Mathematik-Matura Mai 2023 · AHS – Aufgaben

AHS
3. Mai 2023
Mathematik
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reifeprüfung
Name:
Klasse:

S. 2 /36 3. Mai 2023 / AHS / Mathematik
Hinweise zur Aufgabenbearbeitung
Sehr geehrte Kandidatin! Sehr geehrter Kandidat!
Beurteilungsschlüssel
erreichte Punkte Note
32 – 36 Punkte Sehr gut
27 – 31,5 Punkte Gut
22 – 26,5 Punkte Befriedigend
17 – 21,5 Punkte Genügend
0 – 16,5 Punkte Nicht genügend
Best-of-Wertung: Für die Aufgaben 26, 27 und 28 gilt eine Best-of-Wertung. Von diesen drei Teil-2-Aufgaben
wird diejenige Aufgabe, bei der die niedrigste Punkteanzahl erreicht worden ist, nicht gewertet.
Viel Erfolg!
Das vorliegende Aufgabenheft enthält Teil-1-Aufgaben
und Teil-2-Aufgaben (bestehend aus Teilaufgaben).
Die Aufgaben bzw. Teilaufgaben sind unabhängig voneinander bearbeitbar. Ihnen stehen 270 Minuten an
Arbeitszeit zur Verfügung.
Verwenden Sie für die Bearbeitung ausschließlich
dieses Aufgabenheft und das Ihnen zur Verfügung gestellte Arbeitspapier. Schreiben Sie Ihren Namen und
Ihre Klasse in die dafür vorgesehenen Felder auf dem
Deckblatt des Aufgabenhefts sowie Ihren Namen und
die fortlaufende Seitenzahl auf jedes verwendete Blatt
Arbeitspapier. Geben Sie bei der Beantwortung jeder
Handlungsanweisung deren Bezeichnung (z. B.: 25a1)
auf dem Arbeitspapier an.
In die Beurteilung wird alles einbezogen, was nicht
durchgestrichen ist.
Die Verwendung der vom zuständigen Regierungs mitglied für die Klausurarbeit freigegebenen Formel sammlung für die SRP in Mathematik ist erlaubt.
Weiters ist die Verwendung von elektronischen Hilfs mitteln (z. B. grafik fähiger Taschenrechner oder andere
entsprechende Technologie) erlaubt, sofern keine
Kommunikationsmöglichkeit (z. B. via Internet, Intranet,
Bluetooth, Mobilfunknetzwerke etc.) gegeben ist und
der Zugriff auf Eigendateien im elektronischen Hilfs mittel nicht möglich ist.
Eine Erläuterung der Antwortformate liegt im Prüfungsraum zur Durchsicht auf.
Handreichung für die Bearbeitung
– Lösungen müssen jedenfalls eindeutig als solche
erkennbar sein.
– Lösungen müssen jedenfalls mit zugehörigen
Einheiten angegeben werden, wenn dazu in der
Handlungsanweisung explizit aufgefordert wird.
Bei offenen Antwortformaten steht für die Punktevergabe der Nachweis der jeweiligen Grundkompetenz im Vordergrund. Für die Bearbeitung offener
Antwortformate wird empfohlen:
– den Lösungsweg, auch im Fall von Technologieeinsatz, nachvollziehbar zu dokumentieren,
– selbst gewählte Variablen zu erklären und gegebenenfalls mit den zugehörigen Einheiten anzugeben,
– frühzeitiges Runden zu vermeiden,
– Diagramme oder Skizzen zu beschriften.
So ändern Sie Ihre Antwort bei Aufgaben zum Ankreuzen:
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr
gültigen Antwort.
2. Kreuzen Sie dann das gewünschte Kästchen an.
Hier wurde zuerst die Antwort „5 + 5 = 9“ gewählt
und dann auf „2 + 2 = 4“ geändert.
1 + 1 = 3 
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 5 
4 + 4 = 4 
5 + 5 = 9 
6 + 6 = 10 
So wählen Sie eine bereits übermalte Antwort:
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr
gültigen Antwort.
2. Kreisen Sie das gewünschte übermalte Kästchen
ein.
Hier wurde zuerst die Antwort „2 + 2 = 4“ übermalt
und dann wieder gewählt.
1 + 1 = 3 
2 + 2 = 4
3 + 3 = 5 
4 + 4 = 4 
5 + 5 = 9 
6 + 6 = 10 

3. Mai 2023 / AHS / Mathematik S. 3 /36
Aufgabe 1
Zahlen und Zahlenmengen
Gegeben sind fünf Aussagen zu Zahlen und Zahlenmengen.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5]

9
2
ist eine rationale Zahl.
–

100 ist eine ganze Zahl.

15 ist eine endliche, nichtperiodische Dezimalzahl.
Jede rationale Zahl ist auch eine reelle Zahl.

–4 ist eine reelle Zahl.
[0 / 1 P.]

S. 4 /36 3. Mai 2023 / AHS / Mathematik
Aufgabe 2
Flugtickets
Ein Fünftel der Tickets für einen bestimmten Flug wird an Privatpersonen ver geben, der Rest an
Reiseunternehmen.
Jedes Ticket für ein Reiseunternehmen ist um 5 % billiger als ein Ticket für eine Privatperson.
Die Variable x gibt den Preis pro Ticket für eine Privatperson an.
Aufgabenstellung:
Geben Sie einen Term zur Berechnung des durchschnittlichen Preises pro Ticket in Abhängigkeit
von x an.
durchschnittlicher Preis pro Ticket:
[0 / 1 P.]

3. Mai 2023 / AHS / Mathematik S. 5 /36
Aufgabe 3
Smoothie
Der Vitamin-C-Gehalt von Schwarzen Johannisbeeren beträgt durchschnittlich 177 mg pro 100 g,
der Vitamin-C-Gehalt von Kiwis beträgt durchschnittlich 46 mg pro 100 g.
Für einen Smoothie sollen die beiden Fruchtsorten so gemischt werden, dass man eine Mischung
mit insgesamt 75 g erhält, die 100 mg Vitamin C enthält.
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie die Menge an Schwarzen Johannisbeeren (in g) und die Menge an Kiwis (in g), die
für diesen Smoothie gemischt werden müssen.
[0 / 1 P.]

S. 6 /36 3. Mai 2023 / AHS / Mathematik
Aufgabe 4
Grafische Darstellung von Vektoren
In der unten stehenden Abbildung sind die zwei Vektoren a und c als Pfeile ausgehend vom
Punkt P dargestellt.
Aufgabenstellung:
Zeichnen Sie ausgehend vom Punkt P den Vektor b als Pfeil so ein, dass gilt:
a + b = c
P
c
a
[0 / 1 P.]

3. Mai 2023 / AHS / Mathematik S. 7 /36
Aufgabe 5
Geradengleichungen
Gegeben sind die Geraden g und h mit den Gleichungen g : X = (
1
0
) + t · (
1
1
) mit t ∈ ℝ und
h : X = (
2
b
) + s · (
a
2
) mit s ∈ ℝ .
Die Geraden g und h sind identisch.
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie die reellen Zahlen a und b .
a =
b =
[0 / ½ / 1 P.]

S. 8 /36 3. Mai 2023 / AHS / Mathematik
Aufgabe 6
Dreieck
In der nachstehenden nicht maßstabgetreuen Abbildung ist ein rechtwinkeliges Dreieck dargestellt. Die Winkel werden in Grad gemessen, die Seitenlängen in cm.
b = 36 c = 39
a = 15
α
β
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5]
sin( α ) =
5
13
cos( β ) =
5
12
tan( α ) =
12
5
sin(90° – β ) =
15
36
cos(90° – α ) =
15
39
[0 / 1 P.]

3. Mai 2023 / AHS / Mathematik S. 9 /36
Aufgabe 7
Graph einer Polynomfunktion
Eine Polynomfunktion 4. Grades f hat folgende Eigenschaften:
• f hat an der Stelle x = –3 ein lokales Maximum.
• Der Graph von f ist symmetrisch bezüglich der senkrechten Achse.
Aufgabenstellung:
Skizzieren Sie im nachstehenden Koordinatensystem im Intervall [–4; 4] den Graphen einer
solchen Polynomfunktion f .
f ( x )
x
0 3 2 1 4 –2 –3 –1 –4
0
3
2
1
4
–2
–3
–1
–4
[0 / 1 P.]

S. 10 /36 3. Mai 2023 / AHS / Mathematik
Aufgabe 8
Länge einer Kerze
Eine zylinderförmige Kerze hat zum Zeitpunkt t = 0 eine Länge von 10 cm. Nach einer Brenndauer von 120 min hat die Kerze eine Länge von 4 cm.
Die lineare Funktion L beschreibt modellhaft die Länge der Kerze in Abhängigkeit von der Brenn dauer t mit 0 ≤ t ≤ 200 ( t in min, L ( t ) in cm).
Aufgabenstellung:
Stellen Sie eine Funktionsgleichung von L auf.
[0 / 1 P.]

3. Mai 2023 / AHS / Mathematik S. 11 /36
Aufgabe 9
Parameter einer quadratischen Funktion
Der Graph der quadratischen Funktion f mit der Funktionsgleichung f ( x ) = a · x
2
+ b hat im
Punkt S = (0 | –2) ein lokales Minimum und verläuft durch den Punkt P = (1 | 0).
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie die reellen Parameter a und b .
a =
b =
[0 / ½ / 1 P.]

S. 12 /36 3. Mai 2023 / AHS / Mathematik
Aufgabe 10
Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen
Die Anzahl der reellen Nullstellen, der lokalen Extremstellen und der Wendestellen einer Polynomfunktion hängt unter anderem von ihrem Grad ab.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5]
Jede Polynomfunktion vom Grad 1 hat
genau 1 lokale Extremstelle.
Jede Polynomfunktion vom Grad 2 hat
mindestens 1 reelle Nullstelle.
Jede Polynomfunktion vom Grad 3 hat
mindestens 1 reelle Nullstelle.
Jede Polynomfunktion vom Grad 4 hat
genau 3 lokale Extremstellen.
Jede Polynomfunktion vom Grad 5 hat
mindestens 1 Wendestelle.
[0 / 1 P.]

3. Mai 2023 / AHS / Mathematik S. 13 /36
Aufgabe 11
Jahreszinssatz
Das Kapital K 0 wächst exponentiell mit dem gleichbleibenden Jahreszinssatz i .
Nach n Jahren erreicht das Kapital den Wert Kn , der mit der nachstehenden Formel berechnet
werden kann.
Kn = K 0 ∙ (1 + i )
n
mit n ∈ ℕ
Nach 6 Jahren hat das Kapital K 0 um insgesamt 8,62 % zugenommen.
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie den Jahreszinssatz i .
[0 / 1 P.]

S. 14 /36 3. Mai 2023 / AHS / Mathematik
Aufgabe 12
Windrad
Die Spitzen der Rotorblätter von Windrädern bewegen sich auf einer Kreisbahn, deren Durchmesser als Rotordurchmesser bezeichnet wird.
Die Funktion h : ℝ → ℝ , t ↦ h ( t ) beschreibt modellhaft die Höhe der Spitze eines der Rotor blätter
eines bestimmten Windrads über dem Boden in Abhängigkeit von der Zeit t ( t in s, h ( t ) in m).
Der Funktionsgraph von h ist in der nachstehenden Abbildung dargestellt.
160
140
120
100
80
60
40
20
0
180
h ( t ) in m
t in s
9 6 3 0 12
h
Aufgabenstellung:
Geben Sie mithilfe der obigen Abbildung den Rotordurchmesser sowie die Zeit, die ein Rotorblatt
für eine volle Umdrehung benötigt, an.
Rotordurchmesser: m
Zeit für eine volle Umdrehung: s
[0 / ½ / 1 P.]

3. Mai 2023 / AHS / Mathematik S. 15 /36
Aufgabe 13
Tangentensteigung
Die Funktion f : ℝ → ℝ ist eine Polynomfunktion vom Grad n mit n ≥ 2.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Grenzwerte an, die jedenfalls gleich der Steigung der Tangente an den
Graphen der Funktion f an der Stelle x = 5 sind. [2 aus 5]
x 1 → 5
lim
f ( x 1) – f (5)
5 – x 1
h → 0
lim
f (5 + h ) – f (5)
5 + h
h → 5
lim
f (5 + h ) – f (5)
h
x 1 → 5
lim
f ( x 1) – f (5)
x 1 – 5
h → 0
lim
f (5 + h ) – f (5)
h
[0 / 1 P.]

S. 16 /36 3. Mai 2023 / AHS / Mathematik
Aufgabe 14
Radfahrerin
Die differenzierbare Funktion v : ℝ 0
+
→ ℝ 0
+
, t ↦ v ( t ) beschreibt modellhaft die Geschwindigkeit
einer Radfahrerin auf ihrer Fahrt zur Schule in Abhängigkeit von der Zeit ( t in s, v ( t ) in m/s).
Für alle t ∈ [0; 6] gilt: v ′ ( t ) > 0
Aufgabenstellung:
Beschreiben Sie die Bedeutung der angegebenen Ungleichung im gegebenen Sachzusammenhang.
[0 / 1 P.]

3. Mai 2023 / AHS / Mathematik S. 17 /36
Aufgabe 15
Produktionskosten
Die monatlichen Fixkosten eines Betriebs für die Produktion von Erfrischungsgetränken betragen
€ 200.000.
Die Funktion K beschreibt modellhaft die monatlichen Gesamtkosten für diese Produktion (in Euro)
in Abhängigkeit von der Produktionsmenge x .
Die Grenzkosten für diese Produktion werden durch die Funktion K ′ beschrieben.
K ′ ( x ) = 0,003 ∙ x
2
– 6 ∙ x + 3 500
x ... Produktionsmenge in Mengeneinheiten
K ′ ( x ) ... Grenzkosten bei der Produktionsmenge x in Euro pro Mengeneinheit
Aufgabenstellung:
Stellen Sie eine Funktionsgleichung von K auf.
K ( x ) =
[0 / 1 P.]

S. 18 /36 3. Mai 2023 / AHS / Mathematik
Aufgabe 16
Ableitungsfunktion
In der unten stehenden Abbildung ist der Graph der konstanten Ableitungsfunktion f ′ einer
Funktion f dargestellt. Für die Funktion f gilt: f (0) = 2
Aufgabenstellung:
Zeichnen Sie in der nachstehenden Abbildung den Graphen der Funktion f ein.
f ′
x
2
3
1
0
–1
–2
–3
3 2 1 0 4 –1 –2 –3
f ( x ), f ′ ( x )
[0 / 1 P.]

3. Mai 2023 / AHS / Mathematik S. 19 /36
Aufgabe 17
Punkte auf einem Graphen
Nachstehend ist der Graph der Polynomfunktion 3. Grades f dargestellt. Zusätzlich sind vier Punkte
mit den x -Koordinaten 0, x 1 , x 2 und x 3 eingezeichnet. Diese vier Punkte sind charakteristische
Punkte des Graphen (Schnittpunkte mit den Achsen, Extrempunkte, Wendepunkt).
f ( x )
x
f
x
1
x
2
x
3
O
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den vier Stellen 0, x 1 , x 2 und x 3 jeweils die zutreffende Aussage aus A bis F zu.
0
x 1
x
2
x 3
A
An dieser Stelle ist die erste
Ableitung gleich null und die
zweite Ableitung negativ.
B
An dieser Stelle sind die
erste und die zweite Ab leitung negativ.
C
An dieser Stelle ist die erste
Ableitung gleich null und die
zweite Ableitung positiv.
D
An dieser Stelle sind die
erste und die zweite Ab leitung positiv.
E
An dieser Stelle sind die
erste und die zweite Ab leitung gleich null.
F
An dieser Stelle ist die erste
Ableitung positiv und die
zweite Ableitung gleich null.
[0 / ½ / 1 P.]

S. 20 /36 3. Mai 2023 / AHS / Mathematik
Aufgabe 18
Flächeninhalt
Nachstehend ist der Graph der Funktion f : ℝ → ℝ mit ganzzahligen Nullstellen dargestellt.
f ( x )
x
5 4 3 2 1 0 6 –2 –3 –4 –5 –6 –1
f
0
5
4
3
2
1
6
–2
–3
–4
–5
–6
–1
Die Flächeninhalte der beiden grau markierten Bereiche sind gleich groß.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Ausdrücke an, mit denen der Flächeninhalt des gesamten grau markierten
Bereichs berechnet werden kann. [2 aus 5]
2 ∙
∫
4
0
f ( x ) d x
∫
4
0
f ( x ) d x –
∫
0
–4
f ( x ) d x
2 ∙
∫
0
–4
f ( x ) d x
∫
0
–4
f ( x ) d x –
∫
4
0
f ( x ) d x
| ∫
4
–4
f ( x ) d x |
[0 / 1 P.]

3. Mai 2023 / AHS / Mathematik S. 21 /36
Aufgabe 19
Monatsgehälter
Ein bestimmtes Unternehmen hat zwei Abteilungen.
In der ersten Abteilung gibt es 14 Angestellte und in der zweiten Abteilung gibt es 26 Angestellte.
Über die Monatsgehälter der Angestellten ist Folgendes bekannt:
• Das arithmetische Mittel der Monatsgehälter aller 40 Angestellten beträgt € 2.280,50.
• Das arithmetische Mittel der Monatsgehälter der Angestellten der zweiten Abteilung beträgt
€ 2.200,00.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie das arithmetische Mittel x der Monatsgehälter der Angestellten der ersten
Ab teilung.
x = €
[0 / 1 P.]

S. 22 /36 3. Mai 2023 / AHS / Mathematik
Aufgabe 20
Zufallsversuch
Bei einem bestimmten Zufallsversuch tritt als Ergebnis entweder „Erfolg“ oder „Misserfolg“ ein.
Die Zufalls variable X gibt an, wie oft „Erfolg“ eintritt, wenn dieser Zufallsversuch 7-mal durchgeführt wird.
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den vier Wahrscheinlichkeiten jeweils die jedenfalls gleich große Wahrscheinlichkeit
aus A bis F zu.
P ( X < 3)
P ( X ≤ 3)
P ( X ≥ 3)
P ( X > 3)
A P ( X > 2)
B 1 – P ( X ≤ 4)
C P ( X ≤ 2)
D P ( X = 3) + P ( X > 4)
E P ( X = 4) + P ( X ≥ 5)
F 1 – P ( X > 3)
[0 / ½ / 1 P.]

3. Mai 2023 / AHS / Mathematik S. 23 /36
Aufgabe 21
Kartenspiel
Für die 8 Karten eines Kartenspiels gilt:
• 3 Karten sind mit „1“ beschriftet.
• 3 Karten sind mit „2“ beschriftet.
• 2 Karten sind mit „3“ beschriftet.
Diese 8 Karten werden gemischt. Anschließend werden 2 Karten aufgedeckt.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 1 der 2 aufgedeckten Karten mit
einer ungeraden Zahl beschriftet ist.
[0 / 1 P.]

S. 24 /36 3. Mai 2023 / AHS / Mathematik
Aufgabe 22
Bit-Kombinationen
Ein Computer rechnet mit sogenannten Bits . Ein Bit kann entweder den Wert 0 oder den Wert 1
annehmen. Eine beliebige Abfolge aus acht Bits wird Byte genannt.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie diejenige Interpretation an, die im gegebenen Sachzusammenhang für (
8
3
) zutrifft.
[1 aus 6]
(
8
3
)
gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass in einem Byte
die ersten drei Bit 1er sind.
(
8
3
) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass in einem Byte
genau drei 1er hintereinander auftreten.
(
8
3
)
gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass in einem Byte
genau drei 1er enthalten sind.
(
8
3
)
gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, dass in einem
Byte genau drei 1er enthalten sind.
(
8
3
) gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, dass in einem
Byte genau drei 1er hintereinander auftreten.
(
8
3
)
gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, dass in einem
Byte die ersten drei Bit 1er sind.
[0 / 1 P.]

3. Mai 2023 / AHS / Mathematik S. 25 /36
Aufgabe 23
Glücksrad
In der Mitte des unten abgebildeten Glücksrads ist ein Zeiger montiert. Für jede Drehung des
Zeigers gilt:
Der Zeiger bleibt in jedem Sektor mit der Wahrscheinlichkeit
1
8
stehen.
Die Gewinne, die ausbezahlt werden, wenn der Zeiger im entsprechenden Sektor stehen bleibt,
sind auf dem nachstehend abgebildeten Glücksrad angeschrieben ( a ∈ ℝ
+
).
€ 0
€ a
€ a
€ a
€ 0
€ 0
€ 4 ∙ a
€ 2 ∙ a
Der Zeiger wird 1-mal gedreht.
Die Zufallsvariable X gibt dabei die Höhe des ausbezahlten Gewinns an.
Für den Erwartungswert in Euro gilt: E ( X ) = 4,5
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie a .
[0 / 1 P.]

S. 26 /36 3. Mai 2023 / AHS / Mathematik
Aufgabe 24
Binomialverteilung
Gegeben sind die fünf Zufallsvariablen X 1 , X 2 , X 3 , X 4 und X 5 , die nur ganzzahlige Werte von 0 bis 8
annehmen. Deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind in den unten stehenden Abbildungen
dargestellt.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Abbildungen an, die einer Binomialverteilung entsprechen können.
[2 aus 5]
P ( X
1
= k )
0 1 2 3 4 5 6 7 8
k
P ( X
2
= k )
k
0 1 2 3 4 5 6 7 8
P ( X
3
= k )
k
0 1 2 3 4 5 6 7 8
P ( X
4
= k )
k
0 1 2 3 4 5 6 7 8
P ( X
5
= k )
k
0 1 2 3 4 5 6 7 8
[0 / 1 P.]

3. Mai 2023 / AHS / Mathematik S. 27 /36
Aufgabe 25 (Teil 2)
Schwimmbecken
In einem Freibad gibt es verschiedene Schwimmbecken.
Aufgabenstellung:
a) Das Volumen eines bestimmten quaderförmigen Schwimmbeckens kann mithilfe der
Gleichung V = a
2
∙ h berechnet werden.
a ... Seitenlänge der quadratischen Grundfläche
h ... Tiefe des Schwimmbeckens
Betrachtet werden die Funktion V : ℝ
+
→ ℝ
+
, a ↦ V ( a ) bei konstantem h und die Funktion
h : ℝ
+
→ ℝ
+
, V ↦ h ( V ) bei konstantem a .
1) Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht. [0 / ½ / 1 P.]
Die Funktion V ist eine
1
, die Funktion h ist eine
2
.
1
lineare Funktion
quadratische Funktion
Quadratwurzelfunktion
2
lineare Funktion
quadratische Funktion
Quadratwurzelfunktion
b) Zum Füllen eines anderen Schwimmbeckens werden p Pumpen verwendet, die pro Stunde
jeweils die gleiche Wassermenge in das Schwimmbecken pumpen. Für p = 2 beträgt die
Fülldauer 19 h.
1) Stellen Sie unter Verwendung der Anzahl p der Pumpen eine Formel zur Berechnung der
Fülldauer T (in h) auf.
T = [0 / 1 P.]
Die Wassermenge in diesem Schwimmbecken nimmt durch Verdunstung und durch betriebsbedingte Ursachen ab. Dabei beschreibt die Funktion W : [0; 10] → ℝ mit
W ( t ) = –
1
96
∙ t
3
+
1
4
∙ t
2
–
35
24
∙ t modellhaft die momentane Änderungsrate der Wassermenge
zum Zeitpunkt t an einem bestimmten Tag ( t in h, W ( t ) in m
3
/h).
2) Ermitteln Sie die Abnahme der Wassermenge (in m
3
) im Zeitintervall [0; 6]. [0 / 1 P.]

S. 28 /36 3. Mai 2023 / AHS / Mathematik
c) In der nachstehenden Abbildung ist das seitliche Profil einer bestimmten Wasserrutsche
modellhaft dargestellt.
f ( x ) in m
x in m
Wasserrutsche f
O
Das seitliche Profil der Wasserrutsche ist durch den Graphen der Funktion f : [0; 5] → ℝ mit
f ( x ) =
8
125
∙ x
3
–
12
25
∙ x
2
+ 4 gegeben ( x in m, f ( x ) in m).
1) Ermitteln Sie die Stelle x
1
, an der die Wasserrutsche am steilsten bergab verläuft. [0 / 1 P.]

3. Mai 2023 / AHS / Mathematik S. 29 /36
Aufgabe 26 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Fitnessuhren
Fitnessuhren sind Armbanduhren, die bei sportlichen Aktivitäten verwendet werden können.
Aufgabenstellung:
a) Eine 3,1 km lange Bergtour führt vom Start auf 680 m Seehöhe zu einem Gipfelhaus auf
1 820 m Seehöhe. Der dabei zurückgelegte Weg wird modellhaft als geradlinig mit konstanter
Steigung angenommen und ist in der nachstehenden Skizze (nicht maßstabgetreu) dargestellt.
Start
3,1 km
Gipfelhaus
Der Weg der Bergtour weist eine Steigung von a % auf.
1) Ermitteln Sie a .
a = % [0 / 1 P.]
b) Die Fitnessuhr Sporty ist besonders beliebt.
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person in Österreich eine Fitnessuhr
Sporty besitzt, beträgt p .
Im Rahmen einer Studie werden 160 zufällig ausgewählte Personen in Österreich befragt.
Die binomialverteilte Zufallsvariable X gibt die Anzahl derjenigen Personen unter den 160 Befragten an, die eine Fitnessuhr Sporty besitzen.
1) Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden Satzteils so, dass jedenfalls eine richtige Aussage entsteht. [0 / ½ / 1 P.]
Die Wahrscheinlichkeit, dass von den 160 Befragten niemand eine Fitnessuhr Sporty besitzt, beträgt
1
; mit
2
wird die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass von den 160 Befragten mindestens 2 eine Fitnessuhr Sporty besitzen.
1
1 – p
p
160
(1 – p )
160
2
1 –
[(
160
0
)
∙ p
0
∙ (1 – p )
160
+
(
160
1
)
∙ p ∙ (1 – p )
159
]
(
160
0
)
∙ p
0
∙ (1 – p )
160
+
(
160
1
)
∙ p ∙ (1 – p )
159
(
160
2
)
∙ p
2
∙ (1 – p )
158

S. 30 /36 3. Mai 2023 / AHS / Mathematik
c) Fitnessuhren zeigen unter anderem den Kalorienverbrauch bei einer sportlichen Aktivität an.
Im Rahmen einer Studie wird bei 60 Personen die prozentuelle Abweichung des tatsächlichen
Kalorienverbrauchs bei einer sportlichen Aktivität vom jeweiligen Messergebnis ihrer Fitnessuhren untersucht.
Diese Abweichungen mit den jeweils zugehörigen absoluten Häufigkeiten sind in der nach stehenden Tabelle nach Klassen zusammengefasst.
Abweichung in % absolute Häufigkeit
[0; 20) 24
[20; 30) 30
[30; 50] 6
1) Erstellen Sie ein Histogramm, in dem für die drei oben angegebenen Klassen die relativen
Häufigkeiten als Flächeninhalte von Rechtecken dargestellt sind. [0 / 1 P.]
Abweichung in %
0,04
0,03
0,02
0,01
0
0,05
45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 50
2) Begründen Sie, warum der Median der Datenliste (die der obigen Tabelle zugrunde liegt) im
Intervall [20; 30) liegen muss. [0 / 1 P.]

3. Mai 2023 / AHS / Mathematik S. 31 /36
Aufgabe 27 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Sauerstoffverbrauch von Säugetieren
Bei Säugetieren gibt es einen Zusammenhang zwischen der Körpermasse und dem Sauerstoffverbrauch.
Aufgabenstellung:
a) Für ein Säugetier, das sich im Beobachtungszeitraum nicht bewegt, kann der Sauerstoffverbrauch in Abhängigkeit von der Körpermasse m näherungsweise durch eine Funktion
S : ℝ
+
→ ℝ
+
, m ↦ S ( m ) beschrieben werden ( m in kg, S ( m ) in L/h).
Für Katzen und Hunde mit einer Körpermasse m in kg gilt annähernd:
S ( m ) = a ∙ m
0,75
a ... positive Konstante
Die Körpermasse eines bestimmten Hundes ist doppelt so groß wie die einer bestimmten
Katze.
1) Berechnen Sie, um wie viel Prozent der Sauerstoffverbrauch dieses Hundes höher als der
dieser Katze ist. [0 / 1 P.]

S. 32 /36 3. Mai 2023 / AHS / Mathematik
b) Die Funktion I : ℝ
+
→ ℝ
+
beschreibt die Stoffwechselintensität von Säugetieren in Abhängigkeit von ihrer Körpermasse m
(
m in kg, I ( m ) in
L
h · kg
)
.
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph von I dargestellt.
7 6 5 4 3 2 1 0
0
1,6
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
1,8
I
m in kg
Ratte
Katze
m
R
m
K
I ( m ) in
L
h · kg
Quelle: Sadava, David E., David M. Hillis et al.: Purves Biologie . Herausgegeben von Jürgen Markl. 10. Auflage. Berlin u. a.: Springer
2019, S. 1 201 (adaptiert).
Die Körpermasse einer Ratte wird mit m
R
und die einer Katze mit m
K
bezeichnet.
Für eine bestimmte Körpermasse m
1
ist I ′ ( m
1
) gleich der mittleren Änderungsrate von I im
Intervall [ m
R
; m
K
].
1) Ermitteln Sie m
1
mithilfe der obigen Abbildung.
m
1
= kg [0 / 1 P.]

3. Mai 2023 / AHS / Mathematik S. 33 /36
c) Für ein Säugetier, das sich bewegt, wird die momentane Änderungsrate des Sauerstoffverbrauchs in Abhängigkeit von der Zeit t näherungsweise durch die lineare Funktion u : [0; t
1
] → ℝ
mit t
1
∈ ℝ
+
beschrieben ( t in min, u ( t ) in L/min).
Es gilt: u (0) = d mit d ∈ ℝ
+
Der Graph von u ist in der nachstehenden Abbildung dargestellt.
0
0
u ( t ) in L/min
t in min
t
1
u
d
1) Stellen Sie eine Formel zur Berechnung von
∫
t 1
0
u ( t ) d t auf. Verwenden Sie dabei t
1
, u ( t
1
)
und d .
∫
t 1
0
u ( t ) d t = [0 / 1 P.]
2) Interpretieren Sie
∫
t 1
0
u ( t ) d t im gegebenen Sachzusammenhang unter Angabe der zugehörigen Einheit. [0 / 1 P.]

S. 34 /36 3. Mai 2023 / AHS / Mathematik
Aufgabe 28 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Flugreisen
An den österreichischen Flughäfen werden die Anzahl der Flüge, die Anzahl der Fluggäste sowie
die Flugstrecken der Reisenden erfasst.
Datenquelle: https://www.statistik.at/web_de/statistiken/energie_umwelt_innovation_mobilitaet/verkehr/luftfahrt/personenverkehr/index.html
[19.12.2020].
Aufgabenstellung:
a) Die jährliche Anzahl aller Fluggäste in Österreich ist von 0,14 Millionen im Jahr 1955 auf
28,95 Millionen im Jahr 2017 gestiegen.
Diese zeitliche Entwicklung der Anzahl der Fluggäste in Österreich kann näherungsweise
durch die Exponentialfunktion N : ℝ 0
+
→ ℝ
+
mit N ( t ) = a ∙ b
t
mit a , b ∈ ℝ
+
beschrieben werden ( t in Jahren mit t = 0 für das Jahr 1955, N ( t ) in Millionen Fluggästen).
1) Berechnen Sie a und b . [0 / 1 P.]
Im Jahr 2018 gab es in Österreich 31,73 Millionen Fluggäste.
2) Weisen Sie rechnerisch nach, dass die mit N ermittelte Anzahl der Fluggäste für das
Jahr 2018 um weniger als 1 % von der tatsächlichen Anzahl der Fluggäste abweicht.
[0 / 1 P.]
b) Die Anzahl der Flüge bzw. Fluggäste in Österreich ist für die Jahre 2018 und 2019 in der
nachstehenden Tabelle angegeben.
Anzahl der Flüge Anzahl der Fluggäste
2018 296 852 31 725 019
2019 319 945 36 206 642
Die durchschnittliche Anzahl der Fluggäste pro Flug ist von 2018 auf 2019 um n gestiegen.
1) Berechnen Sie n . [0 / 1 P.]

3. Mai 2023 / AHS / Mathematik S. 35 /36
c) Die unten stehende Abbildung zeigt für das Jahr 2019 die Anzahl der angebotenen Sitzplätze
sowie die Anzahl der Fluggäste für Flüge von bzw. nach Wien. Die Prozentsätze geben jeweils
den relativen Anteil der durch die Fluggäste besetzten Sitzplätze an.
82,8 %
74,8 %
79,0 %
78,0 %
63,5 % 87,3 %
77,1 %
71,4 %
Angebot an Sitzplätzen
beförderte Fluggäste
Wien – London
Wien – Berlin
Wien – Moskau
Wien – Rom
Wien – Brüssel Wien – Madrid
Wien – Kopenhagen
Wien – Dubai
1 500
1 200
900
600
300
0
1 800
Anzahl in 1 000
1) Ordnen Sie den vier Aussagen für das Jahr 2019 jeweils die passende Flugstrecke aus
A bis F zu. [0 / ½ / 1 P.]
Auf dieser Flugstrecke wurden mehr als
doppelt so viele Fluggäste befördert wie
auf der Flugstrecke Wien – Moskau .
Auf dieser Flugstrecke war die
Anzahl der unbesetzten Sitzplätze am
kleinsten.
Auf dieser Flugstrecke war die Anzahl
der beförderten Fluggäste größer als
650 000 und kleiner als 1,1 Millionen.
Auf dieser Flugstrecke war mehr als ein
Drittel der angebotenen Sitzplätze
unbesetzt.
A Wien – Berlin
B Wien – Madrid
C Wien – Brüssel
D Wien – Kopenhagen
E Wien – London
F Wien – Rom

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