Mathematik-Matura Jänner 2023 · AHS – Aufgaben

AHS
11. Jänner 2023
Mathematik
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reifeprüfung
Name:
Klasse:

11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 2 /33
Hinweise zur Aufgabenbearbeitung
Sehr geehrte Kandidatin! Sehr geehrter Kandidat!
Beurteilungsschlüssel
erreichte Punkte Note
32 – 36 Punkte Sehr gut
27 – 31,5 Punkte Gut
22 – 26,5 Punkte Befriedigend
17 – 21,5 Punkte Genügend
0 – 16,5 Punkte Nicht genügend
Best-of-Wertung: Für die Aufgaben 26, 27 und 28 gilt eine Best-of-Wertung. Von diesen drei Teil-2-Aufgaben
wird diejenige Aufgabe, bei der die niedrigste Punkteanzahl erreicht worden ist, nicht gewertet.
Viel Erfolg!
Das vorliegende Aufgabenheft enthält Teil-1-Aufgaben
und Teil-2-Aufgaben (bestehend aus Teilaufgaben). Die
Aufgaben bzw. Teilaufgaben sind unabhängig voneinander bearbeitbar.
Verwenden Sie für die Bearbeitung ausschließlich dieses Aufgabenheft und das Ihnen zur Verfügung gestellte Arbeitspapier. Schreiben Sie Ihren Namen und
Ihre Klasse in die dafür vorgesehenen Felder auf dem
Deckblatt des Aufgabenhefts sowie Ihren Namen und
die fortlaufende Seitenzahl auf jedes verwendete Blatt
Arbeitspapier. Geben Sie bei der Beantwortung jeder
Handlungsanweisung deren Bezeichnung (z. B.: 25a1)
auf dem Arbeitspapier an.
In die Beurteilung wird alles einbezogen, was nicht
durchgestrichen ist.
Die Verwendung der vom zuständigen Regierungs mitglied für die Klausurarbeit freigegebenen Formel sammlung für die SRP in Mathematik ist erlaubt.
Weiters ist die Verwendung von elektronischen Hilfs mitteln (z. B. grafik fähiger Taschenrechner oder andere
entsprechende Technologie) erlaubt, sofern keine
Kommunikationsmöglichkeit (z. B. via Internet, Intranet,
Bluetooth, Mobilfunknetzwerke etc.) gegeben ist und
der Zugriff auf Eigendateien im elektronischen Hilfs mittel nicht möglich ist.
Eine Erläuterung der Antwortformate liegt im Prüfungsraum zur Durchsicht auf.
Handreichung für die Bearbeitung
– Lösungen müssen jedenfalls eindeutig als solche
erkennbar sein.
– Lösungen müssen jedenfalls mit zugehörigen
Einheiten angegeben werden, wenn dazu in der
Handlungsanweisung explizit aufgefordert wird.
Bei offenen Antwortformaten steht für die Punktevergabe der Nachweis der jeweiligen Grundkompetenz im Vordergrund. Für die Bearbeitung offener
Antwortformate wird empfohlen:
– den Lösungsweg, auch im Fall von Technologieeinsatz, nachvollziehbar zu dokumentieren,
– selbst gewählte Variablen zu erklären und gegebenenfalls mit den zugehörigen Einheiten anzugeben,
– frühzeitiges Runden zu vermeiden,
– Diagramme oder Skizzen zu beschriften.
So ändern Sie Ihre Antwort bei Aufgaben zum Ankreuzen:
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr
gültigen Antwort.
2. Kreuzen Sie dann das gewünschte Kästchen an.
Hier wurde zuerst die Antwort „5 + 5 = 9“ gewählt
und dann auf „2 + 2 = 4“ geändert.
1 + 1 = 3 
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 5 
4 + 4 = 4 
5 + 5 = 9 
6 + 6 = 10 
So wählen Sie eine bereits übermalte Antwort:
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr
gültigen Antwort.
2. Kreisen Sie das gewünschte übermalte Kästchen
ein.
Hier wurde zuerst die Antwort „2 + 2 = 4“ übermalt
und dann wieder gewählt.
1 + 1 = 3 
2 + 2 = 4
3 + 3 = 5 
4 + 4 = 4 
5 + 5 = 9 
6 + 6 = 10 

11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 3 /33
Aufgabe 1
Summe und Produkt zweier Zahlen
Für zwei Zahlen a und b mit a , b ∈ ℝ gilt: a + b = a ∙ b
Aufgabenstellung:
Begründen Sie allgemein, warum es unter dieser Voraussetzung nicht möglich ist, dass sowohl a
als auch b negativ sind.
[0 / 1 P.]

11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 4 /33
Aufgabe 2
Reines Wasser
Reines Wasser besteht ausschließlich aus Wassermolekülen. Modellhaft wird angenommen, dass
ein Wassermolekül eine Masse von 3 ∙ 10
–23
g hat.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Anzahl der Wassermoleküle in 3 kg reinem Wasser.
[0 / 1 P.]

11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 5 /33
Aufgabe 3
Vermietung
Alexander vermietet vier Wohnungen.
In der nachstehenden Tabelle sind die Bruttomieten und die Betriebskosten für ein bestimmtes
Jahr angegeben.
Bruttomiete (in €) Betriebskosten (in €)
Wohnung 1 4 800 1 200
Wohnung 2 5 500 1 400
Wohnung 3 6 000 1 800
Wohnung 4 7 000 1 900
Die Spalten der Tabelle können als Vektoren angeschrieben werden. Dabei gibt der Vektor B die
jeweiligen Bruttomieten und der Vektor K die jeweiligen Betriebskosten an.
Die Bruttomieten sind die Summe aus Nettomieten und Betriebskosten. Der Gewinn (nach Abzug
der Steuern) beträgt 60 % der Nettomieten.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie den Vektor G , dessen Komponenten Alexanders Gewinne aus der Vermietung der
vier Wohnungen sind.
[0 / 1 P.]

11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 6 /33
Aufgabe 4
Teilungspunkt einer Rechteckseite
Nachstehend ist ein Rechteck mit den Eckpunkten A , B , C und D dargestellt. Der Punkt T teilt die
Strecke CD im Verhältnis 3 : 1 (siehe nachstehende Abbildung).
T
A B
C D
Für den Punkt T gilt:
T = A + r · AB + s · DA mit r , s ∈ ℝ
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie r und s .
r =
s =
[0 / ½ / 1 P.]

11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 7 /33
Aufgabe 5
Zwei Geraden im Raum
Gegeben sind zwei Geraden g und h in ℝ
3
.
• g : X = A + t · a mit t ∈ ℝ
• h : X = B + s · b mit s ∈ ℝ
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden
Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht.
Falls
1
gilt, sind die Geraden g und h auf jeden Fall
2
.
1
A ∉ h und a = b
B ∈ g und a · b = 0
a = r · b mit r ∈ ℝ \{0} und B ∉ g
2
schneidend
identisch
windschief
[0 / 1 P.]

11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 8 /33
Aufgabe 6
Viereck
In der nachstehenden Abbildung ist ein Viereck dargestellt.
β
a
b
d
c
Aufgabenstellung:
Stellen Sie unter Verwendung der dafür erforderlichen Seitenlängen eine Formel zur Berechnung
von tan( β ) auf.
tan( β ) =
[0 / 1 P.]

11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 9 /33
Aufgabe 7
Behälter
Es werden zylindrische Behälter, die alle das gleiche Volumen V
0
haben, produziert.
Die Funktion h beschreibt die Höhe eines solchen Behälters in Abhängigkeit vom Inhalt G seiner
Grundfläche ( G in cm
2
, h ( G ) in cm). Der Graph der Funktion h ist in der nachstehenden Abbildung
dargestellt.
h ( G ) in cm
G in cm
2
h
50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 55
20
15
10
5
0
25
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie V
0
.
[0 / 1 P.]

11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 10 /33
Aufgabe 8
Funktionseigenschaften
Gegeben sind reelle Funktionen sowie die Parameter a ∈ ℝ
+
und b ∈ (0; 1).
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den vier angegebenen Funktionsgleichungen jeweils die zutreffende Funktions eigenschaft aus A bis F zu.
f ( x ) = a ∙ x + b
f ( x ) = a ∙ x
2
+ b
f ( x ) = a ∙ b
x
f ( x ) = a ∙ sin( b ∙ x )
A Es gilt f ( x ) = f (– x ) für alle x ∈ ℝ .
B Es gilt f ( x ) = – f (– x ) für alle x ∈ ℝ .
C f ist streng monoton fallend in ℝ .
D f hat genau zwei Nullstellen.
E
f ist für alle x ∈ ℝ rechtsgekrümmt (negativ gekrümmt).
F f hat genau eine Nullstelle.
[0 / ½ / 1 P.]

11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 11 /33
Aufgabe 9
Fallender Ball
Ein Ball fällt von einer Aussichtsplattform. Die Funktion h beschreibt modellhaft die Höhe des
fallenden Balles über dem Boden in Abhängigkeit von der Zeit t .
Dabei gilt: h : ℝ
0
+
→ → ℝ , h ( t ) = 30 – 4,9 ∙ t
2
( t in s, h ( t ) in m).
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie denjenigen Zeitpunkt, zu dem sich der Ball 4 m über dem Boden befindet.
[0 / 1 P.]

11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 12 /33
Aufgabe 10
Kosten eines Betriebs
Die Funktion K mit K ( x ) = 100 ∙ x
3
– 1 800 ∙ x
2
+ 11 200 ∙ x + 20 000 gibt die Gesamtkosten in
Euro an, die für einen Betrieb bei der Erzeugung von x (in Tonnen) eines bestimmten Produkts ent stehen.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie diejenige Produktionsmenge (in Tonnen), bei der die Gesamtkosten um € 48.000
höher als die Fixkosten sind.
[0 / 1 P.]

11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 13 /33
Aufgabe 11
Baumhöhe
Die Höhe eines bestimmten Baumes kann in den ersten 15 Jahren nach dem Einpflanzen durch
eine Exponentialfunktion modelliert werden.
Dieser Baum hat 10 Jahre nach dem Einpflanzen eine Höhe von 2,2 m und 15 Jahre nach dem
Einpflanzen eine Höhe von 2,7 m.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Höhe dieses Baumes zum Zeitpunkt des Einpflanzens.
[0 / 1 P.]

11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 14 /33
Aufgabe 12
Graph einer Sinusfunktion
Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen der Sinusfunktion f mit f ( x ) = a ∙ sin( b ∙ x ) mit
a , b ∈ ℝ
+
.
Der Graph von f verläuft durch die Punkte P
1
= (3π | 3) und P
2
= (4π | 0).
f ( x )
x
0 3π 2π π –π 4π
0
3
2
1
4
–1
–2
–3
–4
f P
1
P
2
Aufgabenstellung:
Geben Sie a und b an.
a =
b =
[0 / ½ / 1 P.]

11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 15 /33
Aufgabe 13
Bevölkerungsentwicklung
In einem bestimmten Land hat die Bevölkerungszahl seit 1960 stark zugenommen.
Mit B ( t ) wird die Bevölkerungszahl dieses Landes im Jahr t bezeichnet.
Aufgabenstellung:
Interpretieren Sie
B (2017) – B (1960)
B (1960)
= 3,23 im gegebenen Sachzusammenhang.
[0 / 1 P.]

11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 16 /33
Aufgabe 14
Treibstoffverbrauch
Die Funktion V beschreibt die Treibstoffmenge im Tank eines Autos in Abhängigkeit von der zurückgelegten Wegstrecke x . Nach x Kilometern Fahrt befinden sich V ( x ) Liter Treibstoff im Tank.
Das Auto hat eine Wegstrecke von 180 km ohne Tanken zurückgelegt.
Aufgabenstellung:
Stellen Sie unter Verwendung der Funktion V einen Term zur Berechnung des mittleren Treibstoffverbrauchs (in Litern pro Kilometer) für diese Wegstrecke auf.
[0 / 1 P.]

11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 17 /33
Aufgabe 15
Ableitungsregeln
Gegeben sind die zwei differenzierbaren Funktionen g : ℝ → ℝ und h : ℝ → ℝ sowie k ∈ ℝ .
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Aussagen an, die auf jeden Fall zutreffen. [2 aus 5]
Für die reelle Funktion f mit f ( x ) = g ( x ) – h ( x ) gilt:
f ′ ( x ) = g ′ ( x ) – h ′ ( x )
Für die reelle Funktion f mit f ( x ) = h ( k ∙ x ) gilt:
f ′ ( x ) = h ′ ( k ∙ x )
Für die reelle Funktion f mit f ( x ) = k ∙ g ( x ) gilt:
f ′ ( x ) = k ∙ g ′ ( x )
Für die reelle Funktion f mit f ( x ) = g ( x ) + k gilt:
f ′ ( x ) = g ′ ( x ) + k ∙ x
Für die reelle Funktion f mit f ( x ) = g ( x ) + h ( x ) gilt:
f ′ ( x ) = g ′ ( x ) ∙ h ′ ( x )
[0 / 1 P.]

11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 18 /33
Aufgabe 16
Überholvorgang
Die Beschleunigung eines bestimmten Fahrzeugs während eines Überholvorgangs wird durch die
Funktion a beschrieben.
Es gilt:
a ( t ) = – t
3
+ 3 ∙ t
2
mit 0 ≤ t ≤ 3
t ... Zeit ab Beginn des Überholvorgangs in s
a ( t ) ... Beschleunigung des Fahrzeugs zur Zeit t in m/s
2
Die Funktion v ordnet dabei jeder Zeit t die Geschwindigkeit des Fahrzeugs v ( t ) (in m/s) zu.
Zu Beginn des Überholvorgangs hat das Fahrzeug die Geschwindigkeit v (0) = 20 m/s.
Aufgabenstellung:
Stellen Sie eine Funktionsgleichung von v auf.
[0 / 1 P.]

11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 19 /33
Aufgabe 17
Zweite Ableitung
Die unten stehende Abbildung zeigt den Graphen der 2. Ableitung f ″ einer Polynomfunktion
3. Grades f . Der Graph von f ″ ist eine Gerade, die durch den Koordinatenursprung verläuft.
f ʺ ( x )
x 0
0
f ʺ
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Abbildungen an, die den Graphen einer solchen Polynomfunktion f darstellen können. [2 aus 5]
f ( x )
x
f
0
0
f ( x )
x
f
0
0
f ( x )
x 0
0
f
f
f ( x )
x 0
0
f ( x )
x
f
0
0
[0 / 1 P.]

11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 20 /33
Aufgabe 18
Bestimmte Integrale
Die vier unten stehenden Abbildungen zeigen jeweils den Graphen der quadratischen Funktion f .
Der Graph von f schneidet die x -Achse an den Stellen x = –1 und x = 2. Die lokale Minimumstelle von f liegt bei x = 0,5.
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den grau markierten Flächen in den vier Abbildungen jeweils den entsprechenden
Ausdruck zur Berechnung ihres Flächeninhalts aus A bis F zu.
[0 / ½ / 1 P.]
f ( x )
x
f
0
3
2
1
4
–2
–3
–4
–1
0 3 2 1 4 –2 –3 –4 –1
f ( x )
x
f
0
3
2
1
4
–2
–3
–4
–1
0 3 2 1 4 –2 –3 –4 –1
f
f ( x )
x 0
3
2
1
4
–2
–3
–4
–1
0 3 2 1 4 –2 –3 –4 –1
f ( x )
x
f
0
3
2
1
4
–2
–3
–4
–1
0 3 2 1 4 –2 –3 –4 –1
A –
∫
2
0,5
f ( x ) d x
B –
∫
2
0,5
f ( x ) d x +
∫
3
2
f ( x ) d x
C
∫
–1
–2
f ( x ) d x +
∫
2
–1
f ( x ) d x
D
∫
–1
–2
f ( x ) d x –
∫
2
–1
f ( x ) d x
E
∫
0,5
–2
f ( x ) d x
F –2 ∙
∫
2
0,5
f ( x ) d x

11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 21 /33
Aufgabe 19
Kursbesuche
Im Zeitraum von 2015 bis 2020 wurde an einer Bildungseinrichtung jedes Jahr ein bestimmter
Kurs angeboten. Die nachstehende Tabelle zeigt für jedes Jahr in diesem Zeitraum die Anzahl der
Kursbesucher/innen. Die Anzahl der Kursbesucher/innen im Jahr 2016 wird mit x bezeichnet.
Jahr Anzahl der Kursbesucher/innen
2015 12
2016 x
2017 11
2018 12
2019 12
2020 15
Das arithmetische Mittel der Anzahl der Kursbesucher/innen im Zeitraum von 2015 bis 2020
beträgt 12.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie x .
[0 / 1 P.]

11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 22 /33
Aufgabe 20
Erfolg und Misserfolg
Ein bestimmtes Zufallsexperiment besteht aus n unabhängigen Durchführungen eines Versuchs
( n ∈ ℕ \{0}). Bei jedem Versuch tritt „Erfolg“ mit der Wahrscheinlichkeit p ein, ansonsten „Miss erfolg“.
Aufgabenstellung:
Beschreiben Sie ein mögliches Ereignis E bei diesem Zufallsexperiment, das mit der Wahrscheinlichkeit 1 – (1 – p )
n
eintritt.
[0 / 1 P.]

11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 23 /33
Aufgabe 21
Münzwurf
Ein Zufallsexperiment besteht aus dem mehrmaligen Werfen einer Münze. Die Münze zeigt nach
einem Wurf entweder „Kopf“ oder „Zahl“. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze „Kopf“ zeigt, ist
bei jedem Wurf genauso hoch wie die Wahrscheinlichkeit, dass sie „Zahl“ zeigt. Die Ergebnisse
der Würfe sind voneinander unabhängig. Die Münze wird so oft geworfen, bis sie zum zweiten
Mal „Kopf“ oder zum zweiten Mal „Zahl“ zeigt.
Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der dafür benötigten Münzwürfe.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P ( X = 3).
[0 / 1 P.]

11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 24 /33
Aufgabe 22
Binomialkoeffizient
Gegeben ist der Binomialkoeffizient (
10
2
) .
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Anzahlen an, die mit dem Binomialkoeffizienten (
10
2
) übereinstimmen.
[2 aus 5]
die Anzahl der zweielementigen Teilmengen einer zehnelementigen Menge
die Anzahl derjenigen Zahlen, die mit zwei Ziffern gebildet werden können
die Anzahl der Möglichkeiten, zwei Personen aus einer Gruppe von zehn
Personen auszuwählen
die Anzahl der möglichen Versuchsausgänge beim zehnmaligen Werfen
einer Münze
die Anzahl der möglichen Versuchsausgänge beim Werfen zweier Würfel,
die jeweils zehn mit den Ziffern 1 bis 10 beschriftete Seitenflächen haben
[0 / 1 P.]

11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 25 /33
Aufgabe 23
Wahrscheinlichkeitsverteilung
In der nachstehenden Abbildung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen X dar gestellt.
P ( X = k )
k
3 2 1 4
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0,5
Die Zufallsvariable X nimmt nur die Werte 1, 2 und 4 mit einer positiven Wahrscheinlich keit an.
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie den Erwartungswert E ( X ).
[0 / 1 P.]

11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 26 /33
Aufgabe 24
Glücksrad
Bei einem Gewinnspiel wird ein Glücksrad gedreht, das in 24 gleich große Sektoren unterteilt ist.
Zwei der Sektoren sind grün, alle anderen rot.
Für jede Drehung gilt:
• Der Zeiger des Glücksrads zeigt auf jeden Sektor mit der gleichen Wahrscheinlichkeit.
• Zeigt der Zeiger nach der Drehung auf einen grünen Sektor, gewinnt man einen Preis.
• Zeigt der Zeiger nach der Drehung auf einen roten Sektor, gewinnt man keinen Preis.
Das Glücksrad wird n -mal gedreht. Die Ergebnisse der Drehungen sind voneinander unabhängig.
Aufgabenstellung:
Geben Sie den Erwartungswert für die Anzahl der gewonnenen Preise in Abhängigkeit von n an.
[0 / 1 P.]

11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 27 /33
Aufgabe 25 (Teil 2)
Sonnenblumen
Aufgabenstellung:
a) Die Höhe einer bestimmten Sonnenblume lässt sich in Abhängigkeit von der Zeit t näherungsweise durch die zwei quadratischen Funktionen f und g beschreiben. Die Graphen dieser
beiden Funktionen gehen im Punkt P mit gleicher Steigung ineinander über. (Siehe unten
stehende Abbildung.)
f ( t ) =
1
15
∙ t
2
+ 0,2 ∙ t + 5 mit 0 ≤ t ≤ 21
g ( t ) = a ∙ t
2
+ b ∙ t + c mit 21 ≤ t ≤ 42
t ∈ [0; 42] ... Zeit ab dem Beobachtungsbeginn in Tagen
f ( t ) ... Höhe der Sonnenblume zum Zeitpunkt t in cm
g ( t ) ... Höhe der Sonnenblume zum Zeitpunkt t in cm
t in Tagen
f ( t ), g ( t ) in cm
42 21 0
0
72,2
38,6
f
g
P
1) Tragen Sie in der obigen Abbildung den fehlenden Wert der Achsenbeschriftung in das
dafür vorgesehene Kästchen ein. [0 / 1 P.]
2) Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten a , b und c der
Funktion g . [0 / ½ / 1 P.]
3) Interpretieren Sie den nachstehenden Term im ge gebenen Sachzusammenhang unter Angabe der zugehörigen Einheit.
Es gilt: t
1
= 2 Tage, t
2
= 42 Tage
g ( t 2
) – f ( t 1
)
t
2
– t
1
[0 / 1 P.]

11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 28 /33
b) Die Höhe einer anderen Sonnenblume lässt sich in Abhängigkeit von der Zeit t in einem bestimmten Zeitintervall näherungsweise durch die Funktion h beschreiben.
h ( t ) = 6,2 ∙ a
t
t ... Zeit ab dem Beobachtungsbeginn in Tagen
h ( t ) ... Höhe der Sonnenblume zum Zeitpunkt t in cm
Zum Zeitpunkt t = 17 beträgt die Höhe dieser Sonnenblume 38,6 cm.
1) Berechnen Sie a . [0 / 1 P.]

11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 29 /33
Aufgabe 26 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Schwimmkurs
Aufgabenstellung:
a) Eine Schwimmlehrerin notiert bei einem ihrer Kinder-Schwimmkurse die Distanzen, die jedes
Kind beim ersten freien Schwimmen zurücklegt. Sie ermittelt daraus die folgenden Werte:
Minimum: 1,5 m
Median: 3 m
3. Quartil: 4 m
Spannweite: 5,5 m
Interquartilsabstand (Differenz von 3. und 1. Quartil): 2 m
1) Erstellen Sie in der nachstehenden Abbildung den dadurch festgelegten Boxplot. [0 / 1 P.]
Distanz in m
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
Bei einem anderen Kinder-Schwimmkurs wurden die geschwommenen Distanzen für 17 Kinder notiert.
Der Median dieser geschwommenen Distanzen beträgt 12 m.
Jemand behauptet, dass 10 Kinder eine Distanz von weniger als 12 m geschwommen sind.
2) Begründen Sie, warum diese Behauptung nicht richtig ist. [0 / 1 P.]
b) Man kann die Kinder einer bestimmten Schwimmgruppe hinsichtlich ihres Verhaltens beim
ersten Versuch eines Sprunges vom Beckenrand ins Wasser in 3 Kategorien einteilen:
absolute Häufigkeit relative Häufigkeit
Kinder, die sofort springen 20
Kinder, die zögerlich springen 0,4
Kinder, die das Springen verweigern 10
1) Ergänzen Sie in der obigen Tabelle die 3 fehlenden Werte. [0 / 1 P.]

11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 30 /33
c) In einer Kiste befinden sich 12 rote, 10 gelbe und 8 blaue Schwimmscheiben. Ein Schwimmlehrer zieht zufällig und ohne Zurücklegen nacheinander 3 Schwimmscheiben aus dieser
Kiste. (Bei jeder Ziehung hat jede Schwimmscheibe, die sich noch in der Kiste befindet, die
gleiche Wahrscheinlichkeit, gezogen zu werden.)
Es soll die Wahrscheinlichkeit berechnet werden, dass der Schwimmlehrer dabei Schwimmscheiben in 3 unterschiedlichen Farben zieht.
1) Kreuzen Sie denjenigen Ausdruck an, der gleich der Wahrscheinlichkeit ist, die berechnet
werden soll. [1 aus 6] [0 / 1 P.]
12
30
∙
10
30
∙
8
30
12
30
∙
10
30
∙
8
30
∙ 3
12
30
∙
10
29
∙
8
28
12
30
∙
10
29
∙
8
28
∙ 3
12
30
∙
10
29
∙
8
28
∙ 6
(
12
30
∙
10
29
∙
8
28
)
3

11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 31 /33
Aufgabe 27 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Spezielle Polynomfunktionen vierten Grades
Gegeben ist eine Polynomfunktion f mit f ( x ) = a · x
4
+ b · x
2
+ c mit a , b , c ∈ ℝ \{0}.
Aufgabenstellung:
a) 1) Stellen Sie unter Verwendung von a und b eine Gleichung zur Berechnung der Wende stellen von f auf. [0 / 1 P.]
b) 1) Weisen Sie rechnerisch mithilfe der 1. und 2. Ableitung von f nach, dass auf der senk rechten Achse ein Extrempunkt P des Graphen von f liegt. [0 / 1 P.]
Genau einer der Koeffizienten a, b und c ist ausschlag gebend dafür, ob es sich beim ermittelten Extrempunkt P um einen Hochpunkt handelt.
2) Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht. [0 / 1 P.]
Damit dieser Extrempunkt P ein Hochpunkt ist, muss für den Koeffizienten
1
gelten, dass dieser
2
ist.
1
a
b
c
2
kleiner als 0
gleich 1
größer als 0
c) Gegeben ist eine Polynomfunktion g mit g ( x ) = d · ( x + e )
2
· ( x – e )
2
mit d ≠ 0 und e ∈ ℝ .
Der Graph von g verläuft durch den Punkt N = (2 | 0).
1) Ermitteln Sie unter diesen Voraussetzungen alle möglichen Werte von e . [0 / 1 P.]

11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 32 /33
Aufgabe 28 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Bremsvorgänge
Durch das Einwirken einer Bremskraft und der damit verbundenen negativen Beschleunigung verringert sich die Geschwindigkeit eines fahrenden Fahrzeugs.
Aufgabenstellung:
a) Ein bestimmtes Fahrzeug wird durch eine Vollbremsung bis zum Stillstand abgebremst. Der
Weg, den ein Fahrzeug während der Vollbremsung zurücklegt, wird als Bremsweg bezeichnet.
In der nachstehenden Abbildung ist das Zeit-Geschwindigkeit-Diagramm für eine 5 s dauernde
Vollbremsung dargestellt.
v ( t ) in m/s
5 4 3 2 1 0
20
15
10
5
0
t in s
v
Für die Zeit-Geschwindigkeit-Funktion v gilt:
v ( t ) = –4 ∙ t + 20 mit t ∈ [0; 5]
t ... Zeit in s
v ( t ) ... Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t in m/s
1) Interpretieren Sie die Koeffizienten –4 und 20 aus der obigen Funktionsgleichung von v im
gegebenen Sachzusammenhang. [0 / ½ / 1 P.]
Die Länge des Bremswegs des Fahrzeugs bei dieser Vollbremsung wird mit s
B
bezeichnet.
Wird die Anfangsgeschwindigkeit halbiert, so beträgt bei gleichbleibender negativer
Beschleunigung die Länge des Bremswegs k ∙ s
B
mit k ∈ ℝ .
2) Ermitteln Sie k . [0 / 1 P.]

11. Jänner 2023 / AHS / Mathematik S. 33 /33
b) Ein Fahrzeug fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 25 m/s. Zum Zeitpunkt t = 0
sieht der Fahrzeuglenker ein Hindernis auf der Straße.
Es gilt:
• Der Fahrzeuglenker benötigt eine bestimmte Zeit, um zu reagieren. Während dieser Zeit
fährt das Fahrzeug mit der konstanten Geschwindigkeit von 25 m/s weiter.
• Der Bremsvorgang beginnt zum Zeitpunkt t
1
mit einer konstanten Bremsverzögerung (negative Beschleunigung).
• Zum Zeitpunkt t
2
kommt das Fahrzeug zum Stillstand.
1) Zeichnen Sie im nachstehenden Zeit-Geschwindigkeit-Diagramm den Geschwindigkeitsverlauf für den beschriebenen Vorgang ein ( t in s, v
1
( t ) in m/s). [0 / 1 P.]
v
1
( t ) in m/s
t in s
25
t
1
t
2
0
0
Der Weg, den das Fahrzeug im Zeitintervall [0; t
2
] zurücklegt, wird Anhalteweg s
A
genannt
( s
A
in m).
2) Stellen Sie unter Verwendung von t
1
und t
2
eine Formel zur Berechnung von s
A
auf.
s
A
= [0 / 1 P.]