheinlichkeit beträgt rund 65,6 %.
c2) Der Flächeninhalt unter dem Graphen einer Dichtefunktion muss 1 betragen. Da der Flächeninhalt unter dem Graphen der Funktion g kleiner als der Flächeninhalt unter dem Graphen der
Dichtefunktion f ist, kann g keine Dichtefunktion sein.
c1) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Wahrscheinlichkeit.
c2) Ein Punkt für das richtige Begründen.

3. Mai 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 11 /16
Aufgabe 6 (Teil B)
Sitzgelegenheiten
a1) f ′ ( x ) = 4 ∙ a ∙ x
3
+ 3 ∙ b ∙ x
2
– 296 ∙ x + 275
p ′ ( x ) = –1,32 ∙ x
2
+ 3,8 ∙ x – 3,6
I : f (2,4) = p (2,4)
II : f ′ (2,4) = p ′ (2,4)
oder:
I : a ∙ 2,4
4
+ b ∙ 2,4
3
– 148 ∙ 2,4
2
+ 275 ∙ 2,4 – 183 = 4,12...
II : 4 ∙ a ∙ 2,4
3
+ 3 ∙ b ∙ 2,4
2
– 296 ∙ 2,4 + 275 = –2,08...
a2) Berechnung mittels Technologieeinsatz:
a = –
41 185
13 824
= –2,97...
b =
747 571
21 600
= 34,60...
a3) g ( x ) = k ∙ x + d
k = f ′ (3,1) = 0,1815...
d = f (3,1) – 3,1 ∙ k = 3,140... – 3,1 ∙ 0,1815... = 2,577...
g ( x ) = 0,1815... · x + 2,577...
a1) Ein Punkt für das richtige Erstellen des Gleichungssystems.
a2) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Koeffizienten a und b .
a3) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Gleichung der Tangente.

3. Mai 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 12 /16
b1) Berechnen der dritten Seite x des Dreiecks (strichliert eingezeichnet):
x =

a
2
+ b
2
– 2 ∙ a ∙ b ∙ cos( α ) =

39
2
+ 61,5
2
– 2 ∙ 39 ∙ 61,5 ∙ cos(45°) = 43,71...
b
sin( γ
1
)
=
x
sin( α )
γ
1
= arcsin
(
b ∙ sin( α )
x
)
= arcsin
(
61,5 ∙ sin(45°)
43,71...
)
= 84,10...°
γ = 180° – γ
1
= 95,89…°
b2) h = b ∙ sin( α ) = 61,5 · sin(45°) = 43,48...
43,48... – 43
43
= 0,0113...
Die Sitzhöhe h des nachgebauten Stuhls weicht um rund 1,1 % von der Sitzhöhe des Originals ab.
b1) Ein Punkt für das richtige Berechnen des stumpfen Winkels γ .
b2) Ein Punkt für das richtige Berechnen der prozentuellen Abweichung.
c1 und c3)
F
a
F
b
G
α
y
x A
c2) 20
2
+ ay
2
= 25
2
ay
= –15
c1) Ein Punkt für das richtige Veranschaulichen.
c2) Ein Punkt für das richtige Berechnen von ay .
c3) Ein Punkt für das richtige Einzeichnen des Winkels α .

3. Mai 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 13 /16
Aufgabe 7 (Teil B)
Federung von Mountainbikes
a1) Berechnung mittels Technologieeinsatz:
p ( m ) = 3,32 ∙ m – 67,3 (Koeffizienten gerundet)
m ... Masse des Fahrers in kg
p ( m ) ... Druck bei der Masse m in psi
a2) p (82) = 204,959...
Berechnung des Wertes durch lineare Interpolation:
200 + 2 ∙ 3 = 206
206 – 204,959... = 1,040...
Diese beiden Werte unterscheiden sich um rund 1,04 psi.
Auch eine Angabe der Differenz als „–1,04 psi“ ist als richtig zu werten.
a1) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Gleichung der linearen Funktion p .
a2) Ein Punkt für das richtige Ermitteln der Differenz.
b1) μ = 80 N/cm

n
σ
= 
8
3
N/cm
Berechnung des 99-%-Zufallsstreubereichs mittels Technologieeinsatz:
[77,267...; 82,732...] (in N/cm)
b2) Berechnung des arithmetischen Mittels x dieser Stichprobe mittels Technologieeinsatz:
x = 77,1075 N/cm
Das arithmetische Mittel dieser Stichprobe ist nicht im oben berechneten Zufallsstreubereich
enthalten.
b1) Ein Punkt für das richtige Berechnen des Zufallsstreubereichs.
b2) Ein Punkt für das richtige nachweisliche Überprüfen.

3. Mai 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 14 /16
c1)
1 000 – 700
95 – 60
= 8,571...
Die mittlere Änderungsrate beträgt rund 8,57 N/mm.
c2)
∫
130
110
f ( x ) d x = 400 N
c3) x
1
= 10 mm
c4)
x = 40 D
x = 20 C
A f ( x ) = 0
B f ( x ) < 0
C f ′ ( x ) < 0
D f ′ ( x ) = 0
c1) Ein Punkt für das richtige Ermitteln der mittleren Änderungsrate unter Angabe der zugehörigen
Einheit.
c2) Ein Punkt für das Ablesen des richtigen Wertes.
c3) Ein Punkt für das Ablesen der richtigen Stelle x
1
.
c4) Ein Punkt für das richtige Zuordnen.

3. Mai 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 15 /16
Aufgabe 8 (Teil B)
Kaffeegetränke
a1)
1
μ
A
= μ
B
2
σ A < σ B
a2) μ =
430 + 590
2
= 510
P (430 ≤ X ≤ 590) = 0,70
Berechnung der Standardabweichung σ mittels Technologieeinsatz:
σ = 77,18… mg/L
a1) Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.
a2) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Standardabweichung σ .

3. Mai 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 16 /16
b1) v = 0,25 GE/ME
b1) Ein Punkt für das Ablesen der richtigen variablen Stückkosten v .
c1) K 2 ″ ( x ) = 0 oder
6
5 000 000
∙ x –
1
1 000
= 0
x = 833,3...
Die Kostenkehre der Funktion K 2 liegt bei rund 833 ME.
c2) E ( x ) = 0,5 ∙ x
G ( x ) = 0,5 ∙ x – K 2 ( x )
G ( x ) = 0 oder –
1
5 000 000
∙ x
3
+
1
2 000
∙ x
2
–
1
10
∙ x – 200 = 0
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
( x 1 = –500)
x 2 = 1 000
x 3 = 2 000
Gewinnbereich: [1 000; 2 000] (in ME)
Auch eine Angabe des Gewinnbereichs als ]1 000; 2 000[ ist als richtig zu werten.
c1) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Kostenkehre.
c2) Ein Punkt für das richtige Ermitteln des Gewinnbereichs.
d1) f ′ ( x ) = 0 oder –0,04 ∙ x + 0,31 = 0
x = 7,75
d = 2 ∙ f (7,75) = 7,28... cm
d2) V = π ∙
∫
b
a
( g ( x ))
2
d x
d1) Ein Punkt für das richtige Berechnen des maximalen Außendurchmessers d .
d2) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Formel.