Mathematik-Matura Mai 2023 · AHS – Lösungen

AHS
3. Mai 2023
Mathematik
Korrekturheft
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reifeprüfung

3. Mai 2023 / AHS / Mathematik S. 2 /32
Beurteilung der Klausurarbeit
Beurteilungsschlüssel
erreichte Punkte Note
32 – 36 Punkte Sehr gut
27 – 31,5 Punkte Gut
22 – 26,5 Punkte Befriedigend
17 – 21,5 Punkte Genügend
0 – 16,5 Punkte Nicht genügend
Best-of-Wertung: Für die Aufgaben 26, 27 und 28 gilt eine Best-of-Wertung. Von diesen drei
Teil-2-Aufgaben wird diejenige Aufgabe, bei der die niedrigste Punkteanzahl erreicht worden ist,
nicht gewertet.
Jahresnoteneinrechnung: Damit die Leistungen der letzten Schulstufe in die Beurteilung des
Prüfungsgebiets einbezogen werden können, muss die Kandidatin / der Kandidat mindestens
11 Punkte erreichen.
Den Prüferinnen und Prüfern steht während der Korrekturfrist ein Helpdesk des BMBWF
beratend zur Verfügung. Die Erreichbarkeit des Helpdesks wird für jeden Prüfungstermin auf
https://www.matura.gv.at/srdp/ablauf gesondert bekanntgegeben.

3. Mai 2023 / AHS / Mathematik S. 3 /32
Handreichung zur Korrektur
Für die Korrektur und die Bewertung sind die am Prüfungstag auf https://korrektur.srdp.at ver
öffentlichten Unterlagen zu verwenden.
1. In der Lösungserwartung ist ein möglicher Lösungsweg angegeben. Andere richtige
Lösungswege sind als gleichwertig anzusehen. Im Zweifelsfall kann die Auskunft des
Helpdesks in Anspruch genommen werden. Ausschließlich bei ausgewiesenen Aufgaben
(Kennzeichnung durch: [0 / ½ / 1 P.] ) können für Teilleistungen halbe Punkte vergeben
werden.
2. Der Lösungsschlüssel ist verbindlich unter Beachtung folgender Vorgangsweisen anzuwenden:
a. Bei offenen Aufgabenformaten steht für die Punktevergabe der Nachweis der jeweiligen
Grundkompetenz im Vordergrund. Die dabei fokussierte Grundkompetenz wird im
Korrektur heft ausgewiesen. Punkte sind zu vergeben, wenn die Bearbeitung zeigt, dass
die fokussierte Grundkompetenz in der Bearbeitung erfüllt ist.
b. Werden zu einer Teilaufgabe mehrere Lösungen von der Kandidatin / vom Kandidaten
angeboten und nicht alle diese Lösungen sind richtig, so ist diese Tei laufgabe mit null
Punkten zu bewerten, sofern die richtige Lösung nicht klar als solche hervorgehoben
ist.
c. Bei abhängiger Punktevergabe gilt das Prinzip des Folgefehlers. Wird von der Kandidatin / vom Kandidaten beispielsweise zu einem Kontext ein falsches Modell aufgestellt,
mit diesem Modell aber eine richtige Berechnung durchgeführt, so ist der Berechnungspunkt zu ver geben, wenn das falsch aufgestellte Modell die Berechnung nicht vereinfacht.
d. Wird von der Kandidatin / vom Kandidaten die richtige Lösung ohne Angabe von
Zwischenschritten angeführt, so sind alle Punkte zu vergeben, auch wenn der Lösungsschlüssel Einzelschritte vorgibt.
e. Abschreibfehler, die aufgrund der Dokumentation der Kandidatin / des Kandidaten als
solche identifizierbar sind, sind ohne Punkteabzug zu bewerten, wenn sie zu keiner
Vereinfachung der Aufgabenstellung führen.
f. Rundungsfehler sind zu vernachlässigen, wenn die Rundung nicht explizit eingefordert
ist.
g. Die Angabe von Einheiten ist bei der Punktevergabe zu vernachlässigen, sofern sie
nicht explizit eingefordert ist.

3. Mai 2023 / AHS / Mathematik S. 4 /32
Aufgabe 1
Zahlen und Zahlenmengen
–

100 ist eine ganze Zahl.
Jede rationale Zahl ist auch eine reelle Zahl.
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

3. Mai 2023 / AHS / Mathematik S. 5 /32
Aufgabe 2
Flugtickets
durchschnittlicher Preis pro Ticket:
1
5
∙ x +
4
5
∙ x ∙ 0,95 (= 0,96 ∙ x )
Ein Punkt für das Angeben des richtigen Terms.

3. Mai 2023 / AHS / Mathematik S. 6 /32
Aufgabe 3
Smoothie
x ... Menge an Schwarzen Johannisbeeren in g
y ... Menge an Kiwis in g
I : x + y = 75
II : 1,77 · x + 0,46 · y = 100
x = 50, y = 25
Für diesen Smoothie müssen 50 g Schwarze Johannisbeeren und 25 g Kiwis gemischt werden.
Ein Punkt für das richtige Ermitteln der beiden Werte. Die Angabe der Einheit ist für die Punkte
vergabe nicht erforderlich.
Grundkompetenz: AG 2.5

3. Mai 2023 / AHS / Mathematik S. 7 /32
Aufgabe 4
Grafische Darstellung von Vektoren
P
c b
a
Ein Punkt für das richtige Einzeichnen des Vektors b als Pfeil ausgehend von P .

3. Mai 2023 / AHS / Mathematik S. 8 /32
Aufgabe 5
Geradengleichungen
a = 2
b = 1
Ein Punkt für das richtige Ermitteln von a und b , ein halber Punkt für nur einen richtigen Wert.

3. Mai 2023 / AHS / Mathematik S. 9 /32
Aufgabe 6
Dreieck
sin( α ) =
5
13
cos(90° – α ) =
15
39
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

3. Mai 2023 / AHS / Mathematik S. 10 /32
Aufgabe 7
Graph einer Polynomfunktion
f ( x )
x
0 3 2 1 4 –2 –3 –1 –4
0
3
2
1
4
–2
–3
–1
–4
f
Ein Punkt für das richtige Skizzieren des Funktionsgraphen (Polynomfunktion 4. Grades),
wobei dieser klar erkennbar an den Stellen –3 und 3 jeweils ein Maximum haben muss und
symmetrisch bezüglich der senkrechten Achse verlaufen muss.

3. Mai 2023 / AHS / Mathematik S. 11 /32
Aufgabe 8
Länge einer Kerze
L ( t ) = 10 –
1
20
· t
Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Funktionsgleichung von L .
Grundkompetenz: FA 2.1

3. Mai 2023 / AHS / Mathematik S. 12 /32
Aufgabe 9
Parameter einer quadratischen Funktion
a = 2
b = –2
Ein Punkt für das richtige Ermitteln von a und b , ein halber Punkt für nur einen richtigen Wert.

3. Mai 2023 / AHS / Mathematik S. 13 /32
Aufgabe 10
Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen
Jede Polynomfunktion vom Grad 3 hat
mindestens 1 reelle Nullstelle.
Jede Polynomfunktion vom Grad 5 hat
mindestens 1 Wendestelle.
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

3. Mai 2023 / AHS / Mathematik S. 14 /32
Aufgabe 11
Jahreszinssatz
1,0862 = (1 + i )
6
i = 0,0138...
Ein Punkt für das richtige Ermitteln von i .
Grundkompetenz: FA 5.1

3. Mai 2023 / AHS / Mathematik S. 15 /32
Aufgabe 12
Windrad
Rotordurchmesser: 120 m
Zeit für eine volle Umdrehung: 12 s
Ein Punkt für das Angeben der beiden richtigen Werte, ein halber Punkt für nur einen richtigen
Wert.

3. Mai 2023 / AHS / Mathematik S. 16 /32
Aufgabe 13
Tangentensteigung
x 1 → 5
lim
f ( x 1) – f (5)
x 1 – 5
h → 0
lim
f (5 + h ) – f (5)
h
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

3. Mai 2023 / AHS / Mathematik S. 17 /32
Aufgabe 14
Radfahrerin
Die Geschwindigkeit der Radfahrerin nimmt (zu jedem Zeitpunkt) im Zeitintervall [0; 6] zu.
oder:
Die Beschleunigung/momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit der Radfahrerin ist
(zu jedem Zeitpunkt) im Zeitintervall [0; 6] positiv.
Ein Punkt für das richtige Beschreiben der Bedeutung im gegebenen Sachzusammenhang.
Grundkompetenz: AN 1.3

3. Mai 2023 / AHS / Mathematik S. 18 /32
Aufgabe 15
Produktionskosten
K ( x ) = 0,001 · x
3
– 3 · x
2
+ 3 500 · x + 200 000
Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Funktionsgleichung von K .

3. Mai 2023 / AHS / Mathematik S. 19 /32
Aufgabe 16
Ableitungsfunktion
x
f
2
3
1
0
–1
–2
–3
3 2 1 0 4 –1 –2 –3
f ( x ), f ′ ( x )
f ′
Ein Punkt für das richtige Einzeichnen des Graphen von f .

3. Mai 2023 / AHS / Mathematik S. 20 /32
Aufgabe 17
Punkte auf einem Graphen
0 C
x
1
F
x 2 A
x
3
B
A
An dieser Stelle ist die erste
Ableitung gleich null und die
zweite Ableitung negativ.
B
An dieser Stelle sind die
erste und die zweite Ab
leitung negativ.
C
An dieser Stelle ist die erste
Ableitung gleich null und die
zweite Ableitung positiv.
D
An dieser Stelle sind die
erste und die zweite Ab
leitung positiv.
E
An dieser Stelle sind die
erste und die zweite Ab
leitung gleich null.
F
An dieser Stelle ist die erste
Ableitung positiv und die
zweite Ableitung gleich null.
Ein Punkt für vier richtige Zuordnungen, ein halber Punkt für zwei oder drei richtige Zuordnun
gen.

3. Mai 2023 / AHS / Mathematik S. 21 /32
Aufgabe 18
Flächeninhalt
2 ∙
∫
4
0
f ( x ) d x
∫
4
0
f ( x ) d x –
∫
0
–4
f ( x ) d x
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

3. Mai 2023 / AHS / Mathematik S. 22 /32
Aufgabe 19
Monatsgehälter
x = 2.430,00 €
Ein Punkt für das richtige Berechnen von x .

3. Mai 2023 / AHS / Mathematik S. 23 /32
Aufgabe 20
Zufallsversuch
P ( X < 3) C
P ( X ≤ 3) F
P ( X ≥ 3) A
P ( X > 3) E
A P ( X > 2)
B 1 – P ( X ≤ 4)
C P ( X ≤ 2)
D P ( X = 3) + P ( X > 4)
E P ( X = 4) + P ( X ≥ 5)
F 1 – P ( X > 3)
Ein Punkt für vier richtige Zuordnungen, ein halber Punkt für zwei oder drei richtige Zuordnun
gen.

3. Mai 2023 / AHS / Mathematik S. 24 /32
Aufgabe 21
Kartenspiel
1 –
3
8
·
2
7
=
25
28
= 0,8928...
Ein Punkt für das richtige Berechnen der Wahrscheinlichkeit.
Grundkompetenz: WS 2.3

3. Mai 2023 / AHS / Mathematik S. 25 /32
Aufgabe 22
Bit-Kombinationen
(
8
3
)
gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, dass in einem
Byte genau drei 1er enthalten sind.
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

3. Mai 2023 / AHS / Mathematik S. 26 /32
Aufgabe 23
Glücksrad
4,5 = a ·
3
8
+ 2 · a ·
1
8
+ 4 · a ·
1
8
a = 4
Ein Punkt für das richtige Ermitteln von a .
Grundkompetenz: WS 3.1

3. Mai 2023 / AHS / Mathematik S. 27 /32
Aufgabe 24
Binomialverteilung
P ( X
3
= k )
k
0 1 2 3 4 5 6 7 8
P ( X
5
= k )
k
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

3. Mai 2023 / AHS / Mathematik S. 28 /32
Aufgabe 25 (Teil 2)
Schwimmbecken
a1)
1
quadratische Funktion
2
lineare Funktion
a1) Ein Punkt für das Ankreuzen der beiden richtigen Satzteile, ein halber Punkt, wenn nur ein
richtiger Satzteil angekreuzt ist.
b1) T =
38
p
b2)
| ∫
6
0
W ( t ) d t
| = 11,625
Die Abnahme der Wassermenge im Zeitintervall [0; 6] beträgt 11,625 m
3
.
b1) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Formel.
b2) Ein Punkt für das richtige Ermitteln der Abnahme der Wassermenge, wobei –11,625 m
3
ebenso als richtig zu werten ist.
c1) f ״ ( x ) = 0
x 1 = 2,5
c1) Ein Punkt für das richtige Ermitteln der Stelle x 1 .

3. Mai 2023 / AHS / Mathematik S. 29 /32
Aufgabe 26 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Fitnessuhren
a1)

3 100
2
– 1 140
2
= 2 882,7...
a =
1 140
2 882,7...
= 0,395...
a = 39,5... %
a1) Ein Punkt für das richtige Ermitteln von a .
b1)
1
(1 – p )
160
2
1 – [(
160
0
)
∙ p
0
∙ (1 – p )
160
+
(
160
1
)
∙ p ∙ (1 – p )
159
]
b1) Ein Punkt für das Ankreuzen der beiden richtigen Satzteile, ein halber Punkt, wenn nur ein
richtiger Satzteil angekreuzt ist.

3. Mai 2023 / AHS / Mathematik S. 30 /32
c1)
Abweichung in %
0,04
0,03
0,02
0,01
0
0,05
45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 50
c2) Sortiert man die zugrunde liegende Datenliste aufsteigend, dann ist der Median das
arithmetische Mittel des 30. und 31. Wertes. Da beide im Intervall [20; 30) liegen, liegt auch
das arithmetische Mittel dieser beiden Werte in diesem Intervall.
c1) Ein Punkt für das richtige Erstellen des Histogramms.
c2) Ein Punkt für das richtige Begründen.

3. Mai 2023 / AHS / Mathematik S. 31 /32
Aufgabe 27 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Sauerstoffverbrauch von Säugetieren
a1) 2
0,75
= 1,6817...
Der Sauerstoffverbrauch dieses Hundes ist um rund 68,2 % höher als der dieser Katze.
a1) Ein Punkt für das richtige Berechnen des Prozentsatzes.
b1)
I ( m ) in
L
h · kg
7 6 5 4 3 2 1 0
0
1,6
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
1,8
I
m in kg
Ratte
Katze
m
R
m
K
m
1
= 1 kg
Toleranzbereich in kg: [0,8; 1,2]
b1) Ein Punkt für das richtige Ermitteln von m
1
.
c1)
∫
t 1
0
u ( t ) d t =
( u ( t 1 ) + d ) · t 1
2
c2) Der Ausdruck gibt den Sauerstoffverbrauch in L im Intervall [0; t 1 ] an.
c1) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Formel.
c2) Ein Punkt für das richtige Interpretieren im gegebenen Sachzusammenhang unter Angabe
der zugehörigen Einheit.

3. Mai 2023 / AHS / Mathematik S. 32 /32
Aufgabe 28 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Flugreisen
a1) a = 0,14
b =

62 28,95
0,14
= 1,089...
a2)
31,73 – N (63)
31,73
= 0,0056... = 0,56... %
Die mit N ermittelte Anzahl der Fluggäste für das Jahr 2018 weicht um weniger als 1 % von
der tatsächlichen Anzahl der Fluggäste ab.
a1) Ein Punkt für das richtige Berechnen von a und b .
a2) Ein Punkt für das richtige rechnerische Nachweisen.
b1) n =
36 206 642
319 945
–
31 725 019
296 852
= 6,29...
b1) Ein Punkt für das richtige Berechnen von n .
c1)
Auf dieser Flugstrecke wurden mehr als
doppelt so viele Fluggäste befördert wie
auf der Flugstrecke Wien – Moskau .
E
Auf dieser Flugstrecke war die
Anzahl der unbesetzten Sitzplätze am
kleinsten.
B
Auf dieser Flugstrecke war die Anzahl
der beförderten Fluggäste größer als
650 000 und kleiner als 1,1 Millionen.
A
Auf dieser Flugstrecke war mehr als ein
Drittel der angebotenen Sitzplätze
unbesetzt.
C
A Wien – Berlin
B Wien – Madrid
C Wien – Brüssel
D Wien – Kopenhagen
E Wien – London
F Wien – Rom
c1) Ein Punkt für vier richtige Zuordnungen, ein halber Punkt für zwei oder drei richtige Zuord
nungen.