Mathematik-Matura Mai 2023 · HAK Cluster W2 – Lösungen

Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reife- und Diplomprüfung
BHS
3. Mai 2023
Angewandte Mathematik
Korrekturheft
HAK

3. Mai 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 2 /17
Beurteilung der Klausurarbeit
Beurteilungsschlüssel
erreichte Punkte Note
44 – 48 Punkte Sehr gut
38 – 43 Punkte Gut
31 – 37 Punkte Befriedigend
23 – 30 Punkte Genügend
0 – 22 Punkte Nicht genügend
Jahresnoteneinrechnung: Damit die Leistungen der letzten Schulstufe in die Beurteilung des
Prüfungsgebiets einbezogen werden können, muss die Kandidatin / der Kandidat mindestens
14 Punkte erreichen.
Den Prüferinnen und Prüfern steht während der Korrekturfrist ein Helpdesk des BMBWF
beratend zur Verfügung. Die Erreichbarkeit des Helpdesks wird für jeden Prüfungstermin auf
https://www.matura.gv.at/srdp/ablauf gesondert bekanntgegeben.

3. Mai 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 3 /17
Handreichung zur Korrektur
Für die Korrektur und die Bewertung sind die am Prüfungstag auf https://korrektur.srdp.at ver öffentlichten Unterlagen zu verwenden.
1. In der Lösungserwartung ist ein möglicher Lösungsweg angegeben. Andere richtige
Lösungswege sind als gleichwertig anzusehen. Im Zweifelsfall kann die Auskunft des Helpdesks in Anspruch genommen werden.
2. Der Lösungsschlüssel ist verbindlich unter Beachtung folgender Vorgangsweisen anzuwenden:
a. Punkte sind zu vergeben, wenn die jeweilige Handlungsanweisung in der Bearbeitung
richtig umgesetzt ist.
b. Berechnungen im offenen Antwortformat ohne nachvollziehbaren Rechenansatz
bzw. ohne nachvollziehbare Dokumentation des Technologieeinsatzes (verwendete
Ausgangsparameter und die verwendete Technologiefunktion müssen angegeben sein)
sind mit null Punkten zu bewerten.
c. Werden zu einer Teilaufgabe mehrere Lösungen von der Kandidatin / vom Kandidaten
angeboten und nicht alle diese Lösungen sind richtig, so ist diese Teilaufgabe mit null
Punkten zu bewerten, sofern die richtige Lösung nicht klar als solche hervorgehoben
ist.
d. Bei abhängiger Punktevergabe gilt das Prinzip des Folgefehlers. Wird von der Kandidatin / vom Kandidaten beispielsweise zu einem Kontext ein falsches Modell aufgestellt,
mit diesem Modell aber eine richtige Berechnung durchgeführt, so ist der Berechnungspunkt zu vergeben, wenn das falsch aufgestellte Modell die Berechnung nicht vereinfacht.
e. Werden von der Kandidatin / vom Kandidaten kombinierte Handlungsanweisungen in
einem Lösungsschritt erbracht, so sind alle Punkte zu vergeben, auch wenn der
Lösungsschlüssel Einzelschritte vorgibt.
f. Abschreibfehler, die aufgrund der Dokumentation der Kandidatin / des Kandidaten als
solche identifizierbar sind, sind ohne Punkteabzug zu bewerten, wenn sie zu keiner
Vereinfachung der Aufgabenstellung führen.
g. Rundungsfehler sind zu vernachlässigen, wenn die Rundung nicht explizit eingefordert
ist.
h. Die Angabe von Einheiten ist bei der Punktevergabe zu vernachlässigen, sofern sie
nicht explizit eingefordert ist.

3. Mai 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 4 /17
Aufgabe 1
Wandern
a1)
4 ∙ 1,25 + 2 ∙ 2,5
3,75
= 2,66...
Die mittlere Geschwindigkeit beträgt rund 2,7 km/h.
a1) Ein Punkt für das richtige Berechnen der mittleren Geschwindigkeit.
b1) v ′ ( t ) = s ″ ( t ) = 1,92 ∙ t – 4,64
v ′ ( t ) = 0 oder 1,92 ∙ t – 4,64 = 0
t = 2,41...
Lena wandert nach etwa 2,4 h mit der geringsten Geschwindigkeit.
In der Abbildung ist erkennbar, dass die Steigung von s an der Wendestelle minimal ist. Ein
entsprechender Nachweis und eine Überprüfung der Randstellen sind daher nicht erforderlich.
b2) v ( t ) = s ′ ( t ) = 0,96 ∙ t
2
– 4,64 ∙ t + 7,08
v ( t ) = 5 oder 0,96 ∙ t
2
– 4,64 ∙ t + 7,08 = 5
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
t
1
= 0,5 t
2
= 4,33...
Im Zeitintervall [0,5; 4,33...] wandert Lena mit einer Geschwindigkeit von höchstens 5 km/h.
b1) Ein Punkt für das richtige Ermitteln der Zeit, nach der Lena mit der geringsten Geschwindigkeit wandert.
b2) Ein Punkt für das richtige Ermitteln des Zeitintervalls, in dem Lena mit einer Geschwindigkeit
von höchstens 5 km/h wandert.

3. Mai 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 5 /17
c1)
2
1,8
1,6
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
Zeit in s
90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 100
Geschwindigkeit in m/s
B
2
1,8
1,6
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 100
Geschwindigkeit in m/s
Zeit in s
C
A
Die Geschwindigkeit
ist nach etwa
26 Sekunden am
höchsten.
B
Die Beschleunigung
ist nach etwa
50 Sekunden am geringsten.
C
Der zurückgelegte Weg
im Zeitintervall [70; 80]
ist länger als jener im
Zeit intervall [20; 30].
D
Im Zeitintervall [0; 100]
ist die Geschwindigkeit
nach etwa 75 Sekunden am höchsten.
c1) Ein Punkt für das richtige Zuordnen.

3. Mai 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 6 /17
Aufgabe 2
Flächenverbauung
a1) f ( t ) = k ∙ t + d
d = 15
k =
12,4 – 15
4 – 0
= –0,65
f ( t ) = –0,65 ∙ t + 15
a2) f ( t ) = 2 oder –0,65 ∙ t + 15 = 2
t = 20
Die Vorgabe wird nach 20 Jahren (also im Jahr 2033) erfüllt.
a1) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Gleichung der Funktion f .
a2) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Zeit, nach der die Vorgabe erfüllt ist.
b1) 0,95 = 0,995
t
ln(0,95)
ln(0,995)
= 10,2...
Nach etwa 10 Jahren wird die Agrarfläche Österreichs gemäß diesem Modell um 5 % kleiner
als zu Beginn des Jahres 2017 sein.
b2)
0,995
T
– 1
b1) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Zeit, nach der die Agrarfläche Österreichs um 5 %
kleiner als zu Beginn des Jahres 2017 sein wird.
b2) Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.
c1) Flächeninhalt A des Fußballfelds:
A = 68 m ∙ 105 m = 7 140 m
2
= 0,00714 km
2
0,6
0,00714
= 84,0...
Rund 84 solcher Fußballfelder haben insgesamt eine Fläche von 0,6 km
2
.
c1) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Anzahl der Fußballfelder.

3. Mai 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 7 /17
Aufgabe 3
Taxi
a1)
Es werden mindestens 5 Fahrgäste befördert.
a2) Binomialverteilung mit n = 30 und p = 0,31
X ... Anzahl der Taxifahrten, bei denen jeweils genau 1 Fahrgast befördert wird
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
P ( X ≥ 8) = 0,757...
Die Wahrscheinlichkeit beträgt rund 76 %.
a1) Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.
a2) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Wahrscheinlichkeit.
b1) 2 ∙ 0,83 ∙ 0,17 = 0,2822
Die Wahrscheinlichkeit beträgt 28,22 %.
b1) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Wahrscheinlichkeit.

3. Mai 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 8 /17
c1) G = 4 €
p = 2 €/km
c2)
K
1
( x ), K
2
( x ) in €
K
1
x in km
8 7 6 5 4 3 2 1 0 9
15
10
5
0
20
K
2
c1) Ein Punkt für das richtige Ermitteln von G und p .
c2) Ein Punkt für das richtige Einzeichnen des Graphen von K 2 .

3. Mai 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 9 /17
Aufgabe 4
Alpentransit
a1) f ′ ( x ) = 2 ∙ a ∙ x + b
I : f (200) = 0
II : f ′ (0) = 0,1
oder:
I : a ∙ 200
2
+ b ∙ 200 = 0
II : b = 0,1
a2)
g
P
g ( x ) in m
x in m
Im Hinblick auf die Punktevergabe ist es nicht erforderlich, die Koordinatenachsen zu beschriften.
a1) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Gleichung mithilfe der Koordinaten.
Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Gleichung mithilfe der Ableitung.
a2) Ein Punkt für das richtige Einzeichnen der Achsen des Koordinatensystems.
b1) ≈ 9 300 Fahrzeuge
Toleranzbereich: [9 000; 10 000]
b2)
t = 8 B
t = 14 D
A k ′ ( t ) > 0 und k ″ ( t ) > 0
B k ′ ( t ) > 0 und k ″ ( t ) < 0
C k ′ ( t ) < 0 und k ″ ( t ) > 0
D k ′ ( t ) < 0 und k ″ ( t ) < 0
b1) Ein Punkt für das richtige Schätzen der Anzahl der Fahrzeuge.
b2) Ein Punkt für das richtige Zuordnen.
c1)
1,34 ∙ 10
7
0,29
– 3 ∙ 10
6
= 43,20... ∙ 10
6
Der gesamte Gütertransport über den Brennerpass im Jahr 2015 betrug rund 43,2 Mio. t.
c1) Ein Punkt für das richtige Berechnen des gesamten Gütertransports über den Brennerpass
im Jahr 2015.

3. Mai 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 10 /17
Aufgabe 5
Tiefgarage
a1) α = 2 ∙ arcsin
(
a
b
)
a2) α = 2 ∙ arcsin
(
14
135
)
= 11,90...°
tan( α ) = 0,210...
Die Steigung der Rampe beträgt rund 21 %.
a1) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Formel.
a2) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Steigung in Prozent.
b1)
Parkdauer in min
280 260 240 220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 300
b1) Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.
c1) X ... Parkdauer in min
P (60 ≤ X ≤ 120) = 0,6562...
Die Wahrscheinlichkeit beträgt rund 65,6 %.
c2) Der Flächeninhalt unter dem Graphen einer Dichtefunktion muss 1 betragen. Da der Flächeninhalt unter dem Graphen der Funktion g kleiner als der Flächeninhalt unter dem Graphen der
Dichtefunktion f ist, kann g keine Dichtefunktion sein.
c1) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Wahrscheinlichkeit.
c2) Ein Punkt für das richtige Begründen.

3. Mai 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 11 /17
Aufgabe 6 (Teil B)
Trinkflaschen
a1)
0 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 15 1
–1
–2
11
–3
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
12
K ( x ), E ( x ), G ( x ) in GE
x in ME
K
E
G
a2) E ( x ) = a ∙ x
2
+ b ∙ x
E (12) = 0
E (6) = 9
oder:
a ∙ 12
2
+ b ∙ 12 = 0
a ∙ 6
2
+ b ∙ 6 = 9
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
a = –0,25
b = 3
E ( x )= –0,25 ∙ x
2
+ 3 ∙ x
a3)
2 GE/ME
a1) Ein Punkt für das Markieren des richtigen Gewinnbereichs.
a2) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Gleichung der Erlösfunktion E .
a3) Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

3. Mai 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 12 /17
b1) K ′ ( x ) = 0,105 ∙ x
2
– 0,64 ∙ x + 1,2
K ′ ( x ) = 2,8 oder 0,105 ∙ x
2
– 0,64 ∙ x + 1,2 = 2,8
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
x 1 = 8 ( x 2 = –1,90...)
Bei einer Produktionsmenge von 8 ME betragen die Grenzkosten 2,8 GE/ME.
b2) K (9) – K (8) = 3,355
Die absolute Änderung der Gesamtkosten beträgt 3,355 GE.
b3) K ״ ( x ) = 0,21 · x – 0,64
K ״ ( x ) = 0 oder 0,21 · x – 0,64 = 0
x = 3,047...
Die Kostenkehre liegt bei rund 3,05 ME.
b1) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Produktionsmenge.
b2) Ein Punkt für das richtige Berechnen der absoluten Änderung der Gesamtkosten.
b3) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Kostenkehre.
c1) X ... Temperatur des Tees in °C
P ( X < 60) = 0,04
Berechnung von σ mittels Technologieeinsatz:
σ = 2,28...
Die Standardabweichung beträgt rund 2,3 °C.
c2) 97 °C
c1) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Standardabweichung σ .
c2) Ein Punkt für das Angeben der richtigen Temperatur.

3. Mai 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 13 /17
Aufgabe 7 (Teil B)
Umbaufinanzierung
a1)
Zeit in Jahren
€ 25.000
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
€ 8.000 € 6.500 € 6.500 € 6.500
a2) 25 000 ∙ (1 + i )
7
= 8 000 ∙ (1 + i )
5
+ 6 500 ∙ (1 + i )
2
+ 6 500 ∙ (1 + i ) + 6 500
oder:
25 000 ∙ (1 + i )
7
= 8 000 ∙ (1 + i )
5
+ 6 500 ∙
(1 + i )
3
– 1
i
Auch ein Aufstellen der Gleichung unter Verwendung des Aufzinsungsfaktors q ist als richtig
zu werten.
a1) Ein Punkt für das richtige Eintragen aller Rückzahlungen.
a2) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Gleichung.
b1)
(
25 000 ∙ 1,03
5
– 5 000 ∙
1,03
5
– 1
0,03
)
∙ 1,03 = 2 509,257...
Die Höhe der Restzahlung beträgt € 2.509,26.
b1) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Höhe der Restzahlung.
c1)
26,06
9 998,09 + 423,94
= 0,00250...
Der Monatszinssatz für den Monat 37 beträgt rund 0,25 %.
c2)
Monat Zinsanteil Tilgungsanteil monatliche Annuität Restschuld
37 € 26,06 € 423,94 € 450,00 € 9.998,09
38 € 20,00 € 430,00 € 450,00 € 9.568,09
c1) Ein Punkt für das richtige Ermitteln des Monatszinssatzes für den Monat 37.
c2) Ein Punkt für das richtige Vervollständigen der Zeile für den Monat 38.

3. Mai 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 14 /17
d1) 25 000 ∙ 1,00375
n
= 30 000
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
n = 48,7...
Nach 49 Monaten würde die Restschuld erstmals € 30.000 übersteigen.
Für die Punktevergabe ist eine Rundung auf ganze Monate nicht erforderlich.
d2) 25 000 ∙ 0,00375 = 93,75
Die monatlichen Rückzahlungen müssen € 93,75 betragen.
d1) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Anzahl der Monate.
d2) Ein Punkt für das richtige Ermitteln der Höhe der monatlichen Rückzahlungen.

3. Mai 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 15 /17
Aufgabe 8 (Teil B)
Tennissocken
a1) A =
(
3
0
2
2
2
4
)
a2)
S
W
P
1
P
2
H
1
H
2
G
3
2
4
2
2
c
b
a
d
a1) Ein Punkt für das richtige Ermitteln der Matrix A .
a2) Ein Punkt für das Eintragen der richtigen Elemente.

3. Mai 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 16 /17
b1) V =
(
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3
0
2
0
0
2
2
4
0
0
)
b2) n =
(
400
0
300
280
240
)
b3) ( E – V )
–1
∙ n =
(
1 720
480
1 820
280
240
)
oder:
(
3
0
2
2
2
4
)
∙ (
280
240
) +
(
400
0
300
)
=
(
1 720
480
1 820
)
oder:
3 ∙ 280 + 2 ∙ 240 + 400 = 1 720
2 ∙ 240 = 480
2 ∙ 280 + 4 ∙ 240 + 300 = 1 820
Es werden 1 720 Paar schwarze Tennissocken, 480 Paar weiße Tennissocken und
1 820 Paar graue Tennissocken benötigt.
b1) Ein Punkt für das richtige Ermitteln der Matrix V .
b2) Ein Punkt für das richtige Ermitteln des Vektors n .
b3) Ein Punkt für das richtige Ermitteln der jeweiligen Anzahl.

3. Mai 2023 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 17 /17
c1)
1
Preisfunktion der Nachfrage
2
y = –0,08 ∙ x + 42
c2) 18 €/Stück
c3)
p
A
( x ), p
N
( x ) in €/Stück
x in Stück
450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 500
40
36
32
28
24
20
16
12
8
4
0
44
Die Strecke kann auch auf der x-Achse markiert werden.
c1) Ein Punkt für das Ankreuzen der beiden richtigen Satzteile.
c2) Ein Punkt für das richtige Ablesen des Gleichgewichtspreises.
c3) Ein Punkt für das Markieren der richtigen Strecke.