Mathematik-Matura September 2022 · HAK Cluster W2 – Lösungen

Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reife- und Diplomprüfung
BHS
20. September 2022
Angewandte Mathematik
Korrekturheft
HAK

20. September 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 2 /16
Beurteilung der Klausurarbeit
Beurteilungsschlüssel
erreichte Punkte Note
44 – 48 Punkte Sehr gut
38 – 43 Punkte Gut
31 – 37 Punkte Befriedigend
23 – 30 Punkte Genügend
0 – 22 Punkte Nicht genügend
Jahresnoteneinrechnung: Damit die Leistungen der letzten Schulstufe in die Beurteilung des
Prüfungsgebiets einbezogen werden können, muss die Kandidatin / der Kandidat mindestens
14 Punkte erreichen.
Den Prüferinnen und Prüfern steht während der Korrekturfrist ein Helpdesk des BMBWF
beratend zur Verfügung. Die Erreichbarkeit des Helpdesks wird für jeden Prüfungstermin auf
https://www.matura.gv.at/srdp/ablauf gesondert bekanntgegeben.

20. September 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 3 /16
Handreichung zur Korrektur
Für die Korrektur und die Bewertung sind die am Prüfungstag auf https://korrektur.srdp.at ver öffentlichten Unterlagen zu verwenden.
1. In der Lösungserwartung ist ein möglicher Lösungsweg angegeben. Andere richtige
Lösungswege sind als gleichwertig anzusehen. Im Zweifelsfall kann die Auskunft des Helpdesks in Anspruch genommen werden.
2. Der Lösungsschlüssel ist verbindlich unter Beachtung folgender Vorgangsweisen anzuwenden:
a. Punkte sind zu vergeben, wenn die jeweilige Handlungsanweisung in der Bearbeitung
richtig umgesetzt ist.
b. Berechnungen im offenen Antwortformat ohne nachvollziehbaren Rechenansatz
bzw. ohne nachvollziehbare Dokumentation des Technologieeinsatzes (verwendete
Ausgangsparameter und die verwendete Technologiefunktion müssen angegeben sein)
sind mit null Punkten zu bewerten.
c. Werden zu einer Teilaufgabe mehrere Lösungen von der Kandidatin / vom Kandidaten
angeboten und nicht alle diese Lösungen sind richtig, so ist diese Teilaufgabe mit null
Punkten zu bewerten, sofern die richtige Lösung nicht klar als solche hervorgehoben
ist.
d. Bei abhängiger Punktevergabe gilt das Prinzip des Folgefehlers. Wird von der Kandidatin / vom Kandidaten beispielsweise zu einem Kontext ein falsches Modell aufgestellt,
mit diesem Modell aber eine richtige Berechnung durchgeführt, so ist der Berechnungspunkt zu vergeben, wenn das falsch aufgestellte Modell die Berechnung nicht vereinfacht.
e. Werden von der Kandidatin / vom Kandidaten kombinierte Handlungsanweisungen in
einem Lösungsschritt erbracht, so sind alle Punkte zu vergeben, auch wenn der
Lösungsschlüssel Einzelschritte vorgibt.
f. Abschreibfehler, die aufgrund der Dokumentation der Kandidatin / des Kandidaten als
solche identifizierbar sind, sind ohne Punkteabzug zu bewerten, wenn sie zu keiner
Vereinfachung der Aufgabenstellung führen.
g. Rundungsfehler sind zu vernachlässigen, wenn die Rundung nicht explizit eingefordert
ist.
h. Die Angabe von Einheiten ist bei der Punktevergabe zu vernachlässigen, sofern sie
nicht explizit eingefordert ist.

20. September 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 4 /16
Aufgabe 1
Obst
a1)
100
65
· 7,6 · 83 · 10
6
= 9,70... · 10
8
9,70... · 10
8
kg = 9,70... · 10
5
t
Es werden rund 9,7 · 10
5
t Äpfel benötigt, um den Jahresverbrauch an Apfelsaft in Deutschland zu decken.
a1) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Menge in Tonnen in Gleitkommadarstellung.
b1)
Die Mischung besteht zu
2
3
aus Leitungswasser.
b1) Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.
c1) A
0
= A (0) = 28 000
15 000 = 28 000 ∙ ℯ
– k ∙ 45
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
k = 0,01387...
c2) Die Obstanbaufläche im Jahr 2005 ist um rund 46 % kleiner als jene im Jahr 1960.
c1) Ein Punkt für das richtige Ermitteln von A
0
und k .
c2) Ein Punkt für das richtige Interpretieren im gegebenen Sachzusammenhang.

20. September 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 5 /16
Aufgabe 2
Stau
a1) s
A
″ ( t ) = 0 oder –0,48 ∙ t + 2,4 = 0
t = 5
s
A
′ (5) = 6
Die maximale Geschwindigkeit des Autos A beträgt 6 m/s.
a2) Zur Zeit t
1
haben die beiden Autos die gleiche Geschwindigkeit.
oder:
Zur Zeit t
1
haben die beiden Autos den maximalen Abstand zueinander.
a1) Ein Punkt für das richtige Berechnen der maximalen Geschwindigkeit.
a2) Ein Punkt für das richtige Interpretieren im gegebenen Sachzusammenhang.
b1) Der dargestellte Graph beschreibt den Bewegungsvorgang nicht zutreffend, weil in der Darstellung die Geschwindigkeit des Autos in den ersten 3 s abnimmt und in den letzten 3 s
zu nimmt.
oder:
Der dargestellte Graph beschreibt den Bewegungsvorgang nicht zutreffend, weil in der Darstellung die Geschwindigkeit des Autos nach 3 s am geringsten ist.
b1) Ein Punkt für das richtige Begründen.
c1)
40
60
∙ 0,31 ∙ 185 = 38,2...
Frau Maier hat im Jahr 2019 rund 38 Stunden zusätzlich für ihren Arbeitsweg benötigt.
c1) Ein Punkt für das richtige Berechnen der zusätzlich benötigten Zeit in Stunden.

20. September 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 6 /16
Aufgabe 3
Zehnfingersystem
a1) f ( x ) = 7,5 ∙ x
a2)
f
g
Textmenge in ME
Arbeitszeit in h
3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 4
25
20
15
10
5
0
30
a1) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Funktionsgleichung von f .
a2) Ein Punkt für das richtige Einzeichnen des Graphen von g .
b1)
Der Median liegt unter 210 Anschlägen pro Minute.
b2)
240 – 190
190
= 0,2631...
Die Tippgeschwindigkeit der/des Erstplatzierten ist um rund 26,3 % höher als jene der/des
Letztplatzierten.
b1) Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.
b2) Ein Punkt für das richtige Berechnen des Prozentsatzes.

20. September 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 7 /16
c1) Der Inhalt der grau markierten Fläche entspricht der Gesamtzahl der Anschläge bei dieser
10-Minuten-Abschrift.
Auch eine sinngemäße Interpretation als „geschriebener Text bei dieser 10-Minuten-Abschrift“ ist als richtig zu werten.
c1) Ein Punkt für das richtige Interpretieren im gegebenen Sachzusammenhang.

20. September 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 8 /16
Aufgabe 4
Mit Pfeil und Bogen
a1) f ′ ( x ) = 2 ∙ a ∙ x + b
f ′ (0) = tan(45°)
b = 1
a2) H = 2 m
a3) Höhe der Pfeilspitze in m
horizontale Entfernung vom Abschusspunkt in m
40 30 20 10 0
8
6
4
2
0
10
12
Im Hinblick auf die Punktevergabe ist es erforderlich, dass der Graph der quadratischen
Funktion durch die Punkte (0 | 2) , (20 | 10) und (40 | 2) verläuft.
a1) Ein Punkt für das richtige Ermitteln des Koeffizienten b .
a2) Ein Punkt für das Angeben der richtigen Höhe H .
a3) Ein Punkt für das richtige Einzeichnen der Flugbahn im Intervall [0; 40].
b1) Der Bogenschütze trifft bei n Schüssen mindestens 1-mal den schwarzen Bereich der Zielscheibe.
b2) Binomialverteilung mit n = 20, p = 0,8
X ... Anzahl der Treffer
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
P ( X ≥ 17) = 0,411...
Die Wahrscheinlichkeit beträgt rund 41 %.
b1) Ein Punkt für das richtige Beschreiben im gegebenen Sachzusammenhang.
b2) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Wahrscheinlichkeit.

20. September 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 9 /16
Aufgabe 5
Baumstammwerfen
a1) Volumen des Baumstamms in cm
3
:
(
6
2
· 2,54
)
2
· π · (19 · 12 + 6) · 2,54 = 108 419,99...
108 419,99...
10
6
· 570 = 61,7...
Die Masse des Baumstamms beträgt rund 62 kg.
a1) Ein Punkt für den richtigen Ansatz (richtige Anwendung der Formel zur Berechnung des
Volumens eines Drehzylinders auf den gegebenen Sachverhalt).
Ein Punkt für das richtige Berechnen der Masse in kg.
b1) α = arctan
(

a
2
– 25
ℓ )
b2) a =
5
sin(70°)
a = 5,32... m
b1) Ein Punkt für das richtige Vervollständigen der Formel.
b2) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Länge a .

20. September 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 10 /16
c1)
Anzahl der geworfenen Baumstämme
16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 17
c2) μ = 14 s
c3)
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
1
26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 28
Wahrscheinlichkeit
Zeit in s
c1) Ein Punkt für das richtige Vervollständigen des Boxplots.
c2) Ein Punkt für das richtige Ablesen des Erwartungswerts.
c3) Ein Punkt für das richtige Veranschaulichen der Wahrscheinlichkeit.

20. September 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 11 /16
Aufgabe 6 (Teil B)
Parfumherstellung
a1) K ″ ( x ) = 0,3 · x – 6
K ″ ( x ) = 0 oder 0,3 · x – 6 = 0
x = 20
Für x > 20 liegt ein progressiver Kostenverlauf vor.
a2) 0,15 · x
2
– 6 · x + c = 0
x
1, 2
=
6 ±

36 – 4 · 0,15 · c
2 · 0,15
Der Ausdruck unter der Wurzel muss kleiner als null sein:
36 – 4 · 0,15 · c < 0
c > 60
Auch ein Nachweis, dass K ′ (20) = 0 für c = 60 gilt, ist im Hinblick auf die Punktevergabe
ausreichend.
a3)
∫
(0,15 · x
2
– 6 · x + 80) d x = 0,05 · x
3
– 3 · x
2
+ 80 · x + F
F = 250
K ( x ) = 0,05 · x
3
– 3 · x
2
+ 80 · x + 250
a1) Ein Punkt für das richtige Ermitteln der Produktionsmengen mit einem progressiven Kostenverlauf.
a2) Ein Punkt für das richtige Nachweisen.
a3) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Gleichung der Kostenfunktion K .

20. September 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 12 /16
b1)
K ( x ), E ( x ) in GE
x in ME
0
4 500
4 000
3 500
3 000
2 500
2 000
1 500
1 000
500
5 000
60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 65
K
E
b2) [17; 61] (in ME)
Toleranzbereich untere Grenze: [15; 19]
Toleranzbereich obere Grenze: [59; 63]
b1) Ein Punkt für das richtige Einzeichnen des Graphen der Erlösfunktion E .
b2) Ein Punkt für das Ablesen des richtigen Gewinnbereichs.
c1) G (25) = 313,75
313,75
25
= 12,55
Bei einem Absatz von 25 ME beträgt der durchschnittliche Gewinn 12,55 GE/ME.
c2) G ′ ( x ) = –0,15 · x
2
+ 4,8 · x – 9
G ′ ( x ) = 0 oder –0,15 · x
2
+ 4,8 · x – 9 = 0
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
x
1
= 2 x
2
= 30
( G (2) = –188,8)
G (30) = 360
Der maximale Gewinn beträgt 360 GE.
c1) Ein Punkt für das richtige Berechnen des durchschnittlichen Gewinns.
c2) Ein Punkt für das richtige Berechnen des maximalen Gewinns.

20. September 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 13 /16
Aufgabe 7 (Teil B)
Küchengerät
a1) N
1
(0) = S · (1 – ℯ
– λ ∙ 0
) = S · (1 – 1) = 0
a2) S = 5 000
N
1
(1) = 350 oder 5 000 · (1 – ℯ
– λ ∙ 1
) = 350
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
λ = –ln(0,93) = 0,07257...
a3)
N
1
( t ) = N
2
( t ) A
N
1
′ ( t ) = N
2
′ ( t ) B
A
Die Lösungsmenge dieser
Gleichung ist {0; 1}.
B
Die Lösung dieser Gleichung liegt
im Intervall ]0; 1[.
C
Die Lösung dieser Gleichung liegt
im Intervall [1; ∞[.
D
Die Lösungsmenge dieser
Gleichung ist {0}.
a1) Ein Punkt für das richtige Argumentieren.
a2) Ein Punkt für das richtige Berechnen von λ .
a3) Ein Punkt für das richtige Zuordnen.
b1)
Lebensdauer in Jahren
1 Jahr
b2) X ... Lebensdauer in Jahren
P ( X ≤ 7) = 0,12
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
σ = 2,55... Jahre
b1) Ein Punkt für das richtige Veranschaulichen der Wahrscheinlichkeit.
b2) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Standardabweichung.

20. September 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 14 /16
c1) 20 ∙ 1 430 – 28 000 = 600
Der Gewinn beim Verkauf von 1 430 Stück beträgt 600 Euro, daher wird der Break-even-
Point bei weniger als 1 430 Stück erreicht.
c2) Ermittlung mittels Technologieeinsatz:
p ( x ) = 64,7 ∙ ℯ
–0,00083 · x
(Parameter gerundet)
c3) Die Sättigungsmenge ist die Nullstelle der Preis-Absatz-Funktion. Da hier ein exponentielles
Modell gewählt wurde, gibt es keine Nullstelle.
c1) Ein Punkt für das richtige nachweisliche Überprüfen.
c2) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Gleichung von p .
c3) Ein Punkt für das richtige Begründen.

20. September 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 15 /16
Aufgabe 8 (Teil B)
Esszimmereinrichtung
a1)
Zeit in Jahren
Sparziel
Einzahlungen
3 2 1 0 4
€ 2.000 X
€ 4.000
oder:
Zeit in Jahren
Sparziel
Einzahlungen
3 2 1 0 4
€ 2.000 X
€ 4.000
a2) X =
4 000
1 + i
– 2 000 ∙ (1 + i )
2
a1) Ein Punkt für das richtige Veranschaulichen auf der Zeitachse.
a2) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Formel.

20. September 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HAK S. 16 /16
b1) „Monatlich € 1,65 pro € 100“ bedeutet, dass der Zinssatz 1,65 % p. m. beträgt.
i = 1,0165
12
– 1 = 0,2169...
Der Jahreszinssatz beträgt also rund 21,7 %.
b2) X = 4 000 · 1,217 – 370 ·
1,217
12
12
– 1
1,217
1
12
– 1
= 2,053...
Der Restbetrag hat eine Höhe von € 2,05.
b3)
W =
R
q
12
+
R
q
12
2
+
R
q
12
3
b1) Ein Punkt für das richtige nachweisliche Überprüfen.
b2) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Höhe des Restbetrags.
b3) Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.
c1) Die Zinsen im Jahr 3 sind (trotz gleichbleibender Annuität) höher als im Jahr 2.
c2) i =
Z 5
K
4
=
36,13
903,24
= 0,0400...
Der Zinssatz im Jahr 5 beträgt rund 4 %.
c3) Jahr Zinsanteil Tilgungsanteil Annuität Restschuld
5 € 36,13 € 903,24 € 939,37 € 0,00
c1) Ein Punkt für das richtige Erklären.
c2) Ein Punkt für das richtige Berechnen des Zinssatzes.
c3) Ein Punkt für das Eintragen der beiden richtigen Zahlen.