Mathematik-Matura Mai 2022 · HTL Cluster T1 – Lösungen

Standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reife- und Diplomprüfung
BHS
3. Mai 2022
Angewandte Mathematik
Korrekturheft
HTL 1

3. Mai 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 2 /15
Beurteilung der Klausurarbeit
Beurteilungsschlüssel
erreichte Punkte Note
44 – 48 Punkte Sehr gut
38 – 43 Punkte Gut
31 – 37 Punkte Befriedigend
23 – 30 Punkte Genügend
0 – 22 Punkte Nicht genügend
Jahresnoteneinrechnung: Damit die Leistungen der letzten Schulstufe in die Beurteilung des
Prüfungsgebiets einbezogen werden können, muss die Kandidatin / der Kandidat mindestens
14 Punkte erreichen.
Den Prüferinnen und Prüfern steht während der Korrekturfrist ein Helpdesk des BMBWF
beratend zur Verfügung. Die Erreichbarkeit des Helpdesks wird für jeden Prüfungstermin auf
https://www.matura.gv.at/srdp/ablauf gesondert bekanntgegeben.

3. Mai 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 3 /15
Handreichung zur Korrektur
Für die Korrektur und die Bewertung sind die am Prüfungstag auf https://korrektur.srdp.at ver öffentlichten Unterlagen zu verwenden.
1. In der Lösungserwartung ist ein möglicher Lösungsweg angegeben. Andere richtige
Lösungswege sind als gleichwertig anzusehen. Im Zweifelsfall kann die Auskunft des Helpdesks in Anspruch genommen werden.
2. Der Lösungsschlüssel ist verbindlich unter Beachtung folgender Vorgangsweisen anzuwenden:
a. Punkte sind zu vergeben, wenn die jeweilige Handlungsanweisung in der Bearbeitung
richtig umgesetzt ist.
b. Berechnungen im offenen Antwortformat ohne nachvollziehbaren Rechenansatz
bzw. ohne nachvollziehbare Dokumentation des Technologieeinsatzes (verwendete
Ausgangsparameter und die verwendete Technologiefunktion müssen angegeben sein)
sind mit null Punkten zu bewerten.
c. Werden zu einer Teilaufgabe mehrere Lösungen von der Kandidatin / vom Kandidaten
angeboten und nicht alle diese Lösungen sind richtig, so ist diese Teilaufgabe mit null
Punkten zu bewerten, sofern die richtige Lösung nicht klar als solche hervorgehoben
ist.
d. Bei abhängiger Punktevergabe gilt das Prinzip des Folgefehlers. Wird von der Kandidatin / vom Kandidaten beispielsweise zu einem Kontext ein falsches Modell aufgestellt,
mit diesem Modell aber eine richtige Berechnung durchgeführt, so ist der Berechnungspunkt zu vergeben, wenn das falsch aufgestellte Modell die Berechnung nicht vereinfacht.
e. Werden von der Kandidatin / vom Kandidaten kombinierte Handlungsanweisungen in
einem Lösungsschritt erbracht, so sind alle Punkte zu vergeben, auch wenn der
Lösungsschlüssel Einzelschritte vorgibt.
f. Abschreibfehler, die aufgrund der Dokumentation der Kandidatin / des Kandidaten als
solche identifizierbar sind, sind ohne Punkteabzug zu bewerten, wenn sie zu keiner
Vereinfachung der Aufgabenstellung führen.
g. Rundungsfehler sind zu vernachlässigen, wenn die Rundung nicht explizit eingefordert
ist.
h. Die Angabe von Einheiten ist bei der Punktevergabe zu vernachlässigen, sofern sie
nicht explizit eingefordert ist.

3. Mai 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 4 /15
Aufgabe 1
Winterdienst
a1)
3,25 m
b
α
Auch ein Kennzeichnen des Winkels α an einer anderen Stelle in der Abbildung ist als richtig
zu werten.
a1) Ein Punkt für das Kennzeichnen des richtigen Winkels α .
b1)
Ein zufällig ausgewählter LKW wird
mit mehr als 6,0 m
3
befüllt.
B
Ein zufällig ausgewählter LKW wird mit
höchstens 5,7 m
3
befüllt.
D
A
Füllmenge pro LKW in m
3
6,1 6,0 5,9 5,8 5,7 5,6 5,5 5,4 6,2
B
Füllmenge pro LKW in m
3
6,1 6,0 5,9 5,8 5,7 5,6 5,5 5,4 6,2
C
Füllmenge pro LKW in m
3
6,1 6,0 5,9 5,8 5,7 5,6 5,5 5,4 6,2
D
Füllmenge pro LKW in m
3
6,1 6,0 5,9 5,8 5,7 5,6 5,5 5,4 6,2
b1) Ein Punkt für das richtige Zuordnen.

3. Mai 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 5 /15
c1) f ( x ) = a ∙ b
x
a = 100
20 = 100 ∙ b
1 000
b = 0,99839...
f ( x ) = 100 ∙ 0,99839...
x
oder:
f ( x ) = a ∙ ℯ
λ ∙ x
a = 100
20 = 100 ∙ ℯ
λ ∙ 1 000
λ = –0,001609...
f ( x ) = 100 ∙ ℯ
–0,001609... ∙ x
c2) f ( x ) = 10 oder 100 ∙ 0,99839...
x
= 10
x = 1 430,6...
Nach rund 1 431 Fahrzeugen befinden sich nur mehr 10 % der gestreuten Salzmenge auf
der Straße.
Im Hinblick auf die Punktevergabe ist es nicht erforderlich, das Ergebnis auf eine ganze Zahl
gerundet anzugeben.
c3)
x
f
1 100 1 000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 1 200
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Q
g
f ( x ), g ( x ) in %
P
Im Hinblick auf die Punktevergabe ist es erforderlich, dass der Graph der Exponential
funktion g durch die Punkte (0 | 100) und (600 | 50) geht.
c1) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Funktionsgleichung von f .
c2) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Anzahl der Fahrzeuge.
c3) Ein Punkt für das richtige Einzeichnen des Graphen von g im Intervall [0; 1 200].

3. Mai 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 6 /15
Aufgabe 2
Papier
a1) Gesamtflächeninhalt der 3 Blätter in mm
2
: 3 ∙ 210 ∙ 297 = 187 110
187 110 mm
2
= 0,18711 m
2
Masse der 3 Blätter inklusive Briefumschlag in g: 0,18711 ∙ 80 + 4 = 18,9688
Eva kann den Brief als Standardbrief versenden, da er nur rund 19 g wiegt.
a1) Ein Punkt für das richtige nachweisliche Überprüfen.
b1)
109 + 69 + 25 + 22
412
=
225
412
= 0,54611...
Von diesen vier Staaten wurden im Jahr 2019 insgesamt rund 54,61 % der weltweiten
Gesamtproduktion von Papier hergestellt.
b2) 22 ∙ 10
6
t = 2,2 ∙ 10
10
kg
Gesamtenergieverbrauch in kWh: 2,5 ∙ 2,2 ∙ 10
10
= 5,5 ∙ 10
10
5,5 ∙ 10
10
kWh = 55 000 GWh
Der Gesamtenergieverbrauch für die Papierherstellung in Deutschland im Jahr 2019 betrug
55 000 GWh.
b1) Ein Punkt für das richtige Berechnen des Prozentsatzes.
b2) Ein Punkt für das richtige Berechnen des Gesamtenergieverbrauchs in GWh.
c1) Für die jeweiligen Differenzenquotienten gilt:
4,39 – 2,93
10
= 0,146 bzw.
5,00 – 4,39
12
= 0,050... bzw.
5,00 – 2,93
22
= 0,094...
Es liegt kein lineares Modell vor, weil die Differenzenquotienten nicht gleich sind.
Für die Punktevergabe ist es nicht erforderlich, alle 3 angegebenen Differenzenquotienten zu
ermitteln. Auch ein Nachweis mit den Kehrwerten der angegebenen Differenzenquotienten ist
als richtig zu werten.
c1) Ein Punkt für das richtige Zeigen mithilfe des Differenzenquotienten.

3. Mai 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 7 /15
d1) | C (10) – C (0) | ≈ 43 Millionen Tonnen pro Jahr
Toleranzbereich: [40; 46]
d2)
C ′ ( t )
t
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
4
2
0
–2
–4
6
d1) Ein Punkt für das richtige Ermitteln des Wertes.
d2) Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

3. Mai 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 8 /15
Aufgabe 3
Stand-up-Paddling
a1) A =
∫
4
0
f ( x ) d x –
∫
2,8
0
g ( x ) d x
a2) Berechnung der Extremstellen von f mittels Technologieeinsatz:
f ′ ( x ) = 0 oder –0,0375 ∙ x
2
+ 0,04 ∙ x + 0,07 = 0
x
1
= 2 ( x
2
= –0,933...)
f (2) = 0,32
b = 2 ∙ f (2)
b = 0,64 m
In der Abbildung ist erkennbar, dass der Hochpunkt von f an der Stelle x
1
ist. Ein (rechnerischer)
Nachweis, dass x
1
eine Maximumstelle ist, und eine Überprüfung der Randstellen sind daher
nicht erforderlich.
a1) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Formel.
a2) Ein Punkt für das richtige Berechnen der maximalen Breite b .
b1) p
1
′ ( x ) = 3 ∙ a ∙ x
2
+ 2 ∙ b ∙ x + c
I : p
1
(25) = 200
II : p
1
(70) = 60
III : p
1
′ (25) = 0
IV : p
1
′ (70) = 0
oder:
I : 15 625 ∙ a + 625 ∙ b + 25 ∙ c + d = 200
II : 343 000 ∙ a + 4 900 ∙ b + 70 ∙ c + d = 60
III : 1 875 ∙ a + 50 ∙ b + c = 0
IV : 14 700 ∙ a + 140 ∙ b + c = 0
b2)
p
2
″ (90) > 0
b1) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Gleichungen mithilfe der Koordinaten der Punkte H
und T .
Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Gleichungen mithilfe der 1. Ableitung.
b2) Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

3. Mai 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 9 /15
Aufgabe 4
Kleingartensiedlung
a1)
1
2
∙
∫
20
0
f ( x ) d x = 174,3...
∫
a
0
f ( x ) d x = 174,3...
oder:
∫
a
0
f ( x ) d x =
∫
20
a
f ( x ) d x
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
a = 10,61...
a1) Ein Punkt für den richtigen Ansatz.
Ein Punkt für das richtige Berechnen von a .
b1) H = h + a ∙ tan( α )
b2)
(

( H – h )
2
+ a
2
+ 60) ∙ ( b + 60)
b1) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Formel.
b2) Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

3. Mai 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 10 /15
Aufgabe 5
Bluthochdruck bei Erwachsenen
a1) X ... Blutdruck in mmHg
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
P ( X ≥ 140) = 0,200...
Rund 20 % der Bevölkerung dieses Landes haben Bluthochdruck.
a2)
1
weiter links
2
höher
a1) Ein Punkt für das richtige Berechnen des Prozentsatzes.
a2) Ein Punkt für das Ankreuzen der beiden richtigen Satzteile.
b1)
Höchstens 2 Personen haben Bluthochdruck.
b2) p =
55
250
= 0,22
b1) Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.
b2) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Wahrscheinlichkeit p .
c1) Um die jeweilige Anzahl der Männer mit Bluthochdruck berechnen zu können, muss man die
Anzahl aller Männer in dieser Stadt in den beiden Jahren kennen. Das ist hier nicht der Fall.
c1) Ein Punkt für das richtige Begründen.

3. Mai 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 11 /15
Aufgabe 6 (Teil B)
Werkzeuge
a1) ℓ
3
=
11
10
∙ ℓ
2
a2) ℓ
6
= 9 ∙
(
11
10
)
5
ℓ
6
= 14,494... cm
a1) Ein Punkt für das richtige Vervollständigen der Formel.
a2) Ein Punkt für das richtige Ermitteln der Länge ℓ
6
.
b1) s =
b
sin( ε )
∙ sin(180° – ε – φ )
b2) φ = arccos
(
a
2
– b
2
– s
2
–2 ∙ b ∙ s
)
= arccos
(
23,7
2
– 10,4
2
– 18,8
2
–2 ∙ 10,4 ∙ 18,8
)
= 104,83...°
b3)
h
sin( ε )
=
a
sin( φ )
b1) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Formel.
b2) Ein Punkt für das richtige Berechnen des Winkels φ .
b3) Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.

3. Mai 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 12 /15
c1) n = 9 Packungen
c2) Berechnung mittels Technologieeinsatz:
Stichprobenmittelwert: x = 500,775
Stichprobenstandardabweichung: s
n – 1
= 1,0208...
Berechnung des 95-%-Vertrauensbereichs [ μ
u
; μ
o
] mithilfe der t -Verteilung:
μ
u
= 500,775 – t
7; 0,975
∙ 
8
1,0208...
= 499,92...
μ
o
= 500,775 + t
7; 0,975
∙ 
8
1,0208...
= 501,62...
t
7; 0,975
= 2,3646...
Daraus ergibt sich der folgende Vertrauensbereich in g: [499,92...; 501,62...].
c1) Ein Punkt für das Angeben des richtigen Stichprobenumfangs n .
c2) Ein Punkt für das richtige Ermitteln des zweiseitigen 95-%-Vertrauensbereichs.
d1)
0
1
0,5
Wahrscheinlichkeit
Lebensdauer in Betriebsstunden
F
n 0
d2) Die Lebensdauer einer Bohrmaschine beträgt mindestens n Betriebsstunden.
d1) Ein Punkt für das richtige Veranschaulichen der Wahrscheinlichkeit.
d2) Ein Punkt für das richtige Beschreiben des Ereignisses E im gegebenen Sachzusammenhang.

3. Mai 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 13 /15
Aufgabe 7 (Teil B)
Fässer
a1) Der Graph von f
A
ist symmetrisch bezüglich der vertikalen Achse.
oder:
An der Stelle x = 0 gilt: f
A
′ (0) = 0.
a2) f
A
(0) = 3,2
c = 3,2
f
A
(4) = 2,5 oder 16 ∙ a + 3,2 = 2,5
a = –0,04375
a1) Ein Punkt für das richtige Erklären.
a2) Ein Punkt für das richtige Ermitteln der Koeffizienten a und c .
b1) V = π ∙
∫
4
–4
( f
B
( x ))
2
d x = 180,95...
Das Volumen des Fasses B beträgt rund 181 dm
3
.
b2)
(
fB (0) + fB (4)
2
)
2
∙ π ∙ 8 =
(
3 + 2
2
)
2
∙ π ∙ 8 = 157,07...
Da das Volumen des Zylinders rund 157 dm³ beträgt, ist die Behauptung falsch.
b1) Ein Punkt für das richtige Berechnen des Volumens.
b2) Ein Punkt für das richtige nachweisliche Überprüfen.
c1) L
1
= 2 ∙

( R – r )
2
+
(
h
2
)
2
c2) Der Wert –0,015 bedeutet, dass für das Fass C die Gesamtlänge L
1
um 1,5 % kleiner als die
Länge L ist.
c1) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Formel.
c2) Ein Punkt für das richtige Beschreiben im gegebenen Sachzusammenhang unter Beachtung
des Vorzeichens.

3. Mai 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 14 /15
Aufgabe 8 (Teil B)
Rasenmähroboter
a1) E = (15 | 22)
a2) d = (
–7
–13
)
a3) B = (0 | 10)
BE = (
15
12
)
a ∙ BE = (
–8
10
) ∙ (
15
12
) = –120 + 120 = 0
a1) Ein Punkt für das Eintragen der richtigen Zahlen.
a2) Ein Punkt für das Eintragen der richtigen Zahlen.
a3) Ein Punkt für das richtige rechnerische Zeigen.
b1)
Die Geschwindigkeit
in der Phase 1 ...
C
Die Geschwindigkeit
in der Phase 2 ...
B
A
... wird durch die konstante Funktion v
mit v ( t ) = 0 beschrieben.
B
... wird durch eine konstante Funktion v
mit v ( t ) = c beschrieben ( c ≠ 0).
C
... wird durch eine lineare Funktion v mit
v ( t ) = k ∙ t beschrieben ( k ≠ 0).
D
... wird durch eine quadratische
Funk tion v mit v ( t ) = a
1
∙ t
2
+ a
2
∙ t + a
3
beschrieben ( a
1
≠ 0).
b2) Phase 1:
a
1
= 0,2
v
1
( t ) = a
1
∙ t = 0,2 ∙ t
v
1
(2) = 0,4
Phase 2:
v
2
( t ) = 0,4
s = 0,4 ∙ 31 = 12,4
In der Phase 2 legt der Rasenmähroboter 12,4 m zurück.
b1) Ein Punkt für das richtige Zuordnen.
b2) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Länge des Weges.

3. Mai 2022 / BHS / Angewandte Mathematik / HTL 1 S. 15 /15
c1)
Kostenfunktion K C
Grenzkostenfunktion K ′ A
A
O
x in ME
B
O
x in ME
C
O
x in ME
D
O
x in ME
c1) Ein Punkt für das richtige Zuordnen.
d1) Berechnung mittels Technologieeinsatz:
p ( t ) = –7,04 ∙ t + 1 224 (Koeffizienten gerundet)
t ... Zeit ab Beginn des Jahres 2015 in Monaten
p ( t ) ... Verkaufspreis zur Zeit t in Euro
d2) p ( t ) = 700
t = 74,4... Monate
Nach rund 74 Monaten hat das Gerät gemäß der linearen Funktion p einen Verkaufspreis von
€ 700.
d1) Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Gleichung von p .
d2) Ein Punkt für das richtige Berechnen der Zeit, nach der der Rasenmähroboter einen Verkaufspreis von € 700 hat.