Mathematik-Matura September 2022 · AHS – Lösungen

AHS
20. September 2022
Mathematik
Korrekturheft
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reifeprüfung

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 2 /31
Beurteilung der Klausurarbeit
Beurteilungsschlüssel
erreichte Punkte Note
32 – 36 Punkte Sehr gut
27 – 31,5 Punkte Gut
22 – 26,5 Punkte Befriedigend
17 – 21,5 Punkte Genügend
0 – 16,5 Punkte Nicht genügend
Best-of-Wertung: Für die Aufgaben 26, 27 und 28 gilt eine Best-of-Wertung. Von diesen drei
Teil-2-Aufgaben wird diejenige Aufgabe, bei der die niedrigste Punkteanzahl erreicht worden ist,
nicht gewertet.
Jahresnoteneinrechnung: Damit die Leistungen der letzten Schulstufe in die Beurteilung des
Prüfungsgebiets einbezogen werden können, muss die Kandidatin / der Kandidat mindestens
11 Punkte erreichen.
Den Prüferinnen und Prüfern steht während der Korrekturfrist ein Helpdesk des BMBWF
beratend zur Verfügung. Die Erreichbarkeit des Helpdesks wird für jeden Prüfungstermin auf
https://www.matura.gv.at/srdp/ablauf gesondert bekanntgegeben.

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 3 /31
Handreichung zur Korrektur
Für die Korrektur und die Bewertung sind die am Prüfungstag auf https://korrektur.srdp.at ver
öffentlichten Unterlagen zu verwenden.
1. In der Lösungserwartung ist ein möglicher Lösungsweg angegeben. Andere richtige
Lösungswege sind als gleichwertig anzusehen. Im Zweifelsfall kann die Auskunft des
Helpdesks in Anspruch genommen werden. Ausschließlich bei ausgewiesenen Aufgaben
(Kennzeichnung durch: [0 / ½ / 1 P.] ) können für Teilleistungen halbe Punkte vergeben
werden.
2. Der Lösungsschlüssel ist verbindlich unter Beachtung folgender Vorgangsweisen anzuwenden:
a. Bei offenen Aufgabenformaten steht für die Punktevergabe der Nachweis der jeweiligen
Grundkompetenz im Vordergrund. Die dabei fokussierte Grundkompetenz wird im
Korrektur heft ausgewiesen. Punkte sind zu vergeben, wenn die Bearbeitung zeigt, dass
die fokussierte Grundkompetenz in der Bearbeitung erfüllt ist.
b. Werden zu einer Teilaufgabe mehrere Lösungen von der Kandidatin / vom Kandidaten
angeboten und nicht alle diese Lösungen sind richtig, so ist diese Tei laufgabe mit null
Punkten zu bewerten, sofern die richtige Lösung nicht klar als solche hervorgehoben
ist.
c. Bei abhängiger Punktevergabe gilt das Prinzip des Folgefehlers. Wird von der Kandidatin / vom Kandidaten beispielsweise zu einem Kontext ein falsches Modell aufgestellt,
mit diesem Modell aber eine richtige Berechnung durchgeführt, so ist der Berechnungspunkt zu ver geben, wenn das falsch aufgestellte Modell die Berechnung nicht vereinfacht.
d. Wird von der Kandidatin / vom Kandidaten die richtige Lösung ohne Angabe von
Zwischenschritten angeführt, so sind alle Punkte zu vergeben, auch wenn der Lösungsschlüssel Einzelschritte vorgibt.
e. Abschreibfehler, die aufgrund der Dokumentation der Kandidatin / des Kandidaten als
solche identifizierbar sind, sind ohne Punkteabzug zu bewerten, wenn sie zu keiner
Vereinfachung der Aufgabenstellung führen.
f. Rundungsfehler sind zu vernachlässigen, wenn die Rundung nicht explizit eingefordert
ist.
g. Die Angabe von Einheiten ist bei der Punktevergabe zu vernachlässigen, sofern sie
nicht explizit eingefordert ist.

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 4 /31
Aufgabe 1
Zahlenmengen
Die Menge der rationalen Zahlen enthält alle ganzen
Zahlen.
Alle irrationalen Zahlen sind in der Menge der reellen
Zahlen enthalten.
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 5 /31
Aufgabe 2
Museumsbesuche
G = E ∙ x + S ∙ x ∙
(
1 –
p
100
)
Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Formel.

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 6 /31
Aufgabe 3
Schulwechsel
k + m = 3 · m
m = k – 47
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 7 /31
Aufgabe 4
Punkte und Vektoren
C = B + t · w für ein t ∈ ℝ
C = A + t · v für ein t ∈ ℝ
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 8 /31
Aufgabe 5
Vektoren im Rechteck
AD =
1
2
· AC +
1
2
· BD
1
2
· AD = –
1
2
· CB
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 9 /31
Aufgabe 6
Normale Geraden
z. B. n : X =
( )
2
–4
9
+ t ·
( )
1
1
0
mit t ∈ ℝ
Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Gleichung, wobei die Gerade n den Punkt P enthalten
muss und ihr Richtungsvektor normal auf den Vektor
( )
4
–4
2
stehen muss.
Der Punkt ist auch dann zu geben, wenn „mit t ∈ ℝ “ nicht angegeben ist.

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 10 /31
Aufgabe 7
Zentripetalkraft
0
0
F ( m )
A
m
F
Ein Punkt für das richtige Skizzieren des Graphen.
Der Punkt ist auch dann zu geben, wenn nur eine Strecke vom Ursprung bis zum Punkt A ein
gezeichnet ist.

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 11 /31
Aufgabe 8
Funktionsgraphen
Exponentialfunktion F
lineare Funktion D
Polynomfunktion
vom Grad 2
B
Sinusfunktion C
A
f ( x )
x
f
0
0
B
f ( x )
x
f
0
0
C
f ( x )
x
f
0
0
D
f ( x )
x
f
0
0
E
f ( x )
x
f
0
0
F
f ( x )
x
f
0
0
Ein Punkt für vier richtige Zuordnungen, ein halber Punkt für zwei oder drei richtige Zuordnungen.

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 12 /31
Aufgabe 9
Erlös und Gewinn
Verkaufspreis: 2 €/kg
Fixkosten: 1.800 €
Ein Punkt für das Angeben der beiden richtigen Werte, ein halber Punkt für nur einen richtigen
Wert.
Toleranzintervall für den Verkaufspreis in €/kg: [1,95; 2,05]
Toleranzintervall für die Fixkosten in €: [1 750; 1 850]

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 13 /31
Aufgabe 10
Abfüllmaschinen
f ( n ) =
96
n
Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Gleichung von f .

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 14 /31
Aufgabe 11
Grippeerkrankungen

11
2 = 1,0650...
Prozentsatz: rund 6,5 %
Ein Punkt für das richtige Berechnen des Prozentsatzes.
Grundkompetenz: FA 5.1

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 15 /31
Aufgabe 12
Eigenschaften einer Sinusfunktion
Wenn a größer wird, dann wird die Differenz zwischen
dem größten und dem kleinsten Funktionswert größer.
Wenn b größer wird, dann wird der Abstand zwischen
zwei aufeinanderfolgenden Nullstellen kleiner.
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 16 /31
Aufgabe 13
Relative Änderung einer Polynomfunktion
–3
3
= –1
Ein Punkt für das richtige Berechnen der relativen Änderung.
Toleranzintervall: [–1,1; –0,9]
Grundkompetenz: AN 1.1

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 17 /31
Aufgabe 14
Rückgang einer Population
Die Anzahl der Individuen ist im Beobachtungszeitraum
pro Woche um durchschnittlich 35 gesunken.
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 18 /31
Aufgabe 15
Erste Ableitung
g ′ (0) = 2 ∙ a ∙ k
oder:
g ′ (0) = f ′ (0) ∙ a ∙ k
Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Formel.

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 19 /31
Aufgabe 16
Ableitungs- und Stammfunktion
1
ist im Intervall (–∞; 4) streng
monoton fallend
2
haben an der Stelle x = 6 eine Wende
stelle mit waagrechter Tangente
Ein Punkt für das Ankreuzen der beiden richtigen Satzteile, ein halber Punkt, wenn nur ein richtiger
Satzteil angekreuzt ist.

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 20 /31
Aufgabe 17
Ableitungsfunktion einer Polynomfunktion dritten Grades
f ′ hat an der Stelle x
1
den gleichen Wert wie an der Stelle x
2
.
f ′ hat an der Stelle x = 4 einen positiven Wert.
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 21 /31
Aufgabe 18
Pilzsporen
Der Ausdruck beschreibt den Inhalt der Fläche, die von den Sporen dieses Pilzes 3 h nach Be
ginn der Beobachtung bedeckt wird (in μm
2
).
Ein Punkt für das richtige Interpretieren im gegebenen Sachzusammenhang.
Grundkompetenz: AN 4.3

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 22 /31
Aufgabe 19
Geschwindigkeitskontrolle
50 + 80 + 60 = 190
Ein Punkt für das richtige Ermitteln der Anzahl der Fahrzeuge.
Grundkompetenz: WS 1.1

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 23 /31
Aufgabe 20
Schularbeitspunkte
x =
38,5 ∙ 16 + 41 + 47
18
= 39,11...
Ein Punkt für das richtige Berechnen des arithmetischen Mittels x .
Grundkompetenz: WS 1.3

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 24 /31
Aufgabe 21
Median und arithmetisches Mittel
Mindestens 1 Person dieser Gruppe hat ein Brutto
einkommen von genau € 3.200.
Mindestens 6 Personen dieser Gruppe haben ein
Bruttoeinkommen von höchstens € 3.200.
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 25 /31
Aufgabe 22
Weihnachtsgeschenke
0,87 ∙ 0,03 = 0,0261
p = 2,61 %
Ein Punkt für das richtige Berechnen des Anteils p .

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 26 /31
Aufgabe 23
Binomialkoeffizienten
a = 9 – b
Ein Punkt für das richtige Angeben von a in Abhängigkeit von b .

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 27 /31
Aufgabe 24
Erwartungswerte und Standardabweichungen
1
E ( X ) < E ( Y )
2
σ ( X ) > σ ( Y )
Ein Punkt für das Ankreuzen der beiden richtigen Satzteile, ein halber Punkt, wenn nur ein richtiger
Satzteil angekreuzt ist.

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 28 /31
Aufgabe 25 (Teil 2)
Firmenlogos
a1) f ′ ( x ) =
x
4
f ′ (4) = 1
g ′ ( x ) = a ∙ (3 ∙ x
2
– 16)
g ′ (4) = 32 ∙ a
32 ∙ a = 1
a =
1
32
a2) Die Funktion g ist eine Polynomfunktion 3. Grades.
oder:
Die Funktion g ″ ist linear und hat nur 1 Nullstelle.
(Die Funktion g kann also nur 1 Wendepunkt haben.)
a1) Ein Punkt für das richtige Berechnen von a .
a2) Ein Punkt für das richtige Begründen.
b1) u = 5 ∙ 2 ∙ 3 ∙ sin(36°) = 17,63...
u = 17,6 cm
b1) Ein Punkt für das richtige Berechnen des Umfangs u .
c1) g ( x ) = – a ∙ x
2
+ 2 ∙ b
c1) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Funktionsgleichung von g .

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 29 /31
Aufgabe 26 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Pelletsheizung
a1)
4,84 – 4,4
13
= 0,033...
Die mittlere Änderungsrate der Jahresdurchschnittspreise für Pellets beträgt rund
0,03 Cent/kWh pro Jahr.
a1) Ein Punkt für das richtige Berechnen der mittleren Änderungsrate.
b1) K
Öl
( t ) = 15 000 ∙ 0,0795 ∙ t = 1 192,5 ∙ t
K
Pellets
( t ) = 15 000 ∙ 0,0484 ∙ t + 10 000 = 726 ∙ t + 10 000
b2) 1 192,5 ∙ t
1
= 726 ∙ t
1
+ 10 000
t
1
= 21,4...
b1) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der beiden Funktionsgleichungen K
Öl
und K
Pellets
, ein
halber Punkt für nur eine richtige Funktionsgleichung.
b2) Ein Punkt für das richtige Ermitteln von t
1
.
c1) A ″ ( t ) = 0
t = 12,2...
Im Jahr 2009 war die momentane Änderungsrate der Anzahl der Pelletsheizungen in Österreich
am größten.
c1) Ein Punkt für das richtige Ermitteln der Jahreszahl.

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 30 /31
Aufgabe 27 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Beschleunigungstest
a1) v
1
( t ) = 25 ∙ t
a1) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Funktionsgleichung von v
1
.
b1) v
2
( t
2
) = 130
t
2
= 6,21... s
b1) Ein Punkt für das richtige Berechnen von t
2
.
c1) a (80) = 6,7
a (160) = 1,4
b = –0,13825 und c = 15,84
c2) a ( v
3
) = 3,7
v
3
= 118,054...
Aus der Abbildung folgt: t
3
≈ 5,5 s.
c1) Ein Punkt für das richtige Ermitteln der beiden Werte.
c2) Ein Punkt für das richtige Ermitteln von t
3
.
Toleranzintervall für t
3
: [4; 6]

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 31 /31
Aufgabe 28 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Würfelspiel
a1) 1 ∙
(
1
6
)
4
=
1
1 296
= 0,0007...
oder:
6 ∙
(
1
6
)
5
=
1
1 296
= 0,0007...
a2) p
1
=
1
6
∙
1
6
=
1
36
= 0,0277...
p
2
=
5
6
∙
1
6
=
5
36
= 0,1388...
a1) Ein Punkt für das richtige Ermitteln der Wahrscheinlichkeit für ein Grande .
a2) Ein Punkt für das richtige Ermitteln der zwei Wahrscheinlichkeiten p
1
und p
2
, ein halber
Punkt für nur eine richtige Wahrscheinlichkeit.
b1) E ... „beim Wurf der fünf Würfel tritt eine (beliebige) Augenzahl genau viermal auf“
b1) Ein Punkt für das richtige Beschreiben des Ereignisses im gegebenen Sachzusammenhang.
c1) P („Franz bekommt 40 Euro“) = 0,0309 + 0,0386 = 0,0695
P („Anna bekommt x Euro“) = 1 – P („Franz bekommt 40 Euro“) = 0,9305
40 ∙ P („Franz bekommt 40 Euro“) = x ∙ P („Anna bekommt x Euro“)
x = 2,987... Euro
c1) Ein Punkt für das richtige Ermitteln von x .