Mathematik-Matura September 2022 · AHS – Aufgaben

AHS
20. September 2022
Mathematik
Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reifeprüfung
Name:
Klasse:

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 2 /34
Hinweise zur Aufgabenbearbeitung
Sehr geehrte Kandidatin! Sehr geehrter Kandidat!
Beurteilungsschlüssel
erreichte Punkte Note
32 – 36 Punkte Sehr gut
27 – 31,5 Punkte Gut
22 – 26,5 Punkte Befriedigend
17 – 21,5 Punkte Genügend
0 – 16,5 Punkte Nicht genügend
Best-of-Wertung: Für die Aufgaben 26, 27 und 28 gilt eine Best-of-Wertung. Von diesen drei Teil-2-Aufgaben
wird diejenige Aufgabe, bei der die niedrigste Punkteanzahl erreicht worden ist, nicht gewertet.
Viel Erfolg!
Das vorliegende Aufgabenheft enthält Teil-1-Aufgaben
und Teil-2-Aufgaben (bestehend aus Teilaufgaben). Die
Aufgaben bzw. Teilaufgaben sind unabhängig voneinander bearbeitbar.
Verwenden Sie für die Bearbeitung ausschließlich dieses Aufgabenheft und das Ihnen zur Verfügung gestellte Arbeitspapier. Schreiben Sie Ihren Namen und
Ihre Klasse in die dafür vorgesehenen Felder auf dem
Deckblatt des Aufgabenhefts sowie Ihren Namen und
die fortlaufende Seitenzahl auf jedes verwendete Blatt
Arbeitspapier. Geben Sie bei der Beantwortung jeder
Handlungsanweisung deren Bezeichnung (z. B.: 25a1)
auf dem Arbeitspapier an.
In die Beurteilung wird alles einbezogen, was nicht
durchgestrichen ist.
Die Verwendung der vom zuständigen Regierungs mitglied für die Klausurarbeit freigegebenen Formel sammlung für die SRP in Mathematik ist erlaubt.
Weiters ist die Verwendung von elektronischen Hilfs mitteln (z. B. grafik fähiger Taschenrechner oder andere
entsprechende Technologie) erlaubt, sofern keine
Kommunikationsmöglichkeit (z. B. via Internet, Intranet,
Bluetooth, Mobilfunknetzwerke etc.) gegeben ist und
der Zugriff auf Eigendateien im elektronischen Hilfs mittel nicht möglich ist.
Eine Erläuterung der Antwortformate liegt im Prüfungsraum zur Durchsicht auf.
Handreichung für die Bearbeitung
– Lösungen müssen jedenfalls eindeutig als solche
erkennbar sein.
– Lösungen müssen jedenfalls mit zugehörigen
Einheiten angegeben werden, wenn dazu in der
Handlungsanweisung explizit aufgefordert wird.
Bei offenen Antwortformaten steht für die Punktevergabe der Nachweis der jeweiligen Grundkompetenz im Vordergrund. Für die Bearbeitung offener
Antwortformate wird empfohlen:
– den Lösungsweg, auch im Fall von Technologieeinsatz, nachvollziehbar zu dokumentieren,
– selbst gewählte Variablen zu erklären und gegebenenfalls mit den zugehörigen Einheiten anzugeben,
– frühzeitiges Runden zu vermeiden,
– Diagramme oder Skizzen zu beschriften.
So ändern Sie Ihre Antwort bei Aufgaben zum Ankreuzen:
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr
gültigen Antwort.
2. Kreuzen Sie dann das gewünschte Kästchen an.
Hier wurde zuerst die Antwort „5 + 5 = 9“ gewählt
und dann auf „2 + 2 = 4“ geändert.
1 + 1 = 3 
2 + 2 = 4 T
3 + 3 = 5 
4 + 4 = 4 
5 + 5 = 9 
6 + 6 = 10 
So wählen Sie eine bereits übermalte Antwort:
1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr
gültigen Antwort.
2. Kreisen Sie das gewünschte übermalte Kästchen
ein.
Hier wurde zuerst die Antwort „2 + 2 = 4“ übermalt
und dann wieder gewählt.
1 + 1 = 3 
2 + 2 = 4
3 + 3 = 5 
4 + 4 = 4 
5 + 5 = 9 
6 + 6 = 10 

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 3 /34
Aufgabe 1
Zahlenmengen
Nachstehend sind Aussagen über Zahlenmengen angeführt.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5]
Die Menge der ganzen Zahlen ist eine Teilmenge der
Menge der natürlichen Zahlen.
Die Menge der rationalen Zahlen enthält alle ganzen
Zahlen.
Die Menge der rationalen Zahlen enthält alle reellen
Zahlen.
Die Menge der komplexen Zahlen ist eine Teilmenge
der Menge der reellen Zahlen.
Alle irrationalen Zahlen sind in der Menge der reellen
Zahlen enthalten.
[0 / 1 P.]

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 4 /34
Aufgabe 2
Museumsbesuche
Die Eintrittspreise eines bestimmten Museums sind folgendermaßen festgelegt:
Der Eintrittspreis für einen Erwachsenen beträgt x Euro. Für Studierende ist dieser Eintrittspreis
um p % ermäßigt. Kinder und Jugendliche bezahlen nichts für den Eintritt.
An einem bestimmten Wochenende bezahlen E Personen den Eintrittspreis für Erwachsene und
S Personen den Eintrittspreis für Studierende. Außerdem besuchen K Kinder und J Jugendliche
an diesem Wochenende das Museum.
Die Gesamteinnahmen des Museums aus Eintritten an diesem Wochenende werden mit G be zeichnet.
Aufgabenstellung:
Stellen Sie eine Formel zur Berechnung von G auf.
G =
[0 / 1 P.]

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 5 /34
Aufgabe 3
Schulwechsel
An einer bestimmten allgemeinbildenden höheren Schule (AHS) beschließen gegen Ende der
8. Schul stufe k Schüler/innen, an dieser Schule die Oberstufe zu besuchen. Alle übrigen m Schüler/innen be schließen, an eine berufsbildende höhere Schule (BHS) zu wechseln.
Dabei gilt:
• Ein Drittel der Schüler/innen dieser 8. Schulstufe wechselt an eine BHS.
• Die Anzahl derjenigen Schüler/innen, die an dieser Schule die Oberstufe besuchen, ist um 47
größer als die Anzahl derer, die an eine BHS wechseln.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Gleichungen an. [2 aus 5]
k + m = 3 · m
k = 2 · m – 47
m = k – 47
k = 3 · m
3 · k – m = 47
[0 / 1 P.]

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 6 /34
Aufgabe 4
Punkte und Vektoren
Im nachstehenden Koordinatensystem sind die drei Punkte A , B und C sowie die drei Vektoren r ,
v und w eingezeichnet.
Die Koordinaten der Punkte und die Komponenten der Vektoren sind ganzzahlig.
y
x
A
B
C v
r
w
0 13 12 11 10 9 8 7 6 5 14 4 3 2 1 –1
0
5
4
3
2
1
–1
–2
6
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5]
A = B + t · r für ein t ∈ ℝ
B = C + t · v für ein t ∈ ℝ
C = B + t · w für ein t ∈ ℝ
B = A + t · w für ein t ∈ ℝ
C = A + t · v für ein t ∈ ℝ
[0 / 1 P.]

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 7 /34
Aufgabe 5
Vektoren im Rechteck
Nachstehend ist ein Rechteck mit den Eckpunkten A , B , C und D dargestellt. Der Schnittpunkt
der beiden Diagonalen ist mit M bezeichnet.
D C
B A
M
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5]
AD =
1
2
· AC +
1
2
· BD
MA =
1
2
· CM
3
5
· CD = –
2
5
· AB
DC = BD – AD
1
2
· AD = –
1
2
· CB
[0 / 1 P.]

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 8 /34
Aufgabe 6
Normale Geraden
Gegeben ist die Parameterdarstellung der Geraden g :
g : X =
( )
–2
0
7
+ s ·
( )
4
–4
2
mit s ∈ ℝ
Für eine Gerade n gilt:
• n steht normal auf g .
• n schneidet g im Punkt P = (2 | –4 | 9).
Aufgabenstellung:
Stellen Sie eine Gleichung einer solchen Geraden n in Parameterdarstellung auf.
n : X =
[0 / 1 P.]

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 9 /34
Aufgabe 7
Zentripetalkraft
Bei der Bewegung eines Körpers auf einer Kreisbahn mit dem Radius r mit konstanter Geschwindigkeit v ist der Betrag der Zentripetalkraft F eine Funktion in Abhängigkeit von der Masse m
dieses Körpers.
Es gilt: F ( m ) =
m ∙ v
2
r
Aufgabenstellung:
Skizzieren Sie in der nachstehenden Abbildung den Graphen von F so, dass er durch den Punkt A
verläuft.
0
0
F ( m )
m
A
[0 / 1 P.]

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 10 /34
Aufgabe 8
Funktionsgraphen
Unten stehend sind vier Funktionstypen angegeben sowie charakteristische Ausschnitte von
sechs Funktionsgraphen abgebildet.
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den vier Funktionstypen jeweils den zugehörigen Funktionsgraphen aus A bis F zu.
Exponentialfunktion
lineare Funktion
Polynomfunktion
vom Grad 2
Sinusfunktion
A
f ( x )
x
f
0
0
B
f ( x )
x
f
0
0
C
f ( x )
x
f
0
0
D
f ( x )
x
f
0
0
E
f ( x )
x
f
0
0
F
f ( x )
x
f
0
0
[0 / ½ / 1 P.]

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 11 /34
Aufgabe 9
Erlös und Gewinn
Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen der linearen Erlösfunktion E : x ↦ E ( x ) und den
Graphen der linearen Gewinnfunktion G : x ↦ G ( x ) ( x in kg, E ( x ) und G ( x ) in €).
E ( x ), G ( x ) in €
E
G
x in kg
0 2 000 1 800 1 600 1 400 1 200 1 000 800 600 400 200 2 200
0
3 000
2 000
1 000
–1 000
–2 000
–3 000
–4 000
4 000
Aufgabenstellung:
Geben Sie den Verkaufspreis und die Fixkosten an.
Verkaufspreis: €/kg
Fixkosten: €
[0 / ½ / 1 P.]

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 12 /34
Aufgabe 10
Abfüllmaschinen
Werden vier gleich schnell arbeitende Abfüllmaschinen gleichzeitig eingesetzt, so benötigen sie
24 Minuten zum Befüllen von 6 000 Flaschen Mineralwasser.
Die Funktion f ordnet einer Anzahl n solcher gleichzeitig arbeitender Abfüllmaschinen die Dauer f ( n )
zu, die für die Befüllung der 6 000 Flaschen benötigt wird ( n ∈ ℕ \{0} und f ( n ) in Minuten).
Aufgabenstellung:
Stellen Sie eine Gleichung der Funktion f auf.
f ( n ) =
[0 / 1 P.]

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 13 /34
Aufgabe 11
Grippeerkrankungen
Am Abend des 10. Februar 2019 waren in einem bestimmten Land 2 000 Personen an Grippe erkrankt, am Abend des 21. Februar 2019 waren es 4 000 Personen. Modellhaft wird angenommen,
dass in diesem Land im Februar 2019 die Anzahl der an Grippe erkrankten Personen von Tag zu
Tag um den gleichen Prozentsatz gestiegen ist.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie diesen Prozentsatz.
[0 / 1 P.]

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 14 /34
Aufgabe 12
Eigenschaften einer Sinusfunktion
Gegeben ist eine Funktion f : ℝ → ℝ mit f ( x ) = a ∙ sin( b ∙ x ) mit a , b ∈ ℝ
+
.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden auf die Funktion f zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5]
Wenn b größer wird, dann wird die (kürzeste) Periodenlänge
größer.
Wenn a kleiner wird, dann wird die (kürzeste) Periodenlänge
größer.
Wenn a kleiner wird, dann wird die Anzahl der Nullstellen im
Intervall [0; 2 ∙ π] kleiner.
Wenn a größer wird, dann wird die Differenz zwischen dem
größten und dem kleinsten Funktionswert größer.
Wenn b größer wird, dann wird der Abstand zwischen zwei
aufeinanderfolgenden Nullstellen kleiner.
[0 / 1 P.]

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 15 /34
Aufgabe 13
Relative Änderung einer Polynomfunktion
Gegeben ist der Graph der Polynomfunktion f .
0 5 4 3 2 1 6 –2 –3 –4 –1
f ( x )
x
f
0
5
4
3
2
1
6
–2
–3
–1
–4
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die relative Änderung von f im Intervall [2; 4].
[0 / 1 P.]

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 16 /34
Aufgabe 14
Rückgang einer Population
Die Anzahl f ( t ) der Individuen einer Population wird während eines Beobachtungszeitraums von
100 Wochen durch eine Funktion f modelliert. Die Zeit t wird dabei in Wochen angegeben.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie diejenige Aussage an, die die Beziehung
f (100) – f (0)
100
= –35 im gegebenen Sach zusammenhang auf jeden Fall richtig beschreibt. [1 aus 6]
Die Anzahl der Individuen ist im Beobachtungszeitraum
pro Woche um 35 gesunken.
Zu Beginn des Beobachtungszeitraums waren um 35 % mehr
Individuen als am Ende dieses Zeitraums vorhanden.
Die Anzahl der Individuen ist im Beobachtungszeitraum
pro Woche um durchschnittlich 35 gesunken.
Die Anzahl der Individuen ist im Beobachtungszeitraum
auf 35 % des Anfangsbestands gesunken.
Die Anzahl der Individuen ist im Beobachtungszeitraum
pro Woche um 35 % gesunken.
Die Anzahl der Individuen ist im Beobachtungszeitraum
um insgesamt 35 gesunken.
[0 / 1 P.]

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 17 /34
Aufgabe 15
Erste Ableitung
Gegeben ist die differenzierbare Funktion f : ℝ → ℝ , x ↦ f ( x ).
Es gilt: f ′ (0) = 2
Für die zwei Zahlen a , k ∈ ℝ ist die Funktion g : ℝ → ℝ mit g ( x ) = a ∙ f ( k ∙ x ) gegeben.
Aufgabenstellung:
Stellen Sie mithilfe von a und k eine Formel zur Berechnung von g ′ (0) auf.
g ′ (0) =
[0 / 1 P.]

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 18 /34
Aufgabe 16
Ableitungs- und Stammfunktion
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Polynomfunktion 3. Grades f dargestellt. Alle
lokalen Extremstellen und die Wendestelle von f sind ganzzahlig.
f ( x )
x
f
0
1
–1
1 0 2 3 4 5 6 7 8 9
2
3
4
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden
Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht.
Der Graph der 1. Ableitung von f
1
und die Graphen aller Stammfunktionen von f
2
.
1
schneidet die x -Achse an der
Stelle x = 4
ist im Intervall (–∞; 4) streng
monoton fallend
ist im Intervall (–∞; 4) rechts gekrümmt (negativ gekrümmt)
2
haben an der Stelle x = 6 eine Wende stelle mit waagrechter Tangente
schneiden die x -Achse an der
Stelle x = 6
sind im Intervall (2; 6) streng monoton
fallend
[0 / ½ / 1 P.]

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 19 /34
Aufgabe 17
Ableitungsfunktion einer Polynomfunktion dritten Grades
Eine Polynomfunktion 3. Grades f hat an der Stelle x
1
= –2 ein lokales Maximum und an der
Stelle x
2
= 2 ein lokales Minimum.
Die Funktion hat die 1. Ableitungsfunktion f ′ .
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5]
f ′ ist im gesamten Intervall (–2; 2) positiv.
f ′ hat an der Stelle x
1
den gleichen Wert wie an der Stelle x
2
.
f ′ ist im gesamten Intervall (–3; –2) negativ.
f ′ hat an der Stelle x = 4 einen positiven Wert.
f ′ hat an der Stelle x = 0 den Wert 0.
[0 / 1 P.]

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 20 /34
Aufgabe 18
Pilzsporen
Pilze vermehren sich mithilfe von Sporen.
Bei einem Experiment bedecken zum Zeitpunkt t = 0 die Sporen eines bestimmten Pilzes eine
Fläche mit einem Inhalt von 5 μm
2
.
Die Funktion f modelliert die Geschwindigkeit, mit der sich die bedeckte Fläche vergrößert, in
Abhängigkeit von der Zeit t .
t ... Zeit in h
f ( t ) ... Geschwindigkeit, mit der sich die bedeckte Fläche vergrößert, zum Zeitpunkt t in μm
2
/h
Aufgabenstellung:
Interpretieren Sie 5 +
∫
3
0
f ( t ) d t im gegebenen Sachzusammenhang.
[0 / 1 P.]

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 21 /34
Aufgabe 19
Geschwindigkeitskontrolle
Auf einem Autobahnabschnitt wurden die Geschwindigkeiten von Fahrzeugen gemessen und
anschließend wurde das nachstehende Histogramm erstellt. Der Flächeninhalt eines Rechtecks
entspricht dabei der absoluten Häufigkeit der Geschwindigkeiten in der jeweiligen Klasse.
120 110 100 90 0 130
7
6
5
4
3
2
1
0
8
Geschwindigkeit in km/h
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie die Anzahl derjenigen Fahrzeuge, die für die Erstellung des Histogramms herangezogen wurden.
[0 / 1 P.]

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 22 /34
Aufgabe 20
Schularbeitspunkte
Sophie hat in der Unterstufe im Unterrichtsgegenstand Mathematik 16 Schularbeiten geschrieben.
Bei jeder dieser Mathematik-Schularbeiten waren 48 Punkte zu erreichen. Das arithmetische Mittel
der von Sophie insgesamt erreichten Punkte lag bei 38,5 Punkten.
Bei den ersten beiden Mathematik-Schularbeiten der Oberstufe hat Sophie einmal 41 Punkte und
einmal 47 Punkte von jeweils 48 maximal erreichbaren Punkten erreicht.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie das arithmetische Mittel x der von Sophie bei allen 18 Mathematik-Schularbeiten
erreichten Punkte.
[0 / 1 P.]

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 23 /34
Aufgabe 21
Median und arithmetisches Mittel
Für eine bestimmte Gruppe von 11 Personen gilt: Das arithmetische Mittel ihrer Bruttoeinkommen
beträgt € 5.690, der Median ihrer Bruttoeinkommen beträgt € 3.200.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden auf jeden Fall zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5]
Mindestens 1 Person dieser Gruppe hat ein Bruttoeinkommen von genau € 3.200.
Mindestens 1 Person dieser Gruppe hat ein Brutto einkommen von genau € 5.690.
Mindestens 6 Personen dieser Gruppe haben ein
Bruttoeinkommen von höchstens € 3.200.
Höchstens 1 Person dieser Gruppe hat ein Bruttoeinkommen von mehr als € 5.690.
Mindestens 5 Personen dieser Gruppe haben ein
Bruttoeinkommen von mehr als € 5.690.
[0 / 1 P.]

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 24 /34
Aufgabe 22
Weihnachtsgeschenke
Laut einer Umfrage kaufen 87 % der österreichischen Bevölkerung Weihnachtsge schenke.
In dieser Bevölkerungsgruppe sind 3 % „Last-Minute-Shopper“, die erst wenige Tage vor Weihnachten mit dem Kauf beginnen.
Datenquelle: https://ooe.orf.at/stories/3020487/ [07.11.2019].
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie mithilfe der Daten aus dieser Umfrage den Anteil p der „Last-Minute-Shopper“ an
der österreichischen Bevölkerung in Prozent.
p = %
[0 / 1 P.]

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 25 /34
Aufgabe 23
Binomialkoeffizienten
Gegeben sind die zwei natürlichen Zahlen a und b mit 0 ≤ a < b ≤ 9 .
Für zwei Binomialkoeffizienten gilt:
(
9
a
) = (
9
b
)
Aufgabenstellung:
Geben Sie a in Abhängigkeit von b an.
a =
[0 / 1 P.]

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 26 /34
Aufgabe 24
Erwartungswerte und Standardabweichungen
Gegeben sind die zwei Zufallsvariablen X und Y , die jeweils genau 7 ganzzahlige Werte mit
positiver Wahrscheinlichkeit annehmen. Nachstehend sind die Wahrscheinlichkeitsver teilungen
für X und Y dargestellt.
P ( X = k )
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
1 2 3 4 5 6 7 8
k
P ( Y = k )
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
1 2 3 4 5 6 7 8
k
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden
Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht.
Für die Erwartungswerte E ( X ) und E ( Y ) gilt
1
;
für die Standardabweichungen σ ( X ) und σ ( Y ) gilt
2
.
1
E ( X ) < E ( Y )
E ( X ) = E ( Y )
E ( X ) > E ( Y )
2
σ ( X ) < σ ( Y )
σ ( X ) = σ ( Y )
σ ( X ) > σ ( Y )
[0 / ½ / 1 P.]

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 27 /34
Aufgabe 25 (Teil 2)
Firmenlogos
Aufgabenstellung:
a) In der nachstehenden Abbildung ist ein Firmenlogo grau markiert dargestellt.
f ( x ), g ( x ) in cm
x in cm
g
f
4 3 2 1 0 –1 –2 –3 –4 –5 5
0
1
2
–2
–1
Die untere Begrenzungslinie wird durch einen Teil des Graphen der Funktion f beschrieben:
f ( x ) =
1
8
∙ x
2
– 2
Die obere Begrenzungslinie wird durch einen Teil des Graphen der Funktion g beschrieben:
g ( x ) = a ∙ ( x
3
– 16 ∙ x ) mit a ∈ ℝ
An der Stelle x = 4 haben f und g die gleiche Steigung.
1) Berechnen Sie den Parameter a . [0 / 1 P.]
Der Punkt (0 | 0) ist ein Wendepunkt des Graphen von g .
2) Begründen Sie, warum der Graph der Funktion g keinen weiteren Wendepunkt haben
kann. [0 / 1 P.]

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 28 /34
b) Das Logo eines Autoherstellers hat die Form eines regelmäßigen Fünfecks (siehe nachstehende nicht maßstabgetreue Abbildung).
s
s
s
s
s
72°
r r
1) Berechnen Sie für r = 3 cm den Umfang u dieses regelmäßigen Fünfecks. [0 / 1 P.]
c) Im nachstehenden Koordinatensystem ist das Logo eines Fischrestaurants grau markiert dargestellt.
f ( x ), g ( x ), h ( x )
x
g
h
f
b
0
0
Das Logo ist symmetrisch bezüglich des Graphen der konstanten Funktion h mit h ( x ) = b
mit b ∈ ℝ
+
. Die Begrenzungslinien des Logos sind Teile der Graphen der Funktionen f und g
(siehe obige Abbildung).
Für die Funktion f gilt:
f ( x ) = a ∙ x
2
mit a ∈ ℝ
+
1) Stellen Sie unter Verwendung von a und b eine Funktionsgleichung von g auf. [0 / 1 P.]

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 29 /34
Aufgabe 26 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Pelletsheizung
In Österreichs Haushalten werden verschiedene Heizungsarten wie zum Beispiel die Ölheizung
(mit Heizöl als Brennmaterial) oder die Pelletsheizung (mit Pellets – kleine gepresste Holzspäne –
als Brennmaterial) eingesetzt.
In der nachstehenden Tabelle sind die Jahresdurchschnittspreise für das Heizen mit Heizöl bzw.
mit Pellets für die Jahre 2006 und 2019 in Cent pro Kilowattstunde (Cent/kWh) angegeben.
2006 2019
Heizöl 6,80 7,95
Pellets 4,40 4,84
Datenquelle: https://www.propellets.at/haeufige-fragen-und-antworten-zu-pellets [13.10.2021].
Aufgabenstellung:
a) 1) Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate der Jahresdurchschnittspreise für Pellets (in
Cent/kWh pro Jahr) für den Zeitraum von 2006 bis 2019. [0 / 1 P.]
b) Familie Buchner lebt in einem Einfamilienhaus und heizt mit Heizöl. Die Familie überlegt, auf
eine Pelletsheizung umzusteigen.
Für die geschätzten Gesamtkosten für das Heizen mit Heizöl oder mit Pellets ab dem Jahr
2019 trifft Familie Buchner folgende Annahmen:
• Familie Buchner verbraucht pro Jahr rund 15 000 kWh Energie für das Beheizen ihres Hauses.
• Der Jahresdurchschnittspreis für das Heizen mit Heizöl (0,0795 €/kWh) und jener für das
Heizen mit Pellets (0,0484 €/kWh) bleiben ab dem Jahr 2019 gleich.
• Der Umstieg von der Ölheizung zu einer Pelletsheizung kostet einmalig 10.000 €.
t ... Zeit seit Beginn des Jahres 2019 in Jahren
K
Öl
( t ) ... geschätzte Gesamtkosten für das Heizen mit Heizöl bis zur Zeit t in €
K
Pellets
( t ) ... geschätzte Gesamtkosten für das Heizen mit Pellets bis zur Zeit t in €
1) Stellen Sie auf Basis dieser Annahmen jeweils eine Funktionsgleichung von K
Öl
bzw. von
K
Pellets
auf.
K
Öl
( t ) =
K
Pellets
( t ) = [0 / ½ / 1 P.]
2) Ermitteln Sie den Zeitpunkt t
1
, zu dem die geschätzten Gesamtkosten für Familie Buchner
für das Heizen mit Pellets gleich groß sind wie die geschätzten Gesamtkosten für das
Heizen mit Heizöl. [0 / 1 P.]

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 30 /34
c) Die Anzahl der Pelletsheizungen in Österreich kann für den Zeitraum von 1997 bis 2019 modellhaft durch die nachstehende Gleichung beschrieben werden.
A ( t ) =
147 130
1 + 31 ∙ ℯ
–0,28 ∙ t
t ... Zeit seit Beginn des Jahres 1997 in Jahren
A ( t ) ... Anzahl der Pelletsheizungen in Österreich zur Zeit t in 1 000 Stück
1) Ermitteln Sie für den Zeitraum von 1997 bis 2019 dasjenige Jahr, in dem gemäß diesem
Modell die momentane Änderungsrate der Anzahl der Pelletsheizungen in Österreich am
größten war. [0 / 1 P.]

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 31 /34
Aufgabe 27 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Beschleunigungstest
Bei einem Beschleunigungstest wird ein Fahrzeug aus dem Stillstand (Anfangsgeschwindigkeit =
0 km/h) beschleunigt.
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Zeit-Geschwindigkeit-Funktion v für einen
Be schleunigungstest mit einem Sportwagen dargestellt. Dabei bewegt sich der Sportwagen
t Sekunden nach Beginn des Beschleunigungsvorgangs mit der Geschwindigkeit v ( t ) in km/h.
36 34 32 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 38
150
100
50
0
200
t in s
v ( t ) in km/h
(2 | 50)
v
Aufgabenstellung:
a) Es wird angenommen, dass die Geschwindigkeit v
1
des Sportwagens im Zeitintervall [0; 2]
direkt proportional zur Zeit t ist ( t in s, v
1
( t ) in km/h).
1) Stellen Sie eine Funktionsgleichung von v
1
auf.
v
1
( t ) = [0 / 1 P.]
b) Bei einer anderen Modellierung kann die Geschwindigkeit des Sportwagens im Zeitintervall
[0; 20] in Abhängigkeit von der Zeit t durch die Funktion v
2
beschrieben werden.
v
2
( t ) = –0,001 ∙ t
4
+ 0,078 ∙ t
3
– 2,23 ∙ t
2
+ 32 ∙ t
t ... Zeit in s
v
2
( t ) ... Geschwindigkeit zur Zeit t in km/h
1) Berechnen Sie mithilfe von v
2
den Zeitpunkt t
2
∈ [0; 20], zu dem die Geschwindigkeit des
Sportwagens 130 km/h beträgt. [0 / 1 P.]

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 32 /34
c) Die Geschwindigkeit-Beschleunigung-Funktion a ordnet jeder Geschwindigkeit v ∈ [80; 160]
des Sportwagens näherungsweise die entsprechende Beschleunigung a ( v ) zu.
a ( v ) = 0,0003 ∙ v
2
+ b ∙ v + c mit b , c ∈ ℝ
v ... Geschwindigkeit in km/h
a ( v ) ... Beschleunigung bei der Geschwindigkeit v in m/s
2
In der nachstehenden Tabelle sind zwei Beschleunigungswerte angeführt.
v in km/h 80 160
a ( v ) in m/s² 6,7 1,4
1) Ermitteln Sie b und c . [0 / 1 P.]
2) Ermitteln Sie mithilfe der Funktion a und der Abbildung im Einleitungstext den Zeitpunkt t
3
,
zu dem die Beschleunigung 3,7 m/s
2
beträgt. [0 / 1 P.]

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 33 /34
Aufgabe 28 (Teil 2, Best-of-Wertung)
Würfelspiel
Bei einem Würfelspiel werden fünf sechsflächige Würfel gleichzeitig geworfen. Bei jedem der Würfel
treten die Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf. Die fünf Würfel werden
unabhängig voneinander geworfen. Die Ergebnisse der Würfe sind voneinander unabhängig.
Nachstehend sind drei mögliche Ereignisse beschrieben.
Grande Eine beliebige Augenzahl tritt fünfmal auf, z. B. 4, 4, 4, 4, 4.
Full House
Eine beliebige Augenzahl tritt genau dreimal auf. Eine andere beliebige Augenzahl
tritt genau zweimal auf, z. B. 1, 1, 1, 4, 4.
Straße Die Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5 oder 2, 3, 4, 5, 6 treten jeweils genau einmal auf.
Aufgabenstellung:
a) 1) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit für ein Grande , wenn die fünf Würfel einmal geworfen
werden. [0 / 1 P.]
Es wurden die Augenzahlen 2, 2, 2, 4 und 5 geworfen. Bei einem zweiten Wurf werden nur die
beiden Würfel mit den Augenzahlen 4 und 5 erneut geworfen, die anderen drei Würfel bleiben
liegen.
Die Wahrscheinlichkeit, mit diesem zweiten Wurf ein Grande zu erhalten, beträgt p
1
.
Die Wahrscheinlichkeit, mit diesem zweiten Wurf ein Full House zu erhalten, beträgt p
2
.
2) Ermitteln Sie die zwei Wahrscheinlichkeiten p
1
und p
2
.
p
1
=
p
2
= [0 / ½ / 1 P.]
b) Für die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis E bei einem Wurf mit fünf Würfeln gilt:
P ( E ) = 6 ∙
[(
5
4
)
·
(
1
6
)
4
∙
5
6
]
1) Beschreiben Sie ein mögliches Ereignis E im gegebenen Sachzusammenhang. [0 / 1 P.]

20. September 2022 / AHS / Mathematik S. 34 /34
c) Die Wahrscheinlichkeit für eine Straße liegt bei einem Wurf mit den fünf Würfeln bei rund 3,09 %.
Die Wahrscheinlichkeit für ein Full House liegt bei einem Wurf mit den fünf Würfeln bei
rund 3,86 %.
Franz würfelt einmal mit allen fünf Würfeln. Anna gibt Franz 40 Euro, wenn er eine Straße oder
ein Full House erhält. In allen anderen Fällen bekommt Anna von Franz x Euro.
1) Ermitteln Sie x so, dass die zu erwartenden Beträge, die Anna und Franz einander aus zahlen, annähernd gleich sind. [0 / 1 P.]