Mathematik-Matura Jänner 2023 · AHS – Lösungen

AHS
11. Jänner 2023
Mathematik
Korrekturheft
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reifeprüfung

11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 2 /31
Beurteilung der Klausurarbeit
Beurteilungsschlüssel
erreichte Punkte Note
32 – 36 Punkte Sehr gut
27 – 31,5 Punkte Gut
22 – 26,5 Punkte Befriedigend
17 – 21,5 Punkte Genügend
0 – 16,5 Punkte Nicht genügend
Best-of-Wertung: Für die Aufgaben 26, 27 und 28 gilt eine Best-of-Wertung. Von diesen drei
Teil-2-Aufgaben wird diejenige Aufgabe, bei der die niedrigste Punkteanzahl erreicht worden ist,
nicht gewertet.
Jahresnoteneinrechnung: Damit die Leistungen der letzten Schulstufe in die Beurteilung des
Prüfungsgebiets einbezogen werden können, muss die Kandidatin / der Kandidat mindestens
11 Punkte erreichen.
Den Prüferinnen und Prüfern steht während der Korrekturfrist ein Helpdesk des BMBWF
beratend zur Verfügung. Die Erreichbarkeit des Helpdesks wird für jeden Prüfungstermin auf
https://www.matura.gv.at/srdp/ablauf gesondert bekanntgegeben.

11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 3 /31
Handreichung zur Korrektur
Für die Korrektur und die Bewertung sind die am Prüfungstag auf https://korrektur.srdp.at ver
öffentlichten Unterlagen zu verwenden.
1. In der Lösungserwartung ist ein möglicher Lösungsweg angegeben. Andere richtige
Lösungswege sind als gleichwertig anzusehen. Im Zweifelsfall kann die Auskunft des
Helpdesks in Anspruch genommen werden. Ausschließlich bei ausgewiesenen Aufgaben
(Kennzeichnung durch: [0 / ½ / 1 P.] ) können für Teilleistungen halbe Punkte vergeben
werden.
2. Der Lösungsschlüssel ist verbindlich unter Beachtung folgender Vorgangsweisen anzuwenden:
a. Bei offenen Aufgabenformaten steht für die Punktevergabe der Nachweis der jeweiligen
Grundkompetenz im Vordergrund. Die dabei fokussierte Grundkompetenz wird im
Korrektur heft ausgewiesen. Punkte sind zu vergeben, wenn die Bearbeitung zeigt, dass
die fokussierte Grundkompetenz in der Bearbeitung erfüllt ist.
b. Werden zu einer Teilaufgabe mehrere Lösungen von der Kandidatin / vom Kandidaten
angeboten und nicht alle diese Lösungen sind richtig, so ist diese Tei laufgabe mit null
Punkten zu bewerten, sofern die richtige Lösung nicht klar als solche hervorgehoben
ist.
c. Bei abhängiger Punktevergabe gilt das Prinzip des Folgefehlers. Wird von der Kandidatin / vom Kandidaten beispielsweise zu einem Kontext ein falsches Modell aufgestellt,
mit diesem Modell aber eine richtige Berechnung durchgeführt, so ist der Berechnungspunkt zu ver geben, wenn das falsch aufgestellte Modell die Berechnung nicht vereinfacht.
d. Wird von der Kandidatin / vom Kandidaten die richtige Lösung ohne Angabe von
Zwischenschritten angeführt, so sind alle Punkte zu vergeben, auch wenn der Lösungsschlüssel Einzelschritte vorgibt.
e. Abschreibfehler, die aufgrund der Dokumentation der Kandidatin / des Kandidaten als
solche identifizierbar sind, sind ohne Punkteabzug zu bewerten, wenn sie zu keiner
Vereinfachung der Aufgabenstellung führen.
f. Rundungsfehler sind zu vernachlässigen, wenn die Rundung nicht explizit eingefordert
ist.
g. Die Angabe von Einheiten ist bei der Punktevergabe zu vernachlässigen, sofern sie
nicht explizit eingefordert ist.

11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 4 /31
Aufgabe 1
Summe und Produkt zweier Zahlen
Die Summe zweier negativer Zahlen ist negativ, das Produkt zweier negativer Zahlen ist positiv.
Daher können die Summe und das Produkt der beiden Zahlen nicht übereinstimmen.
Ein Punkt für das richtige Begründen.
Grundkompetenz: AG 1.1

11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 5 /31
Aufgabe 2
Reines Wasser
3 ∙ 10
3
3 ∙ 10
–23
= 10
26
Die Anzahl der Wassermoleküle in 3 kg reinem Wasser beträgt 10
26
.
Ein Punkt für das richtige Berechnen der Anzahl.
Grundkompetenz: AG 2.1

11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 6 /31
Aufgabe 3
Vermietung
G = 0,6 ∙ ( B – K ) =
(
2 160
2 460
2 520
3 060
)
Ein Punkt für das richtige Berechnen von G , wobei auch 0,6 ∙ ( B – K ) als richtig zu werten ist.
Grundkompetenz: AG 3.1

11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 7 /31
Aufgabe 4
Teilungspunkt einer Rechteckseite
r =
1
4
s = –1
Ein Punkt für das richtige Ermitteln von r und s , ein halber Punkt für nur einen richtigen Wert.

11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 8 /31
Aufgabe 5
Zwei Geraden im Raum
1
B ∈ g und a · b = 0
2
schneidend
Ein Punkt für das Ankreuzen der beiden richtigen Satzteile.

11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 9 /31
Aufgabe 6
Viereck
tan( β ) =
d
a – c
Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Formel.

11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 10 /31
Aufgabe 7
Behälter
V
0
= G ∙ h ( G ) = 25 ∙ 20 = 500
V
0
= 500 cm
3
Ein Punkt für das richtige Berechnen von V
0
.
Toleranzintervall: [480 cm
3
; 520 cm
3
]
Grundkompetenz: FA 1.4

11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 11 /31
Aufgabe 8
Funktionseigenschaften
f ( x ) = a ∙ x + b F
f ( x ) = a ∙ x
2
+ b A
f ( x ) = a ∙ b
x
C
f ( x ) = a ∙ sin( b ∙ x ) B
A Es gilt f ( x ) = f (– x ) für alle x ∈ ℝ .
B Es gilt f ( x ) = – f (– x ) für alle x ∈ ℝ .
C f ist streng monoton fallend in ℝ .
D f hat genau zwei Nullstellen.
E
f ist für alle x ∈ ℝ rechtsge
krümmt (negativ gekrümmt).
F f hat genau eine Nullstelle.
Ein Punkt für vier richtige Zuordnungen, ein halber Punkt für zwei oder drei richtige Zuordnungen.

11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 12 /31
Aufgabe 9
Fallender Ball
30 – 4,9 ∙ t
2
= 4
t = 2,30... s
Nach rund 2,3 s befindet sich der Ball 4 m über dem Boden.
Ein Punkt für das richtige Berechnen des Zeitpunkts.
Grundkompetenz: FA 3.2

11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 13 /31
Aufgabe 10
Kosten eines Betriebs
K ( x ) = 68 000
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
x = 12
Bei einer Produktionsmenge von 12 Tonnen sind die Gesamtkosten um € 48.000 höher als die
Fixkosten.
Ein Punkt für das richtige Berechnen der Produktionsmenge.
Grundkompetenz: FA 4.3

11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 14 /31
Aufgabe 11
Baumhöhe
f ( t ) = a ∙ b
t
f (10) = 2,2 und f (15) = 2,7
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
a = 1,46...
Der Baum war zum Zeitpunkt des Einpflanzens rund 1,5 m hoch.
Ein Punkt für das richtige Berechnen der Höhe.
Grundkompetenz: FA 5.1

11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 15 /31
Aufgabe 12
Graph einer Sinusfunktion
a = 3
b = 1,5
Ein Punkt für das Angeben der beiden richtigen Werte, ein halber Punkt für nur einen richtigen
Wert.

11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 16 /31
Aufgabe 13
Bevölkerungsentwicklung
Die Bevölkerungszahl dieses Landes hat im Zeitraum von 1960 bis 2017 um 323 % zugenommen.
Ein Punkt für das richtige Interpretieren im gegebenen Sachzusammenhang.
Grundkompetenz: AN 1.1

11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 17 /31
Aufgabe 14
Treibstoffverbrauch
V (0) – V (180)
180
Ein Punkt für das richtige Aufstellen des Terms.
Grundkompetenz: AN 1.3

11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 18 /31
Aufgabe 15
Ableitungsregeln
Für die reelle Funktion f mit f ( x ) = g ( x ) – h ( x ) gilt:
f ′ ( x ) = g ′ ( x ) – h ′ ( x )
Für die reelle Funktion f mit f ( x ) = k ∙ g ( x ) gilt:
f ′ ( x ) = k ∙ g ′ ( x )
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 19 /31
Aufgabe 16
Überholvorgang
v ( t ) = –
1
4
∙ t
4
+ t
3
+ 20
Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Funktionsgleichung von v .
Grundkompetenz: AN 3.1

11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 20 /31
Aufgabe 17
Zweite Ableitung
f ( x )
x
f
0
0
f ( x )
x
f
0
0
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 21 /31
Aufgabe 18
Bestimmte Integrale
Ein Punkt für vier richtige Zuordnungen, ein halber Punkt für zwei oder drei richtige Zuordnungen.
f ( x )
x
f
0
3
2
1
4
–2
–3
–4
–1
0 3 2 1 4 –2 –3 –4 –1
B
f ( x )
x
f
0
3
2
1
4
–2
–3
–4
–1
0 3 2 1 4 –2 –3 –4 –1
D
f
f ( x )
x
0
3
2
1
4
–2
–3
–4
–1
0 3 2 1 4 –2 –3 –4 –1
F
f ( x )
x
f
0
3
2
1
4
–2
–3
–4
–1
0 3 2 1 4 –2 –3 –4 –1
A
A –
∫
2
0,5
f ( x ) d x
B –
∫
2
0,5
f ( x ) d x +
∫
3
2
f ( x ) d x
C ∫
–1
–2
f ( x ) d x +
∫
2
–1
f ( x ) d x
D ∫
–1
–2
f ( x ) d x –
∫
2
–1
f ( x ) d x
E ∫
0,5
–2
f ( x ) d x
F –2 ∙
∫
2
0,5
f ( x ) d x

11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 22 /31
Aufgabe 19
Kursbesuche
12 + x + 11 + 12 + 12 + 15
6
= 12
x = 10
Ein Punkt für das richtige Berechnen von x .
Grundkompetenz: WS 1.3

11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 23 /31
Aufgabe 20
Erfolg und Misserfolg
E ... „es tritt (bei n maliger Durchführung des Versuchs) mindestens 1 mal ‚Erfolg‘ ein“
Ein Punkt für das richtige Beschreiben von E .
Grundkompetenz: WS 2.1

11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 24 /31
Aufgabe 21
Münzwurf
P ( X = 3) = 0,5
Ein Punkt für das richtige Berechnen der Wahrscheinlichkeit.
Grundkompetenz: WS 2.3

11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 25 /31
Aufgabe 22
Binomialkoeffizient
die Anzahl der zweielementigen Teilmengen einer zehnelementigen Menge
die Anzahl der Möglichkeiten, zwei Personen aus einer Gruppe von zehn
Personen auszuwählen
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 26 /31
Aufgabe 23
Wahrscheinlichkeitsverteilung
E ( X ) = 1 ∙ 0,2 + 2 ∙ 0,5 + 4 ∙ 0,3 = 2,4
Ein Punkt für das richtige Ermitteln von E ( X ).
Grundkompetenz: WS 3.1

11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 27 /31
Aufgabe 24
Glücksrad
n ∙
1
12
Ein Punkt für das Angeben des richtigen Erwartungswerts.
Grundkompetenz: WS 3.2

11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 28 /31
Aufgabe 25 (Teil 2)
Sonnenblumen
a1)
t in Tagen
f ( t ), g ( t ) in cm
42 21 0
0
72,2
38,6
f
g
P
5
a2) f ′ ( t ) =
2
15
∙ t + 0,2
g ′ ( t ) = 2 ∙ a ∙ t + b
I : g (21) = 38,6
II : g (42) = 72,2
III : f ′ (21) = g ′ (21)
oder:
I : 21
2
∙ a + 21 ∙ b + c = 38,6
II : 42
2
∙ a + 42 ∙ b + c = 72,2
III : 42 ∙ a + b = 3
a3) Der Term beschreibt die mittlere Änderungsrate der Höhe dieser Sonnenblume im Zeit
intervall [2; 42] in cm/Tag.
oder:
Der Term beschreibt das durchschnittliche Wachstum dieser Sonnenblume im Zeitinter
vall [2; 42] in cm/Tag.
a1) Ein Punkt für das Eintragen des richtigen Wertes.
a2) Ein Punkt für das richtige Erstellen des Gleichungssystems mit drei Gleichungen, ein halber
Punkt für nur zwei richtige Gleichungen.
a3) Ein Punkt für das richtige Interpretieren im ge gebenen Sachzusammenhang unter Angabe
der zugehörigen Einheit.
b1) 38,6 = 6,2 ∙ a
17
a =

17 38,6
6,2
= 1,1135...
b1) Ein Punkt für das richtige Berechnen von a .

11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 29 /31
Aufgabe 26 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Schwimmkurs
a1)
Distanz in m
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
a2) Da der Median der geschwommenen Distanzen 12 m beträgt, müssen (bei 17 notierten
Distanzen) mindestens 9 Kinder mindestens 12 m geschwommen sein. Daraus folgt, dass
höchstens 8 Kinder weniger als 12 m geschwommen sind.
a1) Ein Punkt für das richtige Erstellen des Boxplots.
a2) Ein Punkt für das richtige Begründen.
b1)
absolute Häufigkeit relative Häufigkeit
Kinder, die sofort springen 20 0,4
Kinder, die zögerlich springen 20 0,4
Kinder, die das Springen verweigern 10 0,2
b1) Ein Punkt für das richtige Ergänzen der 3 fehlenden Werte.
c1)
12
30
∙
10
29
∙
8
28
∙ 6
c1) Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 30 /31
Aufgabe 27 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Spezielle Polynomfunktionen vierten Grades
a1) f ′ ( x ) = 4 ∙ a ∙ x
3
+ 2 ∙ b ∙ x
f ″ ( x ) = 12 ∙ a ∙ x
2
+ 2 ∙ b
12 ∙ a ∙ x
2
+ 2 ∙ b = 0
a1) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Gleichung.
b1) f ′ ( x ) = 4 ∙ a ∙ x
3
+ 2 ∙ b ∙ x
f ′ (0) = 0
f ″ ( x ) = 12 ∙ a ∙ x
2
+ 2 ∙ b
f ″ (0) = 2 ∙ b ≠ 0
P = (0 | y
P
) ist ein Extrempunkt von f .
b2)
1
b
2
kleiner als 0
b1) Ein Punkt für das richtige rechnerische Nachweisen.
b2) Ein Punkt für das Ankreuzen der beiden richtigen Satzteile.
c1) e = –2 bzw. e = 2
c1) Ein Punkt für das richtige Ermitteln aller möglichen Werte von e .

11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 31 /31
Aufgabe 28 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Bremsvorgänge
a1) Die Geschwindigkeit nimmt pro Sekunde um 4 m/s ab.
Die Anfangsgeschwindigkeit beträgt 20 m/s.
a2) Für eine Anfangsgeschwindigkeit von 20 m/s gilt: s
B
=
5 ∙ 20
2
= 50
Bei einer Anfangsgeschwindigkeit von 10 m/s beträgt die Zeit bis zum Stillstand 2,5 s.
Es gilt: k ∙ s
B
=
2,5 ∙ 10
2
= 12,5
k =
1
4
a1) Ein Punkt für das richtige Interpretieren beider Koeffizienten im gegebenen Sachzusammen
hang, ein halber Punkt für das richtige Interpretieren nur eines Koeffizienten.
a2) Ein Punkt für das richtige Ermitteln von k .
b1)
t
1
t
2
v
1
( t ) in m/s
t in s
25
0
0
b2) s
A
= 25 ∙ t
1
+
25
2
∙ ( t
2
– t
1
)
b1) Ein Punkt für das richtige Einzeichnen des Geschwindigkeitsverlaufs, wobei der Übergang
zwischen den beiden linearen Funktionen im Punkt ( t
1
| 25) klar erkennbar sein muss.
b2) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Formel.